羅素(su)悖(bei)論是(shi)(shi)(shi)由羅素(su)發(fa)現的一個集(ji)(ji)合(he)論悖(bei)論，其基本思想(xiang)是(shi)(shi)(shi)：對于(yu)任意(yi)一個集(ji)(ji)合(he)A，A要(yao)么(me)是(shi)(shi)(shi)自(zi)(zi)身(shen)的元(yuan)素(su)，即A∈A；A要(yao)么(me)不是(shi)(shi)(shi)自(zi)(zi)身(shen)的元(yuan)素(su)，即A?A。根據康(kang)托爾集(ji)(ji)合(he)論的概(gai)括原則，可將所有不是(shi)(shi)(shi)自(zi)(zi)身(shen)元(yuan)素(su)的集(ji)(ji)合(he)構成一個集(ji)(ji)合(he)S1，即S1={x:x?x}。
20世(shi)紀之初，數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)界(jie)甚至整個科(ke)學(xue)(xue)(xue)界(jie)籠(long)罩(zhao)在(zai)一片喜(xi)悅祥和的(de)(de)氣氛之中，科(ke)學(xue)(xue)(xue)家(jia)們普遍認為(wei)，數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)系統性(xing)和嚴(yan)密性(xing)已(yi)(yi)經(jing)達到，科(ke)學(xue)(xue)(xue)大(da)廈已(yi)(yi)經(jing)基(ji)本建(jian)成(cheng)。例如(ru)，德國(guo)物(wu)(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)家(jia)基(ji)爾霍(huo)夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)曾經(jing)說過：“物(wu)(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)將無所作為(wei)了(le)，至多也(ye)只能在(zai)已(yi)(yi)知(zhi)規(gui)律的(de)(de)公式的(de)(de)小數(shu)(shu)(shu)(shu)點后(hou)面加上幾個數(shu)(shu)(shu)(shu)字罷了(le)。”英國(guo)物(wu)(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)家(jia)開爾文（L．Kelvin）在(zai)1900年回顧物(wu)(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)發(fa)(fa)展時(shi)(shi)也(ye)說：“在(zai)已(yi)(yi)經(jing)基(ji)本建(jian)成(cheng)的(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)(xue)大(da)廈中，后(hou)輩物(wu)(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)(xue)家(jia)只能做一些零碎的(de)(de)修補工作了(le)。”法國(guo)大(da)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)彭迦萊（Poincar6）在(zai)1900年的(de)(de)國(guo)際數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)大(da)會上也(ye)公開宣(xuan)稱，數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)嚴(yan)格(ge)性(xing)，現(xian)在(zai)看來可以說是實現(xian)了(le)。然(ran)而(er)好景不長，時(shi)(shi)隔(ge)不到兩年，科(ke)學(xue)(xue)(xue)界(jie)就(jiu)發(fa)(fa)生了(le)一件大(da)事，這(zhe)件大(da)事就(jiu)是羅素（Russell）悖(bei)論的(de)(de)發(fa)(fa)現(xian)。
在某個城市中有(you)(you)一位理(li)發師，他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)廣告詞(ci)是(shi)這(zhe)樣寫的(de)(de)(de)(de)：“本人的(de)(de)(de)(de)理(li)發技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有(you)(you)不(bu)給(gei)(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人刮(gua)臉(lian)(lian)，我也只(zhi)給(gei)(gei)這(zhe)些人刮(gua)臉(lian)(lian)。我對各位表示熱誠(cheng)歡迎！”來(lai)找他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人絡(luo)繹不(bu)絕，自然都(dou)是(shi)那些不(bu)給(gei)(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人。可是(shi)，有(you)(you)一天，這(zhe)位理(li)發師從鏡(jing)子(zi)里看見自己(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)胡子(zi)長了(le)，他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)本能地抓起了(le)剃刀，你們(men)看他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)能不(bu)能給(gei)(gei)他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)呢(ni)？