《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術》是(shi)中國古代張蒼、耿壽昌(chang)所撰寫的一部(bu)數學(xue)專著。是(shi)《算經(jing)十書》中最重(zhong)要的一部(bu)，成于公(gong)元(yuan)一世紀左右。其作者(zhe)已不(bu)可考。一般認為它是(shi)經(jing)歷代各家(jia)的增(zeng)補(bu)修訂，而逐漸(jian)成為現今定(ding)本的，西漢的張蒼、耿壽昌(chang)曾經(jing)做過增(zeng)補(bu)和整理，其時(shi)大體已成定(ding)本。最后成書最遲在東漢前(qian)期(qi)，現今流傳(chuan)的大多是(shi)在三國時(shi)期(qi)魏元(yuan)帝景元(yuan)四年(nian)（263年(nian)），劉徽為《九(jiu)章(zhang)(zhang)》所作的注本。
《九章算(suan)術》內容十分豐富(fu)，全書總結了戰國(guo)、秦、漢時(shi)期的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)成就(jiu)。同(tong)時(shi)，《九章算(suan)術》在數(shu)學(xue)(xue)上(shang)(shang)還(huan)有(you)其獨(du)到的(de)(de)成就(jiu)，不僅最早提到分數(shu)問題，也首先記(ji)錄了盈不足等問題，《方程》章還(huan)在世界數(shu)學(xue)(xue)史上(shang)(shang)首次(ci)闡(chan)述了負數(shu)及其加減(jian)運(yun)算(suan)法則。它是(shi)一本(ben)綜(zong)合(he)性的(de)(de)歷史著作(zuo)，是(shi)當時(shi)世界上(shang)(shang)最簡練有(you)效的(de)(de)應用數(shu)學(xue)(xue)，它的(de)(de)出現標志中國(guo)古(gu)代數(shu)學(xue)(xue)形成了完(wan)整的(de)(de)體(ti)系(xi)。
2020年4月，列入(ru)《教育部(bu)基(ji)礎(chu)教育課程教材發展(zhan)中心(xin)中小學生閱讀指導目錄（2020年版）》初中段。
《九章算術(shu)(shu)》的(de)內容十分(fen)豐富，全(quan)書(shu)采(cai)用問題(ti)(ti)(ti)(ti)(ti)集的(de)形式，收有(you)(you)(you)246個與生(sheng)產、生(sheng)活實踐有(you)(you)(you)聯系的(de)應用問題(ti)(ti)(ti)(ti)(ti)，其中(zhong)每道題(ti)(ti)(ti)(ti)(ti)有(you)(you)(you)問（題(ti)(ti)(ti)(ti)(ti)目）、答（答案）、術(shu)(shu)（解(jie)題(ti)(ti)(ti)(ti)(ti)的(de)步驟，但沒有(you)(you)(you)證明），有(you)(you)(you)的(de)是(shi)(shi)一(yi)題(ti)(ti)(ti)(ti)(ti)一(yi)術(shu)(shu)，有(you)(you)(you)的(de)是(shi)(shi)多題(ti)(ti)(ti)(ti)(ti)一(yi)術(shu)(shu)或一(yi)題(ti)(ti)(ti)(ti)(ti)多術(shu)(shu)。這些問題(ti)(ti)(ti)(ti)(ti)依照(zhao)性質和解(jie)法分(fen)別隸屬于方(fang)(fang)田、粟米、衰（音(yin)cui）分(fen)、少廣、商功、均輸、盈不足、方(fang)(fang)程及勾股。共九章如下(xia)所示。原作(zuo)有(you)(you)(you)插圖，今傳(chuan)本已(yi)只(zhi)剩下(xia)正文(wen)了。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》共(gong)收有246個數(shu)學(xue)問題，分為九(jiu)章(zhang)。它(ta)們的主要內容分別是(shi)：
第一章(zhang)“方(fang)(fang)田”：主要講述(shu)了平面幾何圖形(xing)(xing)面積的計算(suan)方(fang)(fang)法。包(bao)括長(chang)方(fang)(fang)形(xing)(xing)、等腰三角形(xing)(xing)、直角梯形(xing)(xing)、等腰梯形(xing)(xing)、圓(yuan)形(xing)(xing)、扇形(xing)(xing)、弓形(xing)(xing)、圓(yuan)環這八種(zhong)圖形(xing)(xing)面積的計算(suan)方(fang)(fang)法。另外還系統(tong)地講述(shu)了分數的四則運算(suan)法則，以及(ji)求(qiu)分子分母最大公(gong)約數等方(fang)(fang)法。
第(di)二(er)章“粟米(mi)”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱(cheng)為今(jin)有術(shu)；衰分章提出比例分配法則，稱(cheng)為衰分術(shu)；
第三(san)章“衰分”：比例分配(pei)問(wen)題。
第四章“少廣”：已知面積(ji)、體(ti)積(ji)，反求其一邊長和(he)徑長等；介紹了開平方(fang)、開立(li)方(fang)的方(fang)法(fa)。
第五章(zhang)“商功”：土石工程(cheng)、體(ti)積計算；除給出了各(ge)種立體(ti)體(ti)積公式外，還有(you)工程(cheng)分配方法；
第六章“均輸(shu)”：合理攤派賦稅；用(yong)衰分術(shu)解決賦役的(de)合理負擔問題。今有術(shu)、衰分術(shu)及其應用(yong)方(fang)法，構成(cheng)(cheng)了包括今天正、反比(bi)例(li)、比(bi)例(li)分配、復比(bi)例(li)、連鎖比(bi)例(li)在內的(de)整(zheng)套比(bi)例(li)理論。西方(fang)直(zhi)到(dao)15世紀(ji)末以后才形成(cheng)(cheng)類似的(de)全套方(fang)法。
第七章“盈不(bu)足”：即雙(shuang)設法問(wen)題；提(ti)出了盈不(bu)足、盈適(shi)足和(he)不(bu)足適(shi)足、兩(liang)盈和(he)兩(liang)不(bu)足三種類(lei)型的盈虧問(wen)題，以(yi)及(ji)若干(gan)可以(yi)通(tong)過兩(liang)次假設化為盈不(bu)足問(wen)題的一(yi)般(ban)問(wen)題的解(jie)法。這也是(shi)處于世(shi)界領(ling)先(xian)地位的成果(guo)，傳到西方后(hou)，影(ying)響極大。
