公元前(qian)5世(shi)紀，芝(zhi)諾(nuo)發表了(le)著名的(de)(de)(de)阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)悖論：他(ta)(ta)提出(chu)讓烏(wu)龜(gui)(gui)在阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)前(qian)面1000米(mi)(mi)(mi)處(chu)開始，和(he)阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)賽(sai)跑，并(bing)且假(jia)定(ding)阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)的(de)(de)(de)速(su)度是(shi)烏(wu)龜(gui)(gui)的(de)(de)(de)10倍。當比賽(sai)開始后(hou)，若阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)跑了(le)1000米(mi)(mi)(mi)，設所用的(de)(de)(de)時間(jian)為(wei)(wei)t，此(ci)時烏(wu)龜(gui)(gui)便領先(xian)他(ta)(ta)100米(mi)(mi)(mi)；當阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)跑完下一(yi)個100米(mi)(mi)(mi)時，他(ta)(ta)所用的(de)(de)(de)時間(jian)為(wei)(wei)t/10，烏(wu)龜(gui)(gui)仍然前(qian)于他(ta)(ta)10米(mi)(mi)(mi)；當阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)跑完下一(yi)個10米(mi)(mi)(mi)時，他(ta)(ta)所用的(de)(de)(de)時間(jian)為(wei)(wei)t/100，烏(wu)龜(gui)(gui)仍然前(qian)于他(ta)(ta)1米(mi)(mi)(mi)……芝(zhi)諾(nuo)認為(wei)(wei)，阿(a)(a)(a)基(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)能夠繼續逼近烏(wu)龜(gui)(gui)，但決不(bu)可能追上它(ta)。
關于阿(a)基里(li)(li)斯(si)悖(bei)論(lun)的一個解釋是(shi)：阿(a)基里(li)(li)斯(si)的確永遠也追不上(shang)烏龜(gui)(gui)。雖然(ran)現實(shi)中我們(men)知(zhi)道(dao)阿(a)基里(li)(li)斯(si)超(chao)越烏龜(gui)(gui)非(fei)常簡單(dan)，但是(shi)它(ta)是(shi)如(ru)何(he)超(chao)過(guo)烏龜(gui)(gui)的在過(guo)去(qu)卻一直存(cun)在爭論(lun)。
現代物(wu)理學(xue)已經(jing)證明(ming)了時間(jian)(jian)(jian)和空間(jian)(jian)(jian)不是可(ke)以無限分割的(de)，所(suo)以總(zong)有最為微(wei)小的(de)一個時間(jian)(jian)(jian)里(li)，阿基里(li)斯和烏龜共同前進了一個空間(jian)(jian)(jian)單位，從此阿基里(li)斯順利超過烏龜。
芝諾(nuo)(nuo)(nuo)悖(bei)(bei)論的(de)產生(sheng)原因，是(shi)在于“芝諾(nuo)(nuo)(nuo)時”不(bu)可能度量阿基里斯(si)追上烏龜后的(de)現象。在芝諾(nuo)(nuo)(nuo)時達(da)到無(wu)限(xian)后，正常計時仍可以進(jin)行(xing)，只不(bu)過芝諾(nuo)(nuo)(nuo)的(de)“鐘”已經無(wu)法度量它們了(le)。這(zhe)個悖(bei)(bei)論實際上是(shi)反映時空并不(bu)是(shi)無(wu)限(xian)可分的(de)，運動也(ye)不(bu)是(shi)連續的(de)。
通俗一(yi)(yi)(yi)點(dian)講，我(wo)們都知道一(yi)(yi)(yi)條線是由無(wu)數個(ge)(ge)點(dian)組成(cheng)的(de)，但這(zhe)個(ge)(ge)“無(wu)數個(ge)(ge)點(dian)”并(bing)不能(neng)說我(wo)們無(wu)法畫(hua)出一(yi)(yi)(yi)條線。也就(jiu)是說就(jiu)是芝(zhi)諾偷換了(le)概念，（1+0.1+0.01+……）t其實是一(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)有限的(de)時間，但他(ta)認為(wei)這(zhe)個(ge)(ge)時間是無(wu)限大(da)的(de)，只要時間超過（1+0.1+0.01+……）t阿基里斯就(jiu)追上了(le)烏龜。
阿基里(li)斯悖論(lun)分離了運動(dong)與靜止，夸大了相對(dui)靜止，而否(fou)認(ren)了絕對(dui)運動(dong)，是形(xing)而上學說(shuo)。
