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歷史背景

數學(xue)中的轉折點是(shi)笛卡(ka)爾的變(bian)數，有(you)了(le)(le)變(bian)數，運(yun)動進(jin)入了(le)(le)數學(xue)，有(you)了(le)(le)變(bian)數，辯證法(fa)進(jin)入了(le)(le)數學(xue)，有(you)了(le)(le)變(bian)數，微分學(xue)和(he)積分學(xue)也就立(li)刻成為必要(yao)的了(le)(le)，而它們也就立(li)刻產生，并且是(shi)由牛頓和(he)萊(lai)布尼茲大體上完成的，但不是(shi)由他們發(fa)明的。——恩格斯

從(cong)15世(shi)紀初歐洲(zhou)文(wen)藝復(fu)興(xing)時期起，工業、農業、航海(hai)事業與(yu)(yu)商賈貿易的(de)大規(gui)模發展(zhan)，形(xing)成了(le)一(yi)個(ge)(ge)新的(de)經(jing)濟時代，宗教改革與(yu)(yu)對教會(hui)思想禁錮的(de)懷疑，東(dong)方先進的(de)科學(xue)(xue)技(ji)術通過阿拉伯(bo)的(de)傳入，以及(ji)拜占庭帝國覆滅后希(xi)臘大量文(wen)獻的(de)流入歐洲(zhou)，在當時的(de)知識階層面前呈(cheng)現出(chu)一(yi)個(ge)(ge)完全(quan)嶄新的(de)面貌(mao)。而(er)十六世(shi)紀的(de)歐洲(zhou)，正處在資(zi)本(ben)主義萌芽時期，生產(chan)力得到了(le)很大的(de)發展(zhan)，生產(chan)實踐的(de)發展(zhan)向自然(ran)科學(xue)(xue)提出(chu)了(le)新的(de)課題，迫切要求力學(xue)(xue)、天文(wen)學(xue)(xue)等基礎學(xue)(xue)科的(de)發展(zhan)，而(er)這些學(xue)(xue)科都是深刻(ke)依(yi)賴于數學(xue)(xue)的(de)，因而(er)也(ye)推動的(de)數學(xue)(xue)的(de)發展(zhan)。科學(xue)(xue)對數學(xue)(xue)提出(chu)的(de)種種要求，最后匯總成多個(ge)(ge)核(he)心問題：

（1）運(yun)動中(zhong)速度(du)與(yu)距離的(de)互求問題

即(ji)，已知物(wu)體(ti)(ti)移動(dong)的(de)(de)(de)距離(li)(li)表(biao)為(wei)時(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)(de)函(han)(han)數的(de)(de)(de)公(gong)式，求(qiu)(qiu)物(wu)體(ti)(ti)在(zai)任意(yi)時(shi)(shi)刻(ke)(ke)的(de)(de)(de)速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)和(he)(he)加速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)；反(fan)過來，已知物(wu)體(ti)(ti)的(de)(de)(de)加速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)表(biao)為(wei)時(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)(de)函(han)(han)數的(de)(de)(de)公(gong)式，求(qiu)(qiu)速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)和(he)(he)距離(li)(li)。這類問(wen)題(ti)是(shi)(shi)研究(jiu)運(yun)動(dong)時(shi)(shi)直接出現(xian)的(de)(de)(de)，困(kun)難在(zai)于(yu)，所研究(jiu)的(de)(de)(de)速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)和(he)(he)加速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)是(shi)(shi)每(mei)時(shi)(shi)每(mei)刻(ke)(ke)都在(zai)變化(hua)的(de)(de)(de)。比如，計算(suan)(suan)物(wu)體(ti)(ti)在(zai)某時(shi)(shi)刻(ke)(ke)的(de)(de)(de)瞬時(shi)(shi)速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)，就不(bu)(bu)能象(xiang)計算(suan)(suan)平均速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)那樣(yang)，用(yong)(yong)運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)去除移動(dong)的(de)(de)(de)距離(li)(li)，因為(wei)在(zai)給定的(de)(de)(de)瞬間(jian)，物(wu)體(ti)(ti)移動(dong)的(de)(de)(de)距離(li)(li)和(he)(he)所用(yong)(yong)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)是(shi)(shi)，而(er)是(shi)(shi)無(wu)意(yi)義的(de)(de)(de)。但(dan)是(shi)(shi)，根(gen)據(ju)物(wu)理，每(mei)個運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)物(wu)體(ti)(ti)在(zai)它運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)每(mei)一時(shi)(shi)刻(ke)(ke)必(bi)有速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)，這也是(shi)(shi)無(wu)疑的(de)(de)(de)。已知速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)公(gong)式求(qiu)(qiu)移動(dong)距離(li)(li)的(de)(de)(de)問(wen)題(ti)，也遇(yu)到(dao)同樣(yang)的(de)(de)(de)困(kun)難。因為(wei)速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)每(mei)時(shi)(shi)每(mei)刻(ke)(ke)都在(zai)變化(hua)，所以不(bu)(bu)能用(yong)(yong)運(yun)動(dong)的(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)乘任意(yi)時(shi)(shi)刻(ke)(ke)的(de)(de)(de)速(su)(su)(su)(su)度(du)(du)，來得到(dao)物(wu)體(ti)(ti)移動(dong)的(de)(de)(de)距離(li)(li)。

（2）求曲線的切線問題

這(zhe)個問(wen)題本身是(shi)(shi)純幾何的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，而且(qie)對于科(ke)(ke)學(xue)(xue)應(ying)用有巨大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)重要(yao)(yao)(yao)性。由于研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)天文的(de)(de)(de)(de)(de)(de)需要(yao)(yao)(yao)，光(guang)學(xue)(xue)是(shi)(shi)十七世紀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)門較重要(yao)(yao)(yao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)(ke)學(xue)(xue)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)，透鏡的(de)(de)(de)(de)(de)(de)設計者要(yao)(yao)(yao)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)光(guang)線(xian)通過透鏡的(de)(de)(de)(de)(de)(de)通道(dao)，必須知(zhi)道(dao)光(guang)線(xian)入射透鏡的(de)(de)(de)(de)(de)(de)角(jiao)度(du)以(yi)便應(ying)用反射定(ding)律(lv)，這(zhe)里重要(yao)(yao)(yao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)光(guang)線(xian)與曲線(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)法線(xian)間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)夾角(jiao)，而法線(xian)是(shi)(shi)垂直于切線(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，所以(yi)總是(shi)(shi)就在(zai)于求出法線(xian)或(huo)切線(xian)；另一(yi)個涉及到曲線(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)切線(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)(ke)學(xue)(xue)問(wen)題出現于運動的(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)中，求運動物(wu)體在(zai)它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)軌(gui)跡上任一(yi)點上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)運動方向，即軌(gui)跡的(de)(de)(de)(de)(de)(de)切線(xian)方向。

