朱世(shi)杰“以數(shu)學名家周(zhou)游湖海(hai)二十余年”,“踵(zhong)門而學者云集”(莫若、祖頤:《四元玉鑒》后序)。
宋元時(shi)期,中(zhong)國數(shu)學鼎盛時(shi)期中(zhong)杰(jie)出的(de)數(shu)學家(jia)(jia)有“秦九(jiu)(jiu)韶、李冶、楊輝、朱(zhu)(zhu)(zhu)世杰(jie)四大(da)家(jia)(jia)”,朱(zhu)(zhu)(zhu)世杰(jie)就是其中(zhong)之一(yi)。朱(zhu)(zhu)(zhu)世杰(jie)是一(yi)位平民數(shu)學家(jia)(jia)和數(shu)學教育家(jia)(jia)。朱(zhu)(zhu)(zhu)世杰(jie)平生勤(qin)力研習(xi)《九(jiu)(jiu)章算(suan)術》,旁通其它(ta)各種算(suan)法,成(cheng)為元代著(zhu)名數(shu)學家(jia)(jia)。
元(yuan)統一(yi)中國后,朱世(shi)杰(jie)曾以數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家的(de)(de)身份周游各地20余(yu)年(nian),向(xiang)他(ta)(ta)求學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)人很多,他(ta)(ta)到廣(guang)陵(今揚(yang)州)時“踵門(men)而學(xue)(xue)(xue)者(zhe)云集”。他(ta)(ta)全(quan)面繼承了前人數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)成(cheng)果(guo),既吸(xi)收(shou)了北方的(de)(de)天(tian)元(yuan)術(shu),又吸(xi)收(shou)了南(nan)方的(de)(de)正負開方術(shu)、各種日用算法及通俗歌訣,在此基礎上進行了創造性(xing)的(de)(de)研究,寫成(cheng)以總結和普及當(dang)時各種數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)知識為宗(zong)旨的(de)(de)《算學(xue)(xue)(xue)啟蒙(meng)》(3卷),又寫成(cheng)四元(yuan)術(shu)的(de)(de)代表作(zuo)--《四元(yuan)玉鑒》(3卷),先后于:1299年(nian)和1303年(nian)刊印.《算學(xue)(xue)(xue)啟蒙(meng)》由淺入深,從(cong)一(yi)位數(shu)(shu)乘法開始,一(yi)直講到當(dang)時的(de)(de)最新數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)成(cheng)果(guo)――天(tian)元(yuan)術(shu),形成(cheng)一(yi)個(ge)完整體系。
書(shu)中明確提(ti)出(chu)正負(fu)數乘(cheng)(cheng)法(fa)(fa)(fa)(fa)法(fa)(fa)(fa)(fa)則(ze),給出(chu)倒數的(de)(de)概念和(he)基本(ben)性質,概括出(chu)若(ruo)干新的(de)(de)乘(cheng)(cheng)法(fa)(fa)(fa)(fa)公(gong)式和(he)根式運算法(fa)(fa)(fa)(fa)則(ze),總(zong)結(jie)了若(ruo)干乘(cheng)(cheng)除(chu)捷算口訣,并(bing)把設輔(fu)助未知數的(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)用于(yu)解(jie)線性方(fang)程組.《四元(yuan)玉鑒》的(de)(de)主要內(nei)容(rong)是四元(yuan)術(shu),即(ji)多元(yuan)高次方(fang)程組的(de)(de)建立和(he)求解(jie)方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa).秦九韶的(de)(de)高次方(fang)程數值解(jie)法(fa)(fa)(fa)(fa)和(he)李(li)冶的(de)(de)天元(yuan)術(shu)都被包(bao)含在內(nei).
