公(gong)元前(qian)(qian)5世紀,芝(zhi)諾發(fa)表了著名的(de)(de)阿(a)(a)(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)(li)斯(si)(si)悖論(lun):他(ta)提出讓烏龜在阿(a)(a)(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)(li)斯(si)(si)前(qian)(qian)面(mian)1000米(mi)處(chu)開始(shi),和阿(a)(a)(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)(li)斯(si)(si)賽跑(pao),并(bing)且假定阿(a)(a)(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)(li)斯(si)(si)的(de)(de)速度是烏龜的(de)(de)10倍。當(dang)比賽開始(shi)后,若阿(a)(a)(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)(li)斯(si)(si)跑(pao)了1000米(mi),設(she)所(suo)用(yong)的(de)(de)時(shi)(shi)間為(wei)t,此(ci)時(shi)(shi)烏龜便(bian)領先他(ta)100米(mi);當(dang)阿(a)(a)(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)(li)斯(si)(si)跑(pao)完下一(yi)個(ge)100米(mi)時(shi)(shi),他(ta)所(suo)用(yong)的(de)(de)時(shi)(shi)間為(wei)t/10,烏龜仍(reng)然前(qian)(qian)于他(ta)10米(mi);當(dang)阿(a)(a)(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)(li)斯(si)(si)跑(pao)完下一(yi)個(ge)10米(mi)時(shi)(shi),他(ta)所(suo)用(yong)的(de)(de)時(shi)(shi)間為(wei)t/100,烏龜仍(reng)然前(qian)(qian)于他(ta)1米(mi)……芝(zhi)諾認為(wei),阿(a)(a)(a)(a)(a)基里(li)(li)(li)(li)斯(si)(si)能夠繼續(xu)逼近烏龜,但決不可能追上它。
關于阿(a)基里斯(si)(si)(si)悖論的(de)一個解釋是:阿(a)基里斯(si)(si)(si)的(de)確(que)永遠也追不上(shang)烏(wu)龜。雖然現實中我(wo)們(men)知道阿(a)基里斯(si)(si)(si)超越(yue)烏(wu)龜非常簡單,但是它是如何(he)超過烏(wu)龜的(de)在過去卻一直(zhi)存在爭論。
現代物理學已經證明了時間(jian)和空間(jian)不是(shi)可以無限分割的,所以總(zong)有最為微小的一個(ge)時間(jian)里,阿(a)基里斯和烏龜共同前進(jin)了一個(ge)空間(jian)單位,從(cong)此阿(a)基里斯順利超(chao)過烏龜。
芝(zhi)諾(nuo)(nuo)悖論的(de)(de)產(chan)生原(yuan)因,是(shi)在(zai)(zai)于“芝(zhi)諾(nuo)(nuo)時”不可能度量阿基里斯追上烏龜后(hou)的(de)(de)現(xian)象。在(zai)(zai)芝(zhi)諾(nuo)(nuo)時達到(dao)無限后(hou),正常計時仍(reng)可以(yi)進行,只不過芝(zhi)諾(nuo)(nuo)的(de)(de)“鐘”已經無法度量它們(men)了。這個悖論實際上是(shi)反(fan)映(ying)時空并不是(shi)無限可分的(de)(de),運動也不是(shi)連(lian)續的(de)(de)。
通俗一點講,我們(men)都知道一條線是由無數(shu)(shu)個(ge)點組成的(de),但(dan)這個(ge)“無數(shu)(shu)個(ge)點”并不能說我們(men)無法畫出一條線。也就是說就是芝諾偷換了概(gai)念,(1+0.1+0.01+……)t其實是一個(ge)有限的(de)時間,但(dan)他認(ren)為這個(ge)時間是無限大的(de),只要時間超(chao)過(guo)(1+0.1+0.01+……)t阿基里斯就追上了烏龜。
阿(a)基(ji)里斯悖論分(fen)離了運動(dong)與(yu)靜(jing)止,夸(kua)大了相(xiang)對靜(jing)止,而否認了絕對運動(dong),是形而上學說。
