《周(zhou)髀算(suan)(suan)(suan)經》原名《周(zhou)髀》,算(suan)(suan)(suan)經的十書之一(yi),是中國(guo)最(zui)古(gu)老的天(tian)文學和數(shu)學著作,約成書于(yu)公元前1世紀,主要闡明當時的蓋天(tian)說和四分歷法。唐(tang)初規定(ding)它為國(guo)子(zi)監明算(suan)(suan)(suan)科(ke)的教材之一(yi),故改名《周(zhou)髀算(suan)(suan)(suan)經》。
《周髀(bi)算經(jing)》在數(shu)學上的主要成(cheng)就是介紹了勾(gou)股(gu)定理(li)(據說原書沒(mei)有對(dui)勾(gou)股(gu)定理(li)進行(xing)證明,其證明是三國(guo)時東吳人趙爽在《周髀(bi)注》一書的《勾(gou)股(gu)圓方圖(tu)注》中給出(chu)的)及其在測量上的應用以及怎樣引用到天文(wen)計算。)
《周髀算(suan)經》的(de)(de)采(cai)用最簡便(bian)可行(xing)的(de)(de)方(fang)法確定(ding)天文(wen)歷法,揭示日月星辰(chen)的(de)(de)運行(xing)規律,囊括四季更替,氣候變化,包(bao)涵南北(bei)有(you)(you)極(ji),晝夜相推的(de)(de)道理。給(gei)后來者生活作息提(ti)供有(you)(you)力的(de)(de)保障(zhang),自此以后歷代數學(xue)家(jia)無不以《周髀算(suan)經》為參考,在此基(ji)礎上不斷創新和發展(zhan)。
假設我們把《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》的(de)(de)(de)(de)本文(wen)限定(ding)為(wei)商(shang)(shang)高與周(zhou)公的(de)(de)(de)(de)問答,似乎其(qi)成書年代也(ye)就不(bu)難斷(duan)定(ding)了(le)(le)。可是,乾嘉以(yi)后,考(kao)據之(zhi)學(xue)興起,疑古(gu)之(zhi)風日(ri)盛(sheng),到了(le)(le)現代,幾乎所有的(de)(de)(de)(de)中(zhong)外學(xue)者(zhe)都(dou)不(bu)得(de)不(bu)接受這樣的(de)(de)(de)(de)推斷(duan):不(bu)僅商(shang)(shang)高是后人假托的(de)(de)(de)(de),甚至陳(chen)子也(ye)是后人虛構出來的(de)(de)(de)(de)。于是,僅僅把商(shang)(shang)高問答看作《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》本文(wen)就不(bu)再有任何(he)意義了(le)(le)。因(yin)此(ci),許多學(xue)者(zhe)都(dou)將(jiang)陳(chen)子問答以(yi)后的(de)(de)(de)(de)文(wen)字作為(wei)《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》全文(wen)的(de)(de)(de)(de)一個部分,不(bu)再加(jia)以(yi)區分。此(ci)一來,人們開始根據《周(zhou)髀算(suan)經(jing)》中(zhong)的(de)(de)(de)(de)內容推斷(duan)它(ta)的(de)(de)(de)(de)成書年代。
通常的方法可以分成兩(liang)類(lei):天(tian)文(wen)(wen)學史專家,喜歡利用現代天(tian)文(wen)(wen)學手段,根據(ju)《周髀算(suan)經(jing)》中記錄的一(yi)些特殊(shu)的天(tian)文(wen)(wen)現象或數據(ju),推算(suan)其(qi)應該出(chu)現的年代,并以此來確定(ding)其(qi)成書(shu)時代。例如,日(ri)本學者能田(tian)忠亮便(bian)以《周髀算(suan)經(jing)》中的北極星(北極璇璣)到北天(tian)極的距離.歸算(suan)出(chu)其(qi)成書(shu)年代大約在公元前5到7世(shi)紀之(zhi)間。
另(ling)一種(zhong)方法則是(shi)(shi)根據(ju)《周髀算(suan)(suan)經(jing)》涉及的(de)一些內容,與相對(dui)而(er)言年(nian)(nian)(nian)代(dai)比較(jiao)明確的(de)其他歷史(shi)典籍(ji)的(de)比較(jiao),推(tui)斷其成書年(nian)(nian)(nian)代(dai)。錢(qian)寶琮(1892年(nian)(nian)(nian)-1974年(nian)(nian)(nian))在《周髀算(suan)(suan)經(jing)考》中對(dui)《周髀算(suan)(suan)經(jing)》的(de)年(nian)(nian)(nian)代(dai)做出(chu)如下(xia)(xia)的(de)考證:第一,《周髀算(suan)(suan)經(jing)》主(zhu)(zhu)要分(fen)為兩個部分(fen),前為商高問(wen)答(da),后(hou)為陳子模型;第二,由于懷疑(yi)商高是(shi)(shi)后(hou)人的(de)偽托(tuo),因此,認為陳子以下(xia)(xia)的(de)文字才是(shi)(shi)《周髀算(suan)(suan)經(jing)》的(de)主(zhu)(zhu)體,通過與《淮南子·天(tian)文訓》的(de)比較(jiao),從六(liu)個方面論(lun)述了陳子以下(xia)(xia)的(de)文字成書在
