《九章算(suan)術(shu)》約成(cheng)書于(yu)東漢之(zhi)初(chu)，共有246個(ge)問題的解法。在(zai)許(xu)多(duo)方面：如解聯立方程，分數(shu)四(si)則運算(suan)，正負數(shu)運算(suan)，幾(ji)何圖形的體積面積計算(suan)等，都屬于(yu)世界先(xian)進之(zhi)列(lie)。劉徽在(zai)曹魏景初(chu)四(si)年注《九章算(suan)術(shu)注》。
但(dan)因解(jie)法(fa)比(bi)較原(yuan)始(shi)，缺乏必要的(de)(de)(de)(de)(de)(de)證(zheng)明，劉徽則(ze)對此均作了(le)(le)補(bu)充證(zheng)明。在(zai)這些證(zheng)明中，顯示了(le)(le)他(ta)(ta)(ta)在(zai)眾多(duo)方(fang)面(mian)(mian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)創造性(xing)貢(gong)獻。他(ta)(ta)(ta)是(shi)世界上最早(zao)提出十(shi)進小數(shu)概念的(de)(de)(de)(de)(de)(de)人，并(bing)用(yong)(yong)十(shi)進小數(shu)來表示無理數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)立方(fang)根。在(zai)代數(shu)方(fang)面(mian)(mian)，他(ta)(ta)(ta)正(zheng)確(que)地提出了(le)(le)正(zheng)負數(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概念及其(qi)加減(jian)運算的(de)(de)(de)(de)(de)(de)法(fa)則(ze)，改進了(le)(le)線(xian)性(xing)方(fang)程組(zu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)解(jie)法(fa)。在(zai)幾何(he)方(fang)面(mian)(mian)，提出了(le)(le)"割(ge)圓(yuan)術"，即將圓(yuan)周(zhou)用(yong)(yong)內(nei)接或外切正(zheng)多(duo)邊形(xing)窮竭的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)種求圓(yuan)面(mian)(mian)積和(he)圓(yuan)周(zhou)長的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)法(fa)。他(ta)(ta)(ta)利用(yong)(yong)割(ge)圓(yuan)術科(ke)學(xue)地求出了(le)(le)圓(yuan)周(zhou)率π=3.1416的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結果。他(ta)(ta)(ta)用(yong)(yong)割(ge)圓(yuan)術，從直徑(jing)為2尺的(de)(de)(de)(de)(de)(de)圓(yuan)內(nei)接正(zheng)六邊形(xing)開始(shi)割(ge)圓(yuan)，依(yi)次得正(zheng)12邊形(xing)、正(zheng)24邊形(xing)……，割(ge)得越(yue)細，正(zheng)多(duo)邊形(xing)面(mian)(mian)積和(he)圓(yuan)面(mian)(mian)積之(zhi)差越(yue)小，用(yong)(yong)他(ta)(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)原(yuan)話說是(shi)“割(ge)之(zhi)彌細，所失彌少，割(ge)之(zhi)又割(ge)，以至(zhi)于不可割(ge)，則(ze)與(yu)圓(yuan)周(zhou)合體而無所失矣(yi)。”他(ta)(ta)(ta)計算了(le)(le)3072邊形(xing)面(mian)(mian)積并(bing)驗證(zheng)了(le)(le)這個值。劉徽提出的(de)(de)(de)(de)(de)(de)計算圓(yuan)周(zhou)率的(de)(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)方(fang)法(fa)，奠(dian)定了(le)(le)此后千余(yu)年來中國圓(yuan)周(zhou)率計算在(zai)世界上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)領先地位。
