一行（公元(yuan)683年(nian)～公元(yuan)727年(nian)），佛法名號。中國唐代著名的天文(wen)學家和釋學家，本名張遂(sui)，魏州昌樂（今河(he)南省(sheng)南樂縣）人。
張遂的(de)曾(ceng)祖(zu)是唐太(tai)宗李世民的(de)功臣、襄州都督、郯(tan)國公張公謹。其父張擅為武功縣令。張氏(shi)家族在(zai)(zai)武則天(tian)時代已經(jing)衰微。張遂自幼生活在(zai)(zai)關中，刻(ke)苦學習歷象和(he)陰陽(yang)五行(xing)之學。青年時代即以學識(shi)淵博聞名于長安(an)。為避開武則天(tian)侄的(de)糾(jiu)纏(chan)，剃(ti)度(du)為僧，取名一行(xing)。先后在(zai)(zai)嵩山、天(tian)臺山、當陽(yang)山學習釋(shi)教(jiao)經(jing)典和(he)天(tian)文數學。曾(ceng)翻譯(yi)過多種印度(du)佛經(jing)，后成為佛教(jiao)一派——密宗的(de)領袖(xiu)。
唐朝開元九年(nian)（公元721年(nian)），因(yin)為李淳風(feng)的《麟德(de)歷(li)(li)》幾次預報日(ri)食不準，玄宗(zong)命一行(xing)主持(chi)修編新歷(li)(li)。一行(xing)一生中(zhong)最主要的成就(jiu)是編制(zhi)《大(da)(da)衍歷(li)(li)》，他在制(zhi)造(zao)天文(wen)儀器、觀測天象和主持(chi)天文(wen)大(da)(da)地(di)測量方面有很大(da)(da)貢獻。
幼(you)年(nian)時，一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)家(jia)庭貧困，經常(chang)得(de)(de)到(dao)(dao)鄰居王(wang)(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)接濟。一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)做(zuo)了(le)(le)(le)(le)天(tian)子(zi)之師常(chang)想起(qi)王(wang)(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)。然而尚來不(bu)(bu)(bu)(bu)及報答，王(wang)(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)已(yi)(yi)找上門來。兒子(zi)殺人(ren)犯罪，王(wang)(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)想讓一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)出(chu)面求求情(qing)。一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)明白殺人(ren)償(chang)命，國(guo)法(fa)難違。他(ta)說：姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)是(shi)(shi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)的恩(en)人(ren)，要(yao)(yao)錢要(yao)(yao)物要(yao)(yao)多少一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)都應(ying)當(dang)滿足，此(ci)事(shi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)卻辦不(bu)(bu)(bu)(bu)到(dao)(dao)。王(wang)(wang)姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)聽了(le)(le)(le)(le)大(da)(da)罵一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)見(jian)死不(bu)(bu)(bu)(bu)救(jiu)忘恩(en)負(fu)義。一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)惟有不(bu)(bu)(bu)(bu)停地在姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)面前謝罪。目送姥(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)離去，一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)把一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)布(bu)袋(dai)交給兩個心腹(fu)之人(ren)，命他(ta)們在指定的一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個地方潛藏，他(ta)說從(cong)中(zhong)(zhong)午到(dao)(dao)黃昏，會有七(qi)樣東西進入布(bu)袋(dai)。他(ta)們照著做(zuo)了(le)(le)(le)(le)，用(yong)布(bu)袋(dai)帶(dai)回七(qi)只(zhi)豬。一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)把七(qi)只(zhi)豬放進已(yi)(yi)準備好的大(da)(da)甕中(zhong)(zhong)封蓋。次(ci)日一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)早，宮里來人(ren)叩門急(ji)切(qie)，說皇帝有事(shi)相商。剛到(dao)(dao)便殿，李隆(long)基已(yi)(yi)迎出(chu)來，問：昨夜北斗七(qi)星不(bu)(bu)(bu)(bu)見(jian)了(le)(le)(le)(le)，是(shi)(shi)吉(ji)是(shi)(shi)兇？如何(he)應(ying)對(dui)？一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)有理有據做(zuo)了(le)(le)(le)(le)分(fen)析，然后建議“莫若大(da)(da)赦天(tian)下(xia)(xia)”。李隆(long)基當(dang)即下(xia)(xia)詔大(da)(da)赦天(tian)下(xia)(xia)。當(dang)天(tian)晚上，七(qi)星中(zhong)(zhong)的一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)顆(ke)在天(tian)空(kong)中(zhong)(zhong)出(chu)現(xian)(xian)了(le)(le)(le)(le)，七(qi)天(tian)后，七(qi)星全(quan)部(bu)在天(tian)空(kong)中(zhong)(zhong)出(chu)現(xian)(xian)了(le)(le)(le)(le)…… 恩(en)人(ren)的兒子(zi)犯死罪，一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)要(yao)(yao)報恩(en)，又要(yao)(yao)不(bu)(bu)(bu)(bu)違犯國(guo)法(fa)，在此(ci)情(qing)境下(xia)(xia)，他(ta)惟有用(yong)自己的“方法(fa)”。段成式記述此(ci)事(shi)，心中(zhong)(zhong)亦有疙瘩(da)解不(bu)(bu)(bu)(bu)開：此(ci)事(shi)頗(po)怪，然大(da)(da)傳眾口，不(bu)(bu)(bu)(bu)得(de)(de)不(bu)(bu)(bu)(bu)著之。