第(di)八(ba)章“方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)”：一(yi)次方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)組(zu)問題；采用(yong)分離(li)系數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)法(fa)表(biao)示線性方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)組(zu)，相(xiang)(xiang)當于現(xian)在(zai)的(de)(de)(de)(de)矩陣；解線性方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)組(zu)時使(shi)用(yong)的(de)(de)(de)(de)直除(chu)法(fa)，與矩陣的(de)(de)(de)(de)初(chu)等(deng)變換一(yi)致。這是世界(jie)上最早的(de)(de)(de)(de)完(wan)整(zheng)的(de)(de)(de)(de)線性方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)組(zu)的(de)(de)(de)(de)解法(fa)。在(zai)西方(fang)(fang)，直到17世紀(ji)才由(you)萊(lai)布尼茲提出完(wan)整(zheng)的(de)(de)(de)(de)線性方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)解法(fa)法(fa)則。這一(yi)章還引(yin)進(jin)和(he)使(shi)用(yong)了(le)負(fu)數(shu)(shu)，并提出了(le)正負(fu)術——正負(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)加(jia)減法(fa)則，與現(xian)今代數(shu)(shu)中法(fa)則完(wan)全(quan)相(xiang)(xiang)同；解線性方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)(cheng)組(zu)時實際還施行了(le)正負(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)乘除(chu)法(fa)。這是世界(jie)數(shu)(shu)學史上一(yi)項重大(da)的(de)(de)(de)(de)成(cheng)就，第(di)一(yi)次突(tu)破(po)了(le)正數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)范圍，擴展了(le)數(shu)(shu)系。外國則到7世紀(ji)印度的(de)(de)(de)(de)婆羅摩及多才認識負(fu)數(shu)(shu)。
第九(jiu)章“勾(gou)股(gu)(gu)”：利用勾(gou)股(gu)(gu)定(ding)理(li)求解(jie)的(de)(de)(de)各種問(wen)題(ti)。其(qi)中的(de)(de)(de)絕大多(duo)數(shu)內(nei)容是與當(dang)時的(de)(de)(de)社會生活密切相(xiang)關(guan)的(de)(de)(de)。提(ti)出(chu)(chu)了勾(gou)股(gu)(gu)數(shu)問(wen)題(ti)的(de)(de)(de)通解(jie)公式：若(ruo)a、b、c分別(bie)是勾(gou)股(gu)(gu)形的(de)(de)(de)勾(gou)、股(gu)(gu)、弦，則，m>n。在西(xi)方(fang)，畢達哥(ge)拉斯、歐幾里(li)得等僅得到了這個(ge)公式的(de)(de)(de)幾種特殊情況(kuang)，直到3世(shi)紀的(de)(de)(de)丟(diu)番圖才取得相(xiang)近的(de)(de)(de)結果，這已比《九(jiu)章算(suan)術》晚約3個(ge)世(shi)紀了。勾(gou)股(gu)(gu)章還(huan)有些內(nei)容，在西(xi)方(fang)卻(que)還(huan)是近代的(de)(de)(de)事。例如(ru)勾(gou)股(gu)(gu)章最后一題(ti)給(gei)出(chu)(chu)的(de)(de)(de)一組(zu)公式，在國(guo)外(wai)到19世(shi)紀末(mo)才由美國(guo)的(de)(de)(de)數(shu)論學家迪克森得出(chu)(chu)。
《九章(zhang)(zhang)算術》確定了中(zhong)(zhong)(zhong)國古代(dai)數(shu)學的框架，以(yi)(yi)計算為(wei)(wei)中(zhong)(zhong)(zhong)心的特點(dian)，密切聯系實際，以(yi)(yi)解(jie)決人們生產、生活(huo)中(zhong)(zhong)(zhong)的數(shu)學問題為(wei)(wei)目的的風格。其(qi)影(ying)響(xiang)之(zhi)(zhi)深(shen)，以(yi)(yi)致以(yi)(yi)后中(zhong)(zhong)(zhong)國數(shu)學著作(zuo)大(da)體采取(qu)兩種形式：或為(wei)(wei)之(zhi)(zhi)作(zuo)注，或仿其(qi)體例著書(shu)；甚至(zhi)西算傳(chuan)入中(zhong)(zhong)(zhong)國之(zhi)(zhi)后，人們著書(shu)立說時還常常把(ba)包(bao)括西算在內的數(shu)學知識納(na)入九章(zhang)(zhang)的框架。然(ran)而(er)，《九章(zhang)(zhang)算術》亦有其(qi)不容忽視(shi)的缺(que)點(dian)：沒有任何數(shu)學概念的定義，也(ye)沒有給(gei)出任何推導和證(zheng)明。魏(wei)景(jing)元四年(nian)（263年(nian)），劉徽給(gei)《九章(zhang)(zhang)算術》作(zuo)注，才大(da)大(da)彌補了這個缺(que)陷。
劉徽(hui)是中國數學家之一。他(ta)的生平知之甚少。據考證，他(ta)是山東鄒平人。劉徽(hui)定義(yi)了若干(gan)數學概念，全面論證了《九章(zhang)算術》的公式解法，提出了許多重(zhong)要的思(si)想(xiang)、方法和命題(ti)，他(ta)在數學理論方面成績斐(fei)然。
劉徽對(dui)數(shu)(shu)(shu)學概(gai)(gai)念(nian)的(de)定義抽象而嚴(yan)謹。他(ta)揭示了(le)概(gai)(gai)念(nian)的(de)本質，基本符合現代邏輯學和數(shu)(shu)(shu)學對(dui)概(gai)(gai)念(nian)定義的(de)要求。而且他(ta)使用概(gai)(gai)念(nian)時(shi)亦保持了(le)其同一性。如(ru)他(ta)提出凡(fan)數(shu)(shu)(shu)相與(yu)者謂(wei)之率，把(ba)率定義為數(shu)(shu)(shu)量的(de)相互關系。又如(ru)他(ta)把(ba)正負數(shu)(shu)(shu)定義為今兩算得(de)失(shi)相反(fan)(fan)，要令正負以名之，擺脫了(le)正為余(yu)，負為欠的(de)原始觀念(nian)，從本質上(shang)揭示了(le)正負數(shu)(shu)(shu)得(de)失(shi)相反(fan)(fan)的(de)相對(dui)關系。
《九章算術》的算法盡(jin)管抽象，但(dan)相互關系不明顯，顯得零(ling)亂。劉徽大(da)大(da)發展深化了中算中久(jiu)已使用的率(lv)概念和齊(qi)同原理，把它們(men)看作(zuo)運算的綱紀。許多問題，只要找(zhao)出(chu)其中的各(ge)種率(lv)關系，通過(guo)乘以(yi)散之，約以(yi)聚之，齊(qi)同以(yi)通之，都可以(yi)歸結(jie)為(wei)今(jin)有術求解(jie)。
