一行（公元(yuan)683年～公元(yuan)727年），佛法名號(hao)。中國唐代(dai)著(zhu)名的天(tian)文學家和釋學家，本(ben)名張遂，魏州昌樂(le)（今河南(nan)省南(nan)樂(le)縣）人。
張(zhang)遂(sui)的(de)(de)曾祖(zu)是唐太宗(zong)李世民的(de)(de)功臣(chen)、襄州(zhou)都督(du)、郯國公張(zhang)公謹。其(qi)父張(zhang)擅(shan)為(wei)武(wu)功縣(xian)令。張(zhang)氏家族在(zai)武(wu)則天(tian)時代已經衰(shuai)微。張(zhang)遂(sui)自幼生活在(zai)關中，刻苦學習歷象和陰陽(yang)五(wu)行(xing)之學。青年時代即以學識淵博聞(wen)名于長安。為(wei)避開武(wu)則天(tian)侄(zhi)的(de)(de)糾纏，剃度為(wei)僧，取名一行(xing)。先后在(zai)嵩山、天(tian)臺(tai)山、當(dang)陽(yang)山學習釋教經典和天(tian)文數學。曾翻譯過(guo)多種印度佛(fo)經，后成(cheng)為(wei)佛(fo)教一派——密宗(zong)的(de)(de)領袖(xiu)。
唐朝開元(yuan)九年(nian)（公元(yuan)721年(nian)），因為李淳風的《麟德歷(li)》幾次預報日食不準，玄(xuan)宗命一(yi)行(xing)主(zhu)持修編(bian)新(xin)歷(li)。一(yi)行(xing)一(yi)生中最主(zhu)要(yao)的成就(jiu)是編(bian)制(zhi)《大(da)(da)衍歷(li)》，他(ta)在制(zhi)造(zao)天(tian)文(wen)儀器、觀測(ce)天(tian)象和主(zhu)持天(tian)文(wen)大(da)(da)地測(ce)量(liang)方(fang)面有(you)很(hen)大(da)(da)貢獻(xian)。
幼年時，一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)家(jia)庭貧困，經常(chang)得到(dao)鄰居王姥(lao)姥(lao)接濟。一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)做(zuo)了(le)(le)天(tian)子之師常(chang)想(xiang)起(qi)王姥(lao)姥(lao)。然而尚(shang)來不(bu)(bu)及報(bao)答(da)，王姥(lao)姥(lao)已(yi)找上門來。兒(er)子殺人(ren)(ren)犯(fan)罪，王姥(lao)姥(lao)想(xiang)讓一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)出(chu)面求求情。一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)明白殺人(ren)(ren)償命，國(guo)法(fa)(fa)難(nan)違(wei)。他(ta)說(shuo)：姥(lao)姥(lao)是(shi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)的(de)恩人(ren)(ren)，要(yao)(yao)錢要(yao)(yao)物要(yao)(yao)多少一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)都(dou)應(ying)當(dang)滿足，此事一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)卻辦不(bu)(bu)到(dao)。王姥(lao)姥(lao)聽了(le)(le)大(da)(da)罵一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)見死(si)不(bu)(bu)救忘恩負(fu)義。一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)惟(wei)有(you)不(bu)(bu)停地(di)在(zai)(zai)姥(lao)姥(lao)面前(qian)謝罪。目送姥(lao)姥(lao)離去，一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)把一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)布袋(dai)交給兩個心腹之人(ren)(ren)，命他(ta)們(men)在(zai)(zai)指定的(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個地(di)方(fang)潛藏(zang)，他(ta)說(shuo)從(cong)中午到(dao)黃昏，會有(you)七(qi)(qi)(qi)樣(yang)東西進入布袋(dai)。他(ta)們(men)照(zhao)著做(zuo)了(le)(le)，用(yong)布袋(dai)帶回七(qi)(qi)(qi)只(zhi)豬。一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)把七(qi)(qi)(qi)只(zhi)豬放進已(yi)準備好(hao)的(de)大(da)(da)甕中封蓋。次日一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)早，宮(gong)里來人(ren)(ren)叩門急切，說(shuo)皇帝有(you)事相商。剛到(dao)便殿，李(li)隆基已(yi)迎出(chu)來，問：昨夜北斗(dou)七(qi)(qi)(qi)星不(bu)(bu)見了(le)(le)，是(shi)吉是(shi)兇？如何應(ying)對？一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)有(you)理有(you)據(ju)做(zuo)了(le)(le)分析(xi)，然后建議“莫若大(da)(da)赦(she)天(tian)下”。李(li)隆基當(dang)即下詔大(da)(da)赦(she)天(tian)下。當(dang)天(tian)晚(wan)上，七(qi)(qi)(qi)星中的(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)顆在(zai)(zai)天(tian)空(kong)中出(chu)現了(le)(le)，七(qi)(qi)(qi)天(tian)后，七(qi)(qi)(qi)星全部在(zai)(zai)天(tian)空(kong)中出(chu)現了(le)(le)…… 恩人(ren)(ren)的(de)兒(er)子犯(fan)死(si)罪，一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)要(yao)(yao)報(bao)恩，又要(yao)(yao)不(bu)(bu)違(wei)犯(fan)國(guo)法(fa)(fa)，在(zai)(zai)此情境下，他(ta)惟(wei)有(you)用(yong)自己的(de)“方(fang)法(fa)(fa)”。段成式記述此事，心中亦有(you)疙瘩解不(bu)(bu)開：此事頗怪(guai)，然大(da)(da)傳眾口(kou)，不(bu)(bu)得不(bu)(bu)著之。