在(zai)(zai)宋元(yuan)(yuan)時期的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)群(qun)英中,朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)工(gong)作(zuo)(zuo)具(ju)(ju)有(you)特殊重要(yao)的(de)(de)意(yi)(yi)義.如果把諸(zhu)多數(shu)(shu)學(xue)家比作(zuo)(zuo)群(qun)山(shan),則朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)(jie)是最高(gao)(gao)(gao)大、最雄偉的(de)(de)山(shan)峰.站在(zai)(zai)朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)(jie)數(shu)(shu)學(xue)思(si)(si)想(xiang)的(de)(de)高(gao)(gao)(gao)度俯嫩傳(chuan)統數(shu)(shu)學(xue),會(hui)有(you)"一(yi)覽(lan)眾山(shan)小"之(zhi)(zhi)(zhi)感(gan).來(lai)世(shi)(shi)杰(jie)(jie)工(gong)作(zuo)(zuo)的(de)(de)意(yi)(yi)義就在(zai)(zai)于總(zong)結了(le)(le)宋元(yuan)(yuan)數(shu)(shu)學(xue),使(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)在(zai)(zai)理(li)(li)(li)論上(shang)達到(dao)新的(de)(de)高(gao)(gao)(gao)度.這(zhe)(zhe)主要(yao)表現在(zai)(zai)以(yi)下三(san)個領域.首先是方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)理(li)(li)(li)論.在(zai)(zai)列方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)方(fang)(fang)(fang)面(mian),蔣周(zhou)的(de)(de)演段(duan)法為天(tian)(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)作(zuo)(zuo)了(le)(le)準備(bei)工(gong)作(zuo)(zuo),他(ta)已(yi)具(ju)(ju)有(you)尋找等值多項(xiang)式(shi)的(de)(de)思(si)(si)想(xiang),洞淵馬(ma)與信道是天(tian)(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)先驅,但他(ta)們(men)推導方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)仍受幾何思(si)(si)維的(de)(de)束(shu)縛(fu),李冶基(ji)(ji)本(ben)上(shang)擺脫了(le)(le)這(zhe)(zhe)種(zhong)束(shu)縛(fu),總(zong)結出一(yi)套固定(ding)的(de)(de)天(tian)(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)序(xu),使(shi)天(tian)(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)進入成熟階(jie)段(duan).在(zai)(zai)解(jie)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)方(fang)(fang)(fang)面(mian),賈(jia)憲給出增乘開(kai)方(fang)(fang)(fang)法,劉(liu)益則用正(zheng)負開(kai)方(fang)(fang)(fang)術(shu)(shu)(shu)(shu)求出四次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)正(zheng)根(gen),秦九韶在(zai)(zai)此(ci)基(ji)(ji)礎上(shang)解(jie)決(jue)了(le)(le)高(gao)(gao)(gao)次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)的(de)(de)數(shu)(shu)值解(jie)法問題.至此(ci),一(yi)元(yuan)(yuan)高(gao)(gao)(gao)次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)的(de)(de)建(jian)立和(he)求解(jie)都(dou)已(yi)實現.而線(xian)性(xing)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)組古已(yi)有(you)之(zhi)(zhi)(zhi),所以(yi)具(ju)(ju)備(bei)了(le)(le)多元(yuan)(yuan)高(gao)(gao)(gao)次方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)組產生的(de)(de)條件.