芒果视频下载

簡介

霍(huo)奇猜想 (Hodge Conjecture)

在非奇異(yi)復(fu)射(she)影代數簇上, 任一(yi)霍(huo)奇類是代數閉(bi)鏈類的(de)有理線(xian)性(xing)組(zu)合(he)。

背景

二十世紀的數學家(jia)們發現了(le)研究復雜對象的形狀的強(qiang)有力的辦法。

基本想法是(shi)問在怎(zen)樣的(de)(de)(de)(de)程(cheng)度上(shang)，我們可(ke)以(yi)把給定對象的(de)(de)(de)(de)形狀通過把維數(shu)(shu)不斷(duan)增加的(de)(de)(de)(de)簡(jian)單(dan)幾何(he)營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是(shi)變得(de)(de)如(ru)此有(you)用(yong)，使得(de)(de)它可(ke)以(yi)用(yong)許多(duo)不同(tong)的(de)(de)(de)(de)方式來推廣；最終導致一些強有(you)力(li)的(de)(de)(de)(de)工具，使數(shu)(shu)學家在對他(ta)們研究(jiu)中所遇到的(de)(de)(de)(de)形形色色的(de)(de)(de)(de)對象進行分類時取得(de)(de)巨大的(de)(de)(de)(de)進展。不幸的(de)(de)(de)(de)是(shi)，在這一推廣中，程(cheng)序的(de)(de)(de)(de)幾何(he)出發(fa)點變得(de)(de)模糊起來。在某(mou)種意義下，必須加上(shang)某(mou)些沒有(you)任何(he)幾何(he)解釋的(de)(de)(de)(de)部件。霍(huo)奇(qi)猜想斷(duan)言，對于所謂射影(ying)代數(shu)(shu)簇這種特別完(wan)美的(de)(de)(de)(de)空間類型來說，稱作霍(huo)奇(qi)閉鏈的(de)(de)(de)(de)部件實(shi)際上(shang)是(shi)稱作代數(shu)(shu)閉鏈的(de)(de)(de)(de)幾何(he)部件的(de)(de)(de)(de)（有(you)理線性）組(zu)合。

問題

霍奇(qi)(qi)猜想(xiang)是(shi)代(dai)數(shu)(shu)幾何的(de)(de)一個重大的(de)(de)懸而未決的(de)(de)問題(ti)。它是(shi)關于非奇(qi)(qi)異復代(dai)數(shu)(shu)簇的(de)(de)代(dai)數(shu)(shu)拓撲(pu)和它由定(ding)義子簇的(de)(de)多(duo)項式方程所表(biao)述的(de)(de)幾何的(de)(de)關聯的(de)(de)猜想(xiang)。它在霍奇(qi)(qi)的(de)(de)著述的(de)(de)一個結果中出(chu)現，他在1930至1940年(nian)間通過包含額外的(de)(de)結構豐(feng)富(fu)了德拉姆上(shang)同調的(de)(de)表(biao)述，這(zhe)種結構出(chu)現于代(dai)數(shu)(shu)簇的(de)(de)情況(kuang)（但不僅限于這(zhe)種情況(kuang)）。

現狀

黎曼假設、龐加(jia)萊猜想、霍奇(qi)猜想、貝赫和(he)斯(si)維訥通－戴爾(er)猜想、納維葉―斯(si)托克(ke)斯(si)方程(cheng)、楊(yang)―米(mi)爾(er)理論、P問(wen)題對NP問(wen)題被(bei)稱為21世紀七大數學(xue)難題。2000年5月，美國的克(ke)萊數學(xue)促進會為每道題懸賞百萬美元求解。目前，這一(yi)難題仍沒有被(bei)破解。

已知的情形

對于(1,1)類的(de)霍(huo)奇猜(cai)想已(yi)經在霍(huo)奇本人提(ti)出本猜(cai)想前的(de)1924年由 Lefschetz證明。換句話說，霍(huo)奇猜(cai)想對于H^2成立。實際上，這是霍(huo)奇提(ti)出其猜(cai)想的(de)動機之一。

