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公(gong)元(yuan)前(qian)5世紀，芝(zhi)諾(nuo)發表了(le)著(zhu)名的(de)(de)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)悖論：他提出讓烏(wu)(wu)龜(gui)在阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)前(qian)面1000米(mi)處開始，和阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)賽跑(pao)(pao)，并且假(jia)定阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)的(de)(de)速度是烏(wu)(wu)龜(gui)的(de)(de)10倍。當(dang)(dang)比賽開始后，若阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)跑(pao)(pao)了(le)1000米(mi)，設所用的(de)(de)時(shi)間(jian)為(wei)t，此(ci)時(shi)烏(wu)(wu)龜(gui)便領先他100米(mi)；當(dang)(dang)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)跑(pao)(pao)完下一(yi)個(ge)100米(mi)時(shi)，他所用的(de)(de)時(shi)間(jian)為(wei)t/10，烏(wu)(wu)龜(gui)仍然(ran)前(qian)于(yu)他10米(mi)；當(dang)(dang)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)跑(pao)(pao)完下一(yi)個(ge)10米(mi)時(shi)，他所用的(de)(de)時(shi)間(jian)為(wei)t/100，烏(wu)(wu)龜(gui)仍然(ran)前(qian)于(yu)他1米(mi)……芝(zhi)諾(nuo)認為(wei)，阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)能夠繼(ji)續逼近烏(wu)(wu)龜(gui)，但決不(bu)可(ke)能追上它。

悖論解釋

關(guan)于阿(a)(a)基里(li)斯(si)悖論的一(yi)個解釋(shi)是：阿(a)(a)基里(li)斯(si)的確永(yong)遠也追不(bu)上(shang)烏龜(gui)。雖然現實中我們知(zhi)道阿(a)(a)基里(li)斯(si)超(chao)越烏龜(gui)非常簡單，但是它是如何超(chao)過(guo)烏龜(gui)的在(zai)過(guo)去卻一(yi)直(zhi)存在(zai)爭論。

現代(dai)物理學(xue)已經證明了時間(jian)和空(kong)間(jian)不是可(ke)以(yi)無限(xian)分(fen)割的，所以(yi)總有最為微(wei)小的一個時間(jian)里，阿(a)基里斯(si)和烏龜共同前進了一個空(kong)間(jian)單位，從此阿(a)基里斯(si)順(shun)利超過烏龜。

產生原因

芝(zhi)諾(nuo)悖(bei)論的產(chan)生原因，是(shi)在于“芝(zhi)諾(nuo)時”不(bu)(bu)(bu)可能度量阿基(ji)里斯追上烏龜后(hou)的現象。在芝(zhi)諾(nuo)時達到無限后(hou)，正常計(ji)時仍可以進行，只(zhi)不(bu)(bu)(bu)過芝(zhi)諾(nuo)的“鐘”已經無法(fa)度量它們了(le)。這(zhe)個(ge)悖(bei)論實(shi)際上是(shi)反映時空并不(bu)(bu)(bu)是(shi)無限可分的，運動也不(bu)(bu)(bu)是(shi)連續的。

通俗一(yi)點講，我們都知道一(yi)條(tiao)線(xian)是由(you)無(wu)(wu)(wu)數(shu)個點組成的，但這個“無(wu)(wu)(wu)數(shu)個點”并不能(neng)說我們無(wu)(wu)(wu)法(fa)畫出(chu)一(yi)條(tiao)線(xian)。也就(jiu)是說就(jiu)是芝(zhi)諾偷(tou)換(huan)了概念，（1+0.1+0.01+……）t其實是一(yi)個有限的時間，但他認為這個時間是無(wu)(wu)(wu)限大(da)的，只要時間超過（1+0.1+0.01+……）t阿基里(li)斯就(jiu)追(zhui)上了烏龜。