李德載的(de)(de)二元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)和(he)劉(liu)大鑒(jian)的(de)(de)三(san)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)相繼(ji)出現,朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)四元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)正(zheng)是對二元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)、三(san)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)總(zong)結與提(ti)高(gao)(gao)(gao).由(you)于四元(yuan)(yuan)已(yi)把常數(shu)(shu)項(xiang)的(de)(de)上(shang)下左右占滿,方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)理(li)(li)(li)論發展到(dao)這(zhe)(zhe)里,顯然就告(gao)一(yi)段(duan)落了(le)(le).從方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)種(zhong)類(lei)看(kan),天(tian)(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)(shu)產生之(zhi)(zhi)(zhi)前的(de)(de)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)都(dou)是整式(shi)方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)(cheng)。
從(cong)(cong)洞淵(yuan)到(dao)(dao)李(li)冶,分式方程(cheng)逐漸得(de)到(dao)(dao)發展.而(er)朱(zhu)(zhu)世杰(jie),則突破(po)了(le)有(you)理式的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)限制(zhi),開(kai)始處理無理方程(cheng).其次(ci)(ci)是(shi)高階(jie)等(deng)(deng)差(cha)(cha)(cha)級(ji)數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究(jiu).沈括(kuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)隙積(ji)術(shu)開(kai)研(yan)究(jiu)高階(jie)等(deng)(deng)差(cha)(cha)(cha)級(ji)數(shu)之先河(he),楊輝給(gei)出包括(kuo)隙積(ji)術(shu)在(zai)內(nei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)系(xi)(xi)列二階(jie)等(deng)(deng)差(cha)(cha)(cha)級(ji)數(shu)求和公(gong)(gong)式.朱(zhu)(zhu)世杰(jie)則在(zai)此(ci)基(ji)礎上(shang)依次(ci)(ci)研(yan)究(jiu)了(le)二階(jie)、三(san)階(jie)、四(si)階(jie)乃至(zhi)五(wu)階(jie)等(deng)(deng)差(cha)(cha)(cha)級(ji)數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)求和問(wen)題,從(cong)(cong)而(er)發現(xian)其規律,掌(zhang)握了(le)三(san)角垛(duo)統一(yi)公(gong)(gong)式.他(ta)還發現(xian)了(le)垛(duo)積(ji)術(shu)與內(nei)插法的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)內(nei)在(zai)聯系(xi)(xi),利用垛(duo)積(ji)公(gong)(gong)式給(gei)出規范的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)四(si)次(ci)(ci)內(nei)插公(gong)(gong)式.第三(san)是(shi)幾(ji)何學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)究(jiu).宋代以前,幾(ji)何研(yan)究(jiu)離不開(kai)勾股和面積(ji)、體(ti)(ti)積(ji).蔣周的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《益古集》也是(shi)以面積(ji)問(wen)題為研(yan)究(jiu)對(dui)象(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de).