芒果视频下载

羅素悖論(lun)是(shi)由(you)羅素發(fa)現的(de)一個(ge)集(ji)(ji)合(he)論(lun)悖論(lun)，其(qi)基本思想是(shi)：對于任意(yi)一個(ge)集(ji)(ji)合(he)A，A要么(me)是(shi)自(zi)身(shen)的(de)元素，即(ji)(ji)(ji)A∈A；A要么(me)不(bu)(bu)是(shi)自(zi)身(shen)的(de)元素，即(ji)(ji)(ji)A?A。根(gen)據康托爾集(ji)(ji)合(he)論(lun)的(de)概括原則(ze)，可將(jiang)所有(you)不(bu)(bu)是(shi)自(zi)身(shen)元素的(de)集(ji)(ji)合(he)構成一個(ge)集(ji)(ji)合(he)S1，即(ji)(ji)(ji)S1={x:x?x}。

簡介

20世紀之初，數(shu)學(xue)(xue)界甚至(zhi)整個(ge)科(ke)學(xue)(xue)界籠罩在一(yi)片喜悅祥和的(de)(de)氣氛之中，科(ke)學(xue)(xue)家們(men)普(pu)遍認為，數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)系統性和嚴密性已(yi)經(jing)(jing)達(da)到，科(ke)學(xue)(xue)大廈已(yi)經(jing)(jing)基本建(jian)(jian)成(cheng)。例如，德國物(wu)理(li)學(xue)(xue)家基爾霍夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)曾經(jing)(jing)說過：“物(wu)理(li)學(xue)(xue)將無所作為了(le)，至(zhi)多也(ye)只(zhi)(zhi)能在已(yi)知規律的(de)(de)公(gong)式的(de)(de)小(xiao)數(shu)點后(hou)(hou)面加(jia)上幾個(ge)數(shu)字罷了(le)。”英(ying)國物(wu)理(li)學(xue)(xue)家開爾文（L．Kelvin）在1900年(nian)回(hui)顧物(wu)理(li)學(xue)(xue)的(de)(de)發(fa)(fa)展(zhan)時也(ye)說：“在已(yi)經(jing)(jing)基本建(jian)(jian)成(cheng)的(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)大廈中，后(hou)(hou)輩(bei)物(wu)理(li)學(xue)(xue)家只(zhi)(zhi)能做(zuo)一(yi)些(xie)零(ling)碎(sui)的(de)(de)修補工作了(le)。”法國大數(shu)學(xue)(xue)家彭(peng)迦萊（Poincar6）在1900年(nian)的(de)(de)國際數(shu)學(xue)(xue)家大會上也(ye)公(gong)開宣稱，數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)嚴格性，現在看來可以說是實現了(le)。然而好景(jing)不長，時隔不到兩年(nian)，科(ke)學(xue)(xue)界就(jiu)發(fa)(fa)生了(le)一(yi)件大事，這件大事就(jiu)是羅素（Russell）悖論的(de)(de)發(fa)(fa)現。

例子

理發師悖論

在(zai)某個城(cheng)市中有一位理發(fa)師，他(ta)(ta)的(de)(de)廣告詞(ci)是這(zhe)(zhe)樣(yang)寫的(de)(de)：“本(ben)人(ren)(ren)的(de)(de)理發(fa)技(ji)藝十分高(gao)超，譽(yu)滿全城(cheng)。我(wo)將為本(ben)城(cheng)所(suo)有不(bu)(bu)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)刮(gua)臉(lian)(lian)，我(wo)也只給(gei)這(zhe)(zhe)些人(ren)(ren)刮(gua)臉(lian)(lian)。我(wo)對各位表示熱誠歡迎！”來找(zhao)他(ta)(ta)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)絡繹不(bu)(bu)絕，自(zi)然都是那(nei)些不(bu)(bu)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)。可是，有一天，這(zhe)(zhe)位理發(fa)師從鏡子(zi)里(li)看(kan)見自(zi)己(ji)(ji)的(de)(de)胡子(zi)長了(le)，他(ta)(ta)本(ben)能地抓起了(le)剃(ti)刀，你們看(kan)他(ta)(ta)能不(bu)(bu)能給(gei)他(ta)(ta)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)呢？如(ru)果(guo)他(ta)(ta)不(bu)(bu)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)，他(ta)(ta)就(jiu)屬于(yu)“不(bu)(bu)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)”，他(ta)(ta)就(jiu)要(yao)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)，而(er)如(ru)果(guo)他(ta)(ta)給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)呢？他(ta)(ta)又屬于(yu)“給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)人(ren)(ren)”，他(ta)(ta)就(jiu)不(bu)(bu)該給(gei)自(zi)己(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)。

