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公元前(qian)(qian)5世紀，芝諾(nuo)發(fa)表了著名的(de)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)悖論：他(ta)提出(chu)讓(rang)烏(wu)龜(gui)(gui)在阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)前(qian)(qian)面1000米(mi)處開始，和阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)賽(sai)跑，并且假定阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)的(de)速度是(shi)烏(wu)龜(gui)(gui)的(de)10倍(bei)。當(dang)比賽(sai)開始后，若阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)跑了1000米(mi)，設所(suo)用(yong)的(de)時(shi)間(jian)(jian)為t，此(ci)時(shi)烏(wu)龜(gui)(gui)便領先他(ta)100米(mi)；當(dang)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)跑完(wan)下一個100米(mi)時(shi)，他(ta)所(suo)用(yong)的(de)時(shi)間(jian)(jian)為t/10，烏(wu)龜(gui)(gui)仍然前(qian)(qian)于他(ta)10米(mi)；當(dang)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)跑完(wan)下一個10米(mi)時(shi)，他(ta)所(suo)用(yong)的(de)時(shi)間(jian)(jian)為t/100，烏(wu)龜(gui)(gui)仍然前(qian)(qian)于他(ta)1米(mi)……芝諾(nuo)認為，阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里斯(si)(si)能夠繼續逼近烏(wu)龜(gui)(gui)，但決不可能追上它。

悖論解釋

關于(yu)阿(a)基(ji)里(li)斯(si)(si)悖(bei)論的(de)(de)一(yi)(yi)個解釋是：阿(a)基(ji)里(li)斯(si)(si)的(de)(de)確永遠也追不上(shang)烏龜(gui)。雖然現實中我(wo)們(men)知(zhi)道阿(a)基(ji)里(li)斯(si)(si)超越烏龜(gui)非常簡單，但是它(ta)是如何超過烏龜(gui)的(de)(de)在過去卻一(yi)(yi)直存在爭論。

現代物理學已經證(zheng)明了時間(jian)和空間(jian)不是可(ke)以無(wu)限分割的(de)(de)，所以總有(you)最為(wei)微(wei)小的(de)(de)一個時間(jian)里(li)(li)，阿(a)基里(li)(li)斯和烏(wu)龜共(gong)同前(qian)進了一個空間(jian)單位，從此阿(a)基里(li)(li)斯順利超過(guo)烏(wu)龜。

產生原因

芝諾(nuo)悖論的(de)(de)產生原因，是在于“芝諾(nuo)時(shi)(shi)”不可能度量阿基里(li)斯(si)追上烏龜(gui)后的(de)(de)現象。在芝諾(nuo)時(shi)(shi)達(da)到無限(xian)后，正常(chang)計時(shi)(shi)仍可以進(jin)行，只不過芝諾(nuo)的(de)(de)“鐘(zhong)”已(yi)經無法度量它們了。這個悖論實(shi)際上是反映時(shi)(shi)空(kong)并不是無限(xian)可分的(de)(de)，運動也不是連續(xu)的(de)(de)。

通俗一點(dian)講(jiang)，我們都知(zhi)道一條線(xian)是(shi)(shi)由無(wu)數個(ge)點(dian)組成的(de)，但(dan)這(zhe)個(ge)“無(wu)數個(ge)點(dian)”并不能(neng)說我們無(wu)法畫出(chu)一條線(xian)。也就(jiu)是(shi)(shi)說就(jiu)是(shi)(shi)芝諾(nuo)偷換了概(gai)念，（1+0.1+0.01+……）t其實是(shi)(shi)一個(ge)有限的(de)時間，但(dan)他認為這(zhe)個(ge)時間是(shi)(shi)無(wu)限大的(de)，只(zhi)要時間超過（1+0.1+0.01+……）t阿(a)基(ji)里斯就(jiu)追上了烏(wu)龜。

哲學辨析

阿(a)基里斯悖論(lun)分離(li)了運動(dong)(dong)與靜(jing)止(zhi)(zhi)，夸大(da)了相對(dui)靜(jing)止(zhi)(zhi)，而否(fou)認了絕對(dui)運動(dong)(dong)，是(shi)形(xing)而上學說。