哲學辨析

阿基里(li)斯悖論分離了(le)運動與靜止，夸大了(le)相對靜止，而否(fou)認了(le)絕對運動，是形而上學說。

黑格爾(er)在《小邏輯》中說：“辯(bian)(bian)(bian)(bian)證法切不可(ke)與單純的(de)詭(gui)辯(bian)(bian)(bian)(bian)相混淆。詭(gui)辯(bian)(bian)(bian)(bian)的(de)本質在于(yu)孤(gu)立起(qi)來(lai)看事物(wu)(wu)，把本身片面的(de)、抽象的(de)規定，認(ren)為是(shi)可(ke)靠(kao)的(de)。”辯(bian)(bian)(bian)(bian)證唯物(wu)(wu)主義認(ren)為，運動與靜(jing)止是(shi)對立統一(yi)的(de)辯(bian)(bian)(bian)(bian)證關(guan)系。

一方面，運(yun)動與靜(jing)止(zhi)的(de)(de)(de)對(dui)(dui)(dui)立(li)表(biao)現在：運(yun)動是(shi)絕對(dui)(dui)(dui)的(de)(de)(de)，靜(jing)止(zhi)是(shi)相(xiang)(xiang)對(dui)(dui)(dui)的(de)(de)(de)，二者相(xiang)(xiang)互區別，不可(ke)混淆。所(suo)謂運(yun)動是(shi)絕對(dui)(dui)(dui)的(de)(de)(de)是(shi)說(shuo)，運(yun)動是(shi)物(wu)質(zhi)的(de)(de)(de)根(gen)本屬(shu)性，任何(he)(he)事(shi)物(wu)在任何(he)(he)條件下都是(shi)永恒(heng)運(yun)動的(de)(de)(de)，是(shi)無條件的(de)(de)(de)。所(suo)謂靜(jing)止(zhi)是(shi)相(xiang)(xiang)對(dui)(dui)(dui)的(de)(de)(de)是(shi)說(shuo)，靜(jing)止(zhi)是(shi)運(yun)動在特(te)(te)定條件下的(de)(de)(de)特(te)(te)殊狀態，是(shi)有條件的(de)(de)(de)。

另一方面，運(yun)動(dong)(dong)與(yu)(yu)靜止的(de)統一表現在：運(yun)動(dong)(dong)和(he)靜止是相互(hu)依存、相互(hu)貫(guan)通的(de)，即所謂動(dong)(dong)中(zhong)有靜、靜中(zhong)有動(dong)(dong)。在運(yun)動(dong)(dong)與(yu)(yu)靜止關(guan)(guan)系(xi)(xi)上有兩(liang)種(zhong)形而(er)上學(xue)(xue)(xue)的(de)錯(cuo)誤：一種(zhong)是割裂運(yun)動(dong)(dong)與(yu)(yu)靜止的(de)關(guan)(guan)系(xi)(xi)，否認運(yun)動(dong)(dong)，只講(jiang)(jiang)靜止，將(jiang)靜止絕對化(hua)的(de)形而(er)上學(xue)(xue)(xue)不動(dong)(dong)論(lun)；一種(zhong)是割裂運(yun)動(dong)(dong)與(yu)(yu)靜止的(de)關(guan)(guan)系(xi)(xi)，只講(jiang)(jiang)運(yun)動(dong)(dong)，否認靜止的(de)形而(er)上學(xue)(xue)(xue)相對主(zhu)義(yi)和(he)詭辯論(lun)。

簡單證明

關于阿基里斯(si)追(zhui)龜的問題，我們可以很簡單地證明阿基里斯(si)追(zhui)上了(le)烏(wu)龜。

我們(men)設烏龜先前所走(zou)(zou)過(guo)的所有(you)的點(dian)(dian)屬于(yu)集(ji)合(he)(he)B，烏龜現在(zai)所在(zai)的點(dian)(dian)標志為b，烏龜所走(zou)(zou)過(guo)的所有(you)的點(dian)(dian)是(shi)(shi)集(ji)合(he)(he)A，A由(you)集(ji)合(he)(he)B中所有(you)的點(dian)(dian)加上(shang)b點(dian)(dian)構(gou)成。只要(yao)是(shi)(shi)烏龜先前所在(zai)的點(dian)(dian)，都是(shi)(shi)阿基里斯(si)可(ke)(ke)以(yi)走(zou)(zou)到(dao)的，因而(er)阿基里斯(si)可(ke)(ke)以(yi)走(zou)(zou)到(dao)集(ji)合(he)(he)B中所有(you)的點(dian)(dian)。那么，我們(men)能不(bu)(bu)能在(zai)集(ji)合(he)(he)A中找(zhao)到(dao)一個點(dian)(dian)，它既不(bu)(bu)屬于(yu)B，也不(bu)(bu)是(shi)(shi)b，回答是(shi)(shi)不(bu)(bu)能的。因而(er)如(ru)果阿基里斯(si)走(zou)(zou)過(guo)了集(ji)合(he)(he)B中所有(you)的點(dian)(dian)，阿基里斯(si)與b點(dian)(dian)的距離就已經是(shi)(shi)0（如(ru)果不(bu)(bu)是(shi)(shi)0，則應該在(zai)阿基里斯(si)與b點(dian)(dian)之間還會(hui)存(cun)在(zai)著(zhu)一個點(dian)(dian)，但這個點(dian)(dian)并(bing)不(bu)(bu)存(cun)在(zai)），也就是(shi)(shi)說，阿基里斯(si)已經追上(shang)了烏龜。