理(li)發(fa)(fa)師(shi)悖論(lun)與羅(luo)(luo)素(su)悖論(lun)是(shi)(shi)(shi)等價的(de)(de)(de)：如果(guo)把(ba)每個(ge)人看成(cheng)一個(ge)集合(he)(he)，這(zhe)個(ge)集合(he)(he)的(de)(de)(de)元(yuan)素(su)被定(ding)義成(cheng)這(zhe)個(ge)人刮臉(lian)的(de)(de)(de)對象。那么(me)，理(li)發(fa)(fa)師(shi)宣稱，他的(de)(de)(de)元(yuan)素(su)，都是(shi)(shi)(shi)城里不(bu)屬(shu)于(yu)自(zi)身的(de)(de)(de)那些集合(he)(he)，并且城里所(suo)有(you)不(bu)屬(shu)于(yu)自(zi)身的(de)(de)(de)集合(he)(he)都屬(shu)于(yu)他。那么(me)他是(shi)(shi)(shi)否(fou)屬(shu)于(yu)他自(zi)己？這(zhe)樣就由理(li)發(fa)(fa)師(shi)悖論(lun)得到了(le)羅(luo)(luo)素(su)悖論(lun)。反(fan)過來的(de)(de)(de)變換也是(shi)(shi)(shi)成(cheng)立的(de)(de)(de)。

“理發(fa)師悖論”是(shi)很(hen)容易解(jie)決的(de)(de)，解(jie)決的(de)(de)辦法之一(yi)就是(shi)修正理發(fa)師的(de)(de)規矩(ju)，將他(ta)自己排除在規矩(ju)之外(wai)；可是(shi)嚴格的(de)(de)羅素悖論就不是(shi)這(zhe)么容易解(jie)決的(de)(de)了。

書目悖論

一(yi)(yi)個(ge)圖書(shu)館編(bian)纂了一(yi)(yi)本(ben)書(shu)名詞典，它(ta)列出這個(ge)圖書(shu)館里(li)所有(you)不列出自(zi)己(ji)書(shu)名的書(shu)。那么它(ta)列不列出自(zi)己(ji)的書(shu)名？這個(ge)悖論與理發(fa)師悖論基本(ben)一(yi)(yi)致。

影響

十九世紀下半葉，德國數(shu)學(xue)(xue)(xue)家康托(tuo)爾(er)創(chuang)立(li)(li)了(le)著名的集(ji)合論(lun)，在(zai)集(ji)合論(lun)剛產(chan)生時，曾遭到(dao)許(xu)多人的猛烈(lie)攻擊。但不(bu)久這一(yi)(yi)開創(chuang)性成(cheng)果(guo)就為(wei)廣(guang)(guang)大(da)數(shu)學(xue)(xue)(xue)家所接受了(le)，并且獲得廣(guang)(guang)泛(fan)而高度的贊譽。數(shu)學(xue)(xue)(xue)家們發(fa)現，從(cong)自(zi)然數(shu)與康托(tuo)爾(er)集(ji)合論(lun)出發(fa)可(ke)建立(li)(li)起整個數(shu)學(xue)(xue)(xue)大(da)廈。因(yin)而集(ji)合論(lun)成(cheng)為(wei)現代數(shu)學(xue)(xue)(xue)的基石。“一(yi)(yi)切數(shu)學(xue)(xue)(xue)成(cheng)果(guo)可(ke)建立(li)(li)在(zai)集(ji)合論(lun)基礎上”這一(yi)(yi)發(fa)現使數(shu)學(xue)(xue)(xue)家們為(wei)之陶(tao)醉(zui)。