公(gong)元前100年(nian)左(zuo)(zuo)右;第(di)三,“周(zhou)髀(bi)(bi)(bi)”的意思以(yi)陳子(zi)之說(shuo)為(wei)準,同時也提到(dao)其他一(yi)些解(jie)釋;第(di)四,比較24氣名(ming)目及次序(xu)與《三統歷》之異同,提到(dao)趙爽注稱(cheng)原(yuan)節氣長度15日與《淮南(nan)子(zi)》的粗略記(ji)法類似;第(di)五(wu),分(fen)數(shu)算法的繁復(fu)與《九章(zhang)算術》類似。他的結(jie)論是(shi),《周(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算經》成書在公(gong)元前100年(nian)左(zuo)(zuo)右。在疑古思潮的影響下,還有一(yi)種(zhong)傾向(xiang)也值得人們(men)的注意,那就是(shi)以(yi)《周(zhou)髀(bi)(bi)(bi)算經》全書中(zhong)所有內(nei)容的下限來判定它的成書年(nian)代,古克禮(C.Cullen)大(da)約(yue)可(ke)以(yi)算是(shi)這(zhe)個方面的一(yi)個代表(biao)。
古克禮認為(wei)以前的(de)(de)(de)(de)學者大(da)多錯誤地(di)企圖去發現《周(zhou)(zhou)髀算經(jing)》作為(wei)一(yi)個整(zheng)(zheng)體完(wan)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)年代,因此,它(ta)們的(de)(de)(de)(de)結論(lun)是(shi)在(zai)一(yi)種假象的(de)(de)(de)(de)幻覺中獲(huo)得的(de)(de)(de)(de)。他(ta)認為(wei),這部(bu)書是(shi)一(yi)些(xie)志同(tong)道合的(de)(de)(de)(de)研究者分別撰述的(de)(de)(de)(de)論(lun)文集。他(ta)的(de)(de)(de)(de)做法是(shi),首先,調查《周(zhou)(zhou)髀算經(jing)》的(de)(de)(de)(de)內(nei)在(zai)結構(gou),并將其(qi)劃分為(wei)不同(tong)的(de)(de)(de)(de)章節(jie)(jie),討論(lun)節(jie)(jie)與(yu)(yu)節(jie)(jie)之間(jian)的(de)(de)(de)(de)關(guan)(guan)系;其(qi)次,討論(lun)與(yu)(yu)各節(jie)(jie)內(nei)容有關(guan)(guan)的(de)(de)(de)(de)外部(bu)世界的(de)(de)(de)(de)資料與(yu)(yu)活動(dong);第三,探討可能產生(sheng)與(yu)(yu)各節(jie)(jie)內(nei)容相關(guan)(guan)的(de)(de)(de)(de)歷(li)史環境。他(ta)將《周(zhou)(zhou)髀算經(jing)》的(de)(de)(de)(de)整(zheng)(zheng)體編排打亂,把它(ta)們劃分為(wei)外篇(pian)(pian)與(yu)(yu)內(nei)篇(pian)(pian)兩個部(bu)分。其(qi)中內(nei)篇(pian)(pian)以陳子模型為(wei)主展開,取其(qi)下限在(zai)公元1世紀。
在有(you)關外部環境的(de)(de)(de)討(tao)論中(zhong)(zhong),指出作為皇家的(de)(de)(de)藏書(shu)目(mu)錄,班固(32-92年(nian))編寫的(de)(de)(de)《漢書(shu)·藝(yi)文志》中(zhong)(zhong)有(you)《許商算(suan)(suan)術》與《杜忠算(suan)(suan)術》而(er)無《周(zhou)髀算(suan)(suan)經(jing)(jing)》;蓋天說(shuo)在公元(yuan)l世(shi)紀已經(jing)(jing)為人所(suo)(suo)熟知(zhi),蔡邕在公元(yuan)180年(nian)已經(jing)(jing)明(ming)確將其列為中(zhong)(zhong)圈古(gu)代的(de)(de)(de)三家宇宙論之一。結論是,由于受到了渾天說(shuo)的(de)(de)(de)影響,《周(zhou)髀算(suan)(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)成書(shu)時(shi)間不(bu)可能(neng)早(zao)于公元(yuan)前(qian)l世(shi)紀,但也(ye)(ye)不(bu)會晚于公元(yuan)200年(nian)。筆(bi)者(zhe)以(yi)為,判別(bie)中(zhong)(zhong)國古(gu)代科(ke)學(xue)典(dian)籍的(de)(de)(de)完成年(nian)代,應(ying)該以(yi)書(shu)中(zhong)(zhong)主(zhu)要(yao)的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)思想或知(zhi)識水平所(suo)(suo)反映的(de)(de)(de)年(nian)代為判別(bie)標(biao)準(zhun),而(er)不(bu)應(ying)以(yi)書(shu)中(zhong)(zhong)夾雜(za)的(de)(de)(de)若干(gan)后代摻入(ru)的(de)(de)(de)只(zhi)言片(pian)語作為推斷的(de)(de)(de)條件(jian)。