黑(hei)格爾在(zai)《小邏輯》中說：“辯證(zheng)法切(qie)不可與單純的(de)(de)詭(gui)辯相混淆。詭(gui)辯的(de)(de)本(ben)質在(zai)于孤立起來看(kan)事物，把(ba)本(ben)身片面(mian)的(de)(de)、抽象的(de)(de)規定，認為是(shi)可靠的(de)(de)。”辯證(zheng)唯物主義認為，運動與靜止是(shi)對(dui)立統(tong)一(yi)的(de)(de)辯證(zheng)關系。

一方面，運(yun)動(dong)與靜(jing)(jing)(jing)止的(de)(de)(de)對(dui)(dui)立表(biao)現在(zai)：運(yun)動(dong)是(shi)絕(jue)對(dui)(dui)的(de)(de)(de)，靜(jing)(jing)(jing)止是(shi)相(xiang)(xiang)對(dui)(dui)的(de)(de)(de)，二者相(xiang)(xiang)互區別(bie)，不可混(hun)淆。所(suo)謂(wei)運(yun)動(dong)是(shi)絕(jue)對(dui)(dui)的(de)(de)(de)是(shi)說(shuo)，運(yun)動(dong)是(shi)物質(zhi)的(de)(de)(de)根本(ben)屬性(xing)，任何(he)事物在(zai)任何(he)條(tiao)(tiao)件下都是(shi)永(yong)恒運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)，是(shi)無條(tiao)(tiao)件的(de)(de)(de)。所(suo)謂(wei)靜(jing)(jing)(jing)止是(shi)相(xiang)(xiang)對(dui)(dui)的(de)(de)(de)是(shi)說(shuo)，靜(jing)(jing)(jing)止是(shi)運(yun)動(dong)在(zai)特(te)定條(tiao)(tiao)件下的(de)(de)(de)特(te)殊狀態，是(shi)有(you)條(tiao)(tiao)件的(de)(de)(de)。

另一方面，運動(dong)(dong)與(yu)靜(jing)止(zhi)(zhi)的(de)統一表現在(zai)：運動(dong)(dong)和靜(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)(shi)相(xiang)(xiang)互(hu)依存、相(xiang)(xiang)互(hu)貫通(tong)的(de)，即所(suo)謂動(dong)(dong)中有(you)靜(jing)、靜(jing)中有(you)動(dong)(dong)。在(zai)運動(dong)(dong)與(yu)靜(jing)止(zhi)(zhi)關(guan)系上(shang)有(you)兩種(zhong)形而上(shang)學的(de)錯誤(wu)：一種(zhong)是(shi)(shi)割裂(lie)運動(dong)(dong)與(yu)靜(jing)止(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系，否認運動(dong)(dong)，只(zhi)講靜(jing)止(zhi)(zhi)，將(jiang)靜(jing)止(zhi)(zhi)絕(jue)對化的(de)形而上(shang)學不(bu)動(dong)(dong)論；一種(zhong)是(shi)(shi)割裂(lie)運動(dong)(dong)與(yu)靜(jing)止(zhi)(zhi)的(de)關(guan)系，只(zhi)講運動(dong)(dong)，否認靜(jing)止(zhi)(zhi)的(de)形而上(shang)學相(xiang)(xiang)對主義(yi)和詭辯論。

簡單證明

關于(yu)阿基(ji)里(li)斯(si)追龜的問題，我們可以很(hen)簡單(dan)地(di)證(zheng)明阿基(ji)里(li)斯(si)追上了(le)烏(wu)龜。