李(li)冶開(kai)始注意(yi)(yi)到(dao)(dao)圓城(cheng)因式中各(ge)(ge)元素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi),得(de)到(dao)(dao)一(yi)些定(ding)理,但未能(neng)推廣到(dao)(dao)更一(yi)般的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情形.朱(zhu)(zhu)世杰(jie)不僅(jin)總結了(le)前人的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)勾股及求積(ji)理論,而(er)且在(zai)李(li)冶思想(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎上(shang)更進一(yi)步,深(shen)入研(yan)究(jiu)了(le)勾股形內(nei)及圓內(nei)各(ge)(ge)幾(ji)何元素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)量關系(xi)(xi),發現(xian)了(le)兩個重要定(ding)理--射影定(ding)理和弦冪定(ding)理.他(ta)在(zai)立體(ti)(ti)幾(ji)何中也開(kai)始注意(yi)(yi)到(dao)(dao)圖形內(nei)各(ge)(ge)元素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi).朱(zhu)(zhu)世杰(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作,使得(de)幾(ji)何研(yan)究(jiu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)象(xiang)由圖形整體(ti)(ti)深(shen)入到(dao)(dao)圖形內(nei)部(bu),體(ti)(ti)現(xian)了(le)數(shu)學思想(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)進步。
朱世杰長期從事數(shu)學(xue)(xue)(xue)研究和(he)(he)教育事業,以數(shu)學(xue)(xue)(xue)名家周(zhou)游各地20多(duo)年(nian),四(si)方登(deng)門來學(xue)(xue)(xue)習的人很多(duo)。朱世杰數(shu)學(xue)(xue)(xue)代(dai)表作有《算(suan)學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》(1299)和(he)(he)《四(si)元玉鑒(jian)》(1303)。《算(suan)學(xue)(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》是一(yi)部(bu)通俗數(shu)學(xue)(xue)(xue)名著,曾流傳海外(wai),影響(xiang)了(le)朝鮮、日本數(shu)學(xue)(xue)(xue)的發展(zhan)。《四(si)元玉鑒(jian)》則是中(zhong)國宋元數(shu)學(xue)(xue)(xue)高(gao)(gao)峰的又一(yi)個(ge)標志,其中(zhong)最(zui)杰出的數(shu)學(xue)(xue)(xue)創作有“四(si)元術”(多(duo)元高(gao)(gao)次方程列式(shi)與消元解(jie)法(fa))、“垛(duo)積法(fa)”(高(gao)(gao)階(jie)等(deng)差(cha)數(shu)列求和(he)(he))與“招差(cha)術”(高(gao)(gao)次內(nei)插法(fa))。
朱(zhu)世杰在數學(xue)科學(xue)上,全(quan)(quan)面(mian)(mian)地繼承了秦九韶、李冶、楊輝的(de)數學(xue)成(cheng)就,并給予創(chuang)造性的(de)發展,寫出了《算學(xue)啟蒙》、《四元(yuan)玉(yu)鑒》等著名(ming)作品(pin),把我國(guo)古(gu)代數學(xue)推(tui)向更高(gao)的(de)境界(jie),形成(cheng)宋元(yuan)時(shi)(shi)期中國(guo)數學(xue)的(de)最(zui)高(gao)峰。《算學(xue)啟蒙》是朱(zhu)世杰在元(yuan)成(cheng)宗大德三(san)年(1299)刊印(yin)的(de),全(quan)(quan)書共三(san)卷,20門(men),總計(ji)259個問題和相應的(de)解答(da)。這部(bu)書從乘除運算起,一直講(jiang)到(dao)當(dang)時(shi)(shi)數學(xue)發展的(de)最(zui)高(gao)成(cheng)就“天(tian)元(yuan)術”,全(quan)(quan)面(mian)(mian)介紹了當(dang)時(shi)(shi)數學(xue)所包(bao)含的(de)各方(fang)面(mian)(mian)內容。