黑格爾(er)在《小邏輯(ji)》中說:“辯證法切(qie)不可與(yu)單純的(de)詭(gui)辯相混(hun)淆。詭(gui)辯的(de)本質在于孤立(li)起來看事(shi)物(wu),把本身(shen)片面(mian)的(de)、抽象(xiang)的(de)規(gui)定,認為是(shi)可靠的(de)。”辯證唯物(wu)主義認為,運動與(yu)靜(jing)止是(shi)對立(li)統一的(de)辯證關系。
一(yi)方(fang)面,運(yun)(yun)動(dong)與(yu)靜止的(de)對(dui)立表(biao)現在:運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)絕對(dui)的(de),靜止是(shi)(shi)相(xiang)對(dui)的(de),二者相(xiang)互區別(bie),不可混(hun)淆。所(suo)謂(wei)運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)絕對(dui)的(de)是(shi)(shi)說,運(yun)(yun)動(dong)是(shi)(shi)物(wu)質的(de)根本(ben)屬(shu)性,任(ren)何事物(wu)在任(ren)何條(tiao)(tiao)(tiao)件下都是(shi)(shi)永恒運(yun)(yun)動(dong)的(de),是(shi)(shi)無條(tiao)(tiao)(tiao)件的(de)。所(suo)謂(wei)靜止是(shi)(shi)相(xiang)對(dui)的(de)是(shi)(shi)說,靜止是(shi)(shi)運(yun)(yun)動(dong)在特定條(tiao)(tiao)(tiao)件下的(de)特殊狀態,是(shi)(shi)有條(tiao)(tiao)(tiao)件的(de)。
另(ling)一(yi)(yi)方面,運(yun)(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)(de)統一(yi)(yi)表現(xian)在(zai):運(yun)(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)和(he)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)相互(hu)依(yi)存、相互(hu)貫通的(de)(de),即所謂動(dong)(dong)(dong)(dong)中(zhong)有靜(jing)(jing)(jing)、靜(jing)(jing)(jing)中(zhong)有動(dong)(dong)(dong)(dong)。在(zai)運(yun)(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)關(guan)系上(shang)有兩種形而上(shang)學的(de)(de)錯誤:一(yi)(yi)種是(shi)割裂運(yun)(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)(de)關(guan)系,否認運(yun)(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong),只講(jiang)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi),將靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)絕對(dui)化的(de)(de)形而上(shang)學不動(dong)(dong)(dong)(dong)論;一(yi)(yi)種是(shi)割裂運(yun)(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)(de)關(guan)系,只講(jiang)運(yun)(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)(dong)(dong),否認靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)(de)形而上(shang)學相對(dui)主義和(he)詭(gui)辯論。
關于(yu)阿基(ji)里斯追龜(gui)的問(wen)題(ti),我們可以很簡單地證(zheng)明阿基(ji)里斯追上了烏龜(gui)。