如果他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)不(bu)給(gei)(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)，他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)就(jiu)屬于(yu)“不(bu)給(gei)(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人”，他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)就(jiu)要給(gei)(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)，而如果他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)給(gei)(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)呢(ni)？他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)又屬于(yu)“給(gei)(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)(de)(de)(de)人”，他(ta)(ta)(ta)(ta)(ta)就(jiu)不(bu)該給(gei)(gei)自己(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)。
理(li)發(fa)師(shi)悖論(lun)(lun)與羅素(su)悖論(lun)(lun)是等價的(de)：如果(guo)把每個人看成(cheng)一個集合，這(zhe)個集合的(de)元素(su)被定義(yi)成(cheng)這(zhe)個人刮臉(lian)的(de)對象。那么，理(li)發(fa)師(shi)宣稱，他(ta)(ta)的(de)元素(su)，都(dou)是城里不屬于(yu)(yu)自身的(de)那些集合，并且城里所有不屬于(yu)(yu)自身的(de)集合都(dou)屬于(yu)(yu)他(ta)(ta)。那么他(ta)(ta)是否屬于(yu)(yu)他(ta)(ta)自己？這(zhe)樣就由理(li)發(fa)師(shi)悖論(lun)(lun)得到了羅素(su)悖論(lun)(lun)。反過來的(de)變(bian)換(huan)也是成(cheng)立(li)的(de)。
“理發師悖論(lun)”是(shi)很容易(yi)解決(jue)的(de)(de)，解決(jue)的(de)(de)辦法(fa)之一(yi)就是(shi)修正理發師的(de)(de)規矩(ju)，將他(ta)自己排除(chu)在(zai)規矩(ju)之外；可(ke)是(shi)嚴格的(de)(de)羅(luo)素(su)悖論(lun)就不是(shi)這么容易(yi)解決(jue)的(de)(de)了。
一個圖書(shu)(shu)館編纂了(le)一本(ben)書(shu)(shu)名詞典，它列(lie)出這(zhe)個圖書(shu)(shu)館里所有不列(lie)出自己書(shu)(shu)名的(de)書(shu)(shu)。那么它列(lie)不列(lie)出自己的(de)書(shu)(shu)名？這(zhe)個悖論(lun)(lun)與理(li)發師(shi)悖論(lun)(lun)基本(ben)一致(zhi)。
十(shi)九世紀下(xia)半(ban)葉，德國數(shu)(shu)學(xue)家(jia)(jia)康托(tuo)爾創立(li)了著名的(de)集合(he)(he)論，在(zai)(zai)集合(he)(he)論剛產生時(shi)，曾遭到許多人(ren)的(de)猛烈攻擊。但不久這一(yi)開創性成(cheng)果就為(wei)廣大數(shu)(shu)學(xue)家(jia)(jia)所接(jie)受了，并且獲得廣泛(fan)而高度的(de)贊譽。數(shu)(shu)學(xue)家(jia)(jia)們發(fa)現，從自然數(shu)(shu)與康托(tuo)爾集合(he)(he)論出發(fa)可建立(li)起整個數(shu)(shu)學(xue)大廈。因而集合(he)(he)論成(cheng)為(wei)現代數(shu)(shu)學(xue)的(de)基石。“一(yi)切數(shu)(shu)學(xue)成(cheng)果可建立(li)在(zai)(zai)集合(he)(he)論基礎上”這一(yi)發(fa)現使數(shu)(shu)學(xue)家(jia)(jia)們為(wei)之陶(tao)醉(zui)。
1903年，一(yi)個(ge)震驚數(shu)學界(jie)的(de)(de)消息傳出(chu)：集合(he)論(lun)(lun)(lun)是有漏洞的(de)(de)。這(zhe)就是英國數(shu)學家(jia)羅(luo)(luo)(luo)素(su)(su)(su)(su)提(ti)(ti)出(chu)的(de)(de)著(zhu)名(ming)的(de)(de)羅(luo)(luo)(luo)素(su)(su)(su)(su)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)。羅(luo)(luo)(luo)素(su)(su)(su)(su)的(de)(de)這(zhe)條悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)使(shi)集合(he)論(lun)(lun)(lun)產(chan)生了(le)危(wei)機。它(ta)非(fei)常(chang)淺顯易懂，而且所(suo)(suo)涉及的(de)(de)只是集合(he)論(lun)(lun)(lun)中最基本的(de)(de)東西(xi)。