1903年(nian)，一(yi)個震驚數學(xue)界的(de)(de)(de)(de)消息傳(chuan)出：集合(he)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)是(shi)(shi)有漏洞的(de)(de)(de)(de)。這(zhe)就是(shi)(shi)英國數學(xue)家羅(luo)(luo)(luo)素提出的(de)(de)(de)(de)著名的(de)(de)(de)(de)羅(luo)(luo)(luo)素悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)。羅(luo)(luo)(luo)素的(de)(de)(de)(de)這(zhe)條(tiao)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)使集合(he)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)產生了危(wei)機(ji)。它非常淺顯易(yi)懂，而且所(suo)(suo)(suo)涉及的(de)(de)(de)(de)只是(shi)(shi)集合(he)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)中最基(ji)本(ben)的(de)(de)(de)(de)東西。所(suo)(suo)(suo)以，羅(luo)(luo)(luo)素悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)一(yi)提出就在(zai)(zai)當時的(de)(de)(de)(de)數學(xue)界與邏輯學(xue)界內引起了極大震動。德(de)國的(de)(de)(de)(de)著名邏輯學(xue)家弗雷格在(zai)(zai)他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)關(guan)于集合(he)的(de)(de)(de)(de)基(ji)礎理論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)完稿(gao)付印時，收(shou)到了羅(luo)(luo)(luo)素關(guan)于這(zhe)一(yi)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)信。他(ta)(ta)立刻發現，自(zi)己忙了很久得出的(de)(de)(de)(de)一(yi)系列(lie)結果卻(que)被(bei)這(zhe)條(tiao)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)攪得一(yi)團(tuan)糟。他(ta)(ta)只能(neng)在(zai)(zai)自(zi)己著作(zuo)的(de)(de)(de)(de)末尾寫道：“一(yi)個科(ke)學(xue)家所(suo)(suo)(suo)碰(peng)到的(de)(de)(de)(de)最倒霉(mei)的(de)(de)(de)(de)事，莫過于是(shi)(shi)在(zai)(zai)他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)工作(zuo)即將(jiang)完成時卻(que)發現所(suo)(suo)(suo)干的(de)(de)(de)(de)工作(zuo)的(de)(de)(de)(de)基(ji)礎崩潰(kui)了。”

公理化(hua)集(ji)合(he)論(lun)的(de)建立，成功排(pai)除了(le)集(ji)合(he)論(lun)中出現的(de)悖論(lun)，從而比(bi)較圓滿地解決了(le)第三(san)次數(shu)(shu)學(xue)(xue)危機。但在(zai)另一(yi)方面(mian)，羅素悖論(lun)對數(shu)(shu)學(xue)(xue)而言(yan)有(you)著更為深(shen)刻(ke)的(de)影(ying)響。它(ta)使得數(shu)(shu)學(xue)(xue)基礎問題第一(yi)次以(yi)最(zui)迫(po)切的(de)需要的(de)姿(zi)態(tai)擺到(dao)數(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)面(mian)前，導致(zhi)了(le)數(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)對數(shu)(shu)學(xue)(xue)基礎的(de)研究(jiu)。而這方面(mian)的(de)進(jin)一(yi)步發(fa)展又極其深(shen)刻(ke)地影(ying)響了(le)整個(ge)數(shu)(shu)學(xue)(xue)。如圍(wei)繞著數(shu)(shu)學(xue)(xue)基礎之爭，形(xing)成了(le)現代數(shu)(shu)學(xue)(xue)史上著名的(de)三(san)大(da)(da)數(shu)(shu)學(xue)(xue)流派，而各派的(de)工作又都促進(jin)了(le)數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)大(da)(da)發(fa)展。

于是(shi)，數(shu)學(xue)的(de)基礎被動搖了，這就是(shi)所謂的(de)第三次數(shu)學(xue)危(wei)機。

羅素的悖論發(fa)表之后，接(jie)著(zhu)又發(fa)現(xian)一(yi)系列悖論（后來歸入(ru)所(suo)謂語義(yi)悖論）：

1.理(li)查德悖論

2.培里悖(bei)論

3.格瑞林(lin)和納(na)爾遜悖論

悖論的解決

羅素(su)構造了一(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)S：S由一(yi)切不屬(shu)(shu)(shu)于(yu)自身的(de)集(ji)(ji)合(he)(he)所組(zu)成。然(ran)后羅素(su)問：s是(shi)(shi)否(fou)屬(shu)(shu)(shu)于(yu)S呢？根(gen)(gen)據排中律，一(yi)個(ge)元素(su)或者屬(shu)(shu)(shu)于(yu)某個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)，或者不屬(shu)(shu)(shu)于(yu)某個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)。因此，對于(yu)一(yi)個(ge)給定集(ji)(ji)合(he)(he)，問是(shi)(shi)否(fou)屬(shu)(shu)(shu)于(yu)它(ta)自己是(shi)(shi)有意(yi)義(yi)的(de)。但(dan)對這個(ge)看似合(he)(he)理(li)的(de)問題的(de)回答卻會陷(xian)入(ru)兩難境(jing)地。如果s屬(shu)(shu)(shu)于(yu)S，根(gen)(gen)據S的(de)定義(yi)，s就(jiu)不屬(shu)(shu)(shu)于(yu)S；反之，如果s不屬(shu)(shu)(shu)于(yu)S，同樣根(gen)(gen)據定義(yi)，s就(jiu)屬(shu)(shu)(shu)于(yu)S。無論如何都是(shi)(shi)矛盾的(de)。

