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猜想陳述

給(gei)定一個整體(ti)域上(shang)的(de)(de)阿貝(bei)爾(er)(er)簇，猜(cai)想它的(de)(de)莫代(dai)爾(er)(er)群(qun)的(de)(de)秩等于它的(de)(de)L函數(shu)在(zai)1處的(de)(de)零點(dian)階數(shu)，且它的(de)(de)L函數(shu)在(zai)1處的(de)(de)泰(tai)勒展(zhan)開的(de)(de)首項系數(shu)與莫代(dai)爾(er)(er)群(qun)的(de)(de)有限部分大小(xiao)、自(zi)由部分體(ti)積、所有素位(wei)的(de)(de)周期以及(ji)沙群(qun)有精確的(de)(de)等式(shi)關系。

前(qian)半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓(yuan)域的類數公式的推廣。格羅斯提出(chu)了一個細化的BSD猜想。布(bu)洛克和加(jia)藤提出(chu)了更一般(ban)的對于motif的Bloch-Kato猜想。

已知結果

BSD猜想(xiang)的陳述依賴于(yu)莫代爾定(ding)理：整體域(yu)上的阿貝爾簇的有(you)理點形(xing)成(cheng)一個有(you)限(xian)生(sheng)成(cheng)交換群(qun)。精確的部分依賴于(yu)沙群(qun)的有(you)限(xian)性猜想(xiang)。

對于解(jie)析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明(ming)了(le)弱BSD猜想，并且(qie)精確的BSD猜想在2以外(wai)均成立(li)。

對(dui)于解析秩為1的(de)情形，Gross，Zagier等(deng)人證明了弱BSD猜(cai)想，并(bing)且精確(que)的(de)BSD猜(cai)想在2和導子以外均(jun)成立。

猜想的推論

由BSD猜想可(ke)以推出奇(qi)偶性猜想、西爾維(wei)斯特等很(hen)多猜想。其(qi)中(zhong)著名的是(shi)與同余數(shu)問題的關系，從(cong)BSD猜想可(ke)以推出模8余5，6，7的無平方(fang)因子的正整(zheng)數(shu)一定可(ke)以成(cheng)為某(mou)個有理邊長直(zhi)角三角形的面積。