所(suo)(suo)以，羅(luo)(luo)(luo)素(su)(su)(su)(su)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)一(yi)提(ti)(ti)出(chu)就在(zai)(zai)(zai)(zai)當(dang)時的(de)(de)數(shu)學界(jie)與邏(luo)輯學界(jie)內(nei)引起(qi)了(le)極(ji)大震動。德國的(de)(de)著(zhu)名(ming)邏(luo)輯學家(jia)弗雷格在(zai)(zai)(zai)(zai)他(ta)(ta)的(de)(de)關于集合(he)的(de)(de)基礎(chu)理(li)論(lun)(lun)(lun)完(wan)(wan)稿付印時，收(shou)到了(le)羅(luo)(luo)(luo)素(su)(su)(su)(su)關于這(zhe)一(yi)悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)的(de)(de)信。他(ta)(ta)立刻發現，自(zi)己忙了(le)很久得(de)出(chu)的(de)(de)一(yi)系列結(jie)果卻(que)被這(zhe)條悖(bei)(bei)論(lun)(lun)(lun)攪得(de)一(yi)團糟。他(ta)(ta)只能(neng)在(zai)(zai)(zai)(zai)自(zi)己著(zhu)作的(de)(de)末尾(wei)寫道：“一(yi)個(ge)科學家(jia)所(suo)(suo)碰到的(de)(de)最倒霉的(de)(de)事(shi)，莫過于是在(zai)(zai)(zai)(zai)他(ta)(ta)的(de)(de)工作即(ji)將完(wan)(wan)成時卻(que)發現所(suo)(suo)干的(de)(de)工作的(de)(de)基礎(chu)崩(beng)潰了(le)。”
公(gong)理化集(ji)合論(lun)的(de)(de)(de)建(jian)立，成功排(pai)除了(le)集(ji)合論(lun)中出現(xian)的(de)(de)(de)悖論(lun)，從而(er)比較圓滿(man)地解決(jue)了(le)第三(san)次(ci)數(shu)學(xue)(xue)(xue)危機。但在另一(yi)方(fang)面，羅素悖論(lun)對數(shu)學(xue)(xue)(xue)而(er)言有著(zhu)更為(wei)深刻的(de)(de)(de)影響。它使得(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)基(ji)礎(chu)問題第一(yi)次(ci)以最迫(po)切的(de)(de)(de)需要的(de)(de)(de)姿態擺到數(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)面前(qian)，導致了(le)數(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)對數(shu)學(xue)(xue)(xue)基(ji)礎(chu)的(de)(de)(de)研究。而(er)這方(fang)面的(de)(de)(de)進一(yi)步發展又極其深刻地影響了(le)整個數(shu)學(xue)(xue)(xue)。如圍繞著(zhu)數(shu)學(xue)(xue)(xue)基(ji)礎(chu)之爭，形(xing)成了(le)現(xian)代數(shu)學(xue)(xue)(xue)史上著(zhu)名的(de)(de)(de)三(san)大數(shu)學(xue)(xue)(xue)流派，而(er)各(ge)派的(de)(de)(de)工作又都促進了(le)數(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)大發展。
于(yu)是(shi)，數學(xue)的基礎被(bei)動搖了，這就是(shi)所謂的第三次數學(xue)危機。
羅(luo)素的悖論(lun)(lun)發表(biao)之后，接著又(you)發現(xian)一系列悖論(lun)(lun)（后來(lai)歸(gui)入(ru)所謂語義悖論(lun)(lun)）：
1.理(li)查德悖論
2.培里(li)悖論
3.格(ge)瑞林和納(na)爾遜悖論
羅素(su)構(gou)造了一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)集合(he)(he)S：S由(you)一(yi)(yi)(yi)(yi)切不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)自(zi)身的(de)(de)(de)集合(he)(he)所(suo)組成。然后羅素(su)問：s是(shi)否屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)S呢？根據(ju)(ju)排中律(lv)，一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)元素(su)或者屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)某個(ge)(ge)集合(he)(he)，或者不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)某個(ge)(ge)集合(he)(he)。因此(ci)，對于(yu)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)給定集合(he)(he)，問是(shi)否屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)它自(zi)己(ji)是(shi)有意義(yi)(yi)的(de)(de)(de)。但(dan)對這個(ge)(ge)看(kan)似合(he)(he)理的(de)(de)(de)問題(ti)的(de)(de)(de)回答卻會陷(xian)入兩難境地。如(ru)果s屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)S，根據(ju)(ju)S的(de)(de)(de)定義(yi)(yi)，s就不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)S；反之(zhi)，如(ru)果s不屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)S，同(tong)樣(yang)根據(ju)(ju)定義(yi)(yi)，s就屬(shu)(shu)(shu)(shu)于(yu)S。無論(lun)如(ru)何都是(shi)矛盾(dun)的(de)(de)(de)。