（3）求長度、面積、體積、與重心(xin)問(wen)題等

這些問(wen)題包(bao)括，求(qiu)曲(qu)線的(de)(de)(de)長(chang)度(du)（如(ru)行(xing)星在已知時(shi)(shi)期移動的(de)(de)(de)距離(li)），曲(qu)線圍(wei)(wei)成的(de)(de)(de)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)，曲(qu)面(mian)(mian)圍(wei)(wei)成的(de)(de)(de)體積(ji)(ji)(ji)，物體的(de)(de)(de)重心(xin)，一(yi)(yi)個(ge)(ge)相當大的(de)(de)(de)物體（如(ru)行(xing)星）作用(yong)(yong)于(yu)另(ling)一(yi)(yi)物體上(shang)(shang)的(de)(de)(de)引(yin)力。實際上(shang)(shang)，關(guan)于(yu)計算橢(tuo)圓的(de)(de)(de)長(chang)度(du)的(de)(de)(de)問(wen)題，就(jiu)難(nan)住(zhu)數學(xue)家(jia)們，以致(zhi)有一(yi)(yi)段時(shi)(shi)期數學(xue)家(jia)們對這個(ge)(ge)問(wen)題的(de)(de)(de)進一(yi)(yi)步工(gong)作失(shi)敗了(le)，直到下一(yi)(yi)世紀才(cai)得到新的(de)(de)(de)結果(guo)(guo)。又(you)如(ru)求(qiu)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)問(wen)題，早在古希(xi)臘時(shi)(shi)期人們就(jiu)用(yong)(yong)窮竭法(fa)求(qiu)出了(le)一(yi)(yi)些面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)和體積(ji)(ji)(ji)，如(ru)求(qiu)拋物線在區間上(shang)(shang)與軸(zhou)和直線所圍(wei)(wei)成的(de)(de)(de)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)，他(ta)們就(jiu)采用(yong)(yong)了(le)窮竭法(fa)。當越(yue)來越(yue)小時(shi)(shi)，右端的(de)(de)(de)結果(guo)(guo)就(jiu)越(yue)來越(yue)接近所求(qiu)的(de)(de)(de)面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)精確值。但是(shi)，應用(yong)(yong)窮竭法(fa)，必須添上(shang)(shang)許多(duo)技藝，并(bing)且缺乏一(yi)(yi)般(ban)性(xing)，常常得不到數字解。當阿基米德的(de)(de)(de)工(gong)作在歐(ou)洲聞(wen)名時(shi)(shi)，求(qiu)長(chang)度(du)、面(mian)(mian)積(ji)(ji)(ji)、體積(ji)(ji)(ji)和重心(xin)的(de)(de)(de)興趣復活了(le)。窮竭法(fa)先(xian)是(shi)逐(zhu)漸地(di)被修(xiu)改(gai)，后來由(you)于(yu)微積(ji)(ji)(ji)分的(de)(de)(de)創立而根本地(di)修(xiu)改(gai)了(le)。

（4）求最大值(zhi)和最小值(zhi)問(wen)題

炮(pao)彈在炮(pao)筒里射出，它運行(xing)的(de)(de)(de)水平距離(li)，即(ji)射程(cheng)，依賴(lai)于炮(pao)筒對地面的(de)(de)(de)傾(qing)斜角(jiao)，即(ji)發(fa)射角(jiao)。一個“實際(ji)”的(de)(de)(de)問題是求(qiu)能獲得(de)最(zui)大射程(cheng)的(de)(de)(de)發(fa)射角(jiao)。十(shi)七世紀(ji)初期(qi)，Galileo斷(duan)定（在真空(kong)中(zhong)）最(zui)大射程(cheng)在發(fa)射角(jiao)是時達到(dao)；他還得(de)出炮(pao)彈從(cong)各(ge)個不同(tong)角(jiao)度發(fa)射后所達到(dao)的(de)(de)(de)不同(tong)的(de)(de)(de)最(zui)大高度。研究行(xing)星(xing)的(de)(de)(de)運動也涉(she)及到(dao)最(zui)大值(zhi)(zhi)和最(zui)小值(zhi)(zhi)的(de)(de)(de)問題，如求(qiu)行(xing)星(xing)離(li)開太陽(yang)的(de)(de)(de)距離(li)。

創立過程

早期思想

早在公元前7世紀，古(gu)希臘科學(xue)(xue)家(jia)、哲學(xue)(xue)家(jia)泰勒斯就(jiu)對球(qiu)的(de)面(mian)(mian)積(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)、與長度等問題的(de)研(yan)究就(jiu)含(han)有(you)微(wei)積(ji)(ji)分思(si)(si)想(xiang)。古(gu)希臘數學(xue)(xue)家(jia)、力學(xue)(xue)家(jia)阿基米德（公元前287~前212）的(de)著(zhu)作《圓的(de)測(ce)量》和《論球(qiu)與圓柱》中就(jiu)已含(han)有(you)積(ji)(ji)分學(xue)(xue)的(de)萌芽，他在研(yan)究解決拋物線下的(de)弓形面(mian)(mian)積(ji)(ji)、球(qiu)和球(qiu)冠面(mian)(mian)積(ji)(ji)、螺線下的(de)面(mian)(mian)積(ji)(ji)和旋轉雙曲(qu)線所(suo)得的(de)體(ti)積(ji)(ji)的(de)問題中就(jiu)隱含(han)著(zhu)近(jin)代積(ji)(ji)分的(de)思(si)(si)想(xiang)。中國古(gu)代數學(xue)(xue)家(jia)也產生過積(ji)(ji)分學(xue)(xue)的(de)萌芽思(si)(si)想(xiang)，例如(ru)三國時(shi)期的(de)劉徽，他對積(ji)(ji)分學(xue)(xue)的(de)思(si)(si)想(xiang)主要有(you)兩點(dian)：割圓術及求(qiu)體(ti)積(ji)(ji)問題的(de)設(she)想(xiang)。