僧一(yi)行博覽無(wu)不知，尤善于(yu)數(shu)，鉤深(shen)藏往，當時學者莫(mo)(mo)能(neng)測(ce)。幼時家貧，鄰有(you)王姥(lao)(lao)，前后(hou)濟之(zhi)(zhi)數(shu)十萬，及一(yi)行開元中(zhong)承上敬遇(yu)，言無(wu)不可，常思(si)報之(zhi)(zhi)。尋(xun)王姥(lao)(lao)兒(er)犯殺人罪(zui)，獄未具，姥(lao)(lao)訪一(yi)行求(qiu)(qiu)救，一(yi)行曰(yue)：“姥(lao)(lao)要金帛，當十倍酬(chou)也(ye)。明君執法，難(nan)以(yi)請(qing)求(qiu)(qiu)，如何？”王姥(lao)(lao)戟手(shou)大(da)罵曰(yue)：“何用識此僧！”一(yi)行從而謝之(zhi)(zhi)，終不顧。一(yi)行心計渾天(tian)寺(si)中(zhong)工役數(shu)百，乃命空其室(shi)內，徙大(da)甕(weng)于(yu)中(zhong)，又密(mi)選(xuan)常住奴二人，授以(yi)布囊(nang)，謂(wei)曰(yue)：“某坊某角有(you)廢園(yuan)，汝向中(zhong)潛伺(si)，從午至昏(hun)，當有(you)物入(ru)來。其數(shu)七(qi)，可盡(jin)掩之(zhi)(zhi)。失一(yi)則杖汝。”奴如言而往，至酉(you)后(hou)，果有(you)群豕至，奴悉獲而歸。一(yi)行大(da)喜，令置(zhi)甕(weng)中(zhong)，覆以(yi)木(mu)蓋，封于(yu)六一(yi)泥，朱題梵字數(shu)寸，其徒(tu)莫(mo)(mo)測(ce)。詰(jie)朝，中(zhong)使叩門急召。至便殿(dian)，玄宗(zong)迎問曰(yue)：“太史(shi)奏昨夜(ye)北斗(dou)不見(jian)，是(shi)何祥也(ye)，師有(you)以(yi)禳之(zhi)(zhi)乎？”一(yi)行曰(yue)：“后(hou)魏時，失熒(ying)惑，至今(jin)帝車不見(jian)，古(gu)所無(wu)者，天(tian)將大(da)警于(yu)陛下(xia)也(ye)。如臣曲見(jian)，莫(mo)(mo)若(ruo)大(da)赦天(tian)下(xia)。”玄宗(zong)從之(zhi)(zhi)。又，其夕，太史(shi)奏北斗(dou)一(yi)星(xing)見(jian)，凡七(qi)日而復。成式以(yi)此事頗怪(guai)，然大(da)傳眾口，不得不著之(zhi)(zhi)。
據明正(zheng)德本《大名(ming)(ming)府(fu)(fu)志(zhi)》及今(jin)本《南樂(le)(le)(le)(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)志(zhi)》記(ji)載：西(xi)漢(han)置(zhi)樂(le)(le)(le)(le)昌(chang)(chang)(chang)縣(xian)(xian)(xian)(xian)，屬(shu)東郡。樂(le)(le)(le)(le)昌(chang)(chang)(chang)縣(xian)(xian)(xian)(xian)在東漢(han)初年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)廢(fei)置(zhi)。西(xi)晉(jin)于原(yuan)樂(le)(le)(le)(le)昌(chang)(chang)(chang)縣(xian)(xian)(xian)(xian)故地(di)復(fu)設縣(xian)(xian)(xian)(xian)，更名(ming)(ming)昌(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)(le)(le)，屬(shu)魏(wei)郡。隋開皇(huang)三年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(公元(yuan)583年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian))，從昌(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)(le)(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)西(xi)北部分(fen)置(zhi)繁水(shui)(shui)縣(xian)(xian)(xian)(xian)，同屬(shu)魏(wei)州。大業(ye)元(yuan)年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(公元(yuan)605年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian))，昌(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)(le)(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)并入(ru)繁水(shui)(shui)縣(xian)(xian)(xian)(xian)。唐(tang)(tang)貞觀(guan)十六年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(公元(yuan)643年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian))，改(gai)繁水(shui)(shui)縣(xian)(xian)(xian)(xian)為昌(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)(le)(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)。五(wu)(wu)(wu)代(dai)后梁貞明二年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(公元(yuan)916年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian))，昌(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)(le)(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)更名(ming)(ming)南樂(le)(le)(le)(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)，仍屬(shu)魏(wei)州。再查考魏(wei)州，原(yuan)名(ming)(ming)魏(wei)郡，北周(zhou)改(gai)之，五(wu)(wu)(wu)代(dai)又(you)更名(ming)(ming)興唐(tang)(tang)府(fu)(fu)、廣晉(jin)府(fu)(fu)、大名(ming)(ming)府(fu)(fu)。南樂(le)(le)(le)(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)從五(wu)(wu)(wu)代(dai)到民國初年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)，長期為大名(ming)(ming)府(fu)(fu)所轄。由(you)上可見，南樂(le)(le)(le)(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)是由(you)樂(le)(le)(le)(le)昌(chang)(chang)(chang)、昌(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)(le)(le)、繁水(shui)(shui)沿革而來，唐(tang)(tang)時的魏(wei)州繁水(shui)(shui)、昌(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)(le)(le)即今(jin)河南南樂(le)(le)(le)(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)。