一平(ping)(ping)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)（或(huo)立體(ti)）圖形(xing)經(jing)過平(ping)(ping)移或(huo)旋轉，其(qi)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)積（或(huo)體(ti)積）不變。把一個平(ping)(ping)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)（或(huo)立體(ti)）圖形(xing)分解成若(ruo)干部(bu)(bu)分，各部(bu)(bu)分面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)積（或(huo)體(ti)積）之和與(yu)原(yuan)(yuan)圖形(xing)面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)積（或(huo)體(ti)積）相等。基于(yu)這兩條不言自明(ming)的(de)(de)(de)前提的(de)(de)(de)出(chu)(chu)入(ru)相補(bu)原(yuan)(yuan)理，是中國(guo)古代數學進行幾(ji)何推演(yan)和證(zheng)明(ming)時(shi)最(zui)常用的(de)(de)(de)原(yuan)(yuan)理。劉徽發展(zhan)了出(chu)(chu)入(ru)相補(bu)原(yuan)(yuan)理，成功(gong)地證(zheng)明(ming)了許多面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)積、體(ti)積以及可(ke)以化為面(mian)(mian)(mian)(mian)(mian)積、體(ti)積問(wen)題的(de)(de)(de)勾股(gu)、開方的(de)(de)(de)公式和算(suan)法的(de)(de)(de)正確性(xing)。
《九章(zhang)算術》是(shi)中國古代的數學專著，是(shi)“算經十書(shu)”（漢唐之(zhi)(zhi)間(jian)出現的十部古算書(shu)）中最重要的一種(zhong)。魏(wei)晉(jin)時(shi)劉徽為《九章(zhang)算術》作(zuo)注時(shi)說(shuo):“周公制禮而(er)有(you)九數，九數之(zhi)(zhi)流則(ze)《九章(zhang)》是(shi)矣”，又(you)說(shuo)“漢北平侯張(zhang)蒼(cang)、大司農(nong)中丞(cheng)耿壽昌皆(jie)以善(shan)算命世。蒼(cang)等(deng)因舊文之(zhi)(zhi)遺殘，各稱刪補(bu)，故(gu)校其目(mu)則(ze)與古或異，而(er)所論多近語也”。
根據研究(jiu)，西漢的張蒼(cang)、耿(geng)壽昌曾經(jing)做過增補。最后成書(shu)最遲在東漢前期，但是其基(ji)本(ben)內(nei)容在西漢后期已經(jing)基(ji)本(ben)定型。
《漢(han)書(shu)(shu)藝文志》（班(ban)固根據(ju)劉歆《七(qi)略》寫成者）中著錄的(de)(de)(de)數(shu)學書(shu)(shu)僅(jin)有《許(xu)商算(suan)(suan)術(shu)(shu)》、《杜(du)忠算(suan)(suan)術(shu)(shu)》兩種，并無《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)》，可見《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)》的(de)(de)(de)出(chu)現(xian)(xian)要(yao)晚于《七(qi)略》。《后(hou)漢(han)書(shu)(shu)馬援(yuan)傳》載其侄孫馬續“博覽(lan)群書(shu)(shu)，善(shan)《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)》”，馬續是(shi)公(gong)元(yuan)1世(shi)紀最后(hou)二、三十年(nian)時人(ren)。再根據(ju)《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)》中可供判定年(nian)代(dai)的(de)(de)(de)官名、地(di)名等(deng)來(lai)推(tui)斷，現(xian)(xian)傳本(ben)《九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)》的(de)(de)(de)成書(shu)(shu)年(nian)代(dai)大約是(shi)在公(gong)元(yuan)1世(shi)紀的(de)(de)(de)下半葉。九(jiu)(jiu)(jiu)章算(suan)(suan)術(shu)(shu)將書(shu)(shu)中的(de)(de)(de)所有數(shu)學問題分為九(jiu)(jiu)(jiu)大類，是(shi)陳凱靖編輯的(de)(de)(de)
1984年，在湖(hu)北出土了(le)《算(suan)(suan)(suan)數(shu)書》書簡。據考證(zheng)，它(ta)比《九(jiu)章算(suan)(suan)(suan)術》要早(zao)一個半世紀以上，書中有(you)些內容(rong)和《九(jiu)章算(suan)(suan)(suan)術》非常相似(si)，一些內容(rong)的文(wen)句也基本(ben)相同。有(you)人推測(ce)兩書具有(you)某些繼承關系，但也有(you)不同的看法認為《九(jiu)章算(suan)(suan)(suan)術》沒(mei)有(you)直接受到(dao)《算(suan)(suan)(suan)數(shu)書》影響。
后世的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家，大(da)都是(shi)從《九(jiu)章算(suan)術(shu)》開始(shi)學(xue)(xue)(xue)習和(he)研(yan)究數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)，許多(duo)人(ren)曾(ceng)為(wei)它作(zuo)過(guo)(guo)注釋。其中最著名的(de)(de)有劉(liu)徽（263）、李淳風(feng)（656）等人(ren)。劉(liu)、李等人(ren)的(de)(de)注釋和(he)《九(jiu)章算(suan)術(shu)》一起流傳(chuan)至(zhi)今。唐宋兩(liang)代(dai)，《九(jiu)章算(suan)術(shu)》都由(you)國家明令規(gui)定為(wei)教科書(shu)。到了北宋，《九(jiu)章算(suan)術(shu)》還曾(ceng)由(you)政府進行過(guo)(guo)刊刻(ke)(ke)（1084），這是(shi)世界(jie)上(shang)最早(zao)的(de)(de)印刷本數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)書(shu)。在現(xian)傳(chuan)本《九(jiu)章算(suan)術(shu)》中，最早(zao)的(de)(de)版(ban)本乃是(shi)上(shang)述(shu)北宋本的(de)(de)南宋翻刻(ke)(ke)本（1213），現(xian)藏于上(shang)海圖(tu)書(shu)館（孤本，殘，只(zhi)余(yu)前五卷）。清代(dai)戴(dai)震由(you)《永樂大(da)典》中抄出《九(jiu)章算(suan)術(shu)》全書(shu)，并作(zuo)了校勘。此后的(de)(de)《四庫全書(shu)》本、武英殿聚珍本、孔繼涵刻(ke)(ke)的(de)(de)《算(suan)經十書(shu)》本（1773）等，大(da)多(duo)數(shu)(shu)都是(shi)以(yi)戴(dai)校本為(wei)底(di)本的(de)(de)。
作為一部世界數學名著，《九章算術》早在隋唐(tang)時期即已(yi)傳入朝鮮、日本(ben)。它已(yi)被譯成(cheng)日、俄、德、法等(deng)多種(zhong)文字版本(ben)。
《九章算術》中的數學成就是多方面的：
