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起源

黎(li)(li)曼猜(cai)想是波恩(en)哈德·黎(li)(li)曼1859年(nian)(nian)提出的(de)，這(zhe)(zhe)位數(shu)學(xue)家于1826年(nian)(nian)出生在當時(shi)屬于漢諾威王(wang)國的(de)名叫(jiao)布列斯倫茨的(de)小鎮。1859年(nian)(nian)，黎(li)(li)曼被選(xuan)為(wei)了柏(bo)林科學(xue)院(yuan)(yuan)的(de)通信院(yuan)(yuan)士。作(zuo)為(wei)對這(zhe)(zhe)一崇高榮譽的(de)回報，他向柏(bo)林科學(xue)院(yuan)(yuan)提交(jiao)了一篇題為(wei)“論(lun)小于給(gei)定數(shu)值的(de)素數(shu)個數(shu)”的(de)論(lun)文(wen)。這(zhe)(zhe)篇只有短(duan)短(duan)八(ba)頁的(de)論(lun)文(wen)就是黎(li)(li)曼猜(cai)想的(de)“誕生地(di)”。

黎曼(man)那篇論(lun)文所研究的(de)(de)是(shi)一(yi)個數(shu)(shu)(shu)學家(jia)(jia)們(men)長期以(yi)來(lai)就很(hen)感興(xing)趣的(de)(de)問題，即(ji)素數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)分布。素數(shu)(shu)(shu)又(you)稱(cheng)質數(shu)(shu)(shu)。質數(shu)(shu)(shu)是(shi)像2、3、5、7、11、13、17、19那樣大(da)(da)于1且(qie)除(chu)了(le)1和自身以(yi)外(wai)不(bu)能(neng)被其他正整(zheng)數(shu)(shu)(shu)整(zheng)除(chu)的(de)(de)自然數(shu)(shu)(shu)。這些數(shu)(shu)(shu)在(zai)數(shu)(shu)(shu)論(lun)研究中(zhong)有(you)著(zhu)極大(da)(da)的(de)(de)重要性，因為所有(you)大(da)(da)于1的(de)(de)正整(zheng)數(shu)(shu)(shu)都可以(yi)表(biao)示成它們(men)的(de)(de)合。從某種意義(yi)(yi)上(shang)講，它們(men)在(zai)數(shu)(shu)(shu)論(lun)中(zhong)的(de)(de)地位類似于物理世界中(zhong)用(yong)以(yi)構筑萬物的(de)(de)原(yuan)子(zi)。質數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)定(ding)義(yi)(yi)簡單得可以(yi)在(zai)中(zhong)學甚至小(xiao)學課上(shang)進行講授(shou)，但它們(men)的(de)(de)分布卻奧妙得異乎尋常，數(shu)(shu)(shu)學家(jia)(jia)們(men)付(fu)出了(le)極大(da)(da)的(de)(de)心力，卻迄今仍未能(neng)徹底了(le)解(jie)。

黎(li)曼論文的(de)一個重大的(de)成(cheng)果，就(jiu)是(shi)(shi)發現(xian)了質數分布的(de)奧秘完全蘊藏在一個特殊的(de)函(han)數之中，尤其是(shi)(shi)使那個函(han)數取值為(wei)零的(de)一系列特殊的(de)點(dian)對質數分布的(de)細致規律有著決定性的(de)影(ying)響。那個函(han)數如今被稱為(wei)黎(li)曼ζ函(han)數，那一系列特殊的(de)點(dian)則(ze)被稱為(wei)黎(li)曼ζ函(han)數的(de)非(fei)平凡零點(dian)。

有意思的(de)是(shi)，黎(li)(li)曼那篇文章的(de)成果雖然重(zhong)大，文字卻(que)極(ji)為簡練，甚至簡練得(de)有些過分，因(yin)為它(ta)包(bao)括(kuo)了(le)很(hen)多“證(zheng)明從(cong)(cong)略(lve)”的(de)地(di)方。而要命(ming)的(de)是(shi)，“證(zheng)明從(cong)(cong)略(lve)”原本(ben)是(shi)應該用來省略(lve)那些顯而易見的(de)證(zheng)明的(de)，黎(li)(li)曼的(de)論(lun)文卻(que)并非如此，他那些“證(zheng)明從(cong)(cong)略(lve)”的(de)地(di)方有些花費了(le)后世數(shu)學家們幾十年(nian)的(de)努力才得(de)以(yi)補全，有些甚至直到今天仍是(shi)空(kong)白。但黎(li)(li)曼的(de)論(lun)文在(zai)為數(shu)不少的(de)“證(zheng)明從(cong)(cong)略(lve)”之外，卻(que)引人注(zhu)目地(di)包(bao)含了(le)一個他明確承認了(le)自己無(wu)法證(zheng)明的(de)命(ming)題，那個命(ming)題就是(shi)黎(li)(li)曼猜(cai)想。黎(li)(li)曼猜(cai)想自1859年(nian)“誕(dan)生”以(yi)來，已過了(le)161個春(chun)秋，在(zai)這(zhe)期間，它(ta)就像(xiang)一座巍峨的(de)山(shan)峰，吸引了(le)無(wu)數(shu)數(shu)學家前去攀登(deng)，卻(que)誰也沒能登(deng)頂。