僧(seng)一行(xing)，姓張氏，先名遂，魏州昌樂(le)人，襄州都督、郯國公(gong)公(gong)謹(jin)之孫也。父(fu)擅，武功令。
一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)少聰敏，博(bo)覽經(jing)史，尤精(jing)歷象、陰陽、五行(xing)(xing)(xing)之(zhi)(zhi)(zhi)學。時道士(shi)尹(yin)崇(chong)(chong)博(bo)學先達，素多墳籍。一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)詣(yi)(yi)崇(chong)(chong)，借揚雄《太玄經(jing)》，將歸讀(du)之(zhi)(zhi)(zhi)。數日，復詣(yi)(yi)崇(chong)(chong)，還(huan)其書。崇(chong)(chong)曰(yue)：“此書意指稍深(shen)，吾(wu)尋之(zhi)(zhi)(zhi)積(ji)年，尚不(bu)能曉，吾(wu)子試更研求，何遽(ju)見(jian)還(huan)也？”一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)曰(yue)：“究其義(yi)矣。”因出(chu)所撰(zhuan)《大(da)衍(yan)玄圖》及《義(yi)決》一(yi)(yi)卷以示崇(chong)(chong)。崇(chong)(chong)大(da)驚，因與一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)談其奧賾，甚嗟伏之(zhi)(zhi)(zhi)。謂人曰(yue)：“此后生(sheng)顏(yan)子也。”一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)由是大(da)知名。武(wu)三思慕其學行(xing)(xing)(xing)，就請(qing)與結交，一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)逃(tao)匿以避之(zhi)(zhi)(zhi)。尋出(chu)家(jia)為僧，隱于嵩山，師(shi)事沙門普寂。睿宗即位(wei)，敕東都留守韋安石以禮征。一(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)固辭以疾，不(bu)應命。后步往(wang)荊州當陽山，依(yi)沙門悟(wu)真以習梵律。
癲坷開元(yuan)五年(nian)，玄宗令其(qi)族叔禮(li)部郎中洽(qia)赍敕(chi)書就荊州強起之(zhi)。一行至(zhi)京，置(zhi)于光太(tai)殿，數就之(zhi)，訪以(yi)(yi)安國撫人之(zhi)道(dao)，言皆(jie)切直，無有所隱(yin)。開元(yuan)十年(nian)，永穆公(gong)主出降，敕(chi)有司優厚發遣，依(yi)太(tai)平公(gong)主故事。一行以(yi)(yi)為(wei)高宗末年(nian)，唯有一女，所以(yi)(yi)特(te)加其(qi)禮(li)。又太(tai)平驕僭，竟以(yi)(yi)得(de)罪，不應引以(yi)(yi)為(wei)例。上納其(qi)言，遽追敕(chi)不行，但依(yi)常禮(li)。其(qi)諫諍皆(jie)此類也。
卷(juan)，一(yi)(yi)行(xing)(xing)尤明(ming)著述，撰《大(da)(da)衍(yan)論》三卷(juan)，《攝調伏藏》十(shi)卷(juan)，《天一(yi)(yi)太一(yi)(yi)經》及《太一(yi)(yi)局遁(dun)甲經》、《釋氏系錄(lu)》各一(yi)(yi)卷(juan)。時(shi)《麟德歷(li)經》推步漸(jian)疏，敕一(yi)(yi)行(xing)(xing)考前代諸家歷(li)法(fa)，改撰新歷(li)，又令(ling)率府長(chang)史(shi)梁(liang)令(ling)瓚等(deng)與工(gong)人(ren)創造黃道游儀，以考七曜(yao)行(xing)(xing)度，互相證明(ming)。于是一(yi)(yi)行(xing)(xing)推《周易(yi)》大(da)(da)衍(yan)之數，立衍(yan)以應之，改撰《開元大(da)(da)衍(yan)歷(li)經》。至十(shi)五年(nian)卒，年(nian)四十(shi)五，賜謚曰“大(da)(da)慧禪師”。
魏書初，一(yi)行(xing)從祖(zu)東臺(tai)舍(she)人太(tai)素，撰《后魏書》一(yi)百卷，其《天文志》未成(cheng)，一(yi)行(xing)續而(er)成(cheng)之(zhi)(zhi)。上為(wei)一(yi)行(xing)制碑文，親書于石，出內庫錢五(wu)十萬(wan)，為(wei)起塔(ta)于銅人之(zhi)(zhi)原(yuan)。明年，幸溫湯，過其塔(ta)前(qian)，又駐騎徘徊，令品官(guan)就塔(ta)以(yi)告其出豫之(zhi)(zhi)意；更賜絹五(wu)十匹，以(yi)蒔塔(ta)前(qian)松(song)柏焉(yan)。
逅攏初，一(yi)(yi)(yi)行(xing)求訪師資，以(yi)窮(qiong)大(da)衍，至天(tian)臺山國清寺，見一(yi)(yi)(yi)院，古松十數，門(men)有(you)(you)(you)流(liu)水(shui)。一(yi)(yi)(yi)行(xing)立(li)于(yu)門(men)屏間，聞院僧(seng)于(yu)庭布算聲(sheng)，而謂(wei)(wei)其(qi)(qi)徒曰：“今日(ri)當(dang)有(you)(you)(you)弟子(zi)自遠求吾算法，已(yi)合(he)到門(men)，豈(qi)無人(ren)導達也？”即(ji)除(chu)一(yi)(yi)(yi)算。又謂(wei)(wei)曰：“門(men)前水(shui)當(dang)卻(que)西流(liu)，弟子(zi)亦至。”一(yi)(yi)(yi)行(xing)承其(qi)(qi)言而趨(qu)入(ru)，稽首請法，盡受其(qi)(qi)術焉(yan)，而門(men)前水(shui)果卻(que)西流(liu)。道(dao)士邢和璞嘗(chang)謂(wei)(wei)尹愔曰：“一(yi)(yi)(yi)行(xing)其(qi)(qi)圣(sheng)人(ren)乎？漢(han)之洛(luo)下(xia)閎(hong)造(zao)歷，云：‘后八(ba)百歲當(dang)差一(yi)(yi)(yi)日(ri)，必有(you)(you)(you)圣(sheng)人(ren)正之。’今年(nian)期畢(bi)矣，而一(yi)(yi)(yi)行(xing)造(zao)《大(da)衍》正其(qi)(qi)差謬，則洛(luo)下(xia)閎(hong)之言，信矣！非圣(sheng)人(ren)而何？
為(wei)之時又有黃州(zhou)僧泓者(zhe)，善葬法。每行(xing)視山原，即為(wei)之圖(tu)，張說深信重之。