（1）、在(zai)算(suan)術(shu)方面的(de)主要(yao)成就有分(fen)數運算(suan)、比(bi)例問題(ti)(ti)和(he)“盈(ying)(ying)不足”算(suan)法(fa)。《九章算(suan)術(shu)》是(shi)(shi)(shi)世(shi)(shi)界(jie)上最早系統敘述(shu)了(le)分(fen)數運算(suan)的(de)著作，在(zai)第二、三、六章中(zhong)有許多比(bi)例問題(ti)(ti)，在(zai)世(shi)(shi)界(jie)上也是(shi)(shi)(shi)比(bi)較早的(de)。“盈(ying)(ying)不足”的(de)算(suan)法(fa)需(xu)要(yao)給出兩次假設，是(shi)(shi)(shi)一(yi)項(xiang)創造(zao)，中(zhong)世(shi)(shi)紀(ji)(ji)歐洲(zhou)稱它為“雙設法(fa)”，有人認為它是(shi)(shi)(shi)由中(zhong)國經中(zhong)世(shi)(shi)紀(ji)(ji)阿拉伯國家傳去的(de)。
《九章算術(shu)》中(zhong)有比較(jiao)完整的(de)分數(shu)(shu)(shu)計算方法(fa)，包括四則運算，通(tong)(tong)分、約(yue)分、化帶分數(shu)(shu)(shu)為假分數(shu)(shu)(shu)（我(wo)國古代(dai)稱為通(tong)(tong)分內子，“內”讀(du)為納(na)）等等。其步驟與方法(fa)大體與現代(dai)的(de)雷同。
分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)加減運算(suan)，《九章算(suan)術》已明確提出先(xian)通分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)，使兩(liang)分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)的(de)分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)相(xiang)同，然后進(jin)行加減。加法(fa)(fa)的(de)步驟是(shi)(shi)“母(mu)(mu)互乘子(zi)，并以(yi)為實，母(mu)(mu)相(xiang)乘為法(fa)(fa)，實如法(fa)(fa)而一(yi)(yi)”這里“實”是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)子(zi)。“法(fa)(fa)”是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)，“實如法(fa)(fa)而一(yi)(yi)”也就(jiu)是(shi)(shi)用法(fa)(fa)去除(chu)實，進(jin)行除(chu)法(fa)(fa)運算(suan)，《九章算(suan)術》還注意到兩(liang)點：其一(yi)(yi)是(shi)(shi)運算(suan)結果如出現“不(bu)滿法(fa)(fa)者，以(yi)法(fa)(fa)命(ming)之(zhi)”。就(jiu)是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)子(zi)小于分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)時(shi)便以(yi)分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)形式保留。其二是(shi)(shi)“其母(mu)(mu)同者，直(zhi)相(xiang)從之(zhi)”，就(jiu)是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)母(mu)(mu)相(xiang)同的(de)分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)數(shu)(shu)進(jin)行加減，運算(suan)時(shi)不(bu)必通分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)，使分(fen)(fen)(fen)(fen)(fen)子(zi)直(zhi)接加減即可。
《九章算術》中(zhong)還有(you)求最大(da)公約(yue)數(shu)(shu)和約(yue)分(fen)(fen)的(de)方法(fa)(fa)。求最大(da)公約(yue)數(shu)(shu)的(de)方法(fa)(fa)稱為“更(geng)相減(jian)損(sun)”法(fa)(fa)，其具體(ti)步(bu)驟是“可(ke)半者(zhe)半之，不(bu)可(ke)半者(zhe)，副置(zhi)(zhi)分(fen)(fen)母(mu)子之數(shu)(shu)，以少(shao)減(jian)多，更(geng)相減(jian)損(sun)，求其等也。以等數(shu)(shu)約(yue)之。”這里所說的(de)“等數(shu)(shu)”就是我們(men)現(xian)在(zai)的(de)最大(da)公約(yue)數(shu)(shu)。可(ke)半者(zhe)是指分(fen)(fen)子分(fen)(fen)母(mu)都是偶數(shu)(shu)，可(ke)以折(zhe)半的(de)先(xian)(xian)把它們(men)折(zhe)半，即(ji)(ji)可(ke)先(xian)(xian)約(yue)去(qu)2。不(bu)都是偶數(shu)(shu)了，則另(ling)外(wai)擺（即(ji)(ji)副置(zhi)(zhi)）分(fen)(fen)子分(fen)(fen)母(mu)算籌進行計算，從大(da)數(shu)(shu)中(zhong)減(jian)去(qu)小(xiao)數(shu)(shu)，輾(zhan)轉相減(jian)，減(jian)到余數(shu)(shu)和減(jian)數(shu)(shu)相等，即(ji)(ji)得等數(shu)(shu)。
在《九章算術》的第(di)二(er)(er)、三、六等章內，廣(guang)泛地使用了各種比(bi)例(li)解應用問(wen)題(ti)。粟米(mi)章的開始就列舉了各種糧食(shi)間(jian)互換的比(bi)率(lv)如(ru)(ru)下：“粟米(mi)之法(fa)：粟率(lv)五十，糲米(mi)三十，粺米(mi)二(er)(er)十七，糳米(mi)二(er)(er)十四，……”這是(shi)(shi)說：谷(gu)子五斗(dou)(dou)去皮可(ke)得糙米(mi)三斗(dou)(dou)，又可(ke)舂得九折(zhe)米(mi)二(er)(er)斗(dou)(dou)七升，或八拆米(mi)二(er)(er)斗(dou)(dou)四升，……。例(li)如(ru)(ru)，粟米(mi)章第(di)一題(ti)：“今(jin)有(you)粟米(mi)一斗(dou)(dou)，欲為(wei)糲米(mi)，問(wen)得幾何”。它的解法(fa)是(shi)(shi)：“以所(suo)有(you)數(shu)乘所(suo)求率(lv)為(wei)實，以所(suo)有(you)率(lv)為(wei)法(fa)，實如(ru)(ru)法(fa)而一”。