羅(luo)素(su)悖論提出后，數學(xue)家們紛紛提出自己(ji)的解決方案。人們希望能夠通過對康托(tuo)(tuo)爾的集合論進(jin)行改造(zao)，通過對集合定義加以限制來排除(chu)悖論，這就需要建(jian)立新(xin)的原(yuan)則。“這些原(yuan)則必(bi)須足(zu)夠狹窄，以保證排除(chu)一切(qie)矛盾；另一方面又必(bi)須充(chong)分廣闊(kuo)，使康托(tuo)(tuo)爾集合論中一切(qie)有價值(zhi)的內(nei)容得以保存下來。”解決這一悖論主要有兩(liang)種選擇(ze)，ZF公理系統(tong)和(he)NBG公理系統(tong)。
1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在自己這一(yi)(yi)原則基(ji)礎上(shang)提出第(di)一(yi)(yi)個(ge)公(gong)理化(hua)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)體系(xi)(xi)，后來(lai)這一(yi)(yi)公(gong)理化(hua)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)系(xi)(xi)統(tong)(tong)很大程度(du)上(shang)彌(mi)補了(le)康托(tuo)爾樸素(su)(su)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)論(lun)的(de)(de)缺陷(xian)。這一(yi)(yi)公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)(tong)在通過弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）的(de)(de)改(gai)進后被(bei)稱(cheng)為(wei)ZF公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)(tong)。在該(gai)(gai)(gai)公(gong)理系(xi)(xi)統(tong)(tong)中(zhong)，由于分(fen)類公(gong)理（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)(shi)x的(de)(de)一(yi)(yi)個(ge)性質，對任意已(yi)知集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)A，存在一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)B使得對所有元素(su)(su)x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因此{x∣x是(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)}并不能在該(gai)(gai)(gai)系(xi)(xi)統(tong)(tong)中(zhong)寫成(cheng)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)，由于它并不是(shi)(shi)任何已(yi)知集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)的(de)(de)子集(ji)(ji)(ji)(ji)；并且通過該(gai)(gai)(gai)公(gong)理，存在集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)A={x∣x是(shi)(shi)一(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)(ji)合(he)}在ZF系(xi)(xi)統(tong)(tong)中(zhong)能被(bei)證明是(shi)(shi)矛(mao)盾(dun)的(de)(de)，因此羅素(su)(su)悖論(lun)在該(gai)(gai)(gai)系(xi)(xi)統(tong)(tong)中(zhong)被(bei)避免了(le)。
除ZF系(xi)統(tong)外，集(ji)合論的(de)公理系(xi)統(tong)還(huan)有多(duo)種，如馮·諾伊曼（von Neumann）等人提(ti)出的(de)NBG系(xi)統(tong)等。在該公理系(xi)統(tong)中，所有包含(han)集(ji)合的(de)"collection"都能(neng)(neng)被稱(cheng)為類(lei)(lei)(class)，凡是(shi)集(ji)合也能(neng)(neng)被稱(cheng)為類(lei)(lei)，但(dan)是(shi)某些collection太大(da)了（比如一個collection包含(han)所有集(ji)合）以至于不能(neng)(neng)是(shi)一個集(ji)合，因此只能(neng)(neng)是(shi)個類(lei)(lei)。這同樣也避免了羅素悖論。
精靈世界(jie)
】編輯(ji)(ji)上傳提(ti)供(gong)，當前頁面所展示的(de)詞條介紹涉及(ji)宣(xuan)傳內容屬于(yu)注冊用戶(hu)個人編輯(ji)(ji)行(xing)為，網站(zhan)不(bu)完全(quan)保證(zheng)內容信息的(de)準確性、真實性，也不(bu)代表(biao)本站(zhan)立場。
