羅素(su)(su)悖論(lun)(lun)(lun)是(shi)由羅素(su)(su)發(fa)現(xian)的一個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)(lun)悖論(lun)(lun)(lun)，其基本(ben)思想是(shi)：對(dui)于任意一個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)A，A要么(me)是(shi)自(zi)身(shen)的元(yuan)素(su)(su)，即A∈A；A要么(me)不是(shi)自(zi)身(shen)的元(yuan)素(su)(su)，即A?A。根據(ju)康(kang)托爾集(ji)(ji)合(he)論(lun)(lun)(lun)的概括原(yuan)則(ze)，可將(jiang)所有不是(shi)自(zi)身(shen)元(yuan)素(su)(su)的集(ji)(ji)合(he)構成一個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)S1，即S1={x:x?x}。
20世紀之初(chu)，數(shu)(shu)學(xue)界甚至整(zheng)個(ge)科(ke)(ke)學(xue)界籠(long)罩在一片(pian)喜悅祥和的(de)(de)(de)氣氛(fen)之中，科(ke)(ke)學(xue)家(jia)們普遍認為，數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)系統性和嚴密(mi)性已(yi)(yi)經(jing)達到，科(ke)(ke)學(xue)大(da)(da)廈(sha)已(yi)(yi)經(jing)基本建(jian)成。例如(ru)，德(de)國(guo)物(wu)理(li)學(xue)家(jia)基爾(er)霍(huo)夫（G．R．Kirchhoff）就曾經(jing)說(shuo)過(guo)：“物(wu)理(li)學(xue)將無所作為了(le)，至多也(ye)只能在已(yi)(yi)知規(gui)律的(de)(de)(de)公(gong)式的(de)(de)(de)小數(shu)(shu)點后(hou)(hou)面加上幾個(ge)數(shu)(shu)字罷了(le)。”英(ying)國(guo)物(wu)理(li)學(xue)家(jia)開(kai)爾(er)文（L．Kelvin）在1900年回顧物(wu)理(li)學(xue)的(de)(de)(de)發(fa)展(zhan)時也(ye)說(shuo)：“在已(yi)(yi)經(jing)基本建(jian)成的(de)(de)(de)科(ke)(ke)學(xue)大(da)(da)廈(sha)中，后(hou)(hou)輩物(wu)理(li)學(xue)家(jia)只能做一些零(ling)碎的(de)(de)(de)修(xiu)補工作了(le)。”法(fa)國(guo)大(da)(da)數(shu)(shu)學(xue)家(jia)彭迦萊（Poincar6）在1900年的(de)(de)(de)國(guo)際數(shu)(shu)學(xue)家(jia)大(da)(da)會(hui)上也(ye)公(gong)開(kai)宣稱，數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)嚴格性，現(xian)在看來可以說(shuo)是實現(xian)了(le)。然而好景不長，時隔不到兩年，科(ke)(ke)學(xue)界就發(fa)生了(le)一件大(da)(da)事，這件大(da)(da)事就是羅素(su)（Russell）悖論的(de)(de)(de)發(fa)現(xian)。
在某個(ge)城市中有(you)(you)(you)一位理發(fa)(fa)師，他(ta)的廣告詞是(shi)這(zhe)樣寫(xie)的：“本(ben)(ben)人(ren)的理發(fa)(fa)技藝十(shi)分高超，譽滿全城。我將(jiang)為本(ben)(ben)城所有(you)(you)(you)不(bu)(bu)給(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人(ren)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)，我也只(zhi)給(gei)這(zhe)些人(ren)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)。我對各位表示熱誠歡迎！”來(lai)找他(ta)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人(ren)絡繹(yi)不(bu)(bu)絕(jue)，自然都是(shi)那些不(bu)(bu)給(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人(ren)。可是(shi)，有(you)(you)(you)一天，這(zhe)位理發(fa)(fa)師從鏡子里看見自己(ji)(ji)(ji)的胡子長(chang)了，他(ta)本(ben)(ben)能(neng)(neng)地(di)抓(zhua)起了剃刀，你(ni)們看他(ta)能(neng)(neng)不(bu)(bu)能(neng)(neng)給(gei)他(ta)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)呢？