《九章(zhang)算(suan)(suan)術》約成書于東漢之(zhi)初(chu)，共有246個問題(ti)的解(jie)法。在許多(duo)方面：如解(jie)聯立方程(cheng)，分數(shu)四(si)則運算(suan)(suan)，正負(fu)數(shu)運算(suan)(suan)，幾(ji)何圖形的體(ti)積面積計算(suan)(suan)等，都屬于世界(jie)先進之(zhi)列(lie)。劉(liu)徽在曹魏景初(chu)四(si)年注《九章(zhang)算(suan)(suan)術注》。
但因解法(fa)比較原始(shi)(shi)，缺乏必要的(de)(de)(de)(de)證(zheng)明(ming)，劉徽(hui)則對(dui)此(ci)均作(zuo)了(le)(le)(le)補充證(zheng)明(ming)。在這些證(zheng)明(ming)中，顯示(shi)了(le)(le)(le)他(ta)(ta)在眾(zhong)多(duo)方(fang)(fang)(fang)(fang)面(mian)(mian)(mian)(mian)的(de)(de)(de)(de)創造性貢獻。他(ta)(ta)是世(shi)(shi)界上(shang)最早提(ti)(ti)出十進(jin)小(xiao)數(shu)概念的(de)(de)(de)(de)人(ren)，并用(yong)十進(jin)小(xiao)數(shu)來(lai)表示(shi)無理數(shu)的(de)(de)(de)(de)立方(fang)(fang)(fang)(fang)根(gen)。在代數(shu)方(fang)(fang)(fang)(fang)面(mian)(mian)(mian)(mian)，他(ta)(ta)正(zheng)確地(di)提(ti)(ti)出了(le)(le)(le)正(zheng)負數(shu)的(de)(de)(de)(de)概念及(ji)其加減運算(suan)的(de)(de)(de)(de)法(fa)則，改進(jin)了(le)(le)(le)線性方(fang)(fang)(fang)(fang)程組的(de)(de)(de)(de)解法(fa)。在幾何方(fang)(fang)(fang)(fang)面(mian)(mian)(mian)(mian)，提(ti)(ti)出了(le)(le)(le)"割(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)術"，即將圓(yuan)(yuan)周用(yong)內接或外切正(zheng)多(duo)邊(bian)(bian)形(xing)窮竭的(de)(de)(de)(de)一(yi)種(zhong)求圓(yuan)(yuan)面(mian)(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)和圓(yuan)(yuan)周長的(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)。他(ta)(ta)利用(yong)割(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)術科學地(di)求出了(le)(le)(le)圓(yuan)(yuan)周率π=3.1416的(de)(de)(de)(de)結果。他(ta)(ta)用(yong)割(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)術，從直徑為2尺的(de)(de)(de)(de)圓(yuan)(yuan)內接正(zheng)六邊(bian)(bian)形(xing)開(kai)始(shi)(shi)割(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)，依(yi)次得正(zheng)12邊(bian)(bian)形(xing)、正(zheng)24邊(bian)(bian)形(xing)……，割(ge)(ge)得越細，正(zheng)多(duo)邊(bian)(bian)形(xing)面(mian)(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)和圓(yuan)(yuan)面(mian)(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)之差越小(xiao)，用(yong)他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)原話說(shuo)是“割(ge)(ge)之彌細，所失彌少(shao)，割(ge)(ge)之又割(ge)(ge)，以(yi)至于不可割(ge)(ge)，則與圓(yuan)(yuan)周合體而無所失矣(yi)。”他(ta)(ta)計(ji)算(suan)了(le)(le)(le)3072邊(bian)(bian)形(xing)面(mian)(mian)(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)并驗證(zheng)了(le)(le)(le)這個(ge)值。劉徽(hui)提(ti)(ti)出的(de)(de)(de)(de)計(ji)算(suan)圓(yuan)(yuan)周率的(de)(de)(de)(de)科學方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)，奠定了(le)(le)(le)此(ci)后千余年來(lai)中國圓(yuan)(yuan)周率計(ji)算(suan)在世(shi)(shi)界上(shang)的(de)(de)(de)(de)領先地(di)位(wei)。