說，桑(sang)道茂者(zhe)，大(da)(da)歷中(zhong)游京師，善太一遁甲五行災異之說，言(yan)事無不中(zhong)。代(dai)宗召之禁中(zhong)，待詔翰林。建(jian)中(zhong)初，神(shen)策軍修奉(feng)天城(cheng)，道茂請高其(qi)垣墻，大(da)(da)為制度(du)，德(de)宗不之省。及朱(zhu)泚之亂(luan)，帝蒼卒出幸，至奉(feng)天，方思道茂之言(yan)。時道茂已卒，命(ming)祭之。
贊曰(yue)：術(shu)數(shu)之精(jing)，事(shi)必前(qian)知。粲如垂象(xiang)，變告(gao)無疑。怪誕之夫，誣罔蓍龜。致(zhi)彼(bi)庸(yong)妄，幸時艱危。
一(yi)行(xing)主張在實測的基礎上編訂歷法。為此(ci)，首先需要有測量(liang)天體位(wei)置(zhi)的儀器。他于開元(yuan)九(jiu)年(nian)（公元(yuan)721年(nian)）率府兵(bing)曹參(can)軍梁(liang)令瓚設計(ji)黃(huang)(huang)道游儀，并制成(cheng)木模。一(yi)行(xing)決定用銅(tong)鐵鑄(zhu)造，于開元(yuan)十(shi)一(yi)年(nian)（公元(yuan)723年(nian)）完成(cheng)。這架儀器的黃(huang)(huang)道不是固定的，可以(yi)在赤道上移(yi)位(wei)，以(yi)符合(he)歲差現象（當時認(ren)為歲差是黃(huang)(huang)道沿赤道西退，實則相反）。
后(hou)來，一(yi)(yi)行和(he)梁(liang)令瓚等又設計制(zhi)(zhi)造水(shui)運(yun)渾(hun)(hun)(hun)象(xiang)。這個以(yi)(yi)水(shui)力(li)推(tui)動而(er)運(yun)轉(zhuan)的(de)(de)渾(hun)(hun)(hun)象(xiang)，附有報時裝置(zhi)，可(ke)以(yi)(yi)自(zi)動報時，稱為"水(shui)運(yun)渾(hun)(hun)(hun)天(tian)(tian)(tian)"或"開元水(shui)運(yun)渾(hun)(hun)(hun)天(tian)(tian)(tian)俯視圖"。水(shui)運(yun)渾(hun)(hun)(hun)天(tian)(tian)(tian)儀是一(yi)(yi)具(ju)依靠水(shui)力(li)而(er)使其(qi)運(yun)轉(zhuan)，能模仿天(tian)(tian)(tian)體運(yun)行的(de)(de)儀器，并可(ke)以(yi)(yi)測定時間(jian)。這個渾(hun)(hun)(hun)天(tian)(tian)(tian)儀改(gai)進了(le)漢代(dai)科學家張(zhang)衡(heng)的(de)(de)設計，注水(shui)激輪，令其(qi)自(zi)轉(zhuan)，晝夜一(yi)(yi)周(zhou)，除了(le)表現(xian)(xian)星宿(su)的(de)(de)運(yun)動以(yi)(yi)外(wai)，還能表現(xian)(xian)日升(sheng)月(yue)落，當然比張(zhang)衡(heng)的(de)(de)水(shui)運(yun)渾(hun)(hun)(hun)象(xiang)儀更加(jia)精巧(qiao)、復雜了(le)。所以(yi)(yi)，當水(shui)運(yun)渾(hun)(hun)(hun)天(tian)(tian)(tian)儀造成(cheng)之后(hou)，置(zhi)于武(wu)成(cheng)殿前，文武(wu)百僚觀看后(hou)，無不為其(qi)制(zhi)(zhi)作精妙，測定朔望、報告時辰(chen)準確而(er)嘆(tan)服，共稱其(qi)妙。
特別是在(zai)水運渾天儀上(shang)，還(huan)設有兩個(ge)木(mu)人（相關的商(shang)州(zhou)銅(tong)佛龕文物(wu)遺(yi)址仍存），用(yong)齒輪帶動(dong)，一(yi)(yi)個(ge)木(mu)人每刻（古(gu)代(dai)把一(yi)(yi)晝(zhou)夜分(fen)為一(yi)(yi)百(bai)刻）自動(dong)擊鼓，一(yi)(yi)個(ge)木(mu)人每辰（合現在(zai)兩個(ge)小(xiao)時(shi)）自動(dong)撞鐘(zhong)。這兩個(ge)木(mu)人是運用(yong)機(ji)械原理而制(zhi)成的古(gu)代(dai)機(ji)器人。這是一(yi)(yi)個(ge)十分(fen)巧妙的計時(shi)機(ji)械，是世界上(shang)最早的機(ji)械時(shi)鐘(zhong)裝置，是現代(dai)機(ji)械類(lei)鐘(zhong)表的祖先，比(bi)公元(yuan)1370年西(xi)方才出現的威克鐘(zhong)要早六個(ge)世紀，這充分(fen)顯示(shi)了中國古(gu)代(dai)勞動(dong)人民和科學家的聰明才智。
盡管這架水運渾(hun)天儀在(zai)使用了(le)一段時(shi)間后，便因銅鐵(tie)漸澀，不(bu)能自轉而(er)進入博物(wu)館了(le)。但是，一行和(he)梁令(ling)瓚卻以獲得天文(wen)鐘的(de)發明權而(er)永垂史冊。英國著名科技(ji)(ji)史家(jia)李約瑟博士在(zai)《中國科學技(ji)(ji)術(shu)史》第四卷中說：高僧一行和(he)梁令(ling)瓚所發明的(de)平(ping)行聯動(dong)裝置，實質上就是最早的(de)機械時(shi)鐘，是一切擒(qin)縱(zong)器的(de)祖先，走(zou)在(zai)歐洲(zhou)14世紀(ji)第一具機械時(shi)鐘的(de)前面(mian)；
水(shui)運(yun)渾(hun)天(tian)儀上(shang)刻有二(er)十八(ba)宿(su)，注水(shui)激輪，每天(tian)一(yi)周，恰恰與天(tian)體周日(ri)視(shi)運(yun)動一(yi)致。水(shui)運(yun)渾(hun)天(tian)儀一(yi)半在(zai)水(shui)柜里，柜的上(shang)框，有如地則自(zi)然撞鐘(zhong)(zhong)(zhong)。整個水(shui)運(yun)渾(hun)天(tian)儀既能演示日(ri)、月(yue)、星辰(chen)的視(shi)運(yun)動，又能自(zi)動報時,有二(er)木人，每刻(古(gu)代把一(yi)晝(zhou)夜分做一(yi)百(bai)刻=0.24小時=14,4分鐘(zhong)(zhong)(zhong))擊鼓，每時辰(chen)（合現在(zai)兩小時）撞鐘(zhong)(zhong)(zhong)。這是世界上(shang)最早將擒縱應用(yong)于報時的裝置，比外國自(zi)鳴鐘(zhong)(zhong)(zhong)的出現早了六百(bai)多年。
一行等以(yi)新制的黃(huang)道(dao)游(you)儀觀測(ce)日(ri)月五星的運動，測(ce)量(liang)一些(xie)(xie)恒(heng)星的赤道(dao)坐標和對(dui)黃(huang)道(dao)的相對(dui)位置，發現(xian)這(zhe)些(xie)(xie)恒(heng)星的位置同漢代(dai)所(suo)測(ce)結(jie)果有很(hen)大變動。
一行(xing)受詔改歷(li)后組織發(fa)起了(le)(le)一次大(da)規(gui)模的(de)(de)(de)天文(wen)大(da)地測(ce)量工(gong)作。這次測(ce)量，用(yong)實測(ce)數據徹底地否(fou)定了(le)(le)歷(li)史上的(de)(de)(de)“日影一寸(cun)，地差千(qian)里(li)”的(de)(de)(de)錯誤理(li)論，提供了(le)(le)相當精(jing)確的(de)(de)(de)地球子午(wu)線一度弧的(de)(de)(de)長度。