如果他(ta)不(bu)(bu)給(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)，他(ta)就(jiu)屬于“不(bu)(bu)給(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人(ren)”，他(ta)就(jiu)要給(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)，而如果他(ta)給(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)呢？他(ta)又屬于“給(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人(ren)”，他(ta)就(jiu)不(bu)(bu)該給(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)(gua)臉(lian)(lian)。
理(li)發師悖(bei)論(lun)(lun)與(yu)羅(luo)(luo)素(su)悖(bei)論(lun)(lun)是(shi)等價的(de)：如果把(ba)每個(ge)人看成一(yi)個(ge)集(ji)合(he)，這(zhe)個(ge)集(ji)合(he)的(de)元(yuan)素(su)被定義(yi)成這(zhe)個(ge)人刮臉(lian)的(de)對象。那(nei)么，理(li)發師宣稱(cheng)，他的(de)元(yuan)素(su)，都(dou)是(shi)城里不(bu)屬于(yu)自身的(de)那(nei)些集(ji)合(he)，并且城里所有(you)不(bu)屬于(yu)自身的(de)集(ji)合(he)都(dou)屬于(yu)他。那(nei)么他是(shi)否屬于(yu)他自己？這(zhe)樣就由理(li)發師悖(bei)論(lun)(lun)得(de)到(dao)了羅(luo)(luo)素(su)悖(bei)論(lun)(lun)。反過來的(de)變換也(ye)是(shi)成立(li)的(de)。
“理發師悖論(lun)”是(shi)很容易(yi)解(jie)決(jue)的(de)，解(jie)決(jue)的(de)辦法之(zhi)一就是(shi)修正理發師的(de)規矩，將他(ta)自(zi)己排除在規矩之(zhi)外；可是(shi)嚴格(ge)的(de)羅素悖論(lun)就不是(shi)這么容易(yi)解(jie)決(jue)的(de)了。
一個(ge)圖書(shu)(shu)(shu)館編纂(zuan)了一本書(shu)(shu)(shu)名(ming)詞典(dian)，它(ta)(ta)列(lie)(lie)(lie)出這個(ge)圖書(shu)(shu)(shu)館里所有不(bu)(bu)列(lie)(lie)(lie)出自己書(shu)(shu)(shu)名(ming)的(de)書(shu)(shu)(shu)。那么它(ta)(ta)列(lie)(lie)(lie)不(bu)(bu)列(lie)(lie)(lie)出自己的(de)書(shu)(shu)(shu)名(ming)？這個(ge)悖(bei)論與(yu)理(li)發師悖(bei)論基本一致。
十(shi)九世紀下半葉(xie)，德(de)國(guo)數(shu)學(xue)(xue)家康(kang)托爾(er)創(chuang)(chuang)立了(le)(le)著名的(de)集(ji)合(he)論，在集(ji)合(he)論剛(gang)產(chan)生時，曾遭到(dao)許多(duo)人的(de)猛烈攻擊。但不久這一(yi)開創(chuang)(chuang)性(xing)成果就為廣大數(shu)學(xue)(xue)家所接受(shou)了(le)(le)，并且獲得廣泛而(er)高度的(de)贊譽。數(shu)學(xue)(xue)家們發現(xian)(xian)，從自(zi)然數(shu)與康(kang)托爾(er)集(ji)合(he)論出發可(ke)建(jian)立起(qi)整(zheng)個(ge)數(shu)學(xue)(xue)大廈(sha)。因而(er)集(ji)合(he)論成為現(xian)(xian)代數(shu)學(xue)(xue)的(de)基石。“一(yi)切數(shu)學(xue)(xue)成果可(ke)建(jian)立在集(ji)合(he)論基礎上”這一(yi)發現(xian)(xian)使數(shu)學(xue)(xue)家們為之陶醉。
1903年，一個(ge)震驚數(shu)學(xue)(xue)界(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)消息傳出(chu)(chu)：集(ji)合(he)論(lun)是有漏洞(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這就(jiu)是英國數(shu)學(xue)(xue)家羅(luo)(luo)素(su)提出(chu)(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)羅(luo)(luo)素(su)悖論(lun)。羅(luo)(luo)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)這條(tiao)悖論(lun)使集(ji)合(he)論(lun)產生了(le)危機。它(ta)非常淺顯(xian)易(yi)懂(dong)，而(er)且(qie)所(suo)(suo)涉及的(de)(de)(de)(de)(de)(de)只(zhi)是集(ji)合(he)論(lun)中最基本的(de)(de)(de)(de)(de)(de)東(dong)西。