而按(an)照我(wo)們悖(bei)論(lun)所(suo)設定的(de)條(tiao)件，阿(a)基(ji)里(li)(li)斯是(shi)可以走(zou)到烏(wu)龜先前所(suo)走(zou)過的(de)所(suo)有的(de)點的(de)。因而阿(a)基(ji)里(li)(li)斯追到了烏(wu)龜。但在(zai)(zai)上面的(de)分析中，我(wo)們發(fa)現了一個(ge)有趣(qu)的(de)矛盾，這(zhe)(zhe)(zhe)就(jiu)是(shi)b既屬(shu)于B又(you)(you)不(bu)屬(shu)于B，也就(jiu)是(shi)說，b既是(shi)現在(zai)(zai)又(you)(you)是(shi)先前。而且這(zhe)(zhe)(zhe)是(shi)阿(a)基(ji)里(li)(li)斯得以追上烏(wu)龜的(de)前提(ti)和條(tiao)件。這(zhe)(zhe)(zhe)樣的(de)一個(ge)有趣(qu)的(de)結論(lun)，是(shi)決不(bu)可能為(wei)具有形(xing)而上學頭腦的(de)那些數學家們所(suo)接受(shou)的(de)。

此(ci)悖(bei)論假設阿基(ji)里(li)斯永遠只能到(dao)達(da)龜(gui)前一個(ge)時(shi)間(jian)(jian)(jian)(jian)段(duan)(duan)到(dao)達(da)的地(di)方，即追上(shang)的前一個(ge)時(shi)間(jian)(jian)(jian)(jian)段(duan)(duan)，此(ci)時(shi)條件未發(fa)生變(bian)化(hua)，并(bing)先承認此(ci)時(shi)間(jian)(jian)(jian)(jian)段(duan)(duan)兩者間(jian)(jian)(jian)(jian)仍有差異(yi)，然后用不同的時(shi)間(jian)(jian)(jian)(jian)段(duan)(duan)進行重(zhong)復(fu)換算，假設條件仍未變(bian)化(hua)。而(er)在此(ci)時(shi)間(jian)(jian)(jian)(jian)段(duan)(duan)的下一個(ge)口徑(jing)相同的時(shi)間(jian)(jian)(jian)(jian)段(duan)(duan)里(li)，阿基(ji)米斯就(jiu)會追上(shang)。

相反觀(guan)點：這證(zheng)明是(shi)錯誤的(de)。因(yin)為(wei)證(zheng)明假設(she)了阿基里斯可以走一個點，在事實(shi)上回避了悖論(lun)(lun)中無法找第1點問題實(shi)質。故此證(zheng)明和悖論(lun)(lun)無關，只是(shi)把小學應用題用集合論(lun)(lun)復述了一遍。

推翻悖論

其(qi)實，我(wo)們根(gen)據(ju)中學所學過的(de)無窮等(deng)比(bi)遞縮數列求和(he)的(de)知識，只需列一個(ge)方程就可以輕(qing)而(er)易(yi)舉地推(tui)翻(fan)芝諾的(de)悖論：阿基里斯在跑(pao)了(le)

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便可趕(gan)上烏(wu)龜。

人們認為數列1+0.1+0.01+…………是永(yong)遠也不(bu)能窮盡的。這只不(bu)過是一個錯覺。

我們不(bu)妨來(lai)計算(suan)一(yi)下阿基(ji)里斯能(neng)夠追上烏龜的時間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9