一(yi)行(xing)(xing)發起這(zhe)(zhe)次大規(gui)模(mo)的(de)天(tian)文測量主要目的(de)有(you)二(er)。其一(yi)，中國(guo)古代(dai)有(you)一(yi)種傳(chuan)統理論：“日(ri)影一(yi)寸(cun)，地(di)(di)差(cha)千(qian)里(li)。”劉宋時期(qi)的(de)天(tian)算(suan)家何承(cheng)天(tian)根據當時在交州（今(jin)越南(nan)河(he)內(nei)一(yi)帶）的(de)測量數(shu)據，開始對(dui)此提出了(le)懷疑(yi)，但長(chang)(chang)期(qi)未能得到證(zheng)實(shi)。隋(sui)(sui)朝天(tian)算(suan)家劉焯則提出了(le)用實(shi)測結果來否定這(zhe)(zhe)一(yi)錯誤說法的(de)具體(ti)計(ji)劃(hua)，他說：“交愛(ai)之(zhi)州，表北(bei)無(wu)影，計(ji)無(wu)萬(wan)里(li)，南(nan)過戴日(ri)，是(shi)千(qian)里(li)一(yi)寸(cun)，非其實(shi)差(cha)。”他建(jian)議(yi)：“請(qing)一(yi)水工，并解算(suan)術士，取河(he)南(nan)北(bei)平地(di)(di)之(zhi)所，可(ke)量數(shu)百里(li)，南(nan)北(bei)使正。審時以漏，平地(di)(di)以繩(sheng)，隨氣至分，同日(ri)度(du)影。得其差(cha)率，里(li)即可(ke)知。則天(tian)地(di)(di)無(wu)所匿(ni)其形(xing)，辰象無(wu)所逃其數(shu)，超前顯圣，效象除疑(yi)。”但這(zhe)(zhe)個建(jian)議(yi)在隋(sui)(sui)朝沒有(you)被采納(na)。一(yi)行(xing)(xing)的(de)測量則實(shi)現(xian)了(le)這(zhe)(zhe)一(yi)計(ji)劃(hua)。其二(er)，當時發現(xian)，觀測地(di)(di)點不同，日(ri)食發生的(de)時刻和所見(jian)食象都不同，各節氣的(de)日(ri)影長(chang)(chang)度(du)和漏刻晝夜分也不相同。這(zhe)(zhe)種現(xian)象是(shi)過去的(de)歷(li)法所沒有(you)考慮到的(de)。這(zhe)(zhe)就需要到各地(di)(di)進(jin)行(xing)(xing)實(shi)地(di)(di)測量。
這次(ci)測(ce)量(liang)(liang)過(guo)程中，由太(tai)史(shi)(shi)監(jian)南宮說及(ji)太(tai)史(shi)(shi)官大相元太(tai)等人分(fen)(fen)赴各(ge)地，“測(ce)候(hou)日影，回日奏聞”。而一行“則以南北日影較量(liang)(liang)，用勾(gou)股法算(suan)之”。可見，一行不(bu)僅(jin)負責組織領導(dao)了(le)這次(ci)測(ce)量(liang)(liang)工(gong)作，而且親自承擔了(le)測(ce)量(liang)(liang)數據的分(fen)(fen)析計(ji)算(suan)工(gong)作。
當時測量(liang)的范圍很(hen)廣，北(bei)到北(bei)緯51度左右的鐵勒(le)回紇部(bu)（今蒙古(gu)烏蘭(lan)巴托西南(nan)），南(nan)到約北(bei)緯18度的林邑（今越南(nan)的中部(bu)）等十三(san)處，超出了(le)現在中國南(nan)北(bei)的陸地疆界。這樣的規模在世界科學史上(shang)都(dou)是空前的。
其(qi)中(zhong)最(zui)值得注意的(de)是由(you)南宮(gong)說親(qin)自率領的(de)測(ce)量(liang)隊，按劉(liu)(liu)焯的(de)計劃在黃河(he)(he)兩岸平(ping)原地區測(ce)量(liang)的(de)四個點，由(you)北(bei)向南有滑(hua)州(zhou)白馬（今河(he)(he)南滑(hua)縣）、汴州(zhou)浚儀太(tai)岳臺（今開(kai)封西(xi)北(bei)）、許州(zhou)扶(fu)溝（今河(he)(he)南扶(fu)溝）、豫(yu)州(zhou)上(shang)(shang)蔡(cai)(cai)武津館（今河(he)(he)南上(shang)(shang)蔡(cai)(cai)）。其(qi)中(zhong)白馬在黃河(he)(he)北(bei)，其(qi)他三(san)點都在黃河(he)(he)以(yi)南。它(ta)們(men)均(jun)介于東經114.2度—114.5度之間，差(cha)不(bu)多(duo)在同一經度上(shang)(shang)（即劉(liu)(liu)焯所(suo)說的(de)“南北(bei)使正(zheng)”）。總計白馬至上(shang)(shang)蔡(cai)(cai)526里(li)270步，北(bei)極高(gao)度相(xiang)差(cha)1.5度，從而得出大(da)約(yue)三(san)百五十一里(li)八十步，北(bei)極高(gao)度相(xiang)差(cha)一度的(de)結論。這實(shi)際上(shang)(shang)給出了地球子(zi)午線一度的(de)長度。
由于對(dui)唐尺數值(zhi)的大小，人(ren)們目(mu)前的看法(fa)還不一(yi)致，故評價一(yi)行(xing)這次子午線測量的精度(du)受到限制。初步的估計結果是，一(yi)行(xing)的測量值(zhi)與現代值(zhi)相比，相對(dui)誤差大約為11.8%。
國(guo)外(wai)最早根據日影長(chang)度計(ji)算(suan)地(di)球周(zhou)長(chang)的(de)(de)是古希臘(la)科學(xue)家埃(ai)拉托(tuo)斯特尼(ni)，約(yue)公元前240年，他根據亞(ya)歷山大港(gang)與阿斯旺之間不(bu)同(tong)的(de)(de)正午(wu)時(shi)分的(de)(de)太陽高線及三角學(xue)計(ji)算(suan)，以斯塔蒂亞(ya)（stadia）為(wei)單(dan)位出地(di)球的(de)(de)直(zhi)徑。斯塔蒂亞(ya)乃(nai)是古希臘(la)的(de)(de)長(chang)度單(dan)位，各地(di)不(bu)一(yi)。如按(an)雅典的(de)(de)長(chang)度算(suan)，則(ze)地(di)球周(zhou)長(chang)為(wei)46620公里，多(duo)了16.3%，若(ruo)按(an)埃(ai)及的(de)(de)長(chang)度算(suan)，則(ze)地(di)球周(zhou)長(chang)為(wei)39690公里，其(qi)誤差小于2%。
伊斯蘭世界最(zui)早的(de)子午線實(shi)測(ce)是在公元814年，在一行(xing)之后九十(shi)年，由天文(wen)學家阿爾·花剌子米（約783—850）參與(yu)組織，在幼(you)發拉底河平原進行(xing)了(le)一次大地(di)測(ce)量，測(ce)算結(jie)果(guo)得出(chu)子午線一度長為111.815公里（現代理論值為110.6公里），相當精確。
從開(kai)(kai)元(yuan)十(shi)(shi)三年(nian)（公(gong)元(yuan)725年(nian)）起(qi)，一(yi)行(xing)開(kai)(kai)始編歷(li)。經過(guo)(guo)兩年(nian)時間，編成(cheng)草稿，定名為(wei)《大衍歷(li)》。《大衍歷(li)》后經張說和歷(li)官陳玄景等人整(zheng)理(li)成(cheng)書(shu)。從開(kai)(kai)元(yuan)十(shi)(shi)七年(nian)起(qi)，根據《大衍歷(li)》編算(suan)成(cheng)的(de)每年(nian)的(de)歷(li)書(shu)頒行(xing)全國。經過(guo)(guo)檢驗(yan)，《大衍歷(li)》比(bi)唐代已有的(de)其他(ta)歷(li)法都更精密。開(kai)(kai)元(yuan)二十(shi)(shi)一(yi)年(nian)（公(gong)元(yuan)733年(nian)）傳入日本，行(xing)用近百年(nian)。