在3世紀，中(zhong)國數學家劉徽創立(li)的(de)割圓(yuan)(yuan)(yuan)術用圓(yuan)(yuan)(yuan)內接正九十六邊形的(de)面(mian)積(ji)近(jin)似代替圓(yuan)(yuan)(yuan)面(mian)積(ji)，求出圓(yuan)(yuan)(yuan)周(zhou)率的(de)近(jin)似值(zhi)，并指出：“割之彌細，所失(shi)彌少，割之又割，以至不可割，則與圓(yuan)(yuan)(yuan)合體(ti)(ti)而無(wu)所失(shi)矣(yi)”。劉徽對面(mian)積(ji)的(de)深刻(ke)認識和(he)他的(de)割圓(yuan)(yuan)(yuan)術方(fang)法，正是(shi)極(ji)限(xian)(xian)思想的(de)具體(ti)(ti)體(ti)(ti)現。數列極(ji)限(xian)(xian)是(shi)函數極(ji)限(xian)(xian)的(de)基礎，一(yi)個數列如果(guo)當無(wu)限(xian)(xian)增大時，與某一(yi)實(shi)數無(wu)限(xian)(xian)接近(jin)，就稱(cheng)之為收斂數列，為數列的(de)極(ji)限(xian)(xian)。

客觀價值

客觀世界的一(yi)切事物(wu)，小至粒子(zi)，大至宇宙，始終(zhong)都在運動和(he)變化(hua)著。因此在數(shu)學(xue)中引入了變量的概念后(hou)，就有可能把(ba)運動現象用數(shu)學(xue)來(lai)加以描(miao)述了。

由于(yu)函數(shu)概念的(de)(de)產(chan)生和運用的(de)(de)加深，也由于(yu)科學(xue)技術發(fa)展的(de)(de)需要(yao)(yao)，一門新的(de)(de)數(shu)學(xue)分支就繼解析(xi)幾何(he)(he)之后產(chan)生了，這就是(shi)微(wei)積(ji)分學(xue)。微(wei)積(ji)分學(xue)這門學(xue)科在數(shu)學(xue)發(fa)展中(zhong)的(de)(de)地位(wei)是(shi)十分重要(yao)(yao)的(de)(de)，可(ke)以(yi)說它是(shi)繼歐氏幾何(he)(he)后，全部數(shu)學(xue)中(zhong)的(de)(de)最大的(de)(de)一個創造。

歷史

微積(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)產生一般(ban)分(fen)(fen)為三個階(jie)(jie)段：極限概念；求積(ji)(ji)的(de)無限小方(fang)(fang)法；積(ji)(ji)分(fen)(fen)與微分(fen)(fen)的(de)互逆關系(xi)。最后一步是由牛頓(dun)、萊布尼茲(zi)完成的(de)。前兩階(jie)(jie)段的(de)工(gong)作，歐洲的(de)大批數(shu)學(xue)家一直追溯到古(gu)希臘的(de)阿(a)基米德都作出了各(ge)自(zi)的(de)貢(gong)獻。對于這方(fang)(fang)面的(de)工(gong)作，古(gu)代(dai)中(zhong)國(guo)毫不遜色于西方(fang)(fang)，微積(ji)(ji)分(fen)(fen)思想(xiang)在古(gu)代(dai)中(zhong)國(guo)也有(you)萌芽，甚至不次(ci)于古(gu)希臘。

微分早期

早在公元前7世紀，古希(xi)臘(la)科學(xue)家、哲學(xue)家泰勒斯(si)就對(dui)球(qiu)的(de)(de)面(mian)(mian)積(ji)、體積(ji)、與長(chang)度等(deng)問題的(de)(de)研(yan)究(jiu)就含(han)有(you)(you)微積(ji)分思想。古希(xi)臘(la)數(shu)學(xue)家、力學(xue)家阿基米德(de)（公元前287~前212）的(de)(de)著(zhu)作《圓(yuan)的(de)(de)測量》和(he)《論球(qiu)與圓(yuan)柱》中(zhong)就已含(han)有(you)(you)積(ji)分學(xue)的(de)(de)萌芽，他在研(yan)究(jiu)解決(jue)拋物(wu)線(xian)(xian)下的(de)(de)弓形面(mian)(mian)積(ji)、球(qiu)和(he)球(qiu)冠面(mian)(mian)積(ji)、螺線(xian)(xian)下的(de)(de)面(mian)(mian)積(ji)和(he)旋轉雙(shuang)曲(qu)線(xian)(xian)所得(de)的(de)(de)體積(ji)的(de)(de)問題中(zhong)就隱含(han)著(zhu)近代(dai)積(ji)分的(de)(de)思想。

極限思想

早在公元前7世紀(ji)，古希(xi)臘科學家、哲學家泰勒(le)斯(si)就對球的(de)面積(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)、與長度等問(wen)題的(de)研究就含有(you)微(wei)積(ji)(ji)分(fen)思想。公元前4世紀(ji)《墨(mo)經》中有(you)了有(you)窮(qiong)(qiong)、無(wu)(wu)(wu)窮(qiong)(qiong)、無(wu)(wu)(wu)限(xian)小(xiao)(xiao)（最小(xiao)(xiao)無(wu)(wu)(wu)內）、無(wu)(wu)(wu)窮(qiong)(qiong)大（最大無(wu)(wu)(wu)外(wai)）的(de)定義和極限(xian)、瞬(shun)時等概念。劉徽公元263年(nian)首創的(de)割圓(yuan)術求圓(yuan)面積(ji)(ji)和方(fang)錐體(ti)積(ji)(ji)，求得圓(yuan)周率約(yue)等于3.1416，他的(de)極限(xian)思想和無(wu)(wu)(wu)窮(qiong)(qiong)小(xiao)(xiao)方(fang)法，是(shi)世界古代極限(xian)思想的(de)深刻體(ti)現。

公元前(qian)三世紀，古(gu)希臘的(de)(de)阿(a)基(ji)米德在研究(jiu)解決拋物弓(gong)形的(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)、球和球冠(guan)面(mian)積(ji)(ji)、螺線下(xia)面(mian)積(ji)(ji)和旋轉雙曲體的(de)(de)體積(ji)(ji)的(de)(de)問(wen)題中，就隱(yin)含著近(jin)代(dai)(dai)積(ji)(ji)分(fen)學的(de)(de)思想。作為微分(fen)學基(ji)礎的(de)(de)極限理論來(lai)說，在古(gu)代(dai)(dai)以有比較清楚(chu)的(de)(de)論述(shu)。比如我國(guo)(guo)的(de)(de)莊(zhuang)周所著的(de)(de)《莊(zhuang)子》一書的(de)(de)“天下(xia)篇”中，記有“一尺之(zhi)棰，日取其(qi)半(ban)，萬世不(bu)竭”。三國(guo)(guo)時期的(de)(de)劉徽在他的(de)(de)割圓術中提到“割之(zhi)彌細，所失(shi)彌小，割之(zhi)又割，以至于(yu)不(bu)可割，則與圓周和體而(er)無所失(shi)矣。”這(zhe)些(xie)都是(shi)樸素的(de)(de)、也是(shi)很典型的(de)(de)極限概念。