芝(zhi)諾(nuo)所(suo)說的阿基里斯(si)不可能追上烏(wu)龜，就隱藏著時間必須(xu)小于10t/9這樣(yang)一(yi)個條件。

由(you)于阿基里(li)斯和(he)烏(wu)龜是在(zai)不(bu)斷(duan)地運動的(de)，對時間(jian)是沒有限制的(de)，時間(jian)很容易突破10t/9這(zhe)樣一(yi)個條件。一(yi)旦突破10t/9這(zhe)樣一(yi)個條件，阿基里(li)斯就追上了或(huo)超過(guo)了烏(wu)龜。

人們(men)被距離數列(lie)1+0.1+0.01+…………好像是永(yong)遠也不能窮盡的(de)假象迷惑了(le)，沒有考(kao)慮(lv)到時間數列(lie)1+0.1+0.01+…………是很容易達到和超過的(de)了(le)。

但是(shi)不是(shi)所有的(de)數列都能達到，所以，我(wo)們(men)看問題不能太極端。例如無(wu)(wu)論多少個點(dian)(dian)也不能組成(cheng)直線，對于點(dian)(dian)的(de)個數來(lai)說，我(wo)們(men)就永遠無(wu)(wu)法窮盡它(ta)。

其實，以(yi)上的(de)證明(ming)是(shi)無法推翻這個(ge)悖(bei)論(lun)的(de)。因(yin)為這個(ge)證明(ming)用到(dao)了(le)極限這個(ge)概(gai)(gai)念。然而(er)，極限這個(ge)概(gai)(gai)念，正是(shi)為了(le)解決阿基里斯悖(bei)論(lun)而(er)定義出來(lai)的(de)一個(ge)概(gai)(gai)念。用這個(ge)概(gai)(gai)念再反證這個(ge)悖(bei)論(lun)很明(ming)顯是(shi)不合理的(de)。

無限的(de)細分并(bing)不代(dai)表不會從時間(jian)1流入時間(jian)2，否則你(ni)的(de)時鐘將永遠停(ting)留(liu)在59分59.9999............秒。

阿基(ji)里斯能夠繼續逼近烏龜，在(zai)某(mou)一時間點之前(qian)無法追(zhui)上。但永遠追(zhui)不上這(zhe)(zhe)一結果(guo)并不成立(li)，因為這(zhe)(zhe)一悖論只(zhi)引導去考(kao)慮追(zhui)上之前(qian)的距離(li)，而不是(shi)追(zhui)上的這(zhe)(zhe)一距離(li)。

悖論正解

悖論隱含的(de)假設就是(shi)阿基(ji)里(li)斯(si)(si)沒有(you)追上龜，為什么呢？阿基(ji)里(li)斯(si)(si)的(de)每一段(duan)，都是(shi)烏龜跑完了(le)，才讓(rang)阿基(ji)里(li)斯(si)(si)才跑的(de)。只是(shi)想當(dang)然(ran)的(de)用了(le)一開(kai)始的(de)距離差(cha)，而這(zhe)個距離差(cha)為逐(zhu)段(duan)變(bian)小。

而這(zhe)個趨近(jin)過程(cheng)又想用(yong)時間衡量，恰好時間和(he)距(ju)離，都可(ke)以無(wu)限(xian)劃分(fen)。靜止也存在(zai)這(zhe)樣的(de)(de)接近(jin)過程(cheng)，舉(ju)個例子：假(jia)設烏(wu)龜是靜止的(de)(de)，讓(rang)阿基(ji)里斯以這(zhe)樣的(de)(de)方(fang)式跑。900米(mi)，90米(mi)，9米(mi)，0.9米(mi)……，這(zhe)樣他也追不上烏(wu)龜啊，也同樣變不成零，因為你的(de)(de)假(jia)設就(jiu)是距(ju)離的(de)(de)無(wu)限(xian)小(xiao)，這(zhe)只是在(zai)尋找(zhao)最短(duan)的(de)(de)距(ju)離。這(zhe)個就(jiu)關系(xi)到極限(xian)了。就(jiu)像在(zai)找(zhao)最小(xiao)的(de)(de)物質粒子一樣。