所(suo)(suo)以，羅(luo)(luo)素(su)悖論(lun)一提出(chu)(chu)就(jiu)在當(dang)時的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)界(jie)與(yu)邏輯(ji)學(xue)(xue)界(jie)內引起了(le)極(ji)大震動(dong)。德國的(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名邏輯(ji)學(xue)(xue)家弗雷(lei)格在他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關于(yu)集(ji)合(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎理論(lun)完稿付印時，收到了(le)羅(luo)(luo)素(su)關于(yu)這一悖論(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信。他(ta)(ta)立(li)刻發現(xian)，自(zi)己忙了(le)很(hen)久得出(chu)(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一系列結果(guo)卻被這條(tiao)悖論(lun)攪(jiao)得一團糟。他(ta)(ta)只(zhi)能在自(zi)己著(zhu)作的(de)(de)(de)(de)(de)(de)末(mo)尾寫道：“一個(ge)科學(xue)(xue)家所(suo)(suo)碰到的(de)(de)(de)(de)(de)(de)最倒霉的(de)(de)(de)(de)(de)(de)事(shi)，莫過于(yu)是在他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作即(ji)將完成(cheng)時卻發現(xian)所(suo)(suo)干的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎崩潰了(le)。”
公理化集合論的(de)(de)(de)建立，成功排除了集合論中出現(xian)(xian)的(de)(de)(de)悖(bei)論，從而(er)比較圓滿地(di)解決了第三(san)次數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)危機。但在(zai)另(ling)一方(fang)面(mian)，羅(luo)素悖(bei)論對數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)而(er)言有著(zhu)更為深刻(ke)的(de)(de)(de)影響。它(ta)使得(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)問題第一次以最迫切的(de)(de)(de)需要的(de)(de)(de)姿態擺到(dao)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家面(mian)前，導致了數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家對數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)的(de)(de)(de)研究。而(er)這方(fang)面(mian)的(de)(de)(de)進一步發展(zhan)又極其深刻(ke)地(di)影響了整個數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)。如(ru)圍繞(rao)著(zhu)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)之爭，形成了現(xian)(xian)代數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)史上著(zhu)名的(de)(de)(de)三(san)大(da)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)流派，而(er)各派的(de)(de)(de)工(gong)作又都(dou)促進了數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)大(da)發展(zhan)。
于是，數學(xue)的(de)基礎被動搖了，這就是所謂的(de)第三次數學(xue)危機。
羅素(su)的悖(bei)論發表之后，接著又發現一系列悖(bei)論（后來歸入所謂語義悖(bei)論）：
1.理查德悖論
2.培里悖論(lun)
3.格瑞林和納(na)爾遜悖論
羅素(su)構(gou)造(zao)了一個(ge)(ge)集合(he)S：S由一切(qie)不屬于(yu)自身(shen)的(de)(de)(de)集合(he)所組成。然后羅素(su)問(wen)：s是否屬于(yu)S呢？根(gen)(gen)據(ju)(ju)排中律，一個(ge)(ge)元(yuan)素(su)或者屬于(yu)某個(ge)(ge)集合(he)，或者不屬于(yu)某個(ge)(ge)集合(he)。因此，對于(yu)一個(ge)(ge)給定集合(he)，問(wen)是否屬于(yu)它自己是有意(yi)義的(de)(de)(de)。但對這個(ge)(ge)看似合(he)理的(de)(de)(de)問(wen)題的(de)(de)(de)回答卻(que)會陷入兩難境(jing)地。如果(guo)s屬于(yu)S，根(gen)(gen)據(ju)(ju)S的(de)(de)(de)定義，s就不屬于(yu)S；反之，如果(guo)s不屬于(yu)S，同樣根(gen)(gen)據(ju)(ju)定義，s就屬于(yu)S。無論(lun)如何都是矛盾的(de)(de)(de)。