微積分思想

微積(ji)(ji)分(fen)思(si)想(xiang)(xiang)(xiang)雖然可(ke)追溯(su)到(dao)古希臘，但它的(de)概念和法則卻(que)是16世(shi)紀(ji)(ji)下半葉，開普(pu)勒、卡(ka)瓦列利等求(qiu)積(ji)(ji)的(de)不(bu)可(ke)分(fen)量思(si)想(xiang)(xiang)(xiang)和方法基礎(chu)上產生(sheng)和發展起來的(de)。而這(zhe)些思(si)想(xiang)(xiang)(xiang)和方法從劉徽(hui)對圓(yuan)錐、圓(yuan)臺(tai)、圓(yuan)柱的(de)體積(ji)(ji)公(gong)式的(de)證明到(dao)公(gong)元(yuan)5世(shi)紀(ji)(ji)祖恒(heng)求(qiu)球體積(ji)(ji)的(de)方法中都可(ke)找(zhao)到(dao)。北宋大(da)科學(xue)家沈括(kuo)的(de)《夢溪筆談》獨(du)創(chuang)了(le)“隙積(ji)(ji)術(shu)”、“會圓(yuan)術(shu)”和“棋局都數術(shu)”開創(chuang)了(le)對高階(jie)等差級數求(qiu)和的(de)研究。

特別是13世(shi)(shi)紀(ji)40年代(dai)到14世(shi)(shi)紀(ji)初，在主要領域都達到了(le)(le)(le)(le)中(zhong)國(guo)古(gu)代(dai)數(shu)(shu)學的(de)(de)高(gao)(gao)峰(feng)，出(chu)現了(le)(le)(le)(le)現通稱賈憲(xian)三角形的(de)(de)“開(kai)(kai)方作法(fa)(fa)本源圖”和增乘開(kai)(kai)方法(fa)(fa)、“正負開(kai)(kai)方術(shu)(shu)(shu)”、“大衍求一(yi)術(shu)(shu)(shu)”、“大衍總數(shu)(shu)術(shu)(shu)(shu)”（一(yi)次(ci)同(tong)余式(shi)組(zu)解法(fa)(fa)）、“垛積(ji)術(shu)(shu)(shu)”（高(gao)(gao)階(jie)等差(cha)(cha)(cha)級數(shu)(shu)求和）、“招差(cha)(cha)(cha)術(shu)(shu)(shu)”（高(gao)(gao)次(ci)差(cha)(cha)(cha)內差(cha)(cha)(cha)法(fa)(fa)）、“天(tian)元術(shu)(shu)(shu)”（數(shu)(shu)字高(gao)(gao)次(ci)方程一(yi)般解法(fa)(fa)）、“四(si)元術(shu)(shu)(shu)”（四(si)元高(gao)(gao)次(ci)方程組(zu)解法(fa)(fa)）、勾股數(shu)(shu)學、弧矢割圓術(shu)(shu)(shu)、組(zu)合數(shu)(shu)學、計算(suan)技(ji)術(shu)(shu)(shu)改(gai)革和珠算(suan)等都是在世(shi)(shi)界數(shu)(shu)學史上(shang)有重要地位的(de)(de)杰出(chu)成果，中(zhong)國(guo)古(gu)代(dai)數(shu)(shu)學有了(le)(le)(le)(le)微(wei)積(ji)分(fen)前兩(liang)階(jie)段的(de)(de)出(chu)色工作，其中(zhong)許多都是微(wei)積(ji)分(fen)得(de)以創(chuang)立的(de)(de)關鍵。中(zhong)國(guo)已具備了(le)(le)(le)(le)17世(shi)(shi)紀(ji)發明微(wei)積(ji)分(fen)前夕的(de)(de)全部內在條件，已經接近了(le)(le)(le)(le)微(wei)積(ji)分(fen)的(de)(de)大門。可惜中(zhong)國(guo)元朝(chao)以后，八股取(qu)士(shi)制造成了(le)(le)(le)(le)學術(shu)(shu)(shu)上(shang)的(de)(de)大倒退(tui)，封建統(tong)治的(de)(de)文化專制和盲目(mu)排外致使(shi)包括數(shu)(shu)學在內的(de)(de)科學日漸衰落，在微(wei)積(ji)分(fen)創(chuang)立的(de)(de)最(zui)關鍵一(yi)步落伍了(le)(le)(le)(le)。

十七世紀

到了十七世(shi)紀，有許(xu)多科學問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)(ti)需要(yao)解決，這些(xie)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)(ti)也就(jiu)成了促使微積(ji)分產生的(de)因素。歸(gui)結起來(lai)，大約有四種主要(yao)類型的(de)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)(ti)：第(di)(di)一類是(shi)研究運動的(de)時候直接出(chu)現的(de)，也就(jiu)是(shi)求(qiu)即時速度(du)的(de)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)(ti)。第(di)(di)二類問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)(ti)是(shi)求(qiu)曲(qu)線(xian)的(de)切線(xian)的(de)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)(ti)。第(di)(di)三(san)類問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)(ti)是(shi)求(qiu)函數的(de)最大值(zhi)和最小值(zhi)問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)(ti)。第(di)(di)四類問(wen)(wen)(wen)題(ti)(ti)(ti)(ti)是(shi)求(qiu)曲(qu)線(xian)長(chang)、曲(qu)線(xian)圍成的(de)面積(ji)、曲(qu)面圍成的(de)體(ti)積(ji)、物體(ti)的(de)重心、一個體(ti)積(ji)相當大的(de)物體(ti)作用于(yu)另(ling)一物體(ti)上(shang)的(de)引力。