《九章算(suan)術(shu)》第七(qi)章“盈(ying)(ying)(ying)不(bu)(bu)(bu)足(zu)”專講盈(ying)(ying)(ying)虧(kui)問題及其(qi)解法(fa)(fa)其(qi)中(zhong)第一題：“今有（人(ren)(ren)）共(gong)買物(wu)(wu)，（每）人(ren)(ren)出八（錢(qian)），盈(ying)(ying)(ying)（余(yu)）三錢(qian)；人(ren)(ren)出七(qi)（錢(qian)），不(bu)(bu)(bu)足(zu)四（錢(qian)），問人(ren)(ren)數、物(wu)(wu)價各幾何”，“答曰：七(qi)人(ren)(ren)，物(wu)(wu)價53（錢(qian)）。”“盈(ying)(ying)(ying)不(bu)(bu)(bu)足(zu)術(shu)曰：置所(suo)出率(lv)，盈(ying)(ying)(ying)、不(bu)(bu)(bu)足(zu)各居其(qi)下。令(ling)維乘(cheng)（即交錯相乘(cheng)）所(suo)出率(lv)，并以(yi)(yi)為(wei)(wei)實，并盈(ying)(ying)(ying)，不(bu)(bu)(bu)足(zu)為(wei)(wei)法(fa)(fa)，實如法(fa)(fa)而(er)一……置所(suo)出率(lv)，以(yi)(yi)少減多，余(yu)，以(yi)(yi)約法(fa)(fa)、實。實為(wei)(wei)物(wu)(wu)價，法(fa)(fa)為(wei)(wei)人(ren)(ren)數”。盈(ying)(ying)(ying)不(bu)(bu)(bu)足(zu)術(shu)是中(zhong)國(guo)(guo)數學史上解應用問題的一種別開生(sheng)面的創(chuang)造，它在我(wo)國(guo)(guo)古(gu)代算(suan)法(fa)(fa)中(zhong)占有相當重(zhong)要的地位。盈(ying)(ying)(ying)不(bu)(bu)(bu)足(zu)術(shu)還經過(guo)絲(si)綢之路西傳中(zhong)亞阿拉(la)伯(bo)國(guo)(guo)家，受到特(te)別重(zhong)視，被(bei)稱為(wei)(wei)“契(qi)丹算(suan)法(fa)(fa)”，后來又傳入歐(ou)洲，中(zhong)世(shi)紀時(shi)期(qi)“雙設(she)法(fa)(fa)”曾長(chang)期(qi)統(tong)治了他們的數學王國(guo)(guo)。
（2）、《九章(zhang)(zhang)算術》總結了(le)生(sheng)產、生(sheng)活實(shi)踐中(zhong)大量的(de)(de)幾何知(zhi)識，在方田(tian)、商功和勾股章(zhang)(zhang)中(zhong)提出(chu)了(le)很多面積、體積的(de)(de)計算公式和勾股定理的(de)(de)應用。
《九章(zhang)(zhang)算術(shu)》方田(tian)(tian)章(zhang)(zhang)主要論述平(ping)面(mian)(mian)圖形(xing)直線形(xing)和圓的面(mian)(mian)積(ji)計算方法。《九章(zhang)(zhang)算術(shu)》方田(tian)(tian)章(zhang)(zhang)第一(yi)題“今有田(tian)(tian)廣十(shi)(shi)五步(bu)(bu)，從(cong)（音(yin)縱zong）十(shi)(shi)六步(bu)(bu)。問為(wei)田(tian)(tian)幾何(he)。”“答曰(yue)：一(yi)畝”。這(zhe)里“廣”就(jiu)是(shi)寬，“從(cong)”即縱，指其長度，“方田(tian)(tian)術(shu)曰(yue)：廣從(cong)步(bu)(bu)數相乘得積(ji)步(bu)(bu)，（得積(ji)步(bu)(bu)就(jiu)是(shi)得到乘積(ji)的平(ping)方步(bu)(bu)數）以畝法二百四十(shi)(shi)步(bu)(bu)（實質應為(wei)積(ji)步(bu)(bu)）除之，即畝數。百畝為(wei)一(yi)頃。”當時稱長方形(xing)為(wei)方田(tian)(tian)或直田(tian)(tian)。稱三(san)角(jiao)形(xing)為(wei)圭(gui)田(tian)(tian)，面(mian)(mian)積(ji)公式為(wei)“術(shu)曰(yue)：半(ban)廣以乘正從(cong)”。這(zhe)里廣是(shi)指三(san)角(jiao)形(xing)的底邊(bian)，正從(cong)是(shi)指底邊(bian)上的
高，劉徽在注文中對(dui)這一計(ji)算公(gong)式實(shi)質上(shang)作了(le)(le)證(zheng)明：“半廣者，以(yi)盈補(bu)虛(xu)，為直田也。”“亦可(ke)以(yi)半正從以(yi)乘廣”（圖(tu)1－30）。盈是多余(yu)，虛(xu)乃不(bu)(bu)足。“以(yi)盈補(bu)虛(xu)”就是以(yi)多余(yu)部(bu)分填補(bu)不(bu)(bu)足的部(bu)分，這就是我國古代數學推導平面圖(tu)形面積公(gong)式所用的傳統的“出入(ru)相補(bu)”的方(fang)法，由上(shang)圖(tu)“以(yi)盈補(bu)虛(xu)”變(bian)圭田為與(yu)之(zhi)等積的直田，于(yu)是得到了(le)(le)圭田的面積計(ji)算公(gong)式。
方(fang)(fang)田章第(di)二十七(qi)、二十八題把直角(jiao)梯形稱(cheng)為“邪田”（即斜田）它的(de)面(mian)(mian)積公(gong)式是(shi)：“術曰：并(bing)兩邪（即兩斜，應理解(jie)為梯形兩底）而(er)半(ban)之，以乘正(zheng)從……，又(you)可半(ban)正(zheng)從……以乘并(bing)。”劉徽在注中說明他的(de)證法仍是(shi)“出(chu)入(ru)相補”法。在方(fang)(fang)田章第(di)二十九(jiu)、三十題把一般梯形稱(cheng)為“箕(ji)田”，上、下(xia)底分別稱(cheng)為“舌”、“踵”，面(mian)(mian)積公(gong)式是(shi)：“術曰：并(bing)踵舌而(er)半(ban)之，以乘正(zheng)從”。
至(zhi)于圓(yuan)面積(ji)(ji)，在《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》方(fang)田章(zhang)第三(san)(san)十一(yi)、三(san)(san)十二題(ti)中，它(ta)的(de)面積(ji)(ji)計(ji)算(suan)公式為(wei)：“半周(zhou)(zhou)半徑(jing)相乘(cheng)得積(ji)(ji)步”。這(zhe)里“周(zhou)(zhou)”是圓(yuan)周(zhou)(zhou)長(chang)，“徑(jing)”是指(zhi)直徑(jing)。這(zhe)個圓(yuan)面積(ji)(ji)計(ji)算(suan)公式是正確的(de)。只是當時取徑(jing)一(yi)周(zhou)(zhou)三(san)(san)（即π≈3）。于是由此計(ji)算(suan)所得的(de)圓(yuan)面積(ji)(ji)就(jiu)不(bu)夠精密。
《九(jiu)章算術》商功(gong)章收集(ji)的(de)都是一些有關體(ti)積(ji)計(ji)算的(de)問題。但是商功(gong)章并沒有論述(shu)長方體(ti)或正方體(ti)的(de)體(ti)積(ji)算法。看來《九(jiu)章算術》是在長方體(ti)或正方體(ti)體(ti)積(ji)計(ji)算公式：V=abc的(de)基礎上來計(ji)算其他立(li)體(ti)圖形(xing)體(ti)積(ji)的(de)。
《九章算術(shu)》商功章提到城、垣(yuan)、堤(di)、溝、塹、渠，因其(qi)功用不同因而名稱各異，其(qi)實質都是正截(jie)(jie)面為等腰梯形的(de)(de)直(zhi)棱柱，他們的(de)(de)體積(ji)計(ji)算方法(fa)：“術(shu)曰(yue)：并上、下(xia)廣(guang)而半之，以高若深(shen)乘之，又以袤乘之，即積(ji)尺”。這里(li)上、下(xia)廣(guang)指(zhi)(zhi)橫截(jie)(jie)面的(de)(de)上、下(xia)底(di)（a，b）高或深(shen)（h），袤是指(zhi)(zhi)城垣(yuan)……的(de)(de)長（l）。因此(ci)城、垣(yuan)…的(de)(de)體積(ji)計(ji)算術(shu)公式V=1/2（a+b）h.