我們設烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)先(xian)前(qian)所(suo)(suo)(suo)走(zou)過的所(suo)(suo)(suo)有(you)(you)的點(dian)(dian)屬(shu)于(yu)集合(he)(he)(he)B,烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)現在所(suo)(suo)(suo)在的點(dian)(dian)標志為(wei)b,烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)所(suo)(suo)(suo)走(zou)過的所(suo)(suo)(suo)有(you)(you)的點(dian)(dian)是(shi)(shi)集合(he)(he)(he)A,A由集合(he)(he)(he)B中(zhong)(zhong)(zhong)所(suo)(suo)(suo)有(you)(you)的點(dian)(dian)加上(shang)b點(dian)(dian)構成。只要是(shi)(shi)烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)先(xian)前(qian)所(suo)(suo)(suo)在的點(dian)(dian),都是(shi)(shi)阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)可以走(zou)到的,因而阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)可以走(zou)到集合(he)(he)(he)B中(zhong)(zhong)(zhong)所(suo)(suo)(suo)有(you)(you)的點(dian)(dian)。那么(me),我們能不(bu)能在集合(he)(he)(he)A中(zhong)(zhong)(zhong)找到一(yi)個點(dian)(dian),它(ta)既不(bu)屬(shu)于(yu)B,也(ye)不(bu)是(shi)(shi)b,回答是(shi)(shi)不(bu)能的。因而如果阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)走(zou)過了集合(he)(he)(he)B中(zhong)(zhong)(zhong)所(suo)(suo)(suo)有(you)(you)的點(dian)(dian),阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)(dian)的距離就已(yi)經(jing)是(shi)(shi)0(如果不(bu)是(shi)(shi)0,則應該在阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)(dian)之間還會存在著(zhu)一(yi)個點(dian)(dian),但這(zhe)個點(dian)(dian)并(bing)不(bu)存在),也(ye)就是(shi)(shi)說,阿(a)基(ji)(ji)里(li)(li)斯(si)(si)已(yi)經(jing)追上(shang)了烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)(gui)。
而按照我們悖論所設定的條件,阿基里(li)斯(si)是(shi)(shi)可以走(zou)到烏(wu)龜先(xian)前(qian)所走(zou)過的所有的點的。因而阿基里(li)斯(si)追(zhui)到了烏(wu)龜。但(dan)在上(shang)面(mian)的分析中(zhong),我們發現了一個有趣(qu)的矛盾,這就(jiu)是(shi)(shi)b既屬于B又(you)不屬于B,也就(jiu)是(shi)(shi)說,b既是(shi)(shi)現在又(you)是(shi)(shi)先(xian)前(qian)。而且這是(shi)(shi)阿基里(li)斯(si)得以追(zhui)上(shang)烏(wu)龜的前(qian)提和條件。這樣的一個有趣(qu)的結(jie)論,是(shi)(shi)決不可能為具有形(xing)而上(shang)學(xue)頭(tou)腦的那(nei)些數(shu)學(xue)家們所接受的。
此(ci)悖論假設阿基里斯(si)永遠只能到(dao)(dao)達龜(gui)前一個時間段(duan)到(dao)(dao)達的地方,即追(zhui)(zhui)上的前一個時間段(duan),此(ci)時條件(jian)未發(fa)生變化,并先(xian)承認此(ci)時間段(duan)兩(liang)者間仍(reng)有(you)差(cha)異,然(ran)后用不同的時間段(duan)進行(xing)重復(fu)換算,假設條件(jian)仍(reng)未變化。而在此(ci)時間段(duan)的下一個口徑相同的時間段(duan)里,阿基米斯(si)就會追(zhui)(zhui)上。