劉徽在(zai)(zai)數學(xue)上(shang)的(de)(de)貢獻極多，在(zai)(zai)開方(fang)不(bu)盡的(de)(de)問題中提出(chu)(chu)“求(qiu)徽數”的(de)(de)思想，這方(fang)法(fa)(fa)(fa)與(yu)(yu)后來求(qiu)無(wu)理根的(de)(de)近似值的(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)(fa)一(yi)致(zhi)，它不(bu)僅(jin)是圓(yuan)周(zhou)率精確計(ji)算(suan)的(de)(de)必要(yao)條件(jian)，而且促(cu)進了(le)(le)十進小數的(de)(de)產生；在(zai)(zai)線性(xing)(xing)方(fang)程(cheng)組解(jie)法(fa)(fa)(fa)中，他(ta)創造(zao)了(le)(le)比直除(chu)法(fa)(fa)(fa)更(geng)簡便的(de)(de)互乘相(xiang)消(xiao)法(fa)(fa)(fa)，與(yu)(yu)現今解(jie)法(fa)(fa)(fa)基本一(yi)致(zhi)；并(bing)在(zai)(zai)中國數學(xue)史上(shang)第(di)一(yi)次提出(chu)(chu)了(le)(le)“不(bu)定方(fang)程(cheng)問題”；他(ta)還(huan)建立了(le)(le)等差(cha)級數前(qian)n項和公(gong)式；提出(chu)(chu)并(bing)定義了(le)(le)許多數學(xue)概(gai)念：如冪（面積(ji)）；方(fang)程(cheng)（線性(xing)(xing)方(fang)程(cheng)組）；正負數等等．劉徽還(huan)提出(chu)(chu)了(le)(le)許多公(gong)認正確的(de)(de)判斷作(zuo)為(wei)證(zheng)明(ming)(ming)的(de)(de)前(qian)提．他(ta)的(de)(de)大多數推理、證(zheng)明(ming)(ming)都(dou)合乎邏輯，十分嚴謹(jin)，從而把《九章算(suan)術》及他(ta)自己提出(chu)(chu)的(de)(de)解(jie)法(fa)(fa)(fa)、公(gong)式建立在(zai)(zai)必然(ran)性(xing)(xing)的(de)(de)基礎之上(shang)。雖然(ran)劉徽沒有寫(xie)出(chu)(chu)自成(cheng)(cheng)體系(xi)的(de)(de)著作(zuo)，但他(ta)注《九章算(suan)術》所運用的(de)(de)數學(xue)知(zhi)識(shi)，實(shi)際上(shang)已(yi)經形成(cheng)(cheng)了(le)(le)一(yi)個獨具特(te)色、包括概(gai)念和判斷、并(bing)以數學(xue)證(zheng)明(ming)(ming)為(wei)其(qi)聯系(xi)紐帶的(de)(de)理論體系(xi)。
劉(liu)徽在割圓術中提出的(de)"割之(zhi)彌(mi)細，所失彌(mi)少，割之(zhi)又割以至于不(bu)可割，則與圓合體而無(wu)所失矣"，這可視(shi)為(wei)中國古(gu)代(dai)極限觀(guan)念的(de)佳作。《海島算經》一書(shu)中，劉(liu)徽精心(xin)選編了(le)九(jiu)個測量(liang)問題(ti)，這些(xie)題(ti)目(mu)的(de)創造性、復(fu)雜(za)性和富有(you)代(dai)表性，都(dou)在當時(shi)為(wei)西(xi)方所矚目(mu)。劉(liu)徽思(si)想(xiang)敏捷，方法靈活，既提倡(chang)推(tui)理又主張直觀(guan)。他是我國最(zui)早明確(que)主張用邏(luo)輯推(tui)理的(de)方式來論(lun)證數(shu)(shu)學命題(ti)的(de)人(ren)。精確(que)到了(le)小(xiao)數(shu)(shu)點(dian)后5位。
劉徽(hui)其代表(biao)作《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術注》是對《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》一書(shu)的(de)注解。《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》是中(zhong)國流(liu)傳(chuan)至今最古老的(de)數學專(zhuan)著(zhu)之一，它(ta)成書(shu)于西漢時期。這部書(shu)的(de)完成經過了一段歷史過程，書(shu)中(zhong)所(suo)收集的(de)各種(zhong)數學問(wen)題(ti)，有(you)些是秦以(yi)前(qian)流(liu)傳(chuan)的(de)問(wen)題(ti)，長期以(yi)來經過多人(ren)刪補、修訂，最后由西漢時期的(de)數學家整理完成。現(xian)今流(liu)傳(chuan)的(de)定本(ben)的(de)內容(rong)在東漢之前(qian)已(yi)經形成。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》是中(zhong)國(guo)(guo)(guo)最重要(yao)的(de)(de)一部經典數學(xue)著作，它的(de)(de)完成(cheng)奠定了(le)中(zhong)國(guo)(guo)(guo)古代數學(xue)發展的(de)(de)基(ji)礎，在中(zhong)國(guo)(guo)(guo)數學(xue)史上(shang)占有極為重要(yao)的(de)(de)地(di)位(wei)。