數(shu)學(xue)首先(xian)從對運動（如(ru)天文(wen)、航海問(wen)題(ti)等）的(de)(de)(de)研究中引出了一(yi)個(ge)基本(ben)概念(nian)，在那以(yi)后(hou)的(de)(de)(de)二百年里，這(zhe)個(ge)概念(nian)在幾(ji)乎所有的(de)(de)(de)工(gong)作中占中心位(wei)置，這(zhe)就(jiu)是函(han)數(shu)——或(huo)變(bian)量間(jian)關(guan)系(xi)——的(de)(de)(de)概念(nian)。緊接(jie)著函(han)數(shu)概念(nian)的(de)(de)(de)采用，產生(sheng)了微積分(fen)，它是繼Euclid幾(ji)何之后(hou)，全部數(shu)學(xue)中的(de)(de)(de)一(yi)個(ge)最(zui)大的(de)(de)(de)創造。圍繞著解決上述(shu)四(si)個(ge)核心的(de)(de)(de)科學(xue)問(wen)題(ti)，微積分(fen)問(wen)題(ti)至少被十(shi)七世(shi)紀十(shi)幾(ji)個(ge)最(zui)大的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)家(jia)和(he)幾(ji)十(shi)個(ge)小一(yi)些(xie)的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)家(jia)探索過。位(wei)于他們(men)全部貢獻(xian)頂(ding)峰的(de)(de)(de)是牛頓和(he)萊布尼茨的(de)(de)(de)成就(jiu)。在此，我(wo)們(men)主要來介紹這(zhe)兩位(wei)大師的(de)(de)(de)工(gong)作。

實(shi)際上，在牛頓和萊(lai)布(bu)尼茨(ci)作(zuo)出(chu)(chu)他們的(de)沖刺(ci)之(zhi)前(qian)，微(wei)積分(fen)的(de)大(da)量(liang)知識已(yi)經積累起來了(le)。十(shi)七(qi)世紀的(de)許(xu)多(duo)著(zhu)名的(de)數學家、天文學家、物理學家都(dou)為解(jie)決上述幾(ji)類問(wen)題作(zuo)了(le)大(da)量(liang)的(de)研究工作(zuo)，如法(fa)國的(de)費馬、笛卡爾、羅(luo)伯瓦、笛沙格(ge)；英國的(de)巴(ba)羅(luo)、沃(wo)利斯；德國的(de)開普勒(le)；意(yi)大(da)利的(de)卡瓦列里等人都(dou)提(ti)出(chu)(chu)許(xu)多(duo)很有建樹的(de)理論。為微(wei)積分(fen)的(de)創(chuang)立做(zuo)出(chu)(chu)了(le)貢(gong)獻。

例如(ru)費馬(ma)、巴(ba)羅、笛卡爾都對求曲線的(de)切(qie)線以及(ji)曲線圍成(cheng)的(de)面積問(wen)題有過深入的(de)研究，并且得到了一(yi)些結果，但(dan)是(shi)他們(men)都沒有意識(shi)到它的(de)重要性(xing)。在十七世紀的(de)前三(san)分(fen)之二，微積分(fen)的(de)工作沉沒在細(xi)節(jie)里，作用不大(da)的(de)細(xi)微末節(jie)的(de)推理(li)使他們(men)筋疲(pi)力盡(jin)了。只有少數(shu)幾個大(da)學(xue)家意識(shi)到了這(zhe)個問(wen)題，如(ru)James Gregory說(shuo)過：“數(shu)學(xue)的(de)真正(zheng)劃分(fen)不是(shi)分(fen)成(cheng)幾何和算(suan)術，而是(shi)分(fen)成(cheng)普遍的(de)和特殊的(de)”。而這(zhe)普遍的(de)東西是(shi)由(you)兩個包羅萬象的(de)思想家牛(niu)頓和萊布尼茨提(ti)供的(de)。

十七世紀下半葉，在前人工作的(de)基(ji)礎上，英國大科學(xue)家牛頓和德國數(shu)學(xue)家萊布尼茨分別在自(zi)己的(de)國度里獨(du)自(zi)研究和完成(cheng)了微積分的(de)創立工作，雖然這(zhe)只(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)十分初步的(de)工作。他們的(de)最大功績是(shi)(shi)(shi)(shi)把兩個貌似毫不相關的(de)問(wen)題聯系在一(yi)起，一(yi)個是(shi)(shi)(shi)(shi)切(qie)線問(wen)題（微分學(xue)的(de)中(zhong)心(xin)問(wen)題），一(yi)個是(shi)(shi)(shi)(shi)求積問(wen)題（積分學(xue)的(de)中(zhong)心(xin)問(wen)題）。

牛頓和萊(lai)布(bu)尼茨建立微積分的出發(fa)點(dian)是(shi)直觀的無(wu)窮(qiong)小(xiao)量，因此這門學科(ke)早期也稱為無(wu)窮(qiong)小(xiao)分析(xi)，這正(zheng)是(shi)數(shu)學中分析(xi)學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著(zhu)重于(yu)(yu)從(cong)運動學來考(kao)(kao)慮(lv)，萊(lai)布(bu)尼茨卻是(shi)側重于(yu)(yu)幾(ji)何學來考(kao)(kao)慮(lv)的。

牛頓

牛(niu)頓(dun)在1671年(nian)寫了《流數(shu)法(fa)(fa)和無(wu)窮(qiong)級數(shu)》，這(zhe)本書直到1736年(nian)才出(chu)(chu)版，它在這(zhe)本書里指出(chu)(chu)，變量(liang)是由點、線、面的(de)連續(xu)(xu)(xu)運(yun)動(dong)(dong)產生的(de)，否定(ding)了以(yi)前自己認為的(de)變量(liang)是無(wu)窮(qiong)小元素的(de)靜止集合。他把(ba)連續(xu)(xu)(xu)變量(liang)叫(jiao)做(zuo)流動(dong)(dong)量(liang)，把(ba)這(zhe)些流動(dong)(dong)量(liang)的(de)導數(shu)叫(jiao)做(zuo)流數(shu)。牛(niu)頓(dun)在流數(shu)術中所(suo)提出(chu)(chu)的(de)中心問(wen)題是：已(yi)知連續(xu)(xu)(xu)運(yun)動(dong)(dong)的(de)路徑，求給(gei)(gei)定(ding)時(shi)刻的(de)速(su)度（微(wei)分(fen)法(fa)(fa)）；已(yi)知運(yun)動(dong)(dong)的(de)速(su)度求給(gei)(gei)定(ding)時(shi)間內經過(guo)的(de)路程(cheng)(積(ji)分(fen)法(fa)(fa))。