羅素悖(bei)論(lun)(lun)提出后，數學家們(men)紛紛提出自己(ji)的(de)(de)解(jie)決(jue)方案。人們(men)希望能夠通過(guo)(guo)對康托(tuo)爾(er)的(de)(de)集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)(lun)進行改(gai)造，通過(guo)(guo)對集(ji)(ji)合(he)(he)定(ding)義加以(yi)限制來排除悖(bei)論(lun)(lun)，這(zhe)就需要建(jian)立新的(de)(de)原則。“這(zhe)些(xie)原則必(bi)須(xu)足(zu)夠狹窄，以(yi)保(bao)證排除一(yi)切矛盾；另一(yi)方面又必(bi)須(xu)充分廣闊，使(shi)康托(tuo)爾(er)集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)(lun)中一(yi)切有(you)(you)價值(zhi)的(de)(de)內容得以(yi)保(bao)存下來。”解(jie)決(jue)這(zhe)一(yi)悖(bei)論(lun)(lun)主要有(you)(you)兩種選擇(ze)，ZF公理系(xi)統和NBG公理系(xi)統。

1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在自己這(zhe)一原則基礎(chu)上(shang)提出第一個(ge)(ge)公(gong)理化(hua)集(ji)(ji)合(he)(he)論體系(xi)(xi)，后來(lai)這(zhe)一公(gong)理化(hua)集(ji)(ji)合(he)(he)系(xi)(xi)統(tong)很大程度上(shang)彌補(bu)了康托(tuo)爾(er)樸素集(ji)(ji)合(he)(he)論的缺陷。這(zhe)一公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)在通(tong)過弗蘭(lan)克爾(er)（Abraham Fraenkel）的改進后被稱為ZF公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)。在該公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)中，由于(yu)(yu)分類公(gong)理（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)x的一個(ge)(ge)性(xing)質，對(dui)任意已(yi)知(zhi)集(ji)(ji)合(he)(he)A，存在一個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)B使得對(dui)所有元(yuan)素x∈B當(dang)且(qie)僅當(dang)x∈A且(qie)P(x)；因(yin)此{x∣x是(shi)一個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)}并(bing)不(bu)能在該系(xi)(xi)統(tong)中寫成一個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)，由于(yu)(yu)它并(bing)不(bu)是(shi)任何已(yi)知(zhi)集(ji)(ji)合(he)(he)的子集(ji)(ji)；并(bing)且(qie)通(tong)過該公(gong)理，存在集(ji)(ji)合(he)(he)A={x∣x是(shi)一個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)}在ZF系(xi)(xi)統(tong)中能被證(zheng)明是(shi)矛盾的，因(yin)此羅素悖論在該系(xi)(xi)統(tong)中被避免了。

除ZF系(xi)統(tong)外(wai)，集(ji)(ji)(ji)合論的公理系(xi)統(tong)還有(you)多種，如(ru)馮(feng)·諾伊(yi)曼(man)（von Neumann）等(deng)人提出的NBG系(xi)統(tong)等(deng)。在該(gai)公理系(xi)統(tong)中，所有(you)包(bao)含集(ji)(ji)(ji)合的"collection"都能被稱(cheng)為(wei)類(lei)(class)，凡是(shi)集(ji)(ji)(ji)合也能被稱(cheng)為(wei)類(lei)，但是(shi)某些(xie)collection太(tai)大(da)了（比如(ru)一(yi)個(ge)(ge)(ge)collection包(bao)含所有(you)集(ji)(ji)(ji)合）以至于不能是(shi)一(yi)個(ge)(ge)(ge)集(ji)(ji)(ji)合，因此只能是(shi)個(ge)(ge)(ge)類(lei)。這同樣也避免了羅素悖(bei)論。