《大衍歷》的九服晷影算法及其正切函數表
中國古代歷法從東漢《四分歷》開始，就有各節氣初日晷影長度和太陽去極度的觀測記錄，漏刻、晷影成為古代歷法的重要計算項目。隋朝劉焯發明二次等間距插值法之后，李淳風首先將二次插值法引入到漏刻計算中，由每氣初日的漏刻、晷影長度數求該氣各日的漏刻、晷影數。但是，各歷法中所記載和計算的漏刻和晷影大多是陽城（今河南登封東南告成鎮）的數值。一行在編制《大衍歷》時，曾進行了大規模的天文測量，通過觀測知道，隨去極度變化的影長，又因地方而異，但同太陽的天頂距有固定的對應關系。一行在《大衍歷》中發明了求任何地方每日影長和去極度的計算方法，稱做“九服晷影”。歷法中已給出陽(yang)城(cheng)各氣(qi)(qi)初日的太(tai)陽(yang)去極(ji)度(du)，則各氣(qi)(qi)的去極(ji)度(du)差(cha)即為已知(zhi)，同樣各氣(qi)(qi)的太(tai)陽(yang)天(tian)頂(ding)(ding)(ding)距(ju)(ju)(ju)差(cha)亦(yi)為已知(zhi)，而這個(ge)差(cha)數對(dui)于任一(yi)地(di)點都是相等的。這樣一(yi)來，對(dui)于任一(yi)地(di)方，只(zhi)要知(zhi)道(dao)某(mou)一(yi)節氣(qi)(qi)（如夏(xia)至）的太(tai)陽(yang)天(tian)頂(ding)(ding)(ding)距(ju)(ju)(ju)，其(qi)(qi)他各氣(qi)(qi)的太(tai)陽(yang)天(tian)頂(ding)(ding)(ding)距(ju)(ju)(ju)都可以通(tong)過(guo)加減這個(ge)差(cha)數求(qiu)出。剩下還要解決(jue)以下兩個(ge)問題：其(qi)(qi)一(yi)，如何求(qiu)某(mou)地(di)夏(xia)至（或(huo)冬(dong)至）的太(tai)陽(yang)天(tian)頂(ding)(ding)(ding)距(ju)(ju)(ju)；其(qi)(qi)二，已知(zhi)天(tian)頂(ding)(ding)(ding)距(ju)(ju)(ju)如何換算(suan)出晷(gui)影(ying)長。這兩個(ge)問題都可以通(tong)過(guo)建立一(yi)個(ge)影(ying)長與太(tai)陽(yang)天(tian)頂(ding)(ding)(ding)距(ju)(ju)(ju)的對(dui)應數表來解決(jue)。
如果(guo)列出一(yi)(yi)(yi)張(zhang)以(yi)天(tian)(tian)頂距為引數(shu)，每(mei)隔一(yi)(yi)(yi)度(du)的影長的數(shu)值表，則以(yi)上兩個(ge)問題都(dou)可(ke)以(yi)解決：先在(zai)所測(ce)地測(ce)出（冬）夏至(zhi)晷影長度(du)（在(zai)一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)領導的大(da)地測(ce)量中，在(zai)每(mei)處都(dou)進行(xing)(xing)了(le)這樣的測(ce)量），由影長查表得出太陽(yang)天(tian)(tian)頂距，再加(jia)減(jian)一(yi)(yi)(yi)個(ge)如前所述(shu)的差數(shu)即(ji)可(ke)求出該地各(ge)氣的天(tian)(tian)頂距，返回(hui)再查表得影長。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)在(zai)《大(da)衍歷(li)》“步(bu)晷漏術(shu)”中就建立了(le)這樣一(yi)(yi)(yi)個(ge)從0度(du)到80度(du)的每(mei)度(du)影長與太陽(yang)天(tian)(tian)頂距對應數(shu)表，這是世界(jie)數(shu)學史(shi)上最早的一(yi)(yi)(yi)張(zhang)正(zheng)切函數(shu)表。
在國外，大(da)約(yue)920年左右(you)，阿(a)(a)(a)拉伯(bo)學(xue)者(zhe)阿(a)(a)(a)爾·巴坦(tan)尼（al-Battani，約(yue)858年—929年）根據影(ying)長與太(tai)陽(yang)(yang)仰角之間的(de)(de)(de)關系(xi)，編制了0度—90度每(mei)隔(ge)一(yi)(yi)(yi)度時12尺竿子的(de)(de)(de)影(ying)長表(biao)(biao)(biao)(biao)，這實際上是(shi)一(yi)(yi)(yi)個(ge)12ctgα的(de)(de)(de)數(shu)表(biao)(biao)(biao)(biao)。另一(yi)(yi)(yi)位(wei)阿(a)(a)(a)拉伯(bo)學(xue)者(zhe)阿(a)(a)(a)爾·威發(fa)（Abul-Wafa，940—998）在980年左右(you)編成(cheng)了正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)和(he)余切(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)函(han)(han)(han)(han)數(shu)表(biao)(biao)(biao)(biao)，每(mei)隔(ge)15度和(he)10度給出一(yi)(yi)(yi)個(ge)值。他(ta)還首次引進了正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)割(ge)(ge)和(he)余割(ge)(ge)函(han)(han)(han)(han)數(shu)。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)和(he)阿(a)(a)(a)爾·巴坦(tan)尼差不多沿著相同的(de)(de)(de)途徑編成(cheng)正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)和(he)余切(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)函(han)(han)(han)(han)數(shu)表(biao)(biao)(biao)(biao)。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)用太(tai)陽(yang)(yang)天頂(ding)距，阿(a)(a)(a)爾·巴坦(tan)尼用太(tai)陽(yang)(yang)仰角，兩(liang)者(zhe)互為余角，所以(yi)他(ta)們(men)兩(liang)人(ren)的(de)(de)(de)發(fa)現是(shi)相同的(de)(de)(de)。而一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)的(de)(de)(de)正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)函(han)(han)(han)(han)數(shu)表(biao)(biao)(biao)(biao)比(bi)阿(a)(a)(a)爾·巴坦(tan)尼的(de)(de)(de)余切(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)函(han)(han)(han)(han)數(shu)表(biao)(biao)(biao)(biao)早(zao)近兩(liang)百(bai)年，比(bi)阿(a)(a)(a)爾·威發(fa)的(de)(de)(de)正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)表(biao)(biao)(biao)(biao)要早(zao)二百(bai)五十年。盡管一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)的(de)(de)(de)正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)函(han)(han)(han)(han)數(shu)表(biao)(biao)(biao)(biao)只從0度到(dao)80度，誤差也相應大(da)一(yi)(yi)(yi)些(xie)，但它(ta)畢竟(jing)是(shi)世界(jie)上最早(zao)的(de)(de)(de)正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)(qie)函(han)(han)(han)(han)數(shu)表(biao)(biao)(biao)(biao)。