萊布尼茨

德國(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)萊布(bu)尼茨是(shi)(shi)一(yi)(yi)個博才多(duo)學的(de)(de)(de)(de)(de)學者，1684年(nian)，他(ta)發(fa)表了(le)現在世界上認為是(shi)(shi)最早的(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)積分(fen)文(wen)獻，這篇文(wen)章(zhang)有(you)一(yi)(yi)個很長而且(qie)很古怪的(de)(de)(de)(de)(de)名字(zi)《一(yi)(yi)種求極(ji)大極(ji)小和切線的(de)(de)(de)(de)(de)新(xin)方(fang)法，它也適(shi)用于分(fen)式和無(wu)理量，以(yi)及(ji)這種新(xin)方(fang)法的(de)(de)(de)(de)(de)奇妙類型的(de)(de)(de)(de)(de)計算》。就是(shi)(shi)這樣一(yi)(yi)片說理也頗含糊的(de)(de)(de)(de)(de)文(wen)章(zhang)，卻有(you)劃時代(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)意義(yi)。他(ta)以(yi)含有(you)現代(dai)的(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)分(fen)符號(hao)(hao)和基本微(wei)分(fen)法則。1686年(nian)，萊布(bu)尼茨發(fa)表了(le)第一(yi)(yi)篇積分(fen)學的(de)(de)(de)(de)(de)文(wen)獻。他(ta)是(shi)(shi)歷史(shi)上最偉(wei)大的(de)(de)(de)(de)(de)符號(hao)(hao)學者之一(yi)(yi)，他(ta)所創設的(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)積分(fen)符號(hao)(hao)，遠(yuan)遠(yuan)優于牛頓的(de)(de)(de)(de)(de)符號(hao)(hao)，這對微(wei)積分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)發(fa)展有(you)極(ji)大的(de)(de)(de)(de)(de)影(ying)響。我們使用的(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)積分(fen)通用符號(hao)(hao)就是(shi)(shi)當時萊布(bu)尼茨精心選(xuan)用的(de)(de)(de)(de)(de)。

從幼(you)年時代(dai)起，萊布(bu)尼茨就明(ming)顯展露出(chu)一顆燦爛的(de)思(si)想(xiang)明(ming)星的(de)跡象。他(ta)13歲時就像(xiang)其他(ta)孩子讀小說(shuo)一樣輕松地閱讀經院學者的(de)艱(jian)深(shen)的(de)論文(wen)了(le)。他(ta)提出(chu)無窮小的(de)微積分算法，并(bing)且(qie)他(ta)發(fa)表自(zi)己的(de)成果比艾薩(sa)克·牛頓爵士(shi)將它的(de)手稿付梓早三年，而(er)后(hou)者宣稱(cheng)自(zi)己第一個做(zuo)出(chu)了(le)這項(xiang)發(fa)現。

萊布(bu)尼茨(ci)是一個世(shi)故的(de)人，取悅于宮廷(ting)并(bing)得到知名(ming)人士的(de)庇護。他與斯賓諾莎(sha)有私交，后(hou)者的(de)哲學給他以深刻的(de)印象，雖然(ran)他斷(duan)然(ran)與斯賓諾莎(sha)的(de)觀(guan)念(nian)分道揚(yang)鑣了。

萊布尼(ni)茨與哲學(xue)家、神(shen)學(xue)家和文人(ren)們進(jin)行著廣泛的(de)通信交往。在他(ta)的(de)宏大計劃中(zhong)曾(ceng)嘗(chang)試達成新教和天主教之間的(de)一(yi)個和解以及基(ji)督教國家之間的(de)聯合，這種聯合在他(ta)那個時(shi)代意味著歐洲聯盟(meng)。他(ta)還做過后來成為普魯(lu)士科學(xue)院的(de)柏林科學(xue)協會的(de)第一(yi)會長。

他曾服務于漢(han)諾威宮廷(ting)，但(dan)當喬(qiao)治一(yi)世(shi)成為英格蘭(lan)國王時，萊布尼茨(ci)沒有被(bei)邀請同去(qu)(qu)，也(ye)許是由于他與牛(niu)頓的爭端。他的公眾影響力下降(jiang)了，而在1716年(nian)，他再無人(ren)注(zhu)意，甚(shen)至被(bei)他所(suo)創立(li)的學會忽視(shi)的情況(kuang)下去(qu)(qu)世(shi)，終年(nian)70歲。

創立期爭議

微積分(fen)學(xue)(xue)的創立，極大地推動了數學(xue)(xue)的發展，過去很(hen)多(duo)初等數學(xue)(xue)束手(shou)無策的問題(ti)，運用微積分(fen)，往往迎(ying)刃而解(jie)，顯示出微積分(fen)學(xue)(xue)的非(fei)凡(fan)威力。

前面已經提到，一(yi)門科學的(de)(de)(de)創立決不是某一(yi)個人(ren)的(de)(de)(de)業績(ji)，他必(bi)定是經過多少人(ren)的(de)(de)(de)努(nu)力后，在(zai)積(ji)累了大量成果(guo)的(de)(de)(de)基礎上，最后由某個人(ren)或幾個人(ren)總(zong)結完(wan)成的(de)(de)(de)。微(wei)積(ji)分也是這(zhe)樣。

不幸的(de)(de)是，由于人(ren)們在(zai)欣賞微積分的(de)(de)宏偉功效之余，在(zai)提(ti)出誰是這門學(xue)科的(de)(de)創立者的(de)(de)時(shi)候(hou)，竟然(ran)引起了一(yi)場(chang)悍(han)然(ran)大波，造成了歐(ou)洲大陸(lu)的(de)(de)數(shu)學(xue)家和英國數(shu)學(xue)家的(de)(de)長(chang)期(qi)對(dui)立。英國數(shu)學(xue)在(zai)一(yi)個時(shi)期(qi)里閉(bi)關(guan)鎖(suo)國，囿(you)于民(min)族(zu)偏見，過于拘(ju)泥在(zai)牛頓的(de)(de)“流數(shu)術(shu)”中停(ting)步不前，因而(er)數(shu)學(xue)發展整整落后了一(yi)百年。

其(qi)實，牛頓(dun)和(he)萊(lai)布尼茨(ci)分別是自(zi)己(ji)獨立(li)研究，在大體上相近的(de)時間里先(xian)(xian)后完成的(de)。比(bi)(bi)(bi)較特(te)殊(shu)的(de)是牛頓(dun)創立(li)微積分要(yao)比(bi)(bi)(bi)萊(lai)布尼茨(ci)早(zao)10年(nian)(nian)左右(you)，但(dan)是正式公開發(fa)表微積分這(zhe)一理(li)論(lun)，萊(lai)布尼茨(ci)卻要(yao)比(bi)(bi)(bi)牛頓(dun)發(fa)表早(zao)三年(nian)(nian)。他們的(de)研究各(ge)有(you)長處，也都各(ge)有(you)短(duan)處。那時候，由于民族偏(pian)見，關于發(fa)明(ming)優先(xian)(xian)權的(de)爭論(lun)竟(jing)從1699年(nian)(nian)始延續(xu)了一百多(duo)年(nian)(nian)。