它(ta)的(de)體系完整,內(nei)容深入淺出,通(tong)俗易懂(dong),是(shi)一(yi)部很(hen)著(zhu)(zhu)名的(de)啟蒙讀物。這部著(zhu)(zhu)作(zuo)后來流傳(chuan)到朝(chao)鮮、日本等(deng)國,出版過翻刻本和注釋本,產生過一(yi)定的(de)影(ying)響。而(er)《四元(yuan)玉(yu)鑒》更是(shi)一(yi)部成(cheng)就(jiu)輝煌的(de)數(shu)學名著(zhu)(zhu)。它(ta)受到近代數(shu)學史研究者的(de)高度評價,認(ren)為是(shi)中國古(gu)代數(shu)學科學著(zhu)(zhu)作(zuo)中最重要的(de)、最有貢(gong)獻的(de)一(yi)部數(shu)學名著(zhu)(zhu)。《四元(yuan)玉(yu)鑒》成(cheng)書于大德七(qi)年(1303),共三卷(juan),24門,288問(wen),介紹了朱(zhu)世杰在多元(yuan)高次方程組的(de)解法——四元(yuan)術(shu),以(yi)及高階等(deng)差(cha)級數(shu)的(de)計算——垛積術(shu)、招差(cha)術(shu)等(deng)方面的(de)研究和成(cheng)果。
“天元術”是(shi)設“天元為(wei)某(mou)某(mou)”,即某(mou)某(mou)為(wei)x。但當未知數(shu)(shu)(shu)不止(zhi)一(yi)(yi)個(ge)的(de)(de)時(shi)候(hou),除設未知數(shu)(shu)(shu)天元(x)外,還需設地元(y)、人(ren)元(z)及物元(u),再列出(chu)二元、三(san)元甚至(zhi)四元的(de)(de)高(gao)(gao)次(ci)聯(lian)(lian)方(fang)程組,然后求(qiu)解(jie)。這在(zai)歐洲,解(jie)聯(lian)(lian)立(li)一(yi)(yi)次(ci)方(fang)程開始于16世(shi)紀(ji),關于多元高(gao)(gao)次(ci)聯(lian)(lian)立(li)方(fang)程的(de)(de)研(yan)究還是(shi)18至(zhi)19世(shi)紀(ji)的(de)(de)事了(le)。朱世(shi)杰的(de)(de)另一(yi)(yi)重大貢獻(xian)是(shi)對于“垛(duo)積術”的(de)(de)研(yan)究。他(ta)對于一(yi)(yi)系(xi)列新的(de)(de)垛(duo)形的(de)(de)級數(shu)(shu)(shu)求(qiu)和(he)問(wen)題作了(le)研(yan)究,從中(zhong)歸納為(wei)“三(san)角垛(duo)”的(de)(de)公式,實際上得到了(le)這一(yi)(yi)類任意高(gao)(gao)階等差級數(shu)(shu)(shu)求(qiu)和(he)問(wen)題的(de)(de)系(xi)統、普遍的(de)(de)解(jie)法。朱世(shi)杰還把三(san)角垛(duo)公式引用(yong)到“招(zhao)差術”中(zhong),指出(chu)招(zhao)差公式中(zhong)的(de)(de)系(xi)數(shu)(shu)(shu)恰好(hao)依(yi)次(ci)是(shi)各三(san)角垛(duo)的(de)(de)積,這樣就(jiu)得到了(le)包含有四次(ci)差的(de)(de)招(zhao)差公式。
他(ta)還把這個(ge)(ge)招(zhao)差公(gong)式推廣為(wei)包含(han)任意高次差的(de)(de)(de)招(zhao)差公(gong)式,這在世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學史(shi)上是(shi)(shi)第一次,比(bi)歐(ou)洲牛頓的(de)(de)(de)同樣(yang)成(cheng)就要(yao)早(zao)近(jin)4個(ge)(ge)世(shi)(shi)紀(ji)。正因為(wei)如此(ci)(ci),朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)(jie)和(he)他(ta)的(de)(de)(de)著作(zuo)《四(si)元(yuan)(yuan)玉(yu)鑒(jian)》才享(xiang)有巨大的(de)(de)(de)國(guo)(guo)(guo)際聲譽。近(jin)代日本(ben)、法(fa)國(guo)(guo)(guo)、美(mei)國(guo)(guo)(guo)、比(bi)利時(shi)(shi)以及亞、歐(ou)、美(mei)許多國(guo)(guo)(guo)家都有人向(xiang)本(ben)國(guo)(guo)(guo)介紹《四(si)元(yuan)(yuan)玉(yu)鑒(jian)》。美(mei)國(guo)(guo)(guo)已(yi)故的(de)(de)(de)著名的(de)(de)(de)科學史(shi)家薩頓是(shi)(shi)這樣(yang)評說朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)(jie)的(de)(de)(de):“(朱(zhu)世(shi)(shi)杰(jie)(jie))是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)華民族的(de)(de)(de)、他(ta)所生(sheng)活的(de)(de)(de)時(shi)(shi)代的(de)(de)(de)、同時(shi)(shi)也是(shi)(shi)貫穿古(gu)今的(de)(de)(de)一位最(zui)(zui)杰(jie)(jie)出(chu)的(de)(de)(de)數(shu)學科學家。”