黑格爾(er)在(zai)《小(xiao)邏輯》中說：“辯(bian)證(zheng)法切不(bu)可與單純的(de)(de)詭辯(bian)相混(hun)淆。詭辯(bian)的(de)(de)本質(zhi)在(zai)于孤立(li)起來看(kan)事物，把本身片面的(de)(de)、抽象(xiang)的(de)(de)規定(ding)，認(ren)為是可靠的(de)(de)。”辯(bian)證(zheng)唯物主(zhu)義認(ren)為，運動與靜止是對立(li)統一的(de)(de)辯(bian)證(zheng)關系。
一方面(mian)，運(yun)(yun)動與靜(jing)止(zhi)的對(dui)立表(biao)現在(zai)：運(yun)(yun)動是(shi)(shi)(shi)絕對(dui)的，靜(jing)止(zhi)是(shi)(shi)(shi)相對(dui)的，二者相互(hu)區別，不可混(hun)淆。所(suo)謂(wei)運(yun)(yun)動是(shi)(shi)(shi)絕對(dui)的是(shi)(shi)(shi)說(shuo)，運(yun)(yun)動是(shi)(shi)(shi)物(wu)質的根本屬性，任(ren)(ren)何(he)事(shi)物(wu)在(zai)任(ren)(ren)何(he)條(tiao)(tiao)(tiao)件(jian)(jian)(jian)下都(dou)是(shi)(shi)(shi)永(yong)恒運(yun)(yun)動的，是(shi)(shi)(shi)無(wu)條(tiao)(tiao)(tiao)件(jian)(jian)(jian)的。所(suo)謂(wei)靜(jing)止(zhi)是(shi)(shi)(shi)相對(dui)的是(shi)(shi)(shi)說(shuo)，靜(jing)止(zhi)是(shi)(shi)(shi)運(yun)(yun)動在(zai)特定(ding)條(tiao)(tiao)(tiao)件(jian)(jian)(jian)下的特殊(shu)狀態，是(shi)(shi)(shi)有條(tiao)(tiao)(tiao)件(jian)(jian)(jian)的。
另一方面，運動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)的(de)統一表現在：運動(dong)(dong)和靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)相(xiang)互依存、相(xiang)互貫(guan)通的(de)，即所謂動(dong)(dong)中有靜(jing)、靜(jing)中有動(dong)(dong)。在運動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)關(guan)系上(shang)有兩種形(xing)而上(shang)學(xue)的(de)錯(cuo)誤：一種是(shi)(shi)割裂(lie)運動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系，否認(ren)運動(dong)(dong)，只講靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，將靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)絕對化的(de)形(xing)而上(shang)學(xue)不(bu)動(dong)(dong)論(lun)；一種是(shi)(shi)割裂(lie)運動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系，只講運動(dong)(dong)，否認(ren)靜(jing)止(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)的(de)形(xing)而上(shang)學(xue)相(xiang)對主(zhu)義和詭辯論(lun)。
關于阿(a)基(ji)里斯(si)追龜(gui)的問題，我們可以(yi)很簡單地證(zheng)明(ming)阿(a)基(ji)里斯(si)追上了烏龜(gui)。
我們設烏(wu)龜(gui)先(xian)前所(suo)(suo)走(zou)過(guo)(guo)的(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)屬于(yu)集(ji)合(he)B，烏(wu)龜(gui)現在(zai)(zai)所(suo)(suo)在(zai)(zai)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)標志為(wei)b，烏(wu)龜(gui)所(suo)(suo)走(zou)過(guo)(guo)的(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)集(ji)合(he)A，A由集(ji)合(he)B中(zhong)(zhong)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)加上b點(dian)(dian)(dian)構成。