僧(seng)一(yi)(yi)行博覽無不(bu)(bu)(bu)知，尤善于數(shu)(shu)，鉤深藏往，當時(shi)(shi)學者莫能測。幼時(shi)(shi)家貧，鄰有王(wang)姥(lao)(lao)，前(qian)后濟(ji)之(zhi)(zhi)(zhi)數(shu)(shu)十(shi)萬，及一(yi)(yi)行開(kai)元中(zhong)承上敬遇，言(yan)無不(bu)(bu)(bu)可，常思報之(zhi)(zhi)(zhi)。尋王(wang)姥(lao)(lao)兒犯殺人(ren)(ren)罪，獄未具，姥(lao)(lao)訪(fang)一(yi)(yi)行求救(jiu)，一(yi)(yi)行曰(yue)(yue)：“姥(lao)(lao)要金帛，當十(shi)倍酬也(ye)。明君執(zhi)法，難(nan)以請求，如(ru)何？”王(wang)姥(lao)(lao)戟(ji)手大罵曰(yue)(yue)：“何用識此僧(seng)！”一(yi)(yi)行從而謝之(zhi)(zhi)(zhi)，終不(bu)(bu)(bu)顧。一(yi)(yi)行心計渾天(tian)寺(si)中(zhong)工役數(shu)(shu)百，乃命空其(qi)室內(nei)，徙大甕于中(zhong)，又密選常住奴二人(ren)(ren)，授以布囊，謂曰(yue)(yue)：“某坊某角(jiao)有廢園，汝向中(zhong)潛伺(si)，從午至(zhi)昏，當有物入來。其(qi)數(shu)(shu)七，可盡掩之(zhi)(zhi)(zhi)。失一(yi)(yi)則杖汝。”奴如(ru)言(yan)而往，至(zhi)酉(you)后，果有群豕至(zhi)，奴悉(xi)獲(huo)而歸(gui)。一(yi)(yi)行大喜，令(ling)置甕中(zhong)，覆以木(mu)蓋，封于六一(yi)(yi)泥，朱題梵(fan)字(zi)數(shu)(shu)寸，其(qi)徒(tu)莫測。詰朝，中(zhong)使叩(kou)門急召(zhao)。至(zhi)便(bian)殿(dian)，玄(xuan)宗(zong)迎問曰(yue)(yue)：“太史(shi)奏昨夜北(bei)斗不(bu)(bu)(bu)見(jian)，是何祥(xiang)也(ye)，師有以禳之(zhi)(zhi)(zhi)乎？”一(yi)(yi)行曰(yue)(yue)：“后魏時(shi)(shi)，失熒惑，至(zhi)今(jin)帝車不(bu)(bu)(bu)見(jian)，古(gu)所無者，天(tian)將大警于陛下(xia)也(ye)。如(ru)臣曲見(jian)，莫若大赦天(tian)下(xia)。”玄(xuan)宗(zong)從之(zhi)(zhi)(zhi)。又，其(qi)夕，太史(shi)奏北(bei)斗一(yi)(yi)星見(jian)，凡七日而復(fu)。成式以此事頗怪，然(ran)大傳眾口，不(bu)(bu)(bu)得不(bu)(bu)(bu)著之(zhi)(zhi)(zhi)。
據(ju)明正德本《大名(ming)(ming)(ming)府(fu)志》及今本《南(nan)(nan)樂(le)(le)縣(xian)(xian)志》記載：西(xi)漢(han)置(zhi)(zhi)樂(le)(le)昌(chang)(chang)(chang)(chang)縣(xian)(xian)，屬(shu)(shu)東(dong)(dong)郡(jun)。樂(le)(le)昌(chang)(chang)(chang)(chang)縣(xian)(xian)在東(dong)(dong)漢(han)初年(nian)廢置(zhi)(zhi)。西(xi)晉于原樂(le)(le)昌(chang)(chang)(chang)(chang)縣(xian)(xian)故地復設縣(xian)(xian)，更(geng)名(ming)(ming)(ming)昌(chang)(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)，屬(shu)(shu)魏(wei)郡(jun)。隋開皇三年(nian)(公(gong)(gong)元(yuan)583年(nian))，從(cong)昌(chang)(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)縣(xian)(xian)西(xi)北(bei)部分置(zhi)(zhi)繁(fan)水(shui)(shui)(shui)縣(xian)(xian)，同屬(shu)(shu)魏(wei)州(zhou)。大業元(yuan)年(nian)(公(gong)(gong)元(yuan)605年(nian))，昌(chang)(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)縣(xian)(xian)并入繁(fan)水(shui)(shui)(shui)縣(xian)(xian)。唐貞觀十六年(nian)(公(gong)(gong)元(yuan)643年(nian))，改繁(fan)水(shui)(shui)(shui)縣(xian)(xian)為昌(chang)(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)縣(xian)(xian)。五(wu)代(dai)后梁貞明二年(nian)(公(gong)(gong)元(yuan)916年(nian))，昌(chang)(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)縣(xian)(xian)更(geng)名(ming)(ming)(ming)南(nan)(nan)樂(le)(le)縣(xian)(xian)，仍(reng)屬(shu)(shu)魏(wei)州(zhou)。再查考(kao)魏(wei)州(zhou)，原名(ming)(ming)(ming)魏(wei)郡(jun)，北(bei)周改之(zhi)，五(wu)代(dai)又(you)更(geng)名(ming)(ming)(ming)興唐府(fu)、廣(guang)晉府(fu)、大名(ming)(ming)(ming)府(fu)。南(nan)(nan)樂(le)(le)縣(xian)(xian)從(cong)五(wu)代(dai)到民國(guo)初年(nian)，長期(qi)為大名(ming)(ming)(ming)府(fu)所轄(xia)。由(you)上可見，南(nan)(nan)樂(le)(le)縣(xian)(xian)是由(you)樂(le)(le)昌(chang)(chang)(chang)(chang)、昌(chang)(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)、繁(fan)水(shui)(shui)(shui)沿革(ge)而來，唐時的魏(wei)州(zhou)繁(fan)水(shui)(shui)(shui)、昌(chang)(chang)(chang)(chang)樂(le)(le)即今河南(nan)(nan)南(nan)(nan)樂(le)(le)縣(xian)(xian)。
僧一行，姓張氏(shi)，先名遂，魏州昌樂人(ren)，襄州都督、郯(tan)國公公謹之(zhi)孫也。父擅，武功令。
一(yi)行(xing)(xing)少聰敏，博覽經史，尤精(jing)歷象、陰(yin)陽(yang)、五行(xing)(xing)之(zhi)(zhi)(zhi)學(xue)(xue)。時道士尹崇(chong)博學(xue)(xue)先達，素多墳籍(ji)。一(yi)行(xing)(xing)詣崇(chong)，借(jie)揚雄《太(tai)玄經》，將歸讀之(zhi)(zhi)(zhi)。數日，復詣崇(chong)，還其(qi)書(shu)。崇(chong)曰(yue)(yue)：“此(ci)書(shu)意指稍深，吾尋之(zhi)(zhi)(zhi)積年，尚不(bu)能曉，吾子試更(geng)研(yan)求(qiu)，何(he)遽見還也(ye)？”一(yi)行(xing)(xing)曰(yue)(yue)：“究(jiu)其(qi)義矣(yi)。”因出所撰(zhuan)《大(da)衍(yan)玄圖(tu)》及(ji)《義決》一(yi)卷以示崇(chong)。崇(chong)大(da)驚，因與一(yi)行(xing)(xing)談其(qi)奧賾，甚嗟伏之(zhi)(zhi)(zhi)。謂(wei)人曰(yue)(yue)：“此(ci)后生顏子也(ye)。”一(yi)行(xing)(xing)由(you)是大(da)知名。武三思慕其(qi)學(xue)(xue)行(xing)(xing)，就請與結交，一(yi)行(xing)(xing)逃匿以避(bi)之(zhi)(zhi)(zhi)。尋出家為僧，隱于嵩山，師事沙(sha)門普寂(ji)。睿宗即位(wei)，敕東都留守韋(wei)安石以禮(li)征。一(yi)行(xing)(xing)固辭以疾，不(bu)應(ying)命。后步往荊州當陽(yang)山，依沙(sha)門悟真(zhen)以習(xi)梵律。