現傳本(ben)《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》共收集了(le)246個應(ying)用(yong)問題和各(ge)種問題的(de)(de)解法，分別隸屬(shu)于方田、粟米、衰分、少廣、商(shang)功、均輸、盈不足、方程、勾股九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》的(de)(de)產生是(shi)(shi)社(she)會(hui)發展和(he)數(shu)學知識長期(qi)(qi)積累的(de)(de)結果，它匯集(ji)了(le)不同時期(qi)(qi)數(shu)學家的(de)(de)勞動成(cheng)果。三國時的(de)(de)數(shu)學家劉徽(hui)認(ren)為：“周(zhou)公制禮有(you)九(jiu)數(shu)，九(jiu)數(shu)之流，則《九(jiu)章(zhang)》是(shi)(shi)矣。……漢北(bei)平侯(hou)張蒼(cang)(cang)、大司農中丞耿壽昌皆以善(shan)算(suan)命(ming)世。蒼(cang)(cang)等因舊文(wen)之遺(yi)殘(can)，各(ge)稱刪補。故(gu)校其目則與古(gu)或(huo)異(yi)，而所(suo)論多近(jin)語也。”根據劉徽(hui)的(de)(de)考證(zheng)結果，《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》源于周(zhou)公時代的(de)(de)“九(jiu)數(shu)”，而他(ta)所(suo)見(jian)到的(de)(de)《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》是(shi)(shi)西(xi)漢時的(de)(de)張蒼(cang)(cang)、耿壽昌在先秦遺(yi)文(wen)的(de)(de)基礎上刪補而成(cheng)的(de)(de)，其中包括了(le)大量西(xi)漢時補充的(de)(de)內(nei)容。根據歷史(shi)文(wen)獻和(he)出土(tu)文(wen)物資料(liao)來分析(xi)，劉徽(hui)所(suo)言是(shi)(shi)可信的(de)(de)。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》所(suo)包(bao)含的(de)(de)(de)各種算(suan)(suan)法(fa)是漢(han)(han)朝數(shu)(shu)學(xue)家們在秦(qin)以前流傳(chuan)(chuan)下(xia)來的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)基礎上，適應當(dang)時的(de)(de)(de)需要(yao)補(bu)充(chong)修(xiu)(xiu)訂而(er)成的(de)(de)(de)。按照(zhao)劉徽的(de)(de)(de)考證(zheng)，張(zhang)(zhang)蒼和耿壽(shou)昌(chang)都(dou)是參加(jia)過修(xiu)(xiu)訂工作的(de)(de)(de)主要(yao)數(shu)(shu)學(xue)家。《史記(ji)·張(zhang)(zhang)丞(cheng)相列傳(chuan)(chuan)》記(ji)載，張(zhang)(zhang)蒼（約公(gong)元前250～公(gong)元前152）經歷(li)了秦(qin)、漢(han)(han)兩個(ge)朝代(dai)，他在高帝(di)六年(nian)（公(gong)元前201年(nian)）以攻藏茶有功封(feng)為北(bei)平侯。“自(zi)秦(qin)時為柱(zhu)下(xia)史，明(ming)天下(xia)圖書(shu)計籍。又善用算(suan)(suan)律(lv)歷(li)。”他還“著書(shu)18篇，言陰陽律(lv)歷(li)事。”耿壽(shou)昌(chang)的(de)(de)(de)生年(nian)年(nian)代(dai)不詳，漢(han)(han)宣帝(di)時官至大(da)司農中丞(cheng)，“以善為算(suan)(suan)，能(neng)商功利”得寵于(yu)皇帝(di)（見《漢(han)(han)書(shu)·食貨志》）。他于(yu)天文學(xue)主張(zhang)(zhang)渾天說，甘露(lu)二(er)年(nian)（公(gong)元前52年(nian)）奏“以圓儀度(du)日月行，考驗天運狀”（見《后漢(han)(han)書(shu)·律(lv)歷(li)志》）。張(zhang)(zhang)蒼和耿壽(shou)昌(chang)都(dou)是數(shu)(shu)學(xue)名家，又身居(ju)高位，由他們主持修(xiu)(xiu)訂先(xian)秦(qin)流傳(chuan)(chuan)下(xia)來的(de)(de)(de)《算(suan)(suan)術(shu)》是很自(zi)然的(de)(de)(de)事情(qing)。