只要是(shi)(shi)烏(wu)龜(gui)先(xian)前所(suo)(suo)在(zai)(zai)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，都是(shi)(shi)阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)可以走(zou)到(dao)的(de)(de)(de)，因而(er)阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)可以走(zou)到(dao)集(ji)合(he)B中(zhong)(zhong)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)。那么，我們能(neng)不(bu)能(neng)在(zai)(zai)集(ji)合(he)A中(zhong)(zhong)找到(dao)一(yi)個點(dian)(dian)(dian)，它既不(bu)屬于(yu)B，也不(bu)是(shi)(shi)b，回答是(shi)(shi)不(bu)能(neng)的(de)(de)(de)。因而(er)如(ru)果阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)走(zou)過(guo)(guo)了集(ji)合(he)B中(zhong)(zhong)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)與b點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)距離就已(yi)經是(shi)(shi)0（如(ru)果不(bu)是(shi)(shi)0，則應該在(zai)(zai)阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)與b點(dian)(dian)(dian)之間(jian)還會存在(zai)(zai)著一(yi)個點(dian)(dian)(dian)，但這個點(dian)(dian)(dian)并不(bu)存在(zai)(zai)），也就是(shi)(shi)說，阿(a)(a)基(ji)里(li)斯(si)已(yi)經追上了烏(wu)龜(gui)。
而(er)按照我們(men)(men)悖(bei)論所(suo)設定的(de)(de)條(tiao)件，阿基里斯是(shi)(shi)(shi)可以(yi)走到烏(wu)龜先(xian)前(qian)所(suo)走過的(de)(de)所(suo)有(you)的(de)(de)點的(de)(de)。因而(er)阿基里斯追到了烏(wu)龜。但在上面(mian)的(de)(de)分析中，我們(men)(men)發現了一個(ge)有(you)趣(qu)的(de)(de)矛盾，這(zhe)就是(shi)(shi)(shi)b既(ji)屬于(yu)B又不屬于(yu)B，也就是(shi)(shi)(shi)說，b既(ji)是(shi)(shi)(shi)現在又是(shi)(shi)(shi)先(xian)前(qian)。而(er)且這(zhe)是(shi)(shi)(shi)阿基里斯得以(yi)追上烏(wu)龜的(de)(de)前(qian)提和(he)條(tiao)件。這(zhe)樣的(de)(de)一個(ge)有(you)趣(qu)的(de)(de)結論，是(shi)(shi)(shi)決不可能為具有(you)形而(er)上學(xue)頭腦的(de)(de)那(nei)些數學(xue)家們(men)(men)所(suo)接受的(de)(de)。
此(ci)(ci)(ci)悖論假(jia)設阿基里斯(si)永(yong)遠只能到(dao)達龜前(qian)一個(ge)時(shi)(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)到(dao)達的地方，即追上的前(qian)一個(ge)時(shi)(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)，此(ci)(ci)(ci)時(shi)(shi)條件(jian)未(wei)發生變化(hua)，并先(xian)承認此(ci)(ci)(ci)時(shi)(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)兩者間(jian)(jian)仍有差(cha)異(yi)，然(ran)后用不(bu)同的時(shi)(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)進行重復換算，假(jia)設條件(jian)仍未(wei)變化(hua)。而在此(ci)(ci)(ci)時(shi)(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)的下一個(ge)口徑相(xiang)同的時(shi)(shi)間(jian)(jian)段(duan)(duan)(duan)里，阿基米(mi)斯(si)就會追上。
相反觀(guan)點(dian)(dian)：這(zhe)證明(ming)是錯誤的。因為證明(ming)假設(she)了(le)阿基里斯可以走一個點(dian)(dian)，在(zai)事實上回避了(le)悖(bei)論(lun)中無(wu)法找第1點(dian)(dian)問(wen)題實質(zhi)。故此(ci)證明(ming)和悖(bei)論(lun)無(wu)關，只(zhi)是把(ba)小學應(ying)用題用集合論(lun)復(fu)述了(le)一遍(bian)。
其實(shi)，我們根據中學所學過的無窮等比遞(di)縮數列(lie)求(qiu)和的知識，只需列(lie)一個方(fang)程就可以輕(qing)而易舉(ju)地推翻(fan)芝諾的悖論：阿基里(li)斯在(zai)跑了