癲坷開元五年(nian)，玄宗(zong)令其族叔禮(li)部郎中(zhong)洽赍敕(chi)書就(jiu)荊州強(qiang)起之。一(yi)行(xing)至京，置于光太殿，數就(jiu)之，訪(fang)以(yi)安國撫人之道，言(yan)皆切(qie)直，無有(you)所隱。開元十(shi)年(nian)，永穆公主(zhu)出降，敕(chi)有(you)司優厚(hou)發遣，依太平公主(zhu)故事。一(yi)行(xing)以(yi)為高宗(zong)末年(nian)，唯有(you)一(yi)女，所以(yi)特加其禮(li)。又太平驕僭，竟以(yi)得罪，不應引以(yi)為例(li)。上納其言(yan)，遽追敕(chi)不行(xing)，但依常(chang)禮(li)。其諫諍皆此類也。
卷(juan)，一(yi)(yi)行尤明著述(shu)，撰《大(da)衍論》三卷(juan)，《攝調伏藏》十(shi)卷(juan)，《天(tian)一(yi)(yi)太(tai)一(yi)(yi)經》及(ji)《太(tai)一(yi)(yi)局遁甲經》、《釋氏系錄》各一(yi)(yi)卷(juan)。時《麟(lin)德歷經》推步漸(jian)疏(shu)，敕(chi)一(yi)(yi)行考(kao)前代諸家歷法，改(gai)撰新歷，又令率(lv)府(fu)長史(shi)梁令瓚(zan)等與工人創造(zao)黃道游儀，以考(kao)七曜(yao)行度，互(hu)相(xiang)證明。于是一(yi)(yi)行推《周易》大(da)衍之(zhi)數(shu)，立衍以應之(zhi)，改(gai)撰《開元大(da)衍歷經》。至十(shi)五(wu)年卒，年四(si)十(shi)五(wu)，賜謚曰“大(da)慧禪師”。
魏(wei)書初，一行(xing)從祖東(dong)臺舍人太素(su)，撰(zhuan)《后魏(wei)書》一百卷，其《天文(wen)志》未成，一行(xing)續而成之。上為(wei)一行(xing)制碑文(wen)，親書于石，出(chu)內(nei)庫錢五十(shi)萬，為(wei)起(qi)塔(ta)(ta)于銅人之原。明年，幸溫湯(tang)，過(guo)其塔(ta)(ta)前(qian)，又駐騎徘徊，令品(pin)官就(jiu)塔(ta)(ta)以(yi)(yi)告(gao)其出(chu)豫之意(yi)；更(geng)賜絹五十(shi)匹(pi)，以(yi)(yi)蒔塔(ta)(ta)前(qian)松柏焉。
逅攏(long)初(chu)，一(yi)(yi)(yi)行(xing)求(qiu)(qiu)訪師資，以窮(qiong)大(da)衍，至(zhi)天臺山(shan)國清寺(si)，見一(yi)(yi)(yi)院，古松十(shi)數，門(men)有流(liu)水(shui)(shui)。一(yi)(yi)(yi)行(xing)立于門(men)屏間，聞(wen)院僧于庭布(bu)算(suan)聲，而謂其徒曰：“今日(ri)當(dang)有弟子自遠求(qiu)(qiu)吾算(suan)法，已合到門(men)，豈無人(ren)導達也？”即(ji)除一(yi)(yi)(yi)算(suan)。又謂曰：“門(men)前(qian)水(shui)(shui)當(dang)卻西流(liu)，弟子亦(yi)至(zhi)。”一(yi)(yi)(yi)行(xing)承(cheng)其言而趨入，稽首請(qing)法，盡受其術焉，而門(men)前(qian)水(shui)(shui)果卻西流(liu)。道士邢和璞嘗謂尹愔曰：“一(yi)(yi)(yi)行(xing)其圣人(ren)乎？漢之(zhi)洛下閎造(zao)歷，云：‘后(hou)八百歲(sui)當(dang)差一(yi)(yi)(yi)日(ri)，必有圣人(ren)正之(zhi)。’今年期畢矣(yi)，而一(yi)(yi)(yi)行(xing)造(zao)《大(da)衍》正其差謬，則洛下閎之(zhi)言，信矣(yi)！非圣人(ren)而何？
為之時(shi)又有黃州僧泓者，善葬(zang)法。每行視山原，即為之圖，張(zhang)說深信重之。
說，桑道(dao)茂(mao)者(zhe)，大歷(li)中游京(jing)師(shi)，善太一(yi)遁甲五行災異之說，言事無不中。代宗召之禁中，待(dai)詔翰(han)林。建中初(chu)，神策(ce)軍(jun)修奉(feng)天城，道(dao)茂(mao)請高其(qi)垣墻(qiang)，大為制度，德宗不之省(sheng)。及朱泚之亂，帝蒼(cang)卒出幸，至奉(feng)天，方思道(dao)茂(mao)之言。時(shi)道(dao)茂(mao)已卒，命祭之。
贊曰：術數之精，事(shi)必(bi)前(qian)知。粲如垂象，變(bian)告(gao)無(wu)疑。怪(guai)誕之夫，誣罔蓍龜(gui)。致彼庸妄，幸時艱(jian)危。
一行(xing)主(zhu)張在實測的基(ji)礎上編訂歷法。為此，首先需(xu)要有測量(liang)天體位(wei)置的儀(yi)器(qi)。他于開元(yuan)(yuan)九(jiu)年(nian)（公(gong)元(yuan)(yuan)721年(nian)）率府兵曹參軍梁令瓚設計黃道(dao)游(you)儀(yi)，并制(zhi)成(cheng)木模。一行(xing)決定(ding)用(yong)銅鐵鑄造，于開元(yuan)(yuan)十一年(nian)（公(gong)元(yuan)(yuan)723年(nian)）完成(cheng)。這架(jia)儀(yi)器(qi)的黃道(dao)不是固(gu)定(ding)的，可以(yi)在赤(chi)道(dao)上移位(wei)，以(yi)符合歲差現象（當(dang)時認為歲差是黃道(dao)沿赤(chi)道(dao)西(xi)退，實則(ze)相反）。
后(hou)來(lai)，一(yi)行和梁令(ling)瓚(zan)等(deng)又設(she)計制造(zao)水(shui)運(yun)(yun)渾象(xiang)。這個以水(shui)力(li)推動(dong)而運(yun)(yun)轉的渾象(xiang)，附有報時(shi)裝置(zhi)，可以自(zi)(zi)動(dong)報時(shi)，稱為"水(shui)運(yun)(yun)渾天(tian)(tian)"或"開元水(shui)運(yun)(yun)渾天(tian)(tian)俯視圖"。水(shui)運(yun)(yun)渾天(tian)(tian)儀(yi)(yi)是一(yi)具(ju)依靠(kao)水(shui)力(li)而使其(qi)運(yun)(yun)轉，能模仿天(tian)(tian)體運(yun)(yun)行的儀(yi)(yi)器，并可以測定時(shi)間。這個渾天(tian)(tian)儀(yi)(yi)改進了(le)漢代科學家張衡的設(she)計，注水(shui)激輪(lun)，令(ling)其(qi)自(zi)(zi)轉，晝夜(ye)一(yi)周，除了(le)表現星(xing)宿(su)的運(yun)(yun)動(dong)以外(wai)，還能表現日(ri)升月落，當然(ran)比張衡的水(shui)運(yun)(yun)渾象(xiang)儀(yi)(yi)更加(jia)精巧、復雜了(le)。所以，當水(shui)運(yun)(yun)渾天(tian)(tian)儀(yi)(yi)造(zao)成(cheng)之后(hou)，置(zhi)于武成(cheng)殿前，文(wen)武百僚觀看后(hou)，無(wu)不為其(qi)制作精妙，測定朔望、報告時(shi)辰準確而嘆(tan)服，共稱其(qi)妙。