《大衍歷》的插值算法
今(jin)天(tian)常用(yong)(yong)的(de)(de)(de)牛頓插值(zhi)公式(shi)(shi)，其(qi)不(bu)等間(jian)(jian)(jian)距的(de)(de)(de)形(xing)(xing)式(shi)(shi)比等間(jian)(jian)(jian)距的(de)(de)(de)形(xing)(xing)式(shi)(shi)要復雜得(de)多。天(tian)算(suan)史界有(you)(you)一(yi)種流行(xing)的(de)(de)(de)看法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)，認為在(zai)(zai)中國古代(dai)，唐朝(chao)天(tian)文學家、數學家一(yi)行(xing)在(zai)(zai)其(qi)《大衍(yan)歷》中發明(ming)了(le)二次(ci)不(bu)等間(jian)(jian)(jian)距插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)，且(qie)一(yi)行(xing)還有(you)(you)意識地應用(yong)(yong)了(le)三(san)次(ci)差內插法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)近似(si)公式(shi)(shi)。因此(ci)，一(yi)行(xing)在(zai)(zai)插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)方(fang)面(mian)的(de)(de)(de)貢獻備受中外天(tian)算(suan)史研究者的(de)(de)(de)關注。中國古代(dai)非(fei)線性插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)，是(shi)(shi)劉(liu)焯(zhuo)在(zai)(zai)其(qi)《皇極歷》（604年(nian)）中考(kao)慮(lv)到太(tai)陽(yang)運動不(bu)均勻性為計(ji)算(suan)太(tai)陽(yang)行(xing)度(du)改(gai)正(zheng)值(zhi)時首(shou)創(chuang)的(de)(de)(de)。有(you)(you)關中國古代(dai)插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)算(suan)理(li)(li)研究的(de)(de)(de)新成果表明(ming)，劉(liu)焯(zhuo)二次(ci)等間(jian)(jian)(jian)距插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)造術(shu)原理(li)(li)建立在(zai)(zai)源于《九章算(suan)術(shu)》描(miao)述勻變速運動的(de)(de)(de)模型基(ji)礎(chu)之上，認為太(tai)陽(yang)每日(ri)的(de)(de)(de)運行(xing)速度(du)之值(zhi)構成一(yi)等差數列。質言之，所(suo)用(yong)(yong)數學方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)就是(shi)(shi)構造一(yi)等差數列并(bing)求其(qi)前若干(gan)項和。一(yi)行(xing)的(de)(de)(de)插值(zhi)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)并(bing)沒有(you)(you)人(ren)們所(suo)想象(xiang)那樣(yang)的(de)(de)(de)推廣意義(yi)。就插值(zhi)算(suan)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)本(ben)身(shen)，一(yi)行(xing)算(suan)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)與劉(liu)焯(zhuo)算(suan)法(fa)(fa)(fa)(fa)(fa)實質完(wan)全相同。所(suo)不(bu)同的(de)(de)(de)是(shi)(shi)，《皇極歷》是(shi)(shi)在(zai)(zai)以平氣為間(jian)(jian)(jian)隔的(de)(de)(de)日(ri)躔(chan)表基(ji)礎(chu)上插值(zhi)。而《大衍(yan)歷》是(shi)(shi)在(zai)(zai)以定氣為間(jian)(jian)(jian)隔的(de)(de)(de)日(ri)躔(chan)表上插值(zhi)。
《太(tai)初歷(li)》以(yi)(yi)后(hou)(hou)，各(ge)(ge)歷(li)都(dou)以(yi)(yi)平(ping)(ping)分(fen)一回歸年365.25日(ri)(ri)為24等(deng)份(fen)而得每(mei)節(jie)氣(qi)(qi)(qi)長(chang)(chang)15.22日(ri)(ri)，這樣(yang)規定(ding)(ding)的(de)二(er)十(shi)四(si)氣(qi)(qi)(qi)稱為“常(chang)氣(qi)(qi)(qi)”，或(huo)叫(jiao)“平(ping)(ping)氣(qi)(qi)(qi)”。張子信指出(chu)“日(ri)(ri)行春分(fen)后(hou)(hou)則遲，秋(qiu)(qiu)分(fen)后(hou)(hou)則速”，于(yu)是(shi)(shi)劉焯(zhuo)(zhuo)造(zao)《皇極歷(li)》時體會到(dao)二(er)十(shi)四(si)氣(qi)(qi)(qi)皆(jie)應有“定(ding)(ding)日(ri)(ri)”，他(ta)說(shuo)：“春、秋(qiu)(qiu)分(fen)定(ding)(ding)日(ri)(ri)去(qu)冬至(zhi)(zhi)各(ge)(ge)八十(shi)八日(ri)(ri)有奇，去(qu)夏至(zhi)(zhi)各(ge)(ge)九(jiu)十(shi)三日(ri)(ri)有奇。”但劉焯(zhuo)(zhuo)并沒有搞清楚太(tai)陽速度(du)的(de)加減和季節(jie)的(de)關系，他(ta)的(de)日(ri)(ri)躔(chan)表是(shi)(shi)把(ba)秋(qiu)(qiu)分(fen)定(ding)(ding)日(ri)(ri)后(hou)(hou)到(dao)春分(fen)定(ding)(ding)日(ri)(ri)前平(ping)(ping)均分(fen)為12段(duan)，每(mei)氣(qi)(qi)(qi)14.54日(ri)(ri)；春分(fen)定(ding)(ding)日(ri)(ri)后(hou)(hou)到(dao)秋(qiu)(qiu)分(fen)定(ding)(ding)日(ri)(ri)前也平(ping)(ping)分(fen)為12段(duan)，每(mei)氣(qi)(qi)(qi)15.45日(ri)(ri)。