根據劉徽的(de)(de)(de)記(ji)載，他所(suo)注釋的(de)(de)(de)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》最后是由耿壽(shou)昌(chang)刪定的(de)(de)(de)。我們認為耿壽(shou)昌(chang)刪補(bu)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)(de)年(nian)代(dai)可以定為這部書(shu)完成的(de)(de)(de)年(nian)代(dai)。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》是(shi)由國家(jia)(jia)組織力(li)量(liang)編纂(zuan)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)部(bu)官方(fang)性(xing)數(shu)(shu)(shu)(shu)學教(jiao)科書(shu)(shu)，對兩(liang)漢(han)(han)時期(qi)數(shu)(shu)(shu)(shu)學的(de)(de)(de)(de)(de)發展產生了很(hen)大的(de)(de)(de)(de)(de)影響。《廣(guang)韻》卷(juan)四有“九(jiu)章(zhang)(zhang)術(shu)，漢(han)(han)許(xu)商、杜志(zhi)、吳陳熾、王粲(can)并善之(zhi)”，《后漢(han)(han)書(shu)(shu)·馬援傳》有馬續(xu)（約70～141年(nian)(nian)）“博觀群(qun)籍，善九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)”負(fu)記載。此外(wai)，史書(shu)(shu)中還有鄭玄(xuan)（127～200年(nian)(nian)）、劉洪等人(ren)“通(tong)九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)”的(de)(de)(de)(de)(de)記述。可(ke)知該書(shu)(shu)是(shi)當時學習數(shu)(shu)(shu)(shu)學的(de)(de)(de)(de)(de)重要教(jiao)材，在東漢(han)(han)光和(he)二年(nian)(nian)（179）一(yi)塊銅版上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)銘文(wen)規定(ding)：“大司農以戊寅（138？）詔書(shu)(shu)，……特(te)更為(wei)(wei)諸州作(zuo)(zuo)銅斗(dou)、斜、稱。依黃鐘(zhong)律歷，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》以均長短、輕重、大小(xiao)，以齊七政，令(ling)海內(nei)都(dou)同。”這(zhe)說明該書(shu)(shu)在東漢(han)(han)時期(qi)不(bu)僅廣(guang)為(wei)(wei)流傳，而且(qie)度量(liang)衡研(yan)(yan)制涉及的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)學問題(ti)也要以書(shu)(shu)中的(de)(de)(de)(de)(de)算(suan)法(fa)為(wei)(wei)依據(ju)。許(xu)商、杜志(zhi)可(ke)能(neng)是(shi)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)書(shu)(shu)》成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)后最早(zao)研(yan)(yan)究(jiu)過該書(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)學家(jia)(jia)。許(xu)商、杜志(zhi)都(dou)是(shi)西(xi)漢(han)(han)后期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)學家(jia)(jia)。《漢(han)(han)書(shu)(shu)·藝文(wen)志(zhi)》著(zhu)錄有《許(xu)商算(suan)術(shu)》26卷(juan)、《杜志(zhi)算(suan)術(shu)》16卷(juan)。這(zhe)兩(liang)部(bu)書(shu)(shu)都(dou)是(shi)漢(han)(han)成(cheng)(cheng)帝(di)三年(nian)(nian)（前26）尹咸(xian)校對數(shu)(shu)(shu)(shu)術(shu)著(zhu)作(zuo)(zuo)之(zhi)前撰寫的(de)(de)(de)(de)(de)。