劉徽在注釋中(zhong)把對于平面圖形的出入(ru)相(xiang)補原理推廣應用到空(kong)間(jian)圖形，成為“損(sun)廣補狹”以證明幾何(he)體體積公式。
劉徽還用棋驗法(fa)來推導比(bi)較復(fu)雜的幾(ji)(ji)何(he)體(ti)體(ti)積計(ji)算公(gong)式。所謂棋驗法(fa)，“棋”是指某些幾(ji)(ji)何(he)體(ti)模型即用幾(ji)(ji)何(he)體(ti)模型驗證(zheng)的方(fang)(fang)法(fa)，例如長方(fang)(fang)體(ti)本身就是“棋”[圖1－32（1）]斜解一個長方(fang)(fang)體(ti)，得兩個兩底面為(wei)直角三角形(xing)的直三棱柱，我國古(gu)代稱為(wei)“塹(qian)堵”（如圖），所以(yi)塹(qian)堵的體(ti)積是長方(fang)(fang)體(ti)體(ti)積的二(er)分之(zhi)一。
《九章(zhang)(zhang)算(suan)術》商功章(zhang)(zhang)還有圓(yuan)錐、圓(yuan)臺（古代(dai)稱“圓(yuan)亭”）的體(ti)積(ji)計算(suan)公式。甚至對三個側面是等腰梯形，其他兩面為勾股形的五(wu)面體(ti)[圖(tu)1－33（1）]，上、下底(di)為矩形的擬
柱體(ti)（古(gu)代稱“芻(chu)童”）以(yi)及上底(di)為一(yi)線段，下底(di)為一(yi)矩(ju)形(xing)的(de)擬柱體(ti)（古(gu)代稱“芻(chu)甍”）（“甍”音“夢”）等都可以(yi)計算其體(ti)積(ji)。
（3）、《九章算(suan)術》中的代數內容同樣很豐富，具有當(dang)時世(shi)界的先進水平。
1．開平方和開立(li)方
《九章算術》中講(jiang)了開平方(fang)、開立方(fang)的(de)(de)(de)方(fang)法，而(er)且計算步(bu)(bu)驟基本一樣。所不(bu)同的(de)(de)(de)是(shi)古代(dai)用籌算進行(xing)演算，現(xian)以少廣(guang)章第12題為例，說明古代(dai)開平方(fang)演算的(de)(de)(de)步(bu)(bu)驟，“今有積五萬五千二(er)百(bai)二(er)十(shi)五步(bu)(bu)。問為方(fang)幾何”。“答曰：二(er)百(bai)三十(shi)五步(bu)(bu)”。這里所說的(de)(de)(de)步(bu)(bu)是(shi)我國古代(dai)的(de)(de)(de)長度(du)單位。
“開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置于第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由于實的萬位數字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2于百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實”下為“法”，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25（6）所示）。復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算于百位。因“實”的千位數字為15，且4×3<15<4×4，于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225－12900=2325。如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應為5，再置5于商的個位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）
上述由圖1－25（1）—（10）是按算籌進行演(yan)算的(de)(de)，看起來似乎很繁(fan)瑣，實際上步驟(zou)十(shi)分清楚，易于(yu)操作。它的(de)(de)開平(ping)方(fang)原(yuan)理(li)與現代開平(ping)方(fang)原(yuan)理(li)相同。其中“借算”的(de)(de)右移(yi)、左(zuo)移(yi)在現代的(de)(de)觀點下可(ke)以理(li)解(jie)為一次(ci)變(bian)換和代換。《九章算術》時(shi)代并(bing)沒有理(li)解(jie)到變(bian)換和代換，但是這對以后宋、元時(shi)期高次(ci)方(fang)程的(de)(de)解(jie)法是有深遠(yuan)影(ying)響的(de)(de)。
《九(jiu)章算術》方(fang)(fang)程(cheng)章中的(de)(de)(de)“方(fang)(fang)程(cheng)”是(shi)專(zhuan)指多元(yuan)一次(ci)方(fang)(fang)程(cheng)組而言，與“方(fang)(fang)程(cheng)”的(de)(de)(de)含義并不相同。《九(jiu)章算術》中多元(yuan)一次(ci)方(fang)(fang)程(cheng)組的(de)(de)(de)解法，是(shi)將它們的(de)(de)(de)系數和常(chang)數項用算籌(chou)擺成“方(fang)(fang)陣(zhen)”（所以稱之謂“方(fang)(fang)程(cheng)”）。消元(yuan)的(de)(de)(de)過程(cheng)相當于現代大學課程(cheng)高等代數中的(de)(de)(de)線性(xing)變換。
由于(yu)《九(jiu)章算(suan)(suan)(suan)術(shu)(shu)》在用直除法解(jie)一次方程組過程中，不(bu)可(ke)避免地要(yao)出(chu)(chu)(chu)現(xian)正(zheng)(zheng)(zheng)負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的問題，于(yu)是(shi)在方程章第三題中明確(que)提出(chu)(chu)(chu)了正(zheng)(zheng)(zheng)負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)術(shu)(shu)。劉徽在該術(shu)(shu)的注文(wen)里(li)實質上給出(chu)(chu)(chu)了正(zheng)(zheng)(zheng)、負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)的定義：“兩算(suan)(suan)(suan)得失相(xiang)(xiang)反，要(yao)令‘正(zheng)(zheng)(zheng)’、‘負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)’以(yi)(yi)名之”。并在計(ji)算(suan)(suan)(suan)工(gong)具即(ji)算(suan)(suan)(suan)籌(chou)上加以(yi)(yi)區別(bie)“正(zheng)(zheng)(zheng)算(suan)(suan)(suan)赤，負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)算(suan)(suan)(suan)黑，否則(ze)以(yi)(yi)邪正(zheng)(zheng)(zheng)為異”。這(zhe)就是(shi)規定正(zheng)(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)(shu)用紅色算(suan)(suan)(suan)籌(chou)，負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)用黑色算(suan)(suan)(suan)籌(chou)。