特別是(shi)在(zai)水運渾天儀上(shang)，還設(she)有兩(liang)個(ge)木人(ren)(ren)（相(xiang)關的(de)(de)商州銅(tong)佛龕文物(wu)遺(yi)址仍(reng)存），用齒(chi)輪帶動，一(yi)(yi)個(ge)木人(ren)(ren)每刻（古代(dai)把一(yi)(yi)晝夜分為一(yi)(yi)百刻）自動擊鼓，一(yi)(yi)個(ge)木人(ren)(ren)每辰(chen)（合現在(zai)兩(liang)個(ge)小(xiao)時）自動撞鐘。這兩(liang)個(ge)木人(ren)(ren)是(shi)運用機(ji)械(xie)原理而(er)制成的(de)(de)古代(dai)機(ji)器人(ren)(ren)。這是(shi)一(yi)(yi)個(ge)十分巧妙的(de)(de)計時機(ji)械(xie)，是(shi)世(shi)界上(shang)最早的(de)(de)機(ji)械(xie)時鐘裝置(zhi)，是(shi)現代(dai)機(ji)械(xie)類鐘表(biao)的(de)(de)祖先(xian)，比(bi)公元1370年(nian)西(xi)方才出現的(de)(de)威(wei)克鐘要早六(liu)個(ge)世(shi)紀，這充分顯示了中國古代(dai)勞動人(ren)(ren)民(min)和科學家的(de)(de)聰(cong)明(ming)才智。
盡管這架水運渾天儀在使用了一段時(shi)間后，便(bian)因(yin)銅鐵漸澀(se)，不能(neng)自轉而(er)進入(ru)博物館了。但是，一行(xing)(xing)和梁令(ling)瓚卻以(yi)獲得天文鐘的(de)發明(ming)權而(er)永垂史(shi)冊(ce)。英國(guo)著(zhu)名科(ke)技史(shi)家李約瑟(se)博士在《中國(guo)科(ke)學技術(shu)史(shi)》第四(si)卷中說：高僧一行(xing)(xing)和梁令(ling)瓚所(suo)發明(ming)的(de)平行(xing)(xing)聯動裝置，實質上就是最(zui)早(zao)的(de)機(ji)械(xie)(xie)時(shi)鐘，是一切擒縱器的(de)祖(zu)先，走在歐洲(zhou)14世紀第一具機(ji)械(xie)(xie)時(shi)鐘的(de)前面；
水運渾(hun)天儀上(shang)刻有二十八宿，注水激(ji)輪(lun)，每天一周，恰(qia)恰(qia)與天體(ti)周日(ri)(ri)視運動一致(zhi)。水運渾(hun)天儀一半在水柜(ju)(ju)里，柜(ju)(ju)的(de)(de)(de)上(shang)框，有如地則(ze)自然(ran)撞(zhuang)鐘。整(zheng)個水運渾(hun)天儀既能演示日(ri)(ri)、月、星辰的(de)(de)(de)視運動，又能自動報(bao)時(shi)(shi)(shi)(shi),有二木(mu)人(ren)，每刻(古代把一晝夜分做一百刻=0.24小時(shi)(shi)(shi)(shi)=14,4分鐘)擊鼓，每時(shi)(shi)(shi)(shi)辰（合現在兩小時(shi)(shi)(shi)(shi)）撞(zhuang)鐘。這是世界上(shang)最(zui)早將擒縱應用于(yu)報(bao)時(shi)(shi)(shi)(shi)的(de)(de)(de)裝置，比外國(guo)自鳴(ming)鐘的(de)(de)(de)出(chu)現早了六(liu)百多年。
一行等(deng)以(yi)新制的(de)黃(huang)道(dao)游儀觀(guan)測(ce)日月(yue)五星的(de)運動，測(ce)量一些恒(heng)星的(de)赤道(dao)坐標和對(dui)黃(huang)道(dao)的(de)相對(dui)位置，發現這些恒(heng)星的(de)位置同漢代所測(ce)結果有很大變(bian)動。
一行受詔改歷(li)后組(zu)織發起了(le)一次(ci)大規模的天文大地(di)(di)測量工作(zuo)。這次(ci)測量，用實(shi)測數(shu)據(ju)徹(che)底地(di)(di)否(fou)定了(le)歷(li)史上(shang)的“日影一寸(cun)，地(di)(di)差千里”的錯誤(wu)理論，提供了(le)相當精確的地(di)(di)球子午線一度弧的長度。
一行發(fa)起這(zhe)次大規模的(de)(de)(de)天文測量(liang)主(zhu)要目的(de)(de)(de)有二。其一，中國古代有一種(zhong)傳統(tong)理論：“日(ri)影一寸，地(di)差千里。”劉宋(song)時期的(de)(de)(de)天算家何承天根(gen)據當時在(zai)交州(zhou)（今(jin)越南(nan)河內一帶）的(de)(de)(de)測量(liang)數據，開(kai)始對此(ci)提出(chu)了懷(huai)疑，但長(chang)期未能得(de)到證實(shi)。隋朝天算家劉焯(zhuo)則提出(chu)了用(yong)實(shi)測結果(guo)來(lai)否(fou)定這(zhe)一錯(cuo)誤說(shuo)法的(de)(de)(de)具體計(ji)(ji)劃，他(ta)說(shuo)：“交愛之州(zhou)，表(biao)北無(wu)影，計(ji)(ji)無(wu)萬里，南(nan)過戴日(ri)，是(shi)千里一寸，非(fei)其實(shi)差。”他(ta)建議(yi)：“請一水工，并解算術士(shi)，取(qu)河南(nan)北平地(di)之所(suo)(suo)，可量(liang)數百里，南(nan)北使正。審時以漏，平地(di)以繩，隨氣至(zhi)分，同(tong)日(ri)度影。得(de)其差率，里即可知。則天地(di)無(wu)所(suo)(suo)匿(ni)其形，辰象(xiang)(xiang)無(wu)所(suo)(suo)逃其數，超(chao)前顯圣，效象(xiang)(xiang)除疑。”但這(zhe)個建議(yi)在(zai)隋朝沒有被采納。一行的(de)(de)(de)測量(liang)則實(shi)現(xian)了這(zhe)一計(ji)(ji)劃。其二，當時發(fa)現(xian)，觀測地(di)點(dian)不(bu)(bu)同(tong)，日(ri)食發(fa)生的(de)(de)(de)時刻和所(suo)(suo)見食象(xiang)(xiang)都不(bu)(bu)同(tong)，各(ge)節氣的(de)(de)(de)日(ri)影長(chang)度和漏刻晝(zhou)夜分也不(bu)(bu)相同(tong)。這(zhe)種(zhong)現(xian)象(xiang)(xiang)是(shi)過去的(de)(de)(de)歷(li)法所(suo)(suo)沒有考慮到的(de)(de)(de)。這(zhe)就需要到各(ge)地(di)進行實(shi)地(di)測量(liang)。
這次(ci)測(ce)量(liang)(liang)過程中，由太(tai)史監南(nan)宮說及太(tai)史官(guan)大相元太(tai)等人(ren)分赴(fu)各地，“測(ce)候日(ri)影(ying)，回日(ri)奏聞”。而一(yi)(yi)行“則以(yi)南(nan)北日(ri)影(ying)較量(liang)(liang)，用(yong)勾股法算之(zhi)”。可見，一(yi)(yi)行不(bu)僅負責組織領導了這次(ci)測(ce)量(liang)(liang)工作(zuo)，而且親自承擔了測(ce)量(liang)(liang)數據的分析(xi)計算工作(zuo)。