劉徽在數(shu)學(xue)上的(de)(de)(de)貢獻極(ji)多(duo)，在開方(fang)(fang)不(bu)盡的(de)(de)(de)問(wen)題中提(ti)(ti)出“求(qiu)徽數(shu)”的(de)(de)(de)思想，這(zhe)方(fang)(fang)法(fa)(fa)與(yu)后(hou)來求(qiu)無理(li)根的(de)(de)(de)近似值的(de)(de)(de)方(fang)(fang)法(fa)(fa)一(yi)(yi)致(zhi)，它不(bu)僅是(shi)圓周率(lv)精確計算的(de)(de)(de)必要條件，而(er)且(qie)促進了(le)(le)(le)十進小數(shu)的(de)(de)(de)產生(sheng)；在線(xian)性(xing)方(fang)(fang)程組(zu)解(jie)法(fa)(fa)中，他(ta)(ta)創造了(le)(le)(le)比直除法(fa)(fa)更(geng)簡便的(de)(de)(de)互(hu)乘(cheng)相消法(fa)(fa)，與(yu)現(xian)今(jin)解(jie)法(fa)(fa)基(ji)本一(yi)(yi)致(zhi)；并(bing)在中國數(shu)學(xue)史上第一(yi)(yi)次提(ti)(ti)出了(le)(le)(le)“不(bu)定方(fang)(fang)程問(wen)題”；他(ta)(ta)還建(jian)立了(le)(le)(le)等差級數(shu)前(qian)n項(xiang)和(he)公式；提(ti)(ti)出并(bing)定義了(le)(le)(le)許多(duo)數(shu)學(xue)概念(nian)：如冪（面積(ji)）；方(fang)(fang)程（線(xian)性(xing)方(fang)(fang)程組(zu)）；正負(fu)數(shu)等等．劉徽還提(ti)(ti)出了(le)(le)(le)許多(duo)公認正確的(de)(de)(de)判斷作(zuo)為(wei)證(zheng)明(ming)的(de)(de)(de)前(qian)提(ti)(ti)．他(ta)(ta)的(de)(de)(de)大多(duo)數(shu)推(tui)理(li)、證(zheng)明(ming)都合乎邏輯，十分嚴謹，從而(er)把《九章(zhang)算術》及(ji)他(ta)(ta)自(zi)己提(ti)(ti)出的(de)(de)(de)解(jie)法(fa)(fa)、公式建(jian)立在必然性(xing)的(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)之上。雖然劉徽沒有寫出自(zi)成體系的(de)(de)(de)著作(zuo)，但他(ta)(ta)注《九章(zhang)算術》所運(yun)用(yong)的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)知(zhi)識，實際上已經形成了(le)(le)(le)一(yi)(yi)個獨具特色、包括概念(nian)和(he)判斷、并(bing)以數(shu)學(xue)證(zheng)明(ming)為(wei)其聯(lian)系紐帶(dai)的(de)(de)(de)理(li)論體系。
劉徽(hui)(hui)在(zai)割圓術(shu)中提(ti)出(chu)的(de)(de)"割之彌細，所(suo)失彌少，割之又割以至于(yu)不(bu)可割，則與(yu)圓合體而無所(suo)失矣"，這可視為中國古代極限觀念的(de)(de)佳作。《海島(dao)算經》一書中，劉徽(hui)(hui)精心(xin)選編(bian)了九個測量問題，這些題目的(de)(de)創造性、復雜性和富有代表性，都在(zai)當時為西(xi)方所(suo)矚目。劉徽(hui)(hui)思想敏捷，方法靈活，既(ji)提(ti)倡(chang)推(tui)理又主張直觀。他是(shi)我國最早明確主張用邏輯推(tui)理的(de)(de)方式來(lai)論證數學命題的(de)(de)人。精確到了小數點后5位。
劉徽其(qi)代表(biao)作《九(jiu)章算術(shu)注》是(shi)對《九(jiu)章算術(shu)》一書(shu)的(de)注解。《九(jiu)章算術(shu)》是(shi)中(zhong)國流(liu)(liu)傳(chuan)至(zhi)今(jin)(jin)最古老的(de)數(shu)學專著之一，它成書(shu)于西(xi)漢(han)(han)時期。這部書(shu)的(de)完(wan)成經過了(le)一段(duan)歷史過程，書(shu)中(zhong)所收集(ji)的(de)各種數(shu)學問(wen)題，有些是(shi)秦(qin)以前流(liu)(liu)傳(chuan)的(de)問(wen)題，長(chang)期以來經過多人刪補、修(xiu)訂，最后(hou)由西(xi)漢(han)(han)時期的(de)數(shu)學家整理完(wan)成。現今(jin)(jin)流(liu)(liu)傳(chuan)的(de)定本的(de)內容在(zai)東漢(han)(han)之前已經形成。