“《四(si)元(yuan)(yuan)玉(yu)鑒(jian)》是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)(guo)(guo)數(shu)學著作(zuo)中(zhong)(zhong)最(zui)(zui)重要(yao)的(de)(de)(de),同時(shi)(shi)也是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)世(shi)(shi)紀(ji)最(zui)(zui)杰(jie)(jie)出(chu)的(de)(de)(de)數(shu)學著作(zuo)之一。它是(shi)(shi)世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學寶(bao)庫中(zhong)(zhong)不可多得的(de)(de)(de)瑰寶(bao)。”從此(ci)(ci)中(zhong)(zhong)可以看出(chu),宋元(yuan)(yuan)時(shi)(shi)期(qi)的(de)(de)(de)科學家及其(qi)著作(zuo),在世(shi)(shi)界(jie)數(shu)學史(shi)上起到了不可估量(liang)的(de)(de)(de)作(zuo)用。
朱世(shi)杰的(de)主要(yao)貢獻是創造(zao)了一套完整的(de)消(xiao)未知數(shu)方(fang)法(fa),稱(cheng)為(wei)(wei)四元(yuan)(yuan)消(xiao)法(fa).這種方(fang)法(fa)在世(shi)界上(shang)長期(qi)處(chu)于領(ling)先地位,直(zhi)到(dao)18世(shi)紀,法(fa)國(guo)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)貝(bei)祖(zu)(Bezout)提出一般的(de)高(gao)次(ci)方(fang)程(cheng)組解(jie)法(fa),才超過(guo)朱世(shi)杰。除了四元(yuan)(yuan)術以(yi)外,《四元(yuan)(yuan)玉鑒》中(zhong)還(huan)有(you)兩項重要(yao)成就,即創立了一般的(de)高(gao)階(jie)等差(cha)級數(shu)求(qiu)和公式及等間距四次(ci)內插法(fa)公式,后者通(tong)常稱(cheng)為(wei)(wei)招差(cha)術.此書代表(biao)著宋元(yuan)(yuan)數(shu)學(xue)(xue)的(de)最(zui)高(gao)水平,美國(guo)科學(xue)(xue)史家(jia)薩頓(G.Sarton)稱(cheng)贊它(ta)“是中(zhong)國(guo)數(shu)學(xue)(xue)著作中(zhong)最(zui)重要(yao)的(de)一部,同(tong)時也是中(zhong)世(shi)紀的(de)杰出數(shu)學(xue)(xue)著作之一”。朱世(shi)杰處(chu)于中(zhong)國(guo)傳(chuan)統數(shu)學(xue)(xue)發展的(de)鼎盛時期(qi),當時社會(hui)上(shang)“尊崇(chong)算(suan)學(xue)(xue),科目漸(jian)興”,數(shu)學(xue)(xue)著作廣為(wei)(wei)傳(chuan)播。
對多(duo)(duo)元(yuan)高(gao)(gao)(gao)次方(fang)(fang)(fang)程組解(jie)法(fa)、高(gao)(gao)(gao)階等差(cha)級數求和,高(gao)(gao)(gao)次內插(cha)法(fa)都(dou)有(you)深入(ru)研究,他(ta)著有(you)《算學(xue)啟蒙》(1299年(nian))、《四(si)元(yuan)玉(yu)鑒(jian)》(1303年(nian))各3卷,在后者中討論(lun)了多(duo)(duo)達四(si)元(yuan)的高(gao)(gao)(gao)次聯立方(fang)(fang)(fang)程組解(jie)法(fa),聯系在一起的多(duo)(duo)項式(shi)(shi)的表達和運算以(yi)及消去法(fa),已接近(jin)(jin)近(jin)(jin)世(shi)代數學(xue),處(chu)于(yu)世(shi)界(jie)領先地位,他(ta)通(tong)曉高(gao)(gao)(gao)次招差(cha)法(fa)公式(shi)(shi),比西方(fang)(fang)(fang)早四(si)百年(nian),中外數學(xue)史家都(dou)高(gao)(gao)(gao)度評價朱世(shi)杰和他(ta)的名著《四(si)元(yuan)玉(yu)鑒(jian)》。