當時測(ce)量的(de)(de)范圍(wei)很廣，北(bei)(bei)(bei)到北(bei)(bei)(bei)緯(wei)51度左右(you)的(de)(de)鐵勒回紇部（今(jin)蒙古烏蘭巴托西南(nan)(nan)），南(nan)(nan)到約北(bei)(bei)(bei)緯(wei)18度的(de)(de)林邑(yi)（今(jin)越南(nan)(nan)的(de)(de)中部）等(deng)十三(san)處，超(chao)出了現在中國(guo)南(nan)(nan)北(bei)(bei)(bei)的(de)(de)陸地疆(jiang)界。這樣的(de)(de)規(gui)模在世界科學史上都是空前的(de)(de)。
其中(zhong)最值得注意的(de)是由(you)南(nan)宮說(shuo)親(qin)自率領的(de)測量隊(dui)，按(an)劉焯(zhuo)的(de)計劃在黃河兩岸平原地區測量的(de)四(si)個點(dian)，由(you)北向南(nan)有滑(hua)州白馬（今河南(nan)滑(hua)縣）、汴州浚儀太岳臺（今開封西北）、許州扶(fu)溝(gou)（今河南(nan)扶(fu)溝(gou)）、豫州上(shang)蔡武(wu)津館（今河南(nan)上(shang)蔡）。其中(zhong)白馬在黃河北，其他三(san)點(dian)都在黃河以南(nan)。它們均介(jie)于東(dong)經(jing)114.2度(du)—114.5度(du)之間(jian)，差(cha)不多(duo)在同一(yi)(yi)(yi)經(jing)度(du)上(shang)（即劉焯(zhuo)所說(shuo)的(de)“南(nan)北使正”）。總計白馬至上(shang)蔡526里270步，北極高度(du)相差(cha)1.5度(du)，從而(er)得出(chu)大約三(san)百五(wu)十(shi)一(yi)(yi)(yi)里八十(shi)步，北極高度(du)相差(cha)一(yi)(yi)(yi)度(du)的(de)結論。這實際(ji)上(shang)給出(chu)了地球子午(wu)線(xian)一(yi)(yi)(yi)度(du)的(de)長度(du)。
由于(yu)對唐尺數(shu)值(zhi)的(de)大(da)小，人(ren)們目(mu)前的(de)看法還不一(yi)致，故評價一(yi)行這次子(zi)午線測(ce)量的(de)精度受到限(xian)制。初(chu)步的(de)估計結(jie)果是(shi)，一(yi)行的(de)測(ce)量值(zhi)與現(xian)代值(zhi)相(xiang)比，相(xiang)對誤差大(da)約(yue)為11.8%。
國外(wai)最早根(gen)據日影長(chang)度計算地球周長(chang)的(de)是(shi)古希臘科學(xue)家埃拉托斯(si)特(te)尼，約公(gong)元前(qian)240年，他根(gen)據亞歷山大港與阿(a)斯(si)旺(wang)之間不同的(de)正(zheng)午時分的(de)太(tai)陽(yang)高線及三(san)角(jiao)學(xue)計算，以斯(si)塔蒂(di)亞（stadia）為(wei)單位出地球的(de)直徑。斯(si)塔蒂(di)亞乃是(shi)古希臘的(de)長(chang)度單位，各地不一(yi)。如按雅典(dian)的(de)長(chang)度算，則地球周長(chang)為(wei)46620公(gong)里，多了16.3%，若按埃及的(de)長(chang)度算，則地球周長(chang)為(wei)39690公(gong)里，其誤(wu)差小(xiao)于2%。
伊斯蘭世界最早的子午線實測是在公元814年，在一(yi)行之后九十年，由天文學家阿爾·花剌子米（約(yue)783—850）參與組(zu)織，在幼(you)發拉底(di)河平原進行了一(yi)次大地測量，測算結果(guo)得出(chu)子午線一(yi)度長為(wei)111.815公里（現代理(li)論(lun)值為(wei)110.6公里），相當(dang)精確。
從(cong)(cong)開(kai)(kai)元(yuan)十(shi)(shi)三年(nian)(nian)(nian)(nian)（公元(yuan)725年(nian)(nian)(nian)(nian)）起，一行開(kai)(kai)始編歷(li)(li)(li)。經過兩年(nian)(nian)(nian)(nian)時間(jian)，編成草(cao)稿，定名為(wei)《大(da)衍歷(li)(li)(li)》。《大(da)衍歷(li)(li)(li)》后經張說和歷(li)(li)(li)官陳玄(xuan)景等人整(zheng)理成書(shu)。從(cong)(cong)開(kai)(kai)元(yuan)十(shi)(shi)七(qi)年(nian)(nian)(nian)(nian)起，根(gen)據(ju)《大(da)衍歷(li)(li)(li)》編算成的每年(nian)(nian)(nian)(nian)的歷(li)(li)(li)書(shu)頒行全(quan)國。經過檢驗，《大(da)衍歷(li)(li)(li)》比唐代已有的其他歷(li)(li)(li)法都更精密。開(kai)(kai)元(yuan)二十(shi)(shi)一年(nian)(nian)(nian)(nian)（公元(yuan)733年(nian)(nian)(nian)(nian)）傳入日本，行用近百年(nian)(nian)(nian)(nian)。
《大衍歷》的九服晷影算法及其正切函數表
中國古代歷法從東漢《四分歷》開始，就有各節氣初日晷影長度和太陽去極度的觀測記錄，漏刻、晷影成為古代歷法的重要計算項目。隋朝劉焯發明二次等間距插值法之后，李淳風首先將二次插值法引入到漏刻計算中，由每氣初日的漏刻、晷影長度數求該氣各日的漏刻、晷影數。但是，各歷法中所記載和計算的漏刻和晷影大多是陽城（今河南登封東南告成鎮）的數值。一行在編制《大衍歷》時，曾進行了大規模的天文測量，通過觀測知道，隨去極度變化的影長，又因地方而異，但同太陽的天頂距有固定的對應關系。一行在《大衍歷》中發明了求任何地方每日影長和去極度的計算方法，稱做“九服晷影”。歷法(fa)中已給出(chu)陽(yang)(yang)城各(ge)氣(qi)(qi)初日的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)去(qu)極度，則各(ge)氣(qi)(qi)的去(qu)極度差即為已知(zhi)，同樣(yang)各(ge)氣(qi)(qi)的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天(tian)頂(ding)距差亦為已知(zhi)，而這個差數(shu)對(dui)于任一(yi)(yi)地(di)點都是(shi)相等的。這樣(yang)一(yi)(yi)來(lai)，對(dui)于任一(yi)(yi)地(di)方，只要知(zhi)道某一(yi)(yi)節氣(qi)(qi)（如夏(xia)(xia)至）的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天(tian)頂(ding)距，其(qi)他各(ge)氣(qi)(qi)的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天(tian)頂(ding)距都可以通過加(jia)減這個差數(shu)求出(chu)。剩(sheng)下(xia)還(huan)要解決(jue)以下(xia)兩個問(wen)題：其(qi)一(yi)(yi)，如何求某地(di)夏(xia)(xia)至（或冬至）的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天(tian)頂(ding)距；其(qi)二，已知(zhi)天(tian)頂(ding)距如何換算(suan)出(chu)晷影(ying)長。這兩個問(wen)題都可以通過建(jian)立一(yi)(yi)個影(ying)長與太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天(tian)頂(ding)距的對(dui)應數(shu)表來(lai)解決(jue)。