如果只有同(tong)色算(suan)(suan)(suan)籌(chou)的話，則(ze)遇到正(zheng)(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)(shu)將籌(chou)正(zheng)(zheng)(zheng)放，負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)時邪（同(tong)斜）放。宋代(dai)以(yi)(yi)后出(chu)(chu)(chu)現(xian)筆算(suan)(suan)(suan)也相(xiang)(xiang)應地用紅、黑色數(shu)(shu)(shu)(shu)碼(ma)字以(yi)(yi)區別(bie)正(zheng)(zheng)(zheng)、負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)，或在個位數(shu)(shu)(shu)(shu)上記斜劃以(yi)(yi)表示負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)，如（即(ji)—1824），后來這(zhe)種(zhong)包括(kuo)負(fu)(fu)(fu)(fu)(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu)寫(xie)法在內的中國數(shu)(shu)(shu)(shu)碼(ma)字還傳(chuan)到日本。
關于(yu)正、負數的加(jia)(jia)減運算(suan)法(fa)則，“正負術曰：同(tong)名(ming)(ming)相(xiang)益，異(yi)名(ming)(ming)相(xiang)除(chu)，正無入負之(zhi)，負無入正之(zhi)。其異(yi)名(ming)(ming)相(xiang)除(chu)，同(tong)名(ming)(ming)相(xiang)益，正無入正之(zhi)，負無入負之(zhi)”。這(zhe)里所說的“同(tong)名(ming)(ming)”、“異(yi)名(ming)(ming)”分別(bie)相(xiang)當(dang)于(yu)所說的同(tong)號、異(yi)號。“相(xiang)益”、“相(xiang)除(chu)”是(shi)指二數相(xiang)加(jia)(jia)、相(xiang)減。術文前四句是(shi)減法(fa)運算(suan)法(fa)則：
（1）如果(guo)被減數絕(jue)對值(zhi)大于減數絕(jue)對值(zhi)，即a>b≥0，
則同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異(yi)名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如果被(bei)減數(shu)絕對(dui)值小于減數(shu)絕對(dui)值，即(ji)b>a≥0。
①如果兩數皆正
則a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中(zhong)間一式的a和a對消，而（b-a）無(wu)(wu)可(ke)(ke)對消，則改“正”為“負”，即(ji)“正無(wu)(wu)入負之”。“無(wu)(wu)入”就(jiu)(jiu)是無(wu)(wu)對，也就(jiu)(jiu)是無(wu)(wu)可(ke)(ke)對消（或不夠減(jian)或對方為零(ling)）。
②如果兩數皆負
則（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在(zai)中間的式子里(li)（-a）和（-a）對消(xiao)，而-（b-a）無可對消(xiao)，則改“負”為“正”所以說“負無入正之”。
③如果兩數(shu)一正(zheng)一負(fu)。則仍同（1）的異名(ming)相益。
術文的后(hou)四句是指正負數加法運算法則。
（1）同號兩數(shu)相加(jia)，即同名相益，其和的(de)絕(jue)對值等于兩數(shu)絕(jue)對值和。
如果(guo)a>0，b>0，
則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異號兩數(shu)相加，實為(wei)相減，即異名相除。如果正(zheng)數(shu)的絕對值(zhi)較(jiao)大(da)，其和(he)為(wei)正(zheng)，即“正(zheng)無(wu)入(ru)正(zheng)之(zhi)”。如果負數(shu)的絕對值(zhi)較(jiao)大(da)，其和(he)為(wei)負，即“負無(wu)入(ru)負之(zhi)”。用符(fu)號表示為(wei)
①如果a>b≥0，
則a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如果b>a≥0，
則a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關于(yu)正(zheng)負(fu)(fu)(fu)數(shu)的(de)(de)(de)乘(cheng)除法則，在《九章算術》時代或許會遇到(dao)(dao)有(you)關正(zheng)負(fu)(fu)(fu)數(shu)的(de)(de)(de)乘(cheng)除運(yun)算。可惜書中(zhong)并未(wei)論(lun)及(ji)，直到(dao)(dao)元代朱世(shi)杰于(yu)《算學(xue)啟蒙》（1299年）中(zhong)才(cai)有(you)明確的(de)(de)(de)記載：“同名(ming)相乘(cheng)為正(zheng)，異名(ming)相乘(cheng)為負(fu)(fu)(fu)”，“同名(ming)相除所(suo)得(de)為正(zheng)，異名(ming)相除所(suo)得(de)為負(fu)(fu)(fu)”，因此至(zhi)遲于(yu)13世(shi)紀(ji)(ji)(ji)末我國對有(you)理數(shu)四則運(yun)算法則已(yi)經全面作(zuo)了總結(jie)。至(zhi)于(yu)正(zheng)負(fu)(fu)(fu)數(shu)概念的(de)(de)(de)引入，正(zheng)負(fu)(fu)(fu)數(shu)加(jia)減運(yun)算法則的(de)(de)(de)形成的(de)(de)(de)歷史記錄，我國更是遙遙領(ling)先。國外首(shou)先承(cheng)(cheng)認負(fu)(fu)(fu)數(shu)的(de)(de)(de)是七世(shi)紀(ji)(ji)(ji)印(yin)度數(shu)學(xue)家婆羅門(men)岌多（約(yue)598-？）歐洲到(dao)(dao)16世(shi)紀(ji)(ji)(ji)才(cai)承(cheng)(cheng)認負(fu)(fu)(fu)數(shu)。
現傳本《九(jiu)(jiu)章算術(shu)》成(cheng)書于何時(shi)，眾說紛(fen)紜，多數(shu)認為在西漢末到東(dong)漢初(chu)之間，約公元一(yi)世(shi)紀前后(hou)，《九(jiu)(jiu)章算術(shu)》的(de)作(zuo)者不詳。很可能(neng)是在成(cheng)書前一(yi)段歷史時(shi)期內(nei)通過多人之手(shou)逐次(ci)整理(li)、修(xiu)改、補充而(er)成(cheng)的(de)集體創(chuang)作(zuo)結晶。由于二千(qian)年(nian)來經過輾轉(zhuan)手(shou)抄、刻印，難(nan)免(mian)會出現差錯和遺漏，加上(shang)(shang)《九(jiu)(jiu)章算術(shu)》文字簡略有些(xie)內(nei)容(rong)不易理(li)解，因此歷史上(shang)(shang)有過多次(ci)校正和注釋(shi)。