除此(ci)以外，還成(cheng)立以下(xia)定理(li)：如果霍奇猜(cai)想對于(yu)度數p的霍奇類(lei)成(cheng)立，其(qi)中p<n，n是上述射影(ying)代數簇的維(wei)數，那么(me)對于(yu)度數為2n-p的霍奇類(lei)，霍奇猜(cai)想也成(cheng)立。

霍奇的想法

蘇格蘭數學家威廉·霍奇：怎么能知道哪些(xie)類的(de)(de)(de)(de)(de)(de)同源(yuan)性在任何(he)(he)(he)給定歧管(guan)，相當于(yu)一(yi)(yi)個(ge)代(dai)數周(zhou)期？一(yi)(yi)個(ge)偉大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)想法。 只是他不(bu)能證明(ming)。 我(wo)們有(you)一(yi)(yi)個(ge)小(xiao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)平滑的(de)(de)(de)(de)(de)(de)“空(kong)間(jian)”（在每個(ge)鄰(lin)域類似于(yu)歐(ou)幾里德空(kong)間(jian)，但在更(geng)大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)規模上，“空(kong)間(jian)”是不(bu)同的(de)(de)(de)(de)(de)(de)），這(zhe)是由(you)一(yi)(yi)群方(fang)程描述，使得這(zhe)個(ge)空(kong)間(jian)具(ju)有(you)均(jun)勻的(de)(de)(de)(de)(de)(de)維(wei)度。 然后我(wo)們獲取基(ji)本(ben)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)“拓撲”信息(xi)，并將其分解成更(geng)小(xiao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)(he)(he)部分（由(you)數字(zi)對標記）。幾何(he)(he)(he)部分內(nei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)理性東西被(bei)稱為“Hodge循(xun)環(huan)”。 每個(ge)較小(xiao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)(he)(he)部分是稱為代(dai)數循(xun)環(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)(he)(he)部分的(de)(de)(de)(de)(de)(de)組合(he)。 基(ji)本(ben)上我(wo)們有(you)一(yi)(yi)個(ge)“樁”。我(wo)們仔細看看它，看看它是由(you)許多“切碎(sui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)木(mu)材”組成。“切碎(sui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)木(mu)材”里面有(you)“twigs”（霍奇循(xun)環(huan)）。霍奇猜想斷(duan)言，對于(yu)成堆的(de)(de)(de)(de)(de)(de)切碎(sui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)木(mu)材，樹(shu)枝實際上是被(bei)稱為原子(zi)（代(dai)數循(xun)環(huan)）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)(he)(he)部分的(de)(de)(de)(de)(de)(de)組合(he)。

這個叫霍奇猜想(xiang)的(de)(de)(de)(de)東東，用通俗(su)的(de)(de)(de)(de)話說，就(jiu)是(shi)“再好(hao)再復(fu)雜的(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)座宮殿，都(dou)可以(yi)由一(yi)(yi)堆積木壘(lei)成(cheng)”。用文人的(de)(de)(de)(de)話說就(jiu)是(shi): 任(ren)何(he)一(yi)(yi)個形(xing)(xing)狀的(de)(de)(de)(de)幾何(he)圖形(xing)(xing)，不管它有(you)多復(fu)雜(只(zhi)要你能想(xiang)得出(chu)(chu)來)，它都(dou)可以(yi)用一(yi)(yi)堆簡單的(de)(de)(de)(de)幾何(he)圖形(xing)(xing)拼成(cheng)。在(zai)實際工作中，我(wo)們無法在(zai)二維平面的(de)(de)(de)(de)紙上繪畫出(chu)(chu)來一(yi)(yi)種(zhong)復(fu)雜的(de)(de)(de)(de)多維圖形(xing)(xing)，霍奇猜想(xiang)就(jiu)是(shi)把復(fu)雜的(de)(de)(de)(de)拓撲圖形(xing)(xing)分(fen)拆成(cheng)為(wei)一(yi)(yi)個個構件，我(wo)們只(zhi)要按(an)照規則安裝就(jiu)可以(yi)理解設計者的(de)(de)(de)(de)思想(xiang)。霍奇猜想(xiang)提(ti)出(chu)(chu)已經(jing)快(kuai)80年了(le)，至今有(you)了(le)第一(yi)(yi)個例子。