許(xu)商、杜志(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作(zuo)(zuo)完成(cheng)(cheng)年(nian)(nian)代(dai)與耿壽昌(chang)刪補《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》的(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)(nian)代(dai)相去不(bu)遠，他們的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)學著(zhu)作(zuo)(zuo)應(ying)當是(shi)在研(yan)(yan)究(jiu)了《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)》的(de)(de)(de)(de)(de)基礎上(shang)完成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)。
《九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術》不(bu)僅在中(zhong)國(guo)數(shu)(shu)學史上占有重要地位，對(dui)世(shi)界數(shu)(shu)學的(de)發展也有著重要的(de)貢獻。分數(shu)(shu)理論及(ji)(ji)其完整(zheng)的(de)算(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)，比(bi)例和(he)比(bi)例分配算(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)，面(mian)積(ji)和(he)體積(ji)算(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)，以及(ji)(ji)各類應用問題的(de)解(jie)法(fa)(fa)，在書中(zhong)的(de)方田(tian)、粟米、衰分、商功、均輸等(deng)(deng)章(zhang)已有了相當詳(xiang)備的(de)敘述。而少廣、盈不(bu)足、方程、勾股(gu)等(deng)(deng)章(zhang)中(zhong)的(de)開立(li)方法(fa)(fa)、盈不(bu)足術（雙假設法(fa)(fa)）、正(zheng)負數(shu)(shu)概念(nian)、線性聯立(li)方程組解(jie)法(fa)(fa)、整(zheng)數(shu)(shu)勾股(gu)弦(xian)的(de)一般公式等(deng)(deng)內容都(dou)是(shi)世(shi)界數(shu)(shu)學史上的(de)卓越成(cheng)就(jiu)。 傳本《九章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術》有劉徽注(zhu)和(he)唐李淳風等(deng)(deng)的(de)注(zhu)釋。
劉徽是中國(guo)古(gu)代杰出(chu)(chu)的(de)(de)數(shu)學(xue)家，他生活在三國(guo)時代的(de)(de)魏(wei)國(guo)。《隋書(shu)·律歷志》論(lun)(lun)歷代量制(zhi)引商(shang)功章(zhang)(zhang)注，說(shuo)“魏(wei)陳留(liu)王景元(yuan)四年（263）劉徽注《九(jiu)章(zhang)(zhang)》。”他的(de)(de)生平不可詳考。劉徽的(de)(de)《九(jiu)章(zhang)(zhang)》注不僅在整(zheng)理古(gu)代數(shu)學(xue)體(ti)系(xi)和(he)(he)完善古(gu)算(suan) 理論(lun)(lun)方(fang)面(mian)取(qu)得(de)了(le)(le)重要成就，而且提(ti)出(chu)(chu)了(le)(le)豐富多(duo)彩(cai)的(de)(de)創見(jian)和(he)(he)發明。劉徽在算(suan)術(shu)、代數(shu)、幾何等方(fang)面(mian)都有杰出(chu)(chu)的(de)(de)貢獻。例如，他用(yong)比率理論(lun)(lun)建立(li)了(le)(le)數(shu)與(yu)式的(de)(de)統一的(de)(de)理論(lun)(lun)基礎，他應用(yong)了(le)(le)出(chu)(chu)入相補原理和(he)(he)極限(xian)方(fang)法解決了(le)(le)許多(duo)面(mian)積和(he)(he)體(ti)積問題，建立(li)了(le)(le)獨具(ju)風格的(de)(de)面(mian)積和(he)(he)體(ti)積理論(lun)(lun)。他對(dui)《九(jiu)章(zhang)(zhang)》中的(de)(de)許多(duo)結論(lun)(lun)給出(chu)(chu)了(le)(le)嚴格的(de)(de)證明，他的(de)(de)一些方(fang)法對(dui)后世有很大(da)啟發，即使對(dui)現今數(shu)學(xue)也(ye)有可借鑒之處。
劉徽(hui)的數學(xue)成就大(da)致為兩(liang)方面：
一是(shi)整理(li)(li)中(zhong)國古代數(shu)學體(ti)(ti)系(xi)(xi)并奠(dian)定了它的理(li)(li)論基礎，這方面(mian)集中(zhong)體(ti)(ti)現在《九章(zhang)算(suan)術(shu)注》中(zhong)。它實已形成為一個比較完整的理(li)(li)論體(ti)(ti)系(xi)(xi)：