我們(men)設烏(wu)龜(gui)先(xian)前所(suo)(suo)(suo)(suo)走(zou)(zou)過的(de)(de)所(suo)(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)屬于集合(he)(he)B，烏(wu)龜(gui)現在(zai)(zai)(zai)所(suo)(suo)(suo)(suo)在(zai)(zai)(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)標志為b，烏(wu)龜(gui)所(suo)(suo)(suo)(suo)走(zou)(zou)過的(de)(de)所(suo)(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)集合(he)(he)A，A由集合(he)(he)B中(zhong)所(suo)(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)加(jia)上(shang)b點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)構成。只(zhi)要是(shi)(shi)烏(wu)龜(gui)先(xian)前所(suo)(suo)(suo)(suo)在(zai)(zai)(zai)的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，都是(shi)(shi)阿基里斯可以(yi)走(zou)(zou)到(dao)的(de)(de)，因而(er)阿基里斯可以(yi)走(zou)(zou)到(dao)集合(he)(he)B中(zhong)所(suo)(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)。那么，我們(men)能(neng)(neng)(neng)不(bu)能(neng)(neng)(neng)在(zai)(zai)(zai)集合(he)(he)A中(zhong)找到(dao)一(yi)個點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，它既不(bu)屬于B，也不(bu)是(shi)(shi)b，回答是(shi)(shi)不(bu)能(neng)(neng)(neng)的(de)(de)。因而(er)如(ru)果阿基里斯走(zou)(zou)過了集合(he)(he)B中(zhong)所(suo)(suo)(suo)(suo)有的(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，阿基里斯與b點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)距離就已(yi)經是(shi)(shi)0（如(ru)果不(bu)是(shi)(shi)0，則應該在(zai)(zai)(zai)阿基里斯與b點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)之間還會(hui)存在(zai)(zai)(zai)著一(yi)個點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，但這個點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)并(bing)不(bu)存在(zai)(zai)(zai)），也就是(shi)(shi)說，阿基里斯已(yi)經追上(shang)了烏(wu)龜(gui)。

而按(an)照我(wo)們悖(bei)論所(suo)(suo)設(she)定的(de)(de)(de)條件(jian)，阿(a)基里斯是(shi)(shi)(shi)可以走到烏(wu)龜先前(qian)所(suo)(suo)走過的(de)(de)(de)所(suo)(suo)有(you)的(de)(de)(de)點的(de)(de)(de)。因(yin)而阿(a)基里斯追到了(le)(le)烏(wu)龜。但(dan)在上面的(de)(de)(de)分(fen)析(xi)中，我(wo)們發現了(le)(le)一個(ge)(ge)有(you)趣的(de)(de)(de)矛盾，這(zhe)就是(shi)(shi)(shi)b既屬于B又不(bu)屬于B，也就是(shi)(shi)(shi)說，b既是(shi)(shi)(shi)現在又是(shi)(shi)(shi)先前(qian)。而且這(zhe)是(shi)(shi)(shi)阿(a)基里斯得以追上烏(wu)龜的(de)(de)(de)前(qian)提和條件(jian)。這(zhe)樣(yang)的(de)(de)(de)一個(ge)(ge)有(you)趣的(de)(de)(de)結論，是(shi)(shi)(shi)決不(bu)可能(neng)為具有(you)形(xing)而上學頭腦的(de)(de)(de)那些數學家們所(suo)(suo)接受的(de)(de)(de)。

此悖論假(jia)設阿基里斯永遠只能到達龜前一(yi)個(ge)(ge)時間(jian)段(duan)(duan)(duan)到達的(de)地方(fang)，即追上的(de)前一(yi)個(ge)(ge)時間(jian)段(duan)(duan)(duan)，此時條件未發生變化(hua)，并先承認此時間(jian)段(duan)(duan)(duan)兩者間(jian)仍(reng)有差異，然后(hou)用不同(tong)的(de)時間(jian)段(duan)(duan)(duan)進行重復換算，假(jia)設條件仍(reng)未變化(hua)。而在此時間(jian)段(duan)(duan)(duan)的(de)下(xia)一(yi)個(ge)(ge)口徑相同(tong)的(de)時間(jian)段(duan)(duan)(duan)里，阿基米斯就會追上。

相(xiang)反(fan)觀(guan)點(dian)：這證明(ming)是錯誤的。因為證明(ming)假設了阿基里斯可以走(zou)一個點(dian)，在事(shi)實(shi)上回避了悖(bei)論(lun)中無(wu)法找第1點(dian)問(wen)題實(shi)質。故此證明(ming)和悖(bei)論(lun)無(wu)關，只是把(ba)小學應用題用集合論(lun)復(fu)述(shu)了一遍。

推翻悖論

其(qi)實(shi)，我們根(gen)據中學(xue)所學(xue)過的無窮等(deng)比遞縮數列求和的知識，只需列一個(ge)方程就可以(yi)輕而(er)易舉地(di)推翻芝諾的悖論：阿基里斯在跑了(le)

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便可趕(gan)上烏龜。

人(ren)們認為數列1+0.1+0.01+…………是永遠也(ye)不能窮盡的(de)。這只不過是一個錯覺。

我(wo)們不妨來(lai)計算一下阿基里(li)斯能夠追上烏龜(gui)的時間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9