羅(luo)素悖論(lun)提出后，數學家們紛(fen)紛(fen)提出自己的(de)(de)解(jie)決(jue)(jue)方案。人們希望能夠(gou)通(tong)過對(dui)康托(tuo)爾的(de)(de)集合論(lun)進行改造，通(tong)過對(dui)集合定義加(jia)以(yi)(yi)限制來排除悖論(lun)，這(zhe)(zhe)就需(xu)要(yao)(yao)建立新的(de)(de)原(yuan)(yuan)則(ze)。“這(zhe)(zhe)些原(yuan)(yuan)則(ze)必須足(zu)夠(gou)狹窄(zhai)，以(yi)(yi)保證排除一(yi)切矛盾；另一(yi)方面又必須充分廣闊，使(shi)康托(tuo)爾集合論(lun)中(zhong)一(yi)切有價值的(de)(de)內容得(de)以(yi)(yi)保存下來。”解(jie)決(jue)(jue)這(zhe)(zhe)一(yi)悖論(lun)主要(yao)(yao)有兩種選(xuan)擇(ze)，ZF公(gong)理系統(tong)和NBG公(gong)理系統(tong)。
1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在(zai)自己這(zhe)一原(yuan)則基礎上提(ti)出(chu)第一個(ge)公理(li)(li)(li)化集(ji)合(he)(he)(he)論體系(xi)(xi)，后來這(zhe)一公理(li)(li)(li)化集(ji)合(he)(he)(he)系(xi)(xi)統(tong)很大程度(du)上彌補(bu)了康托爾樸素集(ji)合(he)(he)(he)論的(de)缺陷。這(zhe)一公理(li)(li)(li)系(xi)(xi)統(tong)在(zai)通過弗蘭克(ke)爾（Abraham Fraenkel）的(de)改進后被(bei)稱(cheng)為(wei)ZF公理(li)(li)(li)系(xi)(xi)統(tong)。在(zai)該(gai)公理(li)(li)(li)系(xi)(xi)統(tong)中，由于分類公理(li)(li)(li)（Axiom schema of specification）：P(x)是x的(de)一個(ge)性質，對(dui)(dui)任意已知集(ji)合(he)(he)(he)A，存(cun)在(zai)一個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)B使得對(dui)(dui)所有元素x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因此{x∣x是一個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)}并不能在(zai)該(gai)系(xi)(xi)統(tong)中寫成一個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)，由于它并不是任何已知集(ji)合(he)(he)(he)的(de)子集(ji)；并且通過該(gai)公理(li)(li)(li)，存(cun)在(zai)集(ji)合(he)(he)(he)A={x∣x是一個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)}在(zai)ZF系(xi)(xi)統(tong)中能被(bei)證明(ming)是矛盾的(de)，因此羅素悖論在(zai)該(gai)系(xi)(xi)統(tong)中被(bei)避(bi)免了。
除ZF系(xi)(xi)統(tong)外，集(ji)合(he)(he)(he)論(lun)的(de)公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)還有多(duo)種(zhong)，如(ru)馮·諾(nuo)伊曼（von Neumann）等人提(ti)出的(de)NBG系(xi)(xi)統(tong)等。在該公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)中，所有包含集(ji)合(he)(he)(he)的(de)"collection"都能(neng)(neng)被(bei)(bei)稱為(wei)類(lei)(class)，凡是(shi)集(ji)合(he)(he)(he)也(ye)能(neng)(neng)被(bei)(bei)稱為(wei)類(lei)，但是(shi)某些collection太大了（比如(ru)一(yi)個collection包含所有集(ji)合(he)(he)(he)）以至于(yu)不(bu)能(neng)(neng)是(shi)一(yi)個集(ji)合(he)(he)(he)，因此只(zhi)能(neng)(neng)是(shi)個類(lei)。這同樣也(ye)避免了羅素悖論(lun)。
精靈世界(jie)
】編輯上傳提供(gong)，當前頁面(mian)所(suo)展示的(de)詞條介紹(shao)涉及宣(xuan)傳內容屬于(yu)注(zhu)冊(ce)用(yong)戶(hu)個人編輯行為，網(wang)站不完全保證內容信息的(de)準確(que)性、真(zhen)實性，也(ye)不代(dai)表本站立(li)場。