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》是(shi)中(zhong)國(guo)(guo)最(zui)重要的(de)一(yi)部經典(dian)數學(xue)著作，它的(de)完(wan)成奠定了(le)中(zhong)國(guo)(guo)古代數學(xue)發展的(de)基礎，在中(zhong)國(guo)(guo)數學(xue)史上占有極為重要的(de)地位(wei)。現傳本《九(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》共收集了(le)246個應用問(wen)題和各種問(wen)題的(de)解(jie)法(fa)，分別隸(li)屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸(shu)、盈不足、方程、勾(gou)股九(jiu)章(zhang)(zhang)。
《九(jiu)章(zhang)算術》的(de)產生(sheng)是(shi)(shi)社會發展和數(shu)學知識長期積累的(de)結果，它匯集了不同時期數(shu)學家的(de)勞動成果。三國時的(de)數(shu)學家劉(liu)徽(hui)認為：“周公制禮有九(jiu)數(shu)，九(jiu)數(shu)之(zhi)(zhi)流，則《九(jiu)章(zhang)》是(shi)(shi)矣。……漢北平(ping)侯張蒼(cang)(cang)、大(da)司(si)農中丞耿(geng)壽昌皆以善算命世。蒼(cang)(cang)等因(yin)舊文(wen)(wen)之(zhi)(zhi)遺殘，各(ge)稱刪補(bu)。故校(xiao)其(qi)目則與古或異，而所(suo)論多近語也。”根據(ju)劉(liu)徽(hui)的(de)考證結果，《九(jiu)章(zhang)算術》源于(yu)周公時代的(de)“九(jiu)數(shu)”，而他所(suo)見(jian)到的(de)《九(jiu)章(zhang)算術》是(shi)(shi)西(xi)漢時的(de)張蒼(cang)(cang)、耿(geng)壽昌在先秦遺文(wen)(wen)的(de)基(ji)礎上(shang)刪補(bu)而成的(de)，其(qi)中包(bao)括了大(da)量西(xi)漢時補(bu)充的(de)內容。根據(ju)歷史文(wen)(wen)獻和出土文(wen)(wen)物資料來分(fen)析，劉(liu)徽(hui)所(suo)言是(shi)(shi)可信(xin)的(de)。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術(shu)》所包含的(de)(de)(de)(de)(de)各種算(suan)(suan)(suan)法是漢(han)朝數(shu)(shu)學家們在秦以(yi)前(qian)(qian)流傳(chuan)下來的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學基礎上(shang)，適應當時的(de)(de)(de)(de)(de)需要(yao)補(bu)充修(xiu)訂(ding)而(er)成的(de)(de)(de)(de)(de)。按照劉徽(hui)的(de)(de)(de)(de)(de)考(kao)證，張(zhang)蒼(cang)和(he)耿(geng)壽昌都(dou)是參加過(guo)修(xiu)訂(ding)工(gong)作的(de)(de)(de)(de)(de)主(zhu)要(yao)數(shu)(shu)學家。《史記·張(zhang)丞相列傳(chuan)》記載，張(zhang)蒼(cang)（約(yue)公元前(qian)(qian)250～公元前(qian)(qian)152）經(jing)歷(li)了(le)秦、漢(han)兩個朝代(dai)(dai)，他(ta)(ta)在高帝六年(nian)（公元前(qian)(qian)201年(nian)）以(yi)攻藏茶(cha)有(you)功封為(wei)北平侯。“自秦時為(wei)柱(zhu)下史，明天(tian)下圖書(shu)(shu)計籍。又(you)善(shan)用算(suan)(suan)(suan)律歷(li)。”他(ta)(ta)還“著書(shu)(shu)18篇，言(yan)陰陽律歷(li)事。”耿(geng)壽昌的(de)(de)(de)(de)(de)生年(nian)年(nian)代(dai)(dai)不(bu)詳，漢(han)宣帝時官至大司(si)農中丞，“以(yi)善(shan)為(wei)算(suan)(suan)(suan)，能商功利(li)”得寵于(yu)皇帝（見《漢(han)書(shu)(shu)·食貨(huo)志》）。他(ta)(ta)于(yu)天(tian)文(wen)學主(zhu)張(zhang)渾(hun)天(tian)說，甘露二年(nian)（公元前(qian)(qian)52年(nian)）奏“以(yi)圓(yuan)儀度日月行，考(kao)驗(yan)天(tian)運(yun)狀”（見《后(hou)漢(han)書(shu)(shu)·律歷(li)志》）。張(zhang)蒼(cang)和(he)耿(geng)壽昌都(dou)是數(shu)(shu)學名家，又(you)身居高位(wei)，由他(ta)(ta)們主(zhu)持修(xiu)訂(ding)先秦流傳(chuan)下來的(de)(de)(de)(de)(de)《算(suan)(suan)(suan)術(shu)》是很(hen)自然的(de)(de)(de)(de)(de)事情。