從天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術推廣到二元(yuan)(yuan)(yuan)、三元(yuan)(yuan)(yuan)和(he)四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)的(de)高次聯(lian)立方程組,是宋(song)元(yuan)(yuan)(yuan)數學家的(de)又一項杰出的(de)創(chuang)(chuang)造。留傳(chuan)至今(jin),并(bing)對這一杰出創(chuang)(chuang)造進行系(xi)統論述的(de)是朱世(shi)杰的(de)《四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)玉(yu)鑒》。《四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)玉(yu)鑒》成(cheng)書(shu)于1303年。全書(shu)共3卷,24門(men),288問,主要論述高次方程組的(de)解(jie)法(這也(ye)是朱世(shi)杰的(de)最大貢獻)、高階等差級數求和(he)以及高次內插(cha)法等內容(rong)。是流傳(chuan)至今(jin)且對四(si)元(yuan)(yuan)(yuan)術進行系(xi)統論述的(de)重(zhong)要代表作。
在天元(yuan)術的(de)(de)基礎上(shang)(shang)(shang)(shang),朱世杰建立(li)(li)了“四(si)(si)元(yuan)高(gao)次(ci)方(fang)(fang)程理論”,他把常(chang)數項(xiang)放在中央(即“太”),然(ran)后(hou)“立(li)(li)天元(yuan)一(yi)(yi)于(yu)(yu)下,地元(yuan)一(yi)(yi)于(yu)(yu)左,人(ren)元(yuan)一(yi)(yi)于(yu)(yu)右,物(wu)元(yuan)一(yi)(yi)于(yu)(yu)上(shang)(shang)(shang)(shang)”,“天、地、人(ren)、物(wu)”這(zhe)四(si)(si)“元(yuan)”代表(biao)未知數,(即相當(dang)于(yu)(yu)如今的(de)(de)x、y、z、w,)四(si)(si)元(yuan)的(de)(de)各(ge)(ge)次(ci)冪放在上(shang)(shang)(shang)(shang)、下、左、右四(si)(si)個(ge)(ge)方(fang)(fang)向上(shang)(shang)(shang)(shang),其(qi)它(ta)各(ge)(ge)項(xiang)放在四(si)(si)個(ge)(ge)象限中。如果用(yong)現代的(de)(de)x、y、z、w表(biao)示天、地、人(ren)、物(wu),那我(wo)們可以把朱世杰列高(gao)次(ci)多元(yuan)方(fang)(fang)程的(de)(de)方(fang)(fang)法表(biao)示:而上(shang)(shang)(shang)(shang)面的(de)(de)兩個(ge)(ge)圖形“四(si)(si)元(yuan)一(yi)(yi)次(ci)籌式”與“四(si)(si)元(yuan)二次(ci)籌式”所表(biao)示的(de)(de)方(fang)(fang)程分別為:x+y+z+w=0
用上述方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)列(lie)(lie)出(chu)四(si)元高(gao)次方(fang)(fang)(fang)(fang)程后(hou),再聯(lian)立方(fang)(fang)(fang)(fang)程組(zu)(zu)進行解方(fang)(fang)(fang)(fang)程組(zu)(zu),方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)是用消元方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)解答,先擇一(yi)元為未(wei)知(zhi)數(shu),其它元組(zu)(zu)成的多項式(shi)作為這(zhe)未(wei)知(zhi)數(shu)的系(xi)(xi)數(shu),然(ran)后(hou)把四(si)元四(si)式(shi)消去(qu)一(yi)元,變(bian)成三(san)元三(san)式(shi),再消去(qu)一(yi)元變(bian)二(er)(er)元二(er)(er)式(shi),再消去(qu)一(yi)元,就得到只含一(yi)元的天元開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)式(shi),然(ran)后(hou)用增乘(cheng)開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)求得正根(gen)。這(zhe)是線性方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)(fa)組(zu)(zu)解法(fa)(fa)的重大(da)發展,在(zai)西方(fang)(fang)(fang)(fang),較(jiao)有系(xi)(xi)統地研究多元方(fang)(fang)(fang)(fang)程組(zu)(zu)要等(deng)到16世(shi)紀。高(gao)階等(deng)差級數(shu)求和與高(gao)次內插法(fa)(fa)也是《四(si)元玉(yu)鑒》的重要內容。由(you)許多求和問題中的一(yi)系(xi)(xi)列(lie)(lie)三(san)角垛公(gong)式(shi)可歸納得公(gong)式(shi)。朱(zhu)世(shi)杰(jie)給(gei)出(chu)了上式(shi)中當p=1,2,……6時的公(gong)式(shi)。此外,還有其它高(gao)階等(deng)差級數(shu)求和公(gong)式(shi)。在(zai)招差法(fa)(fa)方(fang)(fang)(fang)(fang)面(mian),朱(zhu)世(shi)杰(jie)相(xiang)當于(yu)給(gei)出(chu)了招差公(gong)式(shi),這(zhe)比西方(fang)(fang)(fang)(fang)要早400多年。