如(ru)果(guo)列出一(yi)(yi)張以(yi)(yi)天頂距(ju)為引(yin)數，每(mei)隔一(yi)(yi)度(du)的(de)(de)(de)(de)影長的(de)(de)(de)(de)數值表，則(ze)以(yi)(yi)上(shang)兩(liang)個問題都可(ke)以(yi)(yi)解決(jue)：先在(zai)(zai)(zai)所(suo)測地測出（冬）夏至晷(gui)影長度(du)（在(zai)(zai)(zai)一(yi)(yi)行(xing)領導的(de)(de)(de)(de)大(da)地測量中，在(zai)(zai)(zai)每(mei)處都進行(xing)了(le)這樣的(de)(de)(de)(de)測量），由影長查表得出太陽天頂距(ju)，再(zai)(zai)加減一(yi)(yi)個如(ru)前所(suo)述的(de)(de)(de)(de)差(cha)數即(ji)可(ke)求出該地各(ge)氣的(de)(de)(de)(de)天頂距(ju)，返(fan)回再(zai)(zai)查表得影長。一(yi)(yi)行(xing)在(zai)(zai)(zai)《大(da)衍(yan)歷》“步晷(gui)漏術(shu)”中就建立(li)了(le)這樣一(yi)(yi)個從0度(du)到80度(du)的(de)(de)(de)(de)每(mei)度(du)影長與(yu)太陽天頂距(ju)對應數表，這是世界數學史上(shang)最早的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)張正切函數表。
在(zai)(zai)國外(wai)，大(da)約(yue)920年(nian)左右，阿拉伯學(xue)者阿爾·巴(ba)坦(tan)尼(ni)（al-Battani，約(yue)858年(nian)—929年(nian)）根據影長與太陽仰角之間的(de)(de)(de)關系，編(bian)制了(le)0度(du)—90度(du)每隔(ge)一度(du)時12尺竿(gan)子的(de)(de)(de)影長表，這實際上是(shi)(shi)一個12ctgα的(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)表。另(ling)一位阿拉伯學(xue)者阿爾·威發(fa)(fa)（Abul-Wafa，940—998）在(zai)(zai)980年(nian)左右編(bian)成(cheng)(cheng)了(le)正(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)和(he)余(yu)(yu)切(qie)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)表，每隔(ge)15度(du)和(he)10度(du)給出一個值。他還首次引進了(le)正(zheng)(zheng)(zheng)割和(he)余(yu)(yu)割函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)。一行和(he)阿爾·巴(ba)坦(tan)尼(ni)差不多沿著相(xiang)同的(de)(de)(de)途徑編(bian)成(cheng)(cheng)正(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)和(he)余(yu)(yu)切(qie)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)表。一行用(yong)(yong)太陽天頂距，阿爾·巴(ba)坦(tan)尼(ni)用(yong)(yong)太陽仰角，兩(liang)(liang)者互為余(yu)(yu)角，所以(yi)他們(men)兩(liang)(liang)人的(de)(de)(de)發(fa)(fa)現是(shi)(shi)相(xiang)同的(de)(de)(de)。而一行的(de)(de)(de)正(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)表比(bi)阿爾·巴(ba)坦(tan)尼(ni)的(de)(de)(de)余(yu)(yu)切(qie)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)表早(zao)近兩(liang)(liang)百(bai)年(nian)，比(bi)阿爾·威發(fa)(fa)的(de)(de)(de)正(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)表要早(zao)二(er)百(bai)五十年(nian)。盡管(guan)一行的(de)(de)(de)正(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)表只從0度(du)到80度(du)，誤差也相(xiang)應(ying)大(da)一些(xie)，但它畢竟是(shi)(shi)世界(jie)上最早(zao)的(de)(de)(de)正(zheng)(zheng)(zheng)切(qie)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)表。
《大衍歷》的插值算法
今天(tian)常(chang)用的(de)(de)(de)(de)牛(niu)頓(dun)插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)公(gong)式(shi)，其(qi)(qi)(qi)不等(deng)(deng)間距(ju)(ju)的(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)式(shi)比等(deng)(deng)間距(ju)(ju)的(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)式(shi)要復雜得多。天(tian)算(suan)(suan)(suan)(suan)史界有一(yi)(yi)(yi)種(zhong)流行(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)看(kan)法(fa)(fa)(fa)，認為(wei)在(zai)中(zhong)國古(gu)(gu)代，唐朝天(tian)文學(xue)家、數(shu)學(xue)家一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)在(zai)其(qi)(qi)(qi)《大(da)衍歷(li)(li)》中(zhong)發明了(le)二(er)次不等(deng)(deng)間距(ju)(ju)插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)法(fa)(fa)(fa)，且(qie)一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)還有意識(shi)地應用了(le)三(san)次差內插法(fa)(fa)(fa)近似(si)公(gong)式(shi)。