相反觀(guan)點:這證明(ming)是錯誤的。因(yin)為證明(ming)假設了阿基(ji)里斯(si)可以(yi)走一個點,在(zai)事實上回避(bi)了悖(bei)論(lun)(lun)(lun)中無法找(zhao)第1點問題(ti)實質。故此證明(ming)和悖(bei)論(lun)(lun)(lun)無關,只是把小學應用(yong)題(ti)用(yong)集合論(lun)(lun)(lun)復述了一遍。
其實(shi),我(wo)們根據中學所學過的(de)無窮等比遞縮數列求和的(de)知(zhi)識,只需列一個方程就可以(yi)輕而易(yi)舉地(di)推翻芝諾(nuo)的(de)悖論:阿基里斯在跑了
1000(1+0.1+0.01+…………)=1000(1+1/9)=10000/9米(mi)時便(bian)可趕上(shang)烏龜。
人們(men)認為數列1+0.1+0.01+…………是永遠也(ye)不能窮盡(jin)的。這只不過是一個(ge)錯(cuo)覺。
我們不妨(fang)來計算一下阿基里斯能夠追上烏龜的時間(jian)為t(1+0.1+0.01+…………)=t (1+1/9)=10t/9
芝諾所(suo)說(shuo)的(de)阿(a)基里(li)斯不(bu)可(ke)能追上烏龜,就隱藏著時間必須小(xiao)于(yu)10t/9這樣一個條件(jian)。
由于(yu)阿基里斯和烏龜是在不斷地運動的,對時(shi)間(jian)是沒有(you)限制的,時(shi)間(jian)很容易突破10t/9這樣(yang)一個條件(jian)。一旦(dan)突破10t/9這樣(yang)一個條件(jian),阿基里斯就追上了(le)或超過了(le)烏龜。
人們(men)被距離數列(lie)1+0.1+0.01+…………好像(xiang)是永遠也不能(neng)窮盡(jin)的假象迷惑(huo)了,沒(mei)有(you)考慮到(dao)時(shi)間數列(lie)1+0.1+0.01+…………是很容易達到(dao)和超過的了。
但是(shi)不是(shi)所(suo)有的數(shu)列都能達到,所(suo)以,我(wo)們看問題不能太極端。例如無論多少(shao)個點也不能組成直線,對于點的個數(shu)來(lai)說,我(wo)們就(jiu)永遠無法窮盡它。
其(qi)實,以上的(de)(de)證明是無法推翻這個悖論(lun)的(de)(de)。因為這個證明用到(dao)了極限這個概(gai)念(nian)。然而,極限這個概(gai)念(nian),正是為了解(jie)決阿基里斯悖論(lun)而定(ding)義(yi)出來的(de)(de)一個概(gai)念(nian)。用這個概(gai)念(nian)再反(fan)證這個悖論(lun)很明顯是不合理的(de)(de)。
無限的細分并不代表不會(hui)從(cong)時間1流入時間2,否則你(ni)的時鐘將(jiang)永遠停留在59分59.9999............秒。
阿基(ji)里(li)斯能夠繼續逼(bi)近烏龜,在某一(yi)(yi)時間點之前(qian)無法追(zhui)上(shang)。但永遠追(zhui)不上(shang)這(zhe)一(yi)(yi)結(jie)果(guo)并不成立(li),因為這(zhe)一(yi)(yi)悖論只(zhi)引導(dao)去考(kao)慮追(zhui)上(shang)之前(qian)的距(ju)離,而不是追(zhui)上(shang)的這(zhe)一(yi)(yi)距(ju)離。
悖論(lun)隱含的(de)(de)(de)假設就是阿基(ji)里斯沒有追上龜,為什么呢?阿基(ji)里斯的(de)(de)(de)每一段(duan),都是烏龜跑完了,才(cai)讓阿基(ji)里斯才(cai)跑的(de)(de)(de)。只是想當然的(de)(de)(de)用(yong)了一開始(shi)的(de)(de)(de)距離(li)差,而這(zhe)個距離(li)差為逐段(duan)變小。
而這(zhe)個(ge)趨近過程(cheng)又想用時(shi)間衡量,恰好時(shi)間和距(ju)離(li),都可以無限劃分。靜止也存在(zai)這(zhe)樣(yang)的接近過程(cheng),舉個(ge)例子:假(jia)設(she)烏(wu)龜(gui)是靜止的,讓阿基里斯以這(zhe)樣(yang)的方式跑(pao)。900米,90米,9米,0.9米……,這(zhe)樣(yang)他也追不(bu)(bu)上烏(wu)龜(gui)啊(a),也同樣(yang)變(bian)不(bu)(bu)成零,因(yin)為你的假(jia)設(she)就(jiu)是距(ju)離(li)的無限小(xiao),這(zhe)只是在(zai)尋(xun)找最短(duan)的距(ju)離(li)。這(zhe)個(ge)就(jiu)關系(xi)到極限了。就(jiu)像在(zai)找最小(xiao)的物(wu)質粒子一樣(yang)。