數系理論
用數(shu)的(de)同類與(yu)異類闡述了(le)通(tong)分(fen)(fen)、約(yue)分(fen)(fen)、四則運算(suan)，以及繁分(fen)(fen)數(shu)化簡等的(de)運算(suan)法(fa)則；在(zai)開方(fang)(fang)術 的(de)注(zhu)釋中，他(ta)從開方(fang)(fang)不(bu)盡的(de)意義出發，論述了(le)無理方(fang)(fang)根(gen)的(de)存在(zai)，并引進(jin)了(le)新(xin)數(shu)，創造(zao)了(le)用十進(jin)分(fen)(fen)數(shu)無限逼近無理根(gen)的(de)方(fang)(fang)法(fa)。
在籌式演(yan)算理論方(fang)面， 先給率以比較(jiao)明確(que)的(de)定義，又以遍乘(cheng)、通(tong)約、齊(qi)同等三種基本運(yun)(yun)算為基礎(chu)，建(jian)立了數(shu)與式運(yun)(yun)算的(de)統一(yi)的(de)理論基礎(chu)，他還用“率”來定義中國古代(dai)(dai)數(shu)學中的(de)“方(fang)程”，即現代(dai)(dai)數(shu)學中線(xian)性方(fang)程組的(de)增廣矩陣。
在勾股理(li)論方面逐一論證了有關勾股定理(li)與解勾股形的(de)(de)計算原理(li)，建立了相似勾股形理(li)論，發展了勾股測量術，通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的(de)(de)典型圖形的(de)(de)論析，形成了中國特色的(de)(de)相似理(li)論。
面積與體積理論
用出入相(xiang)補、以盈補虛的原理及“割圓(yuan)術”的極限方法提出了劉徽原理，并解決了多種幾(ji)何形、幾(ji)何體(ti)的面積、體(ti)積計算問題(ti)。這(zhe)些方面的理論價值至今仍閃爍(shuo)著余輝(hui)。
二是在繼承(cheng)的(de)基礎上提出了自己(ji)的(de)創見。這方(fang)面主(zhu)要體現為以下幾項有代表性的(de)創見：
割圓術(shu)與圓周(zhou)(zhou)率， 他(ta)在《九章算(suan)(suan)術(shu) 圓田術(shu)》注中，用(yong)割圓術(shu)證明了圓面積(ji)的(de)(de)精(jing)確公式，并給(gei)出了計算(suan)(suan)圓周(zhou)(zhou)率的(de)(de)科(ke)學方法。他(ta)首先從圓內(nei)接六邊(bian)形開(kai)始割圓，每次邊(bian)數倍(bei)增，算(suan)(suan)到(dao)192邊(bian)形的(de)(de)面積(ji)，得(de)到(dao)π=157/50=3.14，又算(suan)(suan)到(dao)3072邊(bian)形的(de)(de)面積(ji)，得(de)到(dao)π=3927/1250=3.1416，稱為“徽率”。
劉徽原理(li)(li)在《九章算術陽馬術》注中，他在用無限分割的方法解決錐體(ti)(ti)體(ti)(ti)積(ji)時，提出了關于多面體(ti)(ti)體(ti)(ti)積(ji)計算的劉徽原理(li)(li)。
“牟合方蓋”說
在《九章算術開立圓術》注中，他(ta)指(zhi)出了球體(ti)積公式V=9D3/16(D為球直徑(jing))的(de)(de)(de)不精確性，并引入(ru)了“牟(mou)合(he)方(fang)蓋(gai)”這(zhe)一(yi)著名的(de)(de)(de)幾何模型。“牟(mou)合(he)方(fang)蓋(gai)”是指(zhi)正(zheng)方(fang)體(ti)的(de)(de)(de)兩個軸(zhou)互相垂直的(de)(de)(de)內切圓柱體(ti)的(de)(de)(de)貫交(jiao)部分。
方程新術
在《九章算術(shu)方(fang)程(cheng)(cheng)術(shu)》注中，他提出(chu)了解線性方(fang)程(cheng)(cheng)組的新(xin)方(fang)法，運用(yong)了比率(lv)算法的思想。
重差術
在自(zi)撰《海島算經》中(zhong)，他提出了(le)重(zhong)(zhong)差術(shu)，采用(yong)了(le)重(zhong)(zhong)表、連索和累(lei)矩等測高測遠方(fang)法。他還運用(yong)“類(lei)推衍化(hua)”的(de)方(fang)法，使重(zhong)(zhong)差術(shu)由兩次測望(wang)，發展(zhan)為(wei)“三望(wang)”、“四望(wang)”。而(er)印度在7世紀，歐洲在15～16世紀才開始研究兩次測望(wang)的(de)問題。劉徽的(de)工作，不(bu)僅(jin)對中(zhong)國古代數學發展(zhan)產生了(le)深(shen)遠影響，而(er)且在世界數學史上也確立了(le)崇高的(de)歷史地(di)位。鑒于劉徽的(de)巨大貢獻，所以不(bu)少書上把他稱作“中(zhong)國數學史上的(de)牛頓”。