有人統(tong)計過，在當今數(shu)學(xue)文獻(xian)中已(yi)有超(chao)過一(yi)千條數(shu)學(xue)命題(ti)以黎(li)曼(man)猜想(或其(qi)推廣(guang)形式)的成立為(wei)前提。如果(guo)黎(li)曼(man)猜想被證明，所有那(nei)些(xie)數(shu)學(xue)命題(ti)就全都可以榮(rong)升為(wei)定(ding)理；反之(zhi)，如果(guo)黎(li)曼(man)猜想被否證，則那(nei)些(xie)數(shu)學(xue)命題(ti)中起(qi)碼有一(yi)部(bu)分將成為(wei)陪葬。

具體內容

黎曼觀察到，素數的(de)(de)頻率緊(jin)密相關于一個精心構(gou)造的(de)(de)所(suo)謂(wei)黎曼zeta函(han)數ζ(s)的(de)(de)性態。黎曼假設斷言，方(fang)程ζ(s)=0的(de)(de)所(suo)有有意(yi)義(yi)的(de)(de)解都在一條直線(xian)上(shang)。這點(dian)已經對于開始的(de)(de)1,500,000,000個解驗(yan)證(zheng)過(guo)。

之所以(yi)(yi)要對這一表(biao)達(da)式進行解(jie)析延(yan)(yan)拓， 是因為(wei)這一表(biao)達(da)式只適用于復平面上 s 的實部 Re(s) > 1 的區域 （否則級數不收斂）。黎曼找到了(le)這一表(biao)達(da)式的解(jie)析延(yan)(yan)拓（當然(ran)黎曼沒有(you)使用 “解(jie)析延(yan)(yan)拓” 這樣的現代復變函(han)數論(lun)術語）。運用路徑(jing)積分(fen)，解(jie)析延(yan)(yan)拓后的黎曼ζ 函(han)數可(ke)以(yi)(yi)表(biao)示為(wei)：

這里我們(men)采(cai)用的是(shi)(shi)歷史文獻中的記(ji)號， 式中的積(ji)分(fen)(fen)實(shi)際是(shi)(shi)一個環繞正實(shi)軸(zhou)進(jin)行的圍道積(ji)分(fen)(fen)（即從(cong) +∞ 出發， 沿實(shi)軸(zhou)上方(fang)積(ji)分(fen)(fen)至原點附近(jin)， 環繞原點積(ji)分(fen)(fen)至實(shi)軸(zhou)下方(fang)， 再沿實(shi)軸(zhou)下方(fang)積(ji)分(fen)(fen)至 +∞ ，而且(qie)離實(shi)軸(zhou)的距(ju)離及(ji)環繞原點的半徑均(jun)趨于 0)，按照現代數學記(ji)號應記(ji)成：

從(cong)這個關系(xi)式中(zhong)不難發現(xian)，黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)在(zai) s=-2n (n 為(wei)(wei)(wei)正整數(shu)(shu)） 取值為(wei)(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling) - 因為(wei)(wei)(wei) sin(πs/2) 為(wei)(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)。復(fu)平面上的(de)這種使(shi)黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)取值為(wei)(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)的(de)點(dian)被(bei)稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)的(de)零(ling)(ling)(ling)點(dian)。因此 s=-2n （n 為(wei)(wei)(wei)正整數(shu)(shu)）是黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)的(de)零(ling)(ling)(ling)點(dian)。這些(xie)零(ling)(ling)(ling)點(dian)分布有(you)(you)序、 性質(zhi)簡單， 被(bei)稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)的(de)平凡零(ling)(ling)(ling)點(dian) (trivial zero)。除了這些(xie)平凡零(ling)(ling)(ling)點(dian)外，黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)還(huan)有(you)(you)許多其它零(ling)(ling)(ling)點(dian)， 它們的(de)性質(zhi)遠比(bi)那些(xie)平凡零(ling)(ling)(ling)點(dian)來得(de)復(fu)雜， 被(bei)稱(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)非平凡零(ling)(ling)(ling)點(dian) (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函數的所有非平凡(fan)零(ling)點都位(wei)于復平面上 Re(s)=1/2 的直線上，也(ye)即(ji)方(fang)程ζ(s)=0的解(jie)的實部都是1/2。

在黎(li)曼(man)猜想的研究中， 數學(xue)家們把復(fu)平(ping)面(mian)上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line（臨界線）。運(yun)用這一術語，黎(li)曼(man)猜想也(ye)可以表述為：黎(li)曼(man)ζ 函數的所有非平(ping)凡零點都位于 critical line 上。