根據劉徽(hui)的(de)(de)(de)(de)(de)記載，他(ta)(ta)所注(zhu)釋的(de)(de)(de)(de)(de)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術(shu)》最后(hou)是由耿(geng)壽昌刪定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)。我們認為(wei)耿(geng)壽昌刪補(bu)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)代(dai)(dai)可以(yi)定(ding)為(wei)這部(bu)書(shu)(shu)完成的(de)(de)(de)(de)(de)年(nian)代(dai)(dai)。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》是(shi)(shi)由國(guo)家(jia)(jia)組(zu)織力(li)量編纂的(de)(de)一部官方性(xing)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)教(jiao)科書(shu)，對(dui)兩(liang)漢(han)(han)時(shi)期(qi)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)發展產生了很大的(de)(de)影響(xiang)。《廣(guang)韻》卷四(si)有“九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)術(shu)(shu)，漢(han)(han)許(xu)商(shang)(shang)(shang)、杜志(zhi)(zhi)、吳陳熾、王粲(can)并善之(zhi)(zhi)”，《后(hou)漢(han)(han)書(shu)·馬援傳》有馬續（約70～141年(nian)(nian)）“博觀群(qun)籍(ji)，善九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)”負記載。此外，史書(shu)中(zhong)還(huan)有鄭玄（127～200年(nian)(nian)）、劉洪等人“通九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)”的(de)(de)記述。可(ke)知該(gai)(gai)書(shu)是(shi)(shi)當時(shi)學(xue)(xue)習數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)重(zhong)要(yao)(yao)教(jiao)材(cai)，在東(dong)漢(han)(han)光(guang)和二年(nian)(nian)（179）一塊銅版上的(de)(de)銘文(wen)規定：“大司農(nong)以戊寅（138？）詔(zhao)書(shu)，……特(te)更為諸州作銅斗、斜、稱。依黃鐘律歷，《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》以均長短(duan)、輕重(zhong)、大小，以齊七政(zheng)，令(ling)海內都同。”這(zhe)說明(ming)該(gai)(gai)書(shu)在東(dong)漢(han)(han)時(shi)期(qi)不(bu)僅廣(guang)為流傳，而且(qie)度量衡研制(zhi)涉及的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)問題也要(yao)(yao)以書(shu)中(zhong)的(de)(de)算(suan)(suan)法為依據。許(xu)商(shang)(shang)(shang)、杜志(zhi)(zhi)可(ke)能是(shi)(shi)《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)書(shu)》成書(shu)后(hou)最(zui)早研究過該(gai)(gai)書(shu)的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia)。許(xu)商(shang)(shang)(shang)、杜志(zhi)(zhi)都是(shi)(shi)西漢(han)(han)后(hou)期(qi)的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)(jia)。《漢(han)(han)書(shu)·藝文(wen)志(zhi)(zhi)》著錄有《許(xu)商(shang)(shang)(shang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》26卷、《杜志(zhi)(zhi)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》16卷。這(zhe)兩(liang)部書(shu)都是(shi)(shi)漢(han)(han)成帝三年(nian)(nian)（前26）尹咸校對(dui)數(shu)(shu)(shu)術(shu)(shu)著作之(zhi)(zhi)前撰(zhuan)寫(xie)的(de)(de)。許(xu)商(shang)(shang)(shang)、杜志(zhi)(zhi)的(de)(de)著作完成年(nian)(nian)代(dai)與耿壽昌刪補《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》的(de)(de)年(nian)(nian)代(dai)相去不(bu)遠，他(ta)們的(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)著作應當是(shi)(shi)在研究了《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)(shu)》的(de)(de)基礎上完成的(de)(de)。