美國(guo)著(zhu)名的(de)科學(xue)史家薩(sa)頓評(ping)論說(shuo):“朱世杰是他所生存時代的(de),同時也(ye)是貫穿古今的(de)一(yi)(yi)位(wei)(wei)最杰出(chu)的(de)數(shu)(shu)學(xue)家”,《四元玉鑒(jian)》是“中(zhong)國(guo)數(shu)(shu)學(xue)著(zhu)作中(zhong)最重要(yao)的(de)一(yi)(yi)部,同時也(ye)是整(zheng)個(ge)中(zhong)世紀最杰出(chu)的(de)數(shu)(shu)學(xue)著(zhu)作之一(yi)(yi)。”朱世杰不僅是一(yi)(yi)名杰出(chu)的(de)數(shu)(shu)學(xue)家,他還(huan)是一(yi)(yi)位(wei)(wei)數(shu)(shu)學(xue)教育家,曾周游四方(fang)(fang)各(ge)地,教授生徒(tu)20余年。并親自編(bian)著(zhu)數(shu)(shu)學(xue)入門書,稱為(wei)《算學(xue)啟蒙(meng)》。在(zai)《算學(xue)啟蒙(meng)》卷下中(zhong),朱世杰提出(chu)已知勾弦和、股(gu)弦和求解勾股(gu)形的(de)方(fang)(fang)法,補充了(le)《九章算術》的(de)不足(zu)。
“燕(yan)山(shan)朱松庭先生(sheng)”,是元朝時(shi)代(dai)(dai)的(de)一(yi)(yi)位杰出的(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家。所寫的(de)《四元玉鑒》和《算(suan)學(xue)(xue)啟蒙》,是中國古代(dai)(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)發(fa)展進程(cheng)中的(de)一(yi)(yi)個重要的(de)里程(cheng)碑,是中國古代(dai)(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)一(yi)(yi)份寶(bao)貴的(de)遺產。13世紀中葉,朱世杰除了接受北方的(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)成就之(zhi)外,他(ta)也(ye)吸收了南方的(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)成就,尤其是各(ge)種日(ri)用算(suan)法、商用算(suan)術和通俗化的(de)歌(ge)訣等等。
朱世杰(jie)曾“周游(you)四方”,莫若(古代數學(xue)(xue)家)序中有(you)(you)“燕山松庭朱先(xian)生(sheng)以數學(xue)(xue)名家周游(you)湖海(hai)二(er)十余(yu)年矣(yi)。四方之(zhi)來學(xue)(xue)者(zhe)日眾,先(xian)生(sheng)遂發明(ming)《九章》之(zhi)妙,以淑后(hou)圖(tu)學(xue)(xue),為(wei)書(shu)三(san)卷……名曰(yue)《四元玉(yu)鑒》”,祖(zu)頤后(hou)序中亦有(you)(you)“漢卿名世杰(jie),松庭其自號也。周流四方,復(fu)游(you)廣陵(ling),踵門而學(xue)(xue)者(zhe)云集”。經(jing)過長期的(de)(de)游(you)學(xue)(xue)、講學(xue)(xue)等活動(dong),終于在(zai)(zai)1299年和1303年,在(zai)(zai)揚州,刊刻了他的(de)(de)兩部數學(xue)(xue)杰(jie)作——《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》和《四元玉(yu)鑒》。楊(yang)輝書(shu)中的(de)(de)歸除歌訣在(zai)(zai)朱世杰(jie)所(suo)著《算學(xue)(xue)啟(qi)蒙(meng)》中有(you)(you)了進一步的(de)(de)發展。
清(qing)羅士琳認為:“漢(han)卿在宋(song)元(yuan)間,與秦(qin)道古(即秦(qin)九韶)、李仁卿可稱鼎足而(er)三。道古正負(fu)開方(fang),漢(han)卿天元(yuan)如積皆足上下千古,漢(han)卿又(you)兼包眾有,充類(lei)盡量,神而(er)明之,尤超越(yue)乎秦(qin)、李之上”。清(qing)代數學家(jia)王鑒也說:“朱(zhu)松庭先生兼秦(qin)、李之所(suo)長,成一家(jia)之著作(zuo)(zuo)”。朱(zhu)世(shi)杰全面繼(ji)承了并(bing)創造(zao)性地發揚了天元(yuan)術、正負(fu)開方(fang)法等(deng)秦(qin)、李書中(zhong)所(suo)載的數學成就之外(wai),還(huan)囊括了楊輝書中(zhong)的日用(yong)、商用(yong)、歸除(chu)歌訣之類(lei)與當時社(she)會生活(huo)密切相關的各種算法,并(bing)作(zuo)(zuo)了新的發展。