應該(gai)指(zhi)出，這是(shi)和歷(li)史上(shang)任何一(yi)項(xiang)重大(da)理論的(de)(de)(de)完成都要經(jing)歷(li)一(yi)段時(shi)間一(yi)樣，牛(niu)頓和萊(lai)布尼茨的(de)(de)(de)工作也都是(shi)很(hen)不(bu)完善的(de)(de)(de)。他們在無窮(qiong)和無窮(qiong)小(xiao)量這個問題上(shang)，其(qi)說不(bu)一(yi)，十(shi)分(fen)含糊(hu)。牛(niu)頓的(de)(de)(de)無窮(qiong)小(xiao)量，有(you)時(shi)候是(shi)零(ling)，有(you)時(shi)候不(bu)是(shi)零(ling)而是(shi)有(you)限(xian)的(de)(de)(de)小(xiao)量；萊(lai)布尼茨的(de)(de)(de)也不(bu)能自圓其(qi)說。這些基礎(chu)方面的(de)(de)(de)缺陷，最終導致了(le)第(di)二次數(shu)學危(wei)機的(de)(de)(de)產(chan)生。

完善邏輯基礎

直到(dao)19世(shi)紀初，法國科(ke)學(xue)學(xue)院的(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)家以柯(ke)(ke)西(xi)為首(shou)，對(dui)微(wei)積(ji)分(fen)的(de)(de)(de)(de)理(li)論進(jin)行(xing)了(le)認(ren)真研究(jiu)，建立了(le)極限理(li)論，後來又經過德國數學(xue)家維(wei)爾斯(si)特拉(la)斯(si)進(jin)一(yi)步的(de)(de)(de)(de)嚴格(ge)(ge)化，使(shi)極限理(li)論成(cheng)為了(le)微(wei)積(ji)分(fen)的(de)(de)(de)(de)堅定基礎。才使(shi)微(wei)積(ji)分(fen)進(jin)一(yi)步的(de)(de)(de)(de)發展(zhan)開來。任何新興(xing)的(de)(de)(de)(de)、具有無量前途的(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)成(cheng)就都吸引著廣大的(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)工(gong)作者。在微(wei)積(ji)分(fen)的(de)(de)(de)(de)歷史上也閃爍著這樣的(de)(de)(de)(de)一(yi)些明(ming)星(xing)：瑞士(shi)的(de)(de)(de)(de)雅(ya)科(ke)布·貝(bei)(bei)努(nu)利和他(ta)的(de)(de)(de)(de)兄弟約翰·貝(bei)(bei)努(nu)利、歐拉(la)、法國的(de)(de)(de)(de)拉(la)格(ge)(ge)朗日、柯(ke)(ke)西(xi)……

歐(ou)氏幾何(he)也(ye)好(hao)，上(shang)古和中世(shi)紀的(de)代數(shu)(shu)學(xue)(xue)也(ye)好(hao)，都是(shi)一(yi)種常量數(shu)(shu)學(xue)(xue)，微(wei)積(ji)分才是(shi)真正的(de)變量數(shu)(shu)學(xue)(xue)，是(shi)數(shu)(shu)學(xue)(xue)中的(de)大革命。微(wei)積(ji)分是(shi)高等數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)主要分支，不只是(shi)局限在解決力(li)學(xue)(xue)中的(de)變速問(wen)題，它馳騁在近代和現代科學(xue)(xue)技術園地里，建立了數(shu)(shu)不清的(de)豐(feng)功偉績(ji)。

微積分介紹

微(wei)積(ji)(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)（Calculus）是高等數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)中研究函數(shu)的(de)(de)(de)(de)微(wei)分(fen)(fen)（Differentiation）、積(ji)(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)(Integration)以及有關(guan)概念和(he)應(ying)用(yong)(yong)的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)分(fen)(fen)支。它是數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)一(yi)個基礎(chu)學(xue)(xue)(xue)(xue)科。內容主要包(bao)括(kuo)極限、微(wei)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)、積(ji)(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)及其應(ying)用(yong)(yong)。微(wei)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)包(bao)括(kuo)求導數(shu)的(de)(de)(de)(de)運算(suan)，是一(yi)套關(guan)于變(bian)化率(lv)的(de)(de)(de)(de)理論(lun)。它使得函數(shu)、速度、加(jia)速度和(he)曲線的(de)(de)(de)(de)斜率(lv)等均可用(yong)(yong)一(yi)套通用(yong)(yong)的(de)(de)(de)(de)符號進行討論(lun)。積(ji)(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)，包(bao)括(kuo)求積(ji)(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)(de)(de)運算(suan)，為定義和(he)計算(suan)面積(ji)(ji)(ji)(ji)、體積(ji)(ji)(ji)(ji)等提供(gong)一(yi)套通用(yong)(yong)的(de)(de)(de)(de)方法。

微(wei)積(ji)分(fen)(fen)(fen)是(shi)與應(ying)用聯系著發(fa)(fa)展(zhan)起(qi)來的(de)，最初牛頓應(ying)用微(wei)積(ji)分(fen)(fen)(fen)學(xue)及(ji)微(wei)分(fen)(fen)(fen)方程為(wei)(wei)了從萬有(you)(you)(you)引力(li)定律(lv)導出了開普勒(le)行星運動(dong)(dong)三(san)定律(lv)。此后(hou)，微(wei)積(ji)分(fen)(fen)(fen)學(xue)極大的(de)推動(dong)(dong)了數學(xue)的(de)發(fa)(fa)展(zhan)，同時也極大的(de)推動(dong)(dong)了天文學(xue)、力(li)學(xue)、物理(li)(li)學(xue)、化學(xue)、生物學(xue)、工程學(xue)、經(jing)濟(ji)學(xue)等(deng)(deng)自然科學(xue)、社(she)會科學(xue)及(ji)應(ying)用科學(xue)各個分(fen)(fen)(fen)支中(zhong)的(de)發(fa)(fa)展(zhan)。并在(zai)這(zhe)些學(xue)科中(zhong)有(you)(you)(you)越(yue)來越(yue)廣泛的(de)應(ying)用，特別是(shi)計算機的(de)出現更有(you)(you)(you)助于這(zhe)些應(ying)用的(de)不斷發(fa)(fa)展(zhan)。微(wei)積(ji)分(fen)(fen)(fen)作為(wei)(wei)一門交(jiao)叉性(xing)很(hen)(hen)強(qiang)(qiang)的(de)科目，除了在(zai)物理(li)(li)等(deng)(deng)自然科學(xue)上有(you)(you)(you)強(qiang)(qiang)實用性(xing)外，在(zai)經(jing)濟(ji)學(xue)上也有(you)(you)(you)很(hen)(hen)強(qiang)(qiang)的(de)推動(dong)(dong)作用。