因此，一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)在(zai)插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)法(fa)(fa)(fa)方面的(de)(de)(de)(de)貢獻備受(shou)中(zhong)外天(tian)算(suan)(suan)(suan)(suan)史研(yan)究者的(de)(de)(de)(de)關注。中(zhong)國古(gu)(gu)代非(fei)線性(xing)插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)法(fa)(fa)(fa)，是劉(liu)焯(zhuo)在(zai)其(qi)(qi)(qi)《皇極(ji)歷(li)(li)》（604年）中(zhong)考慮(lv)到太陽運(yun)動(dong)不均勻性(xing)為(wei)計(ji)算(suan)(suan)(suan)(suan)太陽行(xing)(xing)度改正值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)時首創的(de)(de)(de)(de)。有關中(zhong)國古(gu)(gu)代插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)(suan)(suan)理(li)研(yan)究的(de)(de)(de)(de)新成(cheng)(cheng)果表(biao)明，劉(liu)焯(zhuo)二(er)次等(deng)(deng)間距(ju)(ju)插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)造(zao)術原理(li)建立(li)在(zai)源于(yu)《九章算(suan)(suan)(suan)(suan)術》描(miao)述勻變速運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)(de)模型基礎(chu)之(zhi)上，認為(wei)太陽每日(ri)(ri)的(de)(de)(de)(de)運(yun)行(xing)(xing)速度之(zhi)值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)構(gou)成(cheng)(cheng)一(yi)(yi)(yi)等(deng)(deng)差數(shu)列(lie)。質言之(zhi)，所(suo)用數(shu)學(xue)方法(fa)(fa)(fa)就是構(gou)造(zao)一(yi)(yi)(yi)等(deng)(deng)差數(shu)列(lie)并(bing)求其(qi)(qi)(qi)前若干項和。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)法(fa)(fa)(fa)并(bing)沒有人們所(suo)想(xiang)象(xiang)那(nei)樣的(de)(de)(de)(de)推廣意義。就插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)(fa)本身，一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)(fa)與劉(liu)焯(zhuo)算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)(fa)實質完(wan)全相同(tong)。所(suo)不同(tong)的(de)(de)(de)(de)是，《皇極(ji)歷(li)(li)》是在(zai)以平氣為(wei)間隔的(de)(de)(de)(de)日(ri)(ri)躔表(biao)基礎(chu)上插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。而(er)《大(da)衍歷(li)(li)》是在(zai)以定氣為(wei)間隔的(de)(de)(de)(de)日(ri)(ri)躔表(biao)上插值(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。
《太(tai)初(chu)歷》以(yi)(yi)后(hou)，各(ge)歷都以(yi)(yi)平(ping)分(fen)(fen)(fen)(fen)一(yi)回(hui)歸年365.25日(ri)為24等(deng)份而得每(mei)節(jie)(jie)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)長(chang)15.22日(ri)，這(zhe)(zhe)樣規定(ding)(ding)(ding)的二(er)十(shi)四(si)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)稱(cheng)為“常氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)”，或叫“平(ping)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)”。張(zhang)子信指出(chu)“日(ri)行(xing)春(chun)分(fen)(fen)(fen)(fen)后(hou)則遲，秋(qiu)(qiu)(qiu)分(fen)(fen)(fen)(fen)后(hou)則速(su)”，于(yu)(yu)是(shi)劉焯(zhuo)造(zao)《皇(huang)極歷》時(shi)體會(hui)到(dao)(dao)二(er)十(shi)四(si)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)皆應有(you)“定(ding)(ding)(ding)日(ri)”，他(ta)(ta)說：“春(chun)、秋(qiu)(qiu)(qiu)分(fen)(fen)(fen)(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)去(qu)冬至(zhi)(zhi)各(ge)八(ba)十(shi)八(ba)日(ri)有(you)奇，去(qu)夏(xia)至(zhi)(zhi)各(ge)九(jiu)十(shi)三(san)日(ri)有(you)奇。”但劉焯(zhuo)并(bing)沒有(you)搞清楚太(tai)陽(yang)(yang)速(su)度(du)的加減(jian)和季節(jie)(jie)的關系，他(ta)(ta)的日(ri)躔表是(shi)把秋(qiu)(qiu)(qiu)分(fen)(fen)(fen)(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)后(hou)到(dao)(dao)春(chun)分(fen)(fen)(fen)(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)前平(ping)均(jun)分(fen)(fen)(fen)(fen)為12段，每(mei)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)14.54日(ri)；春(chun)分(fen)(fen)(fen)(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)后(hou)到(dao)(dao)秋(qiu)(qiu)(qiu)分(fen)(fen)(fen)(fen)定(ding)(ding)(ding)日(ri)前也平(ping)分(fen)(fen)(fen)(fen)為12段，每(mei)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)15.45日(ri)。這(zhe)(zhe)顯然不是(shi)“定(ding)(ding)(ding)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)”。