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米(mi)時便可趕上烏龜(gui)。
人(ren)們認為(wei)數列(lie)1+0.1+0.01+…………是永遠(yuan)也不能(neng)窮(qiong)盡的(de)。這只不過是一個錯覺(jue)。
我(wo)們不妨來計算(suan)一下阿基里斯能夠追(zhui)上(shang)烏龜的時間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9
芝(zhi)諾所說的阿基里斯不可能(neng)追上烏龜(gui)，就隱藏著時間必須小于10t/9這(zhe)樣一個條(tiao)件。
由于阿(a)基里(li)斯(si)和(he)烏龜(gui)是(shi)在不(bu)斷地運(yun)動的(de)，對時(shi)(shi)間(jian)是(shi)沒有(you)限制的(de)，時(shi)(shi)間(jian)很(hen)容易突破10t/9這(zhe)樣(yang)一個條件。一旦突破10t/9這(zhe)樣(yang)一個條件，阿(a)基里(li)斯(si)就追上了或超過(guo)了烏龜(gui)。
人們被距(ju)離數(shu)列(lie)1+0.1+0.01+…………好像是(shi)(shi)永遠也不能窮盡的假象迷(mi)惑(huo)了，沒(mei)有考(kao)慮到(dao)時(shi)間數(shu)列(lie)1+0.1+0.01+…………是(shi)(shi)很(hen)容易達到(dao)和超過的了。
但是不(bu)是所有的(de)數(shu)列都(dou)能達到，所以，我們看(kan)問(wen)題(ti)不(bu)能太極端(duan)。例如無(wu)論(lun)多少個點也不(bu)能組成直線，對于(yu)點的(de)個數(shu)來(lai)說(shuo)，我們就永遠無(wu)法窮盡它。
其實(shi)，以(yi)上的證明(ming)是(shi)(shi)無法推(tui)翻這(zhe)(zhe)個悖論(lun)的。因為這(zhe)(zhe)個證明(ming)用到了極(ji)限這(zhe)(zhe)個概(gai)念。然而，極(ji)限這(zhe)(zhe)個概(gai)念，正(zheng)是(shi)(shi)為了解決阿基(ji)里斯悖論(lun)而定義(yi)出(chu)來的一(yi)個概(gai)念。用這(zhe)(zhe)個概(gai)念再反(fan)證這(zhe)(zhe)個悖論(lun)很明(ming)顯是(shi)(shi)不合理的。
無限(xian)的(de)細分并不(bu)代表(biao)不(bu)會從時間(jian)1流入時間(jian)2，否則(ze)你的(de)時鐘(zhong)將永遠停(ting)留在59分59.9999............秒。
阿基(ji)里斯(si)能夠繼續逼(bi)近烏龜，在某一(yi)時間點之前無法追上(shang)(shang)。但永(yong)遠(yuan)追不(bu)上(shang)(shang)這一(yi)結果并不(bu)成立，因為這一(yi)悖論只引導去考(kao)慮追上(shang)(shang)之前的(de)距離，而不(bu)是(shi)追上(shang)(shang)的(de)這一(yi)距離。
悖論隱含的(de)假設就是阿基(ji)里(li)斯沒(mei)有(you)追(zhui)上(shang)龜，為(wei)什么呢？阿基(ji)里(li)斯的(de)每(mei)一(yi)段，都是烏龜跑(pao)完(wan)了，才(cai)讓阿基(ji)里(li)斯才(cai)跑(pao)的(de)。只是想當然的(de)用了一(yi)開始(shi)的(de)距(ju)離差，而這個距(ju)離差為(wei)逐段變小(xiao)。
而這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)趨近過(guo)程又想用時間衡量，恰(qia)好時間和距(ju)(ju)離(li)(li)，都可以無限(xian)劃(hua)分。靜止也(ye)存在(zai)這(zhe)(zhe)樣(yang)的(de)(de)(de)接近過(guo)程，舉個(ge)(ge)例子：假(jia)設烏龜(gui)是(shi)靜止的(de)(de)(de)，讓(rang)阿基里斯以這(zhe)(zhe)樣(yang)的(de)(de)(de)方式(shi)跑。900米(mi)，90米(mi)，9米(mi)，0.9米(mi)……，這(zhe)(zhe)樣(yang)他(ta)也(ye)追不(bu)上(shang)烏龜(gui)啊，也(ye)同樣(yang)變不(bu)成零，因為你的(de)(de)(de)假(jia)設就(jiu)是(shi)距(ju)(ju)離(li)(li)的(de)(de)(de)無限(xian)小，這(zhe)(zhe)只(zhi)是(shi)在(zai)尋找最短(duan)的(de)(de)(de)距(ju)(ju)離(li)(li)。這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)就(jiu)關系(xi)到極限(xian)了(le)。就(jiu)像在(zai)找最小的(de)(de)(de)物(wu)質粒子一樣(yang)。
精靈世界
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