微積分學應用

微(wei)積(ji)分(fen)(fen)(fen)學的發展(zhan)與應用(yong)幾(ji)(ji)乎影響了現代(dai)生活的所有(you)領域。它(ta)與大(da)部分(fen)(fen)(fen)科學分(fen)(fen)(fen)支關系密(mi)切，包括醫藥、護理、工(gong)(gong)業(ye)工(gong)(gong)程、商業(ye)管理、精算(suan)(suan)、計(ji)算(suan)(suan)機(ji)、統(tong)計(ji)、人口(kou)統(tong)計(ji)，特別是物(wu)理學；經(jing)濟(ji)學亦經(jing)常會用(yong)到微(wei)積(ji)分(fen)(fen)(fen)學。幾(ji)(ji)乎所有(you)現代(dai)科學技術，如：機(ji)械、土(tu)木(mu)、建筑、航空(kong)及航海等工(gong)(gong)業(ye)工(gong)(gong)程都以微(wei)積(ji)分(fen)(fen)(fen)學作為基本(ben)數學工(gong)(gong)具。微(wei)積(ji)分(fen)(fen)(fen)使(shi)得數學可(ke)以在(zai)變量(liang)和常量(liang)之間互相轉(zhuan)化，讓我們可(ke)以已知一種(zhong)方式時(shi)推導出來另一種(zhong)方式。

物理(li)學(xue)大量應用(yong)微積(ji)分；經典力(li)(li)學(xue)、熱(re)傳(chuan)和電磁學(xue)都與微積(ji)分有密(mi)切(qie)聯系。已知(zhi)密(mi)度的(de)(de)物體(ti)質量，動摩擦(ca)力(li)(li)，保守(shou)力(li)(li)場(chang)的(de)(de)總能(neng)量都可用(yong)微積(ji)分來計(ji)算。例如：將微積(ji)分應用(yong)到牛頓第二定(ding)律中(zhong)，史料一(yi)般(ban)將導(dao)數稱為“變(bian)化率”。物體(ti)動量的(de)(de)變(bian)化率等于向(xiang)物體(ti)以同一(yi)方向(xiang)所(suo)施的(de)(de)力(li)(li)。今(jin) 天常用(yong)的(de)(de)表達方式是(shi)(shi) extbf{emph{F}}=m extbf{emph{a}}，它包括了微分，因為加(jia)(jia)速(su)度是(shi)(shi)速(su)度的(de)(de)導(dao)數，或是(shi)(shi)位置矢量的(de)(de)二階導(dao)數。已知(zhi)物體(ti)的(de)(de)加(jia)(jia)速(su)度，我們就可以得出它的(de)(de)路(lu)徑。

生(sheng)物學用微積(ji)分來(lai)計算種群(qun)動態，輸入(ru)繁殖和(he)死(si)亡率來(lai)模擬種群(qun)改變。

化學使用(yong)微積分來(lai)計算(suan)反應(ying)速(su)率(lv)，放射性(xing)衰退。

麥克斯韋爾的電磁學和愛因斯坦的廣義相對論都應用了微(wei)分。

微(wei)(wei)積(ji)分可以(yi)與(yu)其(qi)他數學(xue)分支交叉混合。例如，混合線(xian)性代數來求得(de)值域中一組數列的(de)(de)“最佳”線(xian)性近似。它也(ye)可以(yi)用在概(gai)率(lv)論(lun)中來確定由(you)假設密度(du)方程產生(sheng)的(de)(de)連續隨機變量的(de)(de)概(gai)率(lv)。在解析幾何對(dui)方程圖像(xiang)的(de)(de)研究中，微(wei)(wei)積(ji)分可以(yi)求得(de)最大(da)值、最小(xiao)值、斜率(lv)、凹(ao)度(du)、拐(guai)點等。

格林公式(shi)連接了一個(ge)封閉(bi)曲線上(shang)的(de)(de)線積(ji)(ji)分(fen)與一個(ge)邊界為C且平(ping)面區域為D的(de)(de)雙(shuang)重積(ji)(ji)分(fen)。它被設(she)計(ji)(ji)為求積(ji)(ji)儀工具，用以量度(du)不(bu)規則的(de)(de)平(ping)面面積(ji)(ji)。例如：它可以在(zai)設(she)計(ji)(ji)時計(ji)(ji)算不(bu)規則的(de)(de)花瓣床、游泳池的(de)(de)面積(ji)(ji)。

在(zai)醫療(liao)領域(yu)，微(wei)積(ji)(ji)分可(ke)(ke)以計算血管最優(you)支角，將血流最大化。通過藥(yao)物(wu)在(zai)體內的衰(shuai)退數據(ju)，微(wei)積(ji)(ji)分可(ke)(ke)以推導出服用量(liang)。在(zai)核醫學中，它(ta)可(ke)(ke)以為治療(liao)腫瘤建立放射輸送模型。

在經濟學中(zhong)，微積分可以通(tong)過計算邊際(ji)成本和邊際(ji)利潤來確定最大收益。

微積(ji)分也被用于尋(xun)找方程(cheng)的(de)近似(si)(si)值；實踐中，它(ta)用于解(jie)微分方程(cheng)，計算(suan)相關的(de)應用題，如：牛頓法、定點(dian)循環、線性近似(si)(si)等(deng)。比如：宇宙飛船利用歐拉(la)方法來求得零(ling)重力環境下的(de)近似(si)(si)曲線。

微積分學課程

在大學(xue)(xue)(xue)的數(shu)理、工程(cheng)、商管教學(xue)(xue)(xue)中(zhong)，微(wei)積(ji)分是“高等數(shu)學(xue)(xue)(xue)”的主要內(nei)容(rong)之一。其教學(xue)(xue)(xue)法由學(xue)(xue)(xue)科創立一開(kai)始就受到人(ren)們重視。在美國大學(xue)(xue)(xue)先修(xiu)課(ke)程(cheng)中(zhong)，AP微(wei)積(ji)分AB、BC分別為對應大學(xue)(xue)(xue)一元微(wei)積(ji)分半年、全年課(ke)程(cheng)。

在香港，微積分是(shi)(shi)新高中課程數學（延展部(bu)(bu)分）的一部(bu)(bu)分，這部(bu)(bu)分是(shi)(shi)選修的。