一(yi)行(xing)則認為，太(tai)陽(yang)(yang)在一(yi)回(hui)歸年365.2444日(ri)中共行(xing)365.2444度(du)，每(mei)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)行(xing)15.2185度(du)。冬至(zhi)(zhi)附近日(ri)行(xing)速(su)度(du)最急，故(gu)二(er)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)間(jian)所需運行(xing)時(shi)間(jian)最短，夏(xia)至(zhi)(zhi)附近日(ri)行(xing)速(su)度(du)最緩，故(gu)二(er)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)間(jian)的時(shi)間(jian)最長(chang)。實際上，《大衍歷》這(zhe)(zhe)里首先提(ti)(ti)出(chu)了平(ping)分(fen)(fen)(fen)(fen)黃道(dao)為24等(deng)份，以(yi)(yi)太(tai)陽(yang)(yang)實際走完每(mei)個(ge)等(deng)份的時(shi)間(jian)長(chang)度(du)為各(ge)節(jie)(jie)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)長(chang)度(du)，這(zhe)(zhe)就(jiu)是(shi)通常所稱(cheng)的“定(ding)(ding)(ding)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)”概(gai)念。一(yi)行(xing)提(ti)(ti)出(chu)正確的定(ding)(ding)(ding)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)概(gai)念以(yi)(yi)后(hou)，在計(ji)算太(tai)陽(yang)(yang)改正時(shi)自然就(jiu)以(yi)(yi)定(ding)(ding)(ding)氣(qi)(qi)(qi)(qi)(qi)為插值間(jian)隔(ge)。至(zhi)(zhi)于(yu)(yu)插值法本身(shen)則完全是(shi)沿(yan)用劉焯(zhuo)的方法。
值得一提的是，劉焯在日(ri)(ri)躔表(biao)中規(gui)定太(tai)陽視(shi)運(yun)動一年內(nei)(nei)的變(bian)(bian)化規(gui)律是：冬(dong)至(zhi)(zhi)最快(kuai)，冬(dong)至(zhi)(zhi)后漸慢(man)，到(dao)(dao)立(li)春(chun)時(shi)開(kai)始(shi)加快(kuai)，春(chun)分(fen)(fen)時(shi)又達到(dao)(dao)最快(kuai)，冬(dong)至(zhi)(zhi)到(dao)(dao)春(chun)分(fen)(fen)這段時(shi)間(jian)內(nei)(nei)日(ri)(ri)速(su)(su)比平均(jun)(jun)速(su)(su)度(du)(du)快(kuai)。春(chun)分(fen)(fen)后太(tai)陽視(shi)運(yun)動的速(su)(su)度(du)(du)突變(bian)(bian)為(wei)最慢(man)，之后逐漸加快(kuai)，到(dao)(dao)立(li)夏(xia)(xia)時(shi)又開(kai)始(shi)減慢(man)，夏(xia)(xia)至(zhi)(zhi)達到(dao)(dao)最慢(man)。春(chun)分(fen)(fen)到(dao)(dao)夏(xia)(xia)至(zhi)(zhi)時(shi)段內(nei)(nei)比平均(jun)(jun)速(su)(su)度(du)(du)慢(man)。夏(xia)(xia)至(zhi)(zhi)以(yi)(yi)后的變(bian)(bian)化情況以(yi)(yi)夏(xia)(xia)至(zhi)(zhi)處為(wei)鏡面對稱(cheng)。
《大衍歷》盈(ying)縮(suo)分一年內的(de)變(bian)化趨勢將盈(ying)縮(suo)分在冬(dong)至(zhi)(zhi)附近(jin)(jin)最大，以后(hou)(hou)逐(zhu)漸變(bian)小，夏(xia)至(zhi)(zhi)時最小，之后(hou)(hou)又(you)逐(zhu)漸增大。這相當于把冬(dong)至(zhi)(zhi)作為太(tai)陽視(shi)運動(dong)的(de)近(jin)(jin)日點，夏(xia)至(zhi)(zhi)為遠日點。這種認(ren)識是(shi)正確的(de)，而《皇(huang)極歷》的(de)規定是(shi)不(bu)符合實際(ji)的(de)。
說一(yi)行有(you)意識地應(ying)用了三(san)次差內插(cha)法(fa)(fa)的(de)(de)(de)近似公式，是指《大衍歷(li)》的(de)(de)(de)月亮極黃(huang)緯算法(fa)(fa)和(he)五(wu)星中心差改正算法(fa)(fa)中所用的(de)(de)(de)插(cha)值法(fa)(fa)。當對中國古(gu)代歷(li)法(fa)(fa)中的(de)(de)(de)插(cha)值法(fa)(fa)的(de)(de)(de)構造原(yuan)理有(you)了深入的(de)(de)(de)認識之后(hou)，研究(jiu)(jiu)者進一(yi)步通過(guo)將這兩處插(cha)值法(fa)(fa)的(de)(de)(de)有(you)關術文與劉焯二次等間距(ju)插(cha)值法(fa)(fa)的(de)(de)(de)術文進行對比研究(jiu)(jiu)，證(zheng)明兩者在實質上(shang)也是相同的(de)(de)(de)。
人們之所以會(hui)認(ren)為《大(da)衍歷》使(shi)用了三次(ci)差(cha)(cha)插值法(fa)，是因(yin)為《大(da)衍歷》在(zai)上(shang)述兩種(zhong)算(suan)法(fa)的(de)(de)插值法(fa)中(zhong)都(dou)引入(ru)(ru)了“中(zhong)差(cha)(cha)”概(gai)念的(de)(de)緣故。但(dan)實際上(shang)一(yi)行引入(ru)(ru)“中(zhong)差(cha)(cha)”的(de)(de)原因(yin)在(zai)于，劉焯日躔(chan)表中(zhong)的(de)(de)各氣陟降率之差(cha)(cha)是相等(deng)的(de)(de)，而《大(da)衍歷》月亮極(ji)黃緯等(deng)數表相鄰兩欄的(de)(de)差(cha)(cha)一(yi)般(ban)不等(deng)。這種(zhong)現(xian)象(xiang)的(de)(de)出(chu)現(xian)，正是一(yi)行受命(ming)改歷時(shi)作了大(da)量(liang)天文觀(guan)測的(de)(de)結(jie)果(guo)。若仍照(zhao)搬《皇極(ji)歷》的(de)(de)做法(fa)，就(jiu)會(hui)出(chu)現(xian)同(tong)一(yi)點(dian)處(chu)有可(ke)能得到兩個不同(tong)的(de)(de)值的(de)(de)現(xian)象(xiang)，這就(jiu)迫使(shi)一(yi)行必須在(zai)計算(suan)方(fang)法(fa)上(shang)進行一(yi)點(dian)細節上(shang)的(de)(de)調整。
巧笑倩兮 