芝(zhi)諾所說的阿基(ji)里(li)斯(si)不可能(neng)追上烏龜，就(jiu)隱藏著(zhu)時間必(bi)須小(xiao)于10t/9這(zhe)樣一個條件(jian)。

由于阿基(ji)里(li)斯和(he)烏龜(gui)是(shi)在不斷地(di)運動的(de)，對時間是(shi)沒有(you)限制的(de)，時間很容易突破10t/9這樣一個條件(jian)。一旦突破10t/9這樣一個條件(jian)，阿基(ji)里(li)斯就追(zhui)上了(le)或超過了(le)烏龜(gui)。

人們被距離數(shu)列(lie)1+0.1+0.01+…………好像是永遠也不能(neng)窮盡(jin)的假象(xiang)迷惑(huo)了(le)，沒有(you)考(kao)慮(lv)到(dao)時間數(shu)列(lie)1+0.1+0.01+…………是很容(rong)易(yi)達到(dao)和超過的了(le)。

但是不(bu)是所有的(de)數列都能(neng)達(da)到，所以，我們看問題不(bu)能(neng)太極(ji)端。例如(ru)無(wu)(wu)論多(duo)少個點也不(bu)能(neng)組(zu)成直(zhi)線(xian)，對(dui)于點的(de)個數來說，我們就(jiu)永遠無(wu)(wu)法窮盡(jin)它。

其(qi)實，以上的證(zheng)明是無法推(tui)翻這(zhe)個悖論的。因(yin)為這(zhe)個證(zheng)明用到了(le)(le)極限這(zhe)個概念(nian)。然而(er)，極限這(zhe)個概念(nian)，正是為了(le)(le)解決阿基(ji)里(li)斯悖論而(er)定(ding)義出來(lai)的一個概念(nian)。用這(zhe)個概念(nian)再反證(zheng)這(zhe)個悖論很明顯是不合(he)理的。

無限的(de)細分(fen)并不代表不會從時間1流入(ru)時間2，否則你的(de)時鐘將永遠(yuan)停留(liu)在59分(fen)59.9999............秒。

阿基里斯能夠繼續逼近(jin)烏龜(gui)，在某一(yi)時(shi)間(jian)點之前(qian)(qian)無(wu)法追(zhui)(zhui)(zhui)上。但永遠追(zhui)(zhui)(zhui)不(bu)上這一(yi)結果(guo)并(bing)不(bu)成立，因(yin)為這一(yi)悖論只引導去考慮(lv)追(zhui)(zhui)(zhui)上之前(qian)(qian)的(de)距離，而不(bu)是追(zhui)(zhui)(zhui)上的(de)這一(yi)距離。

悖論正解

悖論(lun)隱含的假設就是(shi)阿(a)(a)基(ji)里斯沒有追上龜(gui)，為什么呢？阿(a)(a)基(ji)里斯的每一段(duan)，都是(shi)烏龜(gui)跑(pao)完了，才讓阿(a)(a)基(ji)里斯才跑(pao)的。只(zhi)是(shi)想當然的用了一開始的距離差(cha)(cha)，而這(zhe)個距離差(cha)(cha)為逐段(duan)變(bian)小。

而(er)這個趨近過程(cheng)又想(xiang)用(yong)時間(jian)衡量，恰好時間(jian)和距離，都可(ke)以無(wu)限劃分。靜止也存在(zai)這樣(yang)(yang)(yang)的(de)(de)(de)接近過程(cheng)，舉個例子(zi)(zi)：假設烏龜是靜止的(de)(de)(de)，讓(rang)阿基里斯以這樣(yang)(yang)(yang)的(de)(de)(de)方式(shi)跑。900米，90米，9米，0.9米……，這樣(yang)(yang)(yang)他(ta)也追不(bu)上(shang)烏龜啊(a)，也同樣(yang)(yang)(yang)變不(bu)成零，因(yin)為你的(de)(de)(de)假設就(jiu)(jiu)是距離的(de)(de)(de)無(wu)限小，這只(zhi)是在(zai)尋找最短的(de)(de)(de)距離。這個就(jiu)(jiu)關系到極限了。就(jiu)(jiu)像(xiang)在(zai)找最小的(de)(de)(de)物質粒子(zi)(zi)一(yi)樣(yang)(yang)(yang)。