《九章算(suan)術》不僅在中國數(shu)(shu)學(xue)史(shi)上占有(you)(you)重要地位，對世界(jie)數(shu)(shu)學(xue)的(de)發展也有(you)(you)著(zhu)重要的(de)貢獻。分數(shu)(shu)理(li)論及其完(wan)整的(de)算(suan)法，比例(li)和比例(li)分配算(suan)法，面(mian)積和體(ti)積算(suan)法，以及各類應用問題的(de)解法，在書中的(de)方田(tian)、粟米、衰分、商功、均輸等(deng)(deng)章已(yi)有(you)(you)了相當詳備的(de)敘述。而少廣、盈(ying)不足、方程、勾(gou)股等(deng)(deng)章中的(de)開立方法、盈(ying)不足術（雙假(jia)設法）、正(zheng)負數(shu)(shu)概(gai)念、線性聯立方程組解法、整數(shu)(shu)勾(gou)股弦的(de)一般公式等(deng)(deng)內容都(dou)是(shi)世界(jie)數(shu)(shu)學(xue)史(shi)上的(de)卓越成就。 傳本《九章算(suan)術》有(you)(you)劉徽注和唐李淳風等(deng)(deng)的(de)注釋。
劉(liu)徽是中國(guo)(guo)古(gu)代(dai)杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)家，他(ta)生(sheng)活在(zai)三國(guo)(guo)時代(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)魏國(guo)(guo)。《隋書·律歷志》論歷代(dai)量(liang)制引商功(gong)章(zhang)注，說“魏陳留王景元(yuan)四(si)年（263）劉(liu)徽注《九章(zhang)》。”他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)生(sheng)平不可詳考。劉(liu)徽的(de)(de)(de)(de)(de)《九章(zhang)》注不僅在(zai)整理(li)古(gu)代(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)體系和(he)完善古(gu)算 理(li)論方面(mian)取得了(le)重要(yao)成就，而且提(ti)出(chu)了(le)豐富多(duo)彩的(de)(de)(de)(de)(de)創見和(he)發明。劉(liu)徽在(zai)算術(shu)、代(dai)數(shu)(shu)(shu)、幾何等方面(mian)都(dou)有杰出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)貢獻。例(li)如，他(ta)用比率理(li)論建(jian)立了(le)數(shu)(shu)(shu)與式的(de)(de)(de)(de)(de)統一(yi)(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論基礎，他(ta)應用了(le)出(chu)入相補原理(li)和(he)極限方法解(jie)決了(le)許多(duo)面(mian)積(ji)(ji)和(he)體積(ji)(ji)問題，建(jian)立了(le)獨具風格(ge)的(de)(de)(de)(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)和(he)體積(ji)(ji)理(li)論。他(ta)對(dui)《九章(zhang)》中的(de)(de)(de)(de)(de)許多(duo)結(jie)論給(gei)出(chu)了(le)嚴(yan)格(ge)的(de)(de)(de)(de)(de)證明，他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)些方法對(dui)后世有很大(da)啟發，即使(shi)對(dui)現今數(shu)(shu)(shu)學(xue)也有可借鑒之處。
劉徽的數(shu)學成就大(da)致為兩方面：
一(yi)(yi)是整(zheng)理中國古代數學(xue)體(ti)(ti)系(xi)并奠(dian)定了它的(de)理論基礎，這方面集中體(ti)(ti)現在《九章算術注》中。它實(shi)已形成為(wei)一(yi)(yi)個比較完(wan)整(zheng)的(de)理論體(ti)(ti)系(xi)：
數系理論
用數(shu)的(de)同類與異類闡述了(le)(le)通分、約分、四則運(yun)算，以及繁(fan)分數(shu)化簡等的(de)運(yun)算法則；在(zai)開方術 的(de)注釋中，他從(cong)開方不盡的(de)意義出發，論述了(le)(le)無理方根的(de)存在(zai)，并引進了(le)(le)新數(shu)，創造了(le)(le)用十(shi)進分數(shu)無限(xian)逼近無理根的(de)方法。