這顯然不是(shi)(shi)“定(ding)(ding)氣(qi)(qi)(qi)”。一行則認為，太(tai)陽在一回歸年365.2444日(ri)(ri)中(zhong)共行365.2444度(du)，每(mei)氣(qi)(qi)(qi)行15.2185度(du)。冬至(zhi)(zhi)附(fu)近日(ri)(ri)行速度(du)最(zui)(zui)急(ji)，故二(er)氣(qi)(qi)(qi)間(jian)(jian)(jian)所(suo)需運(yun)行時間(jian)(jian)(jian)最(zui)(zui)短，夏至(zhi)(zhi)附(fu)近日(ri)(ri)行速度(du)最(zui)(zui)緩(huan)，故二(er)氣(qi)(qi)(qi)間(jian)(jian)(jian)的(de)時間(jian)(jian)(jian)最(zui)(zui)長(chang)(chang)。實際上，《大衍(yan)歷(li)》這里首先提出(chu)了平(ping)(ping)分(fen)黃(huang)道為24等(deng)份(fen)，以(yi)(yi)太(tai)陽實際走完每(mei)個等(deng)份(fen)的(de)時間(jian)(jian)(jian)長(chang)(chang)度(du)為各(ge)(ge)節(jie)氣(qi)(qi)(qi)長(chang)(chang)度(du)，這就(jiu)是(shi)(shi)通常(chang)所(suo)稱的(de)“定(ding)(ding)氣(qi)(qi)(qi)”概(gai)念。一行提出(chu)正確的(de)定(ding)(ding)氣(qi)(qi)(qi)概(gai)念以(yi)(yi)后(hou)(hou)，在計算太(tai)陽改正時自然就(jiu)以(yi)(yi)定(ding)(ding)氣(qi)(qi)(qi)為插值間(jian)(jian)(jian)隔(ge)。至(zhi)(zhi)于(yu)插值法(fa)本身則完全是(shi)(shi)沿用劉焯(zhuo)(zhuo)的(de)方(fang)法(fa)。
值得(de)一提的(de)是，劉焯在日躔表中規定太陽視運(yun)(yun)動一年(nian)內(nei)的(de)變化(hua)規律是：冬(dong)至(zhi)(zhi)(zhi)最(zui)快，冬(dong)至(zhi)(zhi)(zhi)后(hou)(hou)漸(jian)慢(man)，到(dao)立春時(shi)(shi)開始(shi)加(jia)快，春分(fen)(fen)時(shi)(shi)又達到(dao)最(zui)快，冬(dong)至(zhi)(zhi)(zhi)到(dao)春分(fen)(fen)這(zhe)段時(shi)(shi)間內(nei)日速比(bi)(bi)平均速度(du)快。春分(fen)(fen)后(hou)(hou)太陽視運(yun)(yun)動的(de)速度(du)突變為(wei)最(zui)慢(man)，之后(hou)(hou)逐漸(jian)加(jia)快，到(dao)立夏時(shi)(shi)又開始(shi)減(jian)慢(man)，夏至(zhi)(zhi)(zhi)達到(dao)最(zui)慢(man)。春分(fen)(fen)到(dao)夏至(zhi)(zhi)(zhi)時(shi)(shi)段內(nei)比(bi)(bi)平均速度(du)慢(man)。夏至(zhi)(zhi)(zhi)以后(hou)(hou)的(de)變化(hua)情況以夏至(zhi)(zhi)(zhi)處為(wei)鏡面(mian)對(dui)稱。
《大衍歷》盈縮分(fen)一年內(nei)的(de)(de)變化趨勢將盈縮分(fen)在(zai)冬至(zhi)(zhi)附近(jin)最(zui)大，以(yi)后(hou)(hou)逐漸(jian)變小，夏至(zhi)(zhi)時最(zui)小，之后(hou)(hou)又(you)逐漸(jian)增大。這(zhe)相當于把冬至(zhi)(zhi)作為太(tai)陽視運動的(de)(de)近(jin)日點，夏至(zhi)(zhi)為遠日點。這(zhe)種認識是(shi)正確的(de)(de)，而《皇極歷》的(de)(de)規定是(shi)不符合實際的(de)(de)。
說一行有(you)(you)意識(shi)地應用了(le)三次差(cha)內插(cha)法(fa)(fa)的近似公式(shi)，是(shi)指《大(da)衍歷》的月亮極黃緯算法(fa)(fa)和五星中心(xin)差(cha)改(gai)正(zheng)算法(fa)(fa)中所(suo)用的插(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)。當對中國古(gu)代歷法(fa)(fa)中的插(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)的構造原理有(you)(you)了(le)深入的認識(shi)之后，研(yan)究(jiu)者進(jin)一步通過將這兩(liang)處插(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)的有(you)(you)關術文與劉焯二(er)次等間距插(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)的術文進(jin)行對比研(yan)究(jiu)，證明兩(liang)者在實(shi)質上也是(shi)相同的。
人們之所以會認為(wei)(wei)《大(da)衍歷》使(shi)用了(le)三次差(cha)插(cha)值法(fa)，是(shi)因為(wei)(wei)《大(da)衍歷》在(zai)上述兩(liang)種算法(fa)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)插(cha)值法(fa)中(zhong)都(dou)引入(ru)了(le)“中(zhong)差(cha)”概念的(de)(de)(de)(de)(de)(de)緣故。但實際上一(yi)行引入(ru)“中(zhong)差(cha)”的(de)(de)(de)(de)(de)(de)原因在(zai)于，劉(liu)焯日躔表(biao)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)各氣(qi)陟降率(lv)之差(cha)是(shi)相(xiang)等的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，而(er)《大(da)衍歷》月亮極(ji)黃(huang)緯等數(shu)表(biao)相(xiang)鄰兩(liang)欄的(de)(de)(de)(de)(de)(de)差(cha)一(yi)般不(bu)等。這(zhe)種現象的(de)(de)(de)(de)(de)(de)出現，正是(shi)一(yi)行受命改歷時作了(le)大(da)量天文觀測(ce)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結果。若仍照(zhao)搬(ban)《皇極(ji)歷》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)做法(fa)，就(jiu)會出現同一(yi)點處(chu)有可能得到兩(liang)個不(bu)同的(de)(de)(de)(de)(de)(de)值的(de)(de)(de)(de)(de)(de)現象，這(zhe)就(jiu)迫(po)使(shi)一(yi)行必須在(zai)計算方法(fa)上進行一(yi)點細(xi)節上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)調(diao)整(zheng)。
巧笑倩兮 