關于對(dui)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》所做的校(xiao)注主要(yao)有：西漢(han)張蒼(cang)增訂(ding)、刪補，三國時曹魏(wei)劉徽注，唐李(li)淳風注，南宋楊(yang)輝(hui)著(zhu)《詳解(jie)(jie)九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)法》選用《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》中80道典型的題(ti)作(zuo)過詳解(jie)(jie)并分(fen)類(lei)，清李(li)潢(huang)（？—1811年）所著(zhu)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術細草(cao)圖說》對(dui)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術》進行了(le)校(xiao)訂(ding)、列算(suan)(suan)草(cao)、補插圖、加說明，尤其是(shi)圖文并茂之作(zuo)。
現(xian)代(dai)錢(qian)寶琮（1892—1974年）曾(ceng)對(dui)包括《九章算術(shu)》在(zai)內(nei)的《算經十書(shu)》進行了校(xiao)點，用通俗語(yu)言、近代(dai)數(shu)學(xue)術(shu)語(yu)對(dui)《九章算術(shu)》及劉、李注文詳加(jia)注釋。80年代(dai)以來，今(jin)人白尚恕(shu)、郭書(shu)春(chun)、李繼閔等(deng)都有(you)校(xiao)注本出版。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》是世(shi)界上最早(zao)系(xi)統敘述了分數運算(suan)的(de)(de)著作；其中盈不足(zu)的(de)(de)算(suan)法更是一(yi)項令人驚奇的(de)(de)創造；“方(fang)程”章(zhang)還在(zai)世(shi)界數學(xue)(xue)史上首次(ci)闡述了負數及其加減(jian)運算(suan)法則。在(zai)代數方(fang)面，《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》在(zai)世(shi)界數學(xue)(xue)史上最早(zao)提出(chu)負數概(gai)念(nian)及正負數加減(jian)法法則；中學(xue)(xue)講(jiang)授的(de)(de)線性方(fang)程組(zu)的(de)(de)解法和《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》介紹(shao)的(de)(de)方(fang)法大體相同(tong)。注重實際應(ying)用是《九(jiu)(jiu)章(zhang)算(suan)術》的(de)(de)一(yi)個顯著特點。該書(shu)的(de)(de)一(yi)些知(zhi)識(shi)還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地(di)區遠至歐洲。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》是幾代(dai)人(ren)共同勞動的(de)(de)(de)(de)結晶，它的(de)(de)(de)(de)出(chu)現標(biao)志(zhi)著中國(guo)古(gu)代(dai)數(shu)學(xue)(xue)(xue)體系的(de)(de)(de)(de)形(xing)成．后世(shi)的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)家，大都是從(cong)《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》開始學(xue)(xue)(xue)習和(he)研究數(shu)學(xue)(xue)(xue)知(zhi)識(shi)的(de)(de)(de)(de)。唐宋兩代(dai)都由國(guo)家明令規定為(wei)教科書(shu)。1084年由當時的(de)(de)(de)(de)北宋朝廷進行(xing)刊刻，這是世(shi)界(jie)上(shang)最早的(de)(de)(de)(de)印(yin)刷本數(shu)學(xue)(xue)(xue)書(shu)。可以說，《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》是中國(guo)為(wei)數(shu)學(xue)(xue)(xue)發展做出(chu)的(de)(de)(de)(de)又一杰出(chu)貢獻。
在(zai)九章算(suan)(suan)術中有(you)許多數(shu)學(xue)問(wen)題(ti)(ti)都是世界上記載最早的(de)。例如，關于比例算(suan)(suan)法(fa)的(de)問(wen)題(ti)(ti)，它和后來在(zai)16世紀(ji)西歐出現的(de)三分律的(de)算(suan)(suan)法(fa)一樣。關于雙(shuang)設法(fa)的(de)問(wen)題(ti)(ti)，在(zai)阿拉伯曾稱(cheng)(cheng)為(wei)契丹算(suan)(suan)法(fa)，13世紀(ji)以后的(de)歐洲數(shu)學(xue)著(zhu)作中也有(you)如此稱(cheng)(cheng)呼的(de)，這(zhe)也是中國古代數(shu)學(xue)知(zhi)識向西方(fang)傳(chuan)播的(de)一個證據。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》對(dui)中(zhong)(zhong)國古(gu)代(dai)的(de)數(shu)(shu)(shu)學發展有很(hen)大影(ying)響(xiang)，這(zhe)種影(ying)響(xiang)一直持續(xu)到了清朝中(zhong)(zhong)葉(xie)。《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》的(de)敘(xu)述方(fang)式以(yi)歸納為主，先(xian)給(gei)出若(ruo)干例題，再給(gei)出解法，不同于西方(fang)以(yi)演繹為主的(de)敘(xu)述方(fang)式，中(zhong)(zhong)國后(hou)來(lai)的(de)數(shu)(shu)(shu)學著(zhu)作也(ye)都是(shi)采(cai)用(yong)敘(xu)述方(fang)式為主。歷代(dai)數(shu)(shu)(shu)學家有不少人(ren)曾經注釋過這(zhe)本書(shu)，其中(zhong)(zhong)以(yi)劉(liu)徽和李淳風的(de)注釋最(zui)有名。
《九章算術》還流傳到了(le)日(ri)本和朝鮮(xian)，對其古(gu)代(dai)的(de)數學發展也產生了(le)很大的(de)影響(xiang)。
2020年4月，列入《教育(yu)(yu)部基礎教育(yu)(yu)課(ke)程教材發展中(zhong)心中(zhong)小學生閱讀指(zhi)導目(mu)錄（2020年版）》初(chu)中(zhong)段。
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