在(zai)籌式(shi)(shi)演算理(li)論方(fang)面， 先給率以(yi)比(bi)較明(ming)確的(de)定(ding)義(yi)(yi)，又以(yi)遍乘、通約(yue)、齊同等三種(zhong)基本運算為基礎(chu)，建立了數(shu)與式(shi)(shi)運算的(de)統一的(de)理(li)論基礎(chu)，他還(huan)用“率”來定(ding)義(yi)(yi)中國古代數(shu)學(xue)中的(de)“方(fang)程”，即現代數(shu)學(xue)中線性方(fang)程組的(de)增(zeng)廣(guang)矩陣。
在勾(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)理論(lun)方面逐一(yi)論(lun)證了有關勾(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)定理與解勾(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)形的(de)計算(suan)原(yuan)理，建立了相似(si)勾(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)形理論(lun)，發展了勾(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)測量術，通過對“勾(gou)(gou)(gou)(gou)中(zhong)容(rong)橫”與“股(gu)中(zhong)容(rong)直(zhi)”之類的(de)典(dian)型(xing)圖形的(de)論(lun)析，形成了中(zhong)國特色(se)的(de)相似(si)理論(lun)。
面積與體積理論
用出入相(xiang)補(bu)(bu)、以(yi)盈(ying)補(bu)(bu)虛的(de)原理及“割圓術”的(de)極限方法(fa)提出了(le)劉徽(hui)原理，并解決了(le)多種幾(ji)何(he)形、幾(ji)何(he)體(ti)的(de)面積、體(ti)積計算(suan)問題(ti)。這些方面的(de)理論(lun)價值至(zhi)今仍閃爍著余輝。
二是(shi)在繼承的(de)基礎上提出了自己的(de)創見(jian)。這(zhe)方面(mian)主要體(ti)現為以(yi)下(xia)幾項有代(dai)表性的(de)創見(jian)：
割圓(yuan)術(shu)(shu)(shu)與圓(yuan)周率， 他(ta)在《九章算(suan)術(shu)(shu)(shu) 圓(yuan)田術(shu)(shu)(shu)》注中，用割圓(yuan)術(shu)(shu)(shu)證明了圓(yuan)面(mian)(mian)積的精(jing)確公式，并給(gei)出了計算(suan)圓(yuan)周率的科學方法。他(ta)首先從圓(yuan)內接(jie)六邊形開始(shi)割圓(yuan)，每次邊數倍增，算(suan)到(dao)192邊形的面(mian)(mian)積，得到(dao)π=157/50=3.14，又算(suan)到(dao)3072邊形的面(mian)(mian)積，得到(dao)π=3927/1250=3.1416，稱為“徽(hui)率”。
劉徽原理在《九(jiu)章算術陽(yang)馬術》注中，他在用無限分割的(de)方法解決錐(zhui)體(ti)體(ti)積時(shi)，提出了關于多面體(ti)體(ti)積計算的(de)劉徽原理。
“牟合方蓋”說
在《九章(zhang)算術開立圓術》注中，他指(zhi)出了球體(ti)積公式V=9D3/16(D為(wei)球直(zhi)徑)的不精確性，并(bing)引入了“牟(mou)合(he)方蓋”這一著名的幾何(he)模型。“牟(mou)合(he)方蓋”是指(zhi)正(zheng)方體(ti)的兩(liang)個軸(zhou)互(hu)相垂直(zhi)的內切圓柱體(ti)的貫交部分。
方程新術
在(zai)《九(jiu)章算(suan)術方程術》注中，他提(ti)出了解線(xian)性方程組的(de)新方法，運用了比率算(suan)法的(de)思想。
重差術
在(zai)自撰《海島算經》中(zhong)，他提出了(le)重(zhong)差術(shu)，采用了(le)重(zhong)表、連索和累矩等(deng)測(ce)(ce)(ce)(ce)高測(ce)(ce)(ce)(ce)遠方法。他還(huan)運(yun)用“類推衍化”的(de)方法，使重(zhong)差術(shu)由兩次測(ce)(ce)(ce)(ce)望(wang)(wang)，發展(zhan)為“三望(wang)(wang)”、“四望(wang)(wang)”。而印(yin)度(du)在(zai)7世紀，歐洲在(zai)15～16世紀才開始研究兩次測(ce)(ce)(ce)(ce)望(wang)(wang)的(de)問題。劉(liu)徽的(de)工作(zuo)，不(bu)僅對中(zhong)國(guo)古代數(shu)(shu)學(xue)發展(zhan)產生了(le)深遠影響，而且在(zai)世界數(shu)(shu)學(xue)史上也確(que)立(li)了(le)崇高的(de)歷史地位。鑒于(yu)劉(liu)徽的(de)巨大貢獻(xian)，所以不(bu)少書上把他稱作(zuo)“中(zhong)國(guo)數(shu)(shu)學(xue)史上的(de)牛頓”。
