給定一個整(zheng)體(ti)域上的(de)阿貝(bei)爾簇,猜想它(ta)的(de)莫(mo)代爾群(qun)的(de)秩等于它(ta)的(de)L函數(shu)在1處的(de)零點(dian)階數(shu),且它(ta)的(de)L函數(shu)在1處的(de)泰勒展開(kai)的(de)首項系(xi)數(shu)與莫(mo)代爾群(qun)的(de)有限部(bu)分(fen)大小、自由部(bu)分(fen)體(ti)積、所有素位的(de)周期以及沙群(qun)有精(jing)確的(de)等式關(guan)系(xi)。
前半部分通常稱為(wei)弱BSD猜想(xiang)(xiang)。BSD猜想(xiang)(xiang)是分圓域(yu)的(de)類數公式(shi)的(de)推廣。格羅斯提出(chu)了(le)一個(ge)細化的(de)BSD猜想(xiang)(xiang)。布(bu)洛克(ke)和加藤提出(chu)了(le)更(geng)一般的(de)對于(yu)motif的(de)Bloch-Kato猜想(xiang)(xiang)。
BSD猜(cai)想的(de)陳述依賴于莫(mo)代爾定理:整體域上的(de)阿貝爾簇的(de)有(you)理點形成(cheng)(cheng)一個有(you)限生成(cheng)(cheng)交換群。精確的(de)部分(fen)依賴于沙(sha)群的(de)有(you)限性猜(cai)想。
對于解析秩為(wei)0的情(qing)形,Coates,Wiles,Kolyvagin,Rubin,Skinner,Urban等人證明了弱BSD猜想(xiang),并且(qie)精(jing)確的BSD猜想(xiang)在2以外均成立(li)。
對(dui)于解(jie)析秩為1的情(qing)形,Gross,Zagier等人證明了弱BSD猜想(xiang),并且精確的BSD猜想(xiang)在2和(he)導子以外均成立。
由BSD猜想(xiang)可以推(tui)出奇偶(ou)性猜想(xiang)、西爾維(wei)斯特(te)等(deng)很(hen)多(duo)猜想(xiang)。其中著名的(de)是(shi)與同余數(shu)問(wen)題(ti)的(de)關系,從(cong)BSD猜想(xiang)可以推(tui)出模8余5,6,7的(de)無平方因子的(de)正整(zheng)數(shu)一(yi)定(ding)可以成為某個有理(li)邊(bian)長直角(jiao)三角(jiao)形的(de)面積。