由于早(zao)期的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)典(dian)籍通常都是人類知(zhi)識逐漸積累(lei)的(de)(de)(de)結晶,因此(ci),搞清楚其中(zhong)(zhong)科(ke)學(xue)思想的(de)(de)(de)萌生時(shi)期與流傳脈絡,也(ye)(ye)許比單(dan)純判定它(ta)的(de)(de)(de)成書(shu)年(nian)代更有(you)意義。
科(ke)學史已經反(fan)復(fu)地(di)證明,今天看來是(shi)(shi)非常顯然的(de)(de)(de)(de)科(ke)學真理,在(zai)人(ren)類認識(shi)它的(de)(de)(de)(de)初期(qi)往(wang)往(wang)經歷了(le)長期(qi)的(de)(de)(de)(de)懷(huai)疑,甚至抵制。例(li)如,歲差現象(xiang)在(zai)南北朝(chao)時期(qi)的(de)(de)(de)(de)存廢之(zhi)(zhi)爭(zheng),就(jiu)是(shi)(shi)一(yi)個(ge)典型的(de)(de)(de)(de)事例(li)。因此,試(shi)圖通(tong)過(guo)以《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》中的(de)(de)(de)(de)內容的(de)(de)(de)(de)完(wan)整或正確性介于(yu)某兩(liang)個(ge)古(gu)代文獻之(zhi)(zhi)間,就(jiu)認定其成書(shu)(shu)(shu)年(nian)代也必定介于(yu)兩(liang)者(zhe)之(zhi)(zhi)間的(de)(de)(de)(de)方法,是(shi)(shi)靠不(bu)住的(de)(de)(de)(de)。而利用一(yi)些重(zhong)要(yao)數據的(de)(de)(de)(de)理論(lun)推算(suan)來判定其成書(shu)(shu)(shu)年(nian)代的(de)(de)(de)(de)方法,許(xu)多時候也是(shi)(shi)不(bu)太可行的(de)(de)(de)(de)。有(you)(you)關(guan)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》成書(shu)(shu)(shu)年(nian)代的(de)(de)(de)(de)討論(lun),馮禮貴曾經收集了(le)14種不(bu)同的(de)(de)(de)(de)觀點。盡管(guan)在(zai)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》成書(shu)(shu)(shu)年(nian)代的(de)(de)(de)(de)判斷上有(you)(you)很(hen)大的(de)(de)(de)(de)區別,但(dan)幾乎(hu)所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)(de)(de)研究者(zhe)都有(you)(you)一(yi)個(ge)共識(shi),那就(jiu)是(shi)(shi)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》并不(bu)是(shi)(shi)成書(shu)(shu)(shu)于(yu)一(yi)人(ren)一(yi)時,它經過(guo)了(le)許(xu)多朝(chao)代的(de)(de)(de)(de)流傳(chuan)進化才得以完(wan)成我們(men)所(suo)(suo)看到的(de)(de)(de)(de)篇幅與結構。
章鴻釗曾經明(ming)確地(di)將《周髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)劃(hua)分(fen)為三個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)(qi):第(di)一期(qi)(qi),商(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)問(wen)(wen)答(da);第(di)二期(qi)(qi),陳(chen)(chen)子(zi)(zi)問(wen)(wen)答(da);第(di)三期(qi)(qi),陳(chen)(chen)子(zi)(zi)以后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)文(wen)字。這(zhe)(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃(hua)分(fen),是(shi)(shi)(shi)(shi)許多人(ren)都默認(ren)(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一個(ge)(ge)事實。正(zheng)(zheng)如陳(chen)(chen)方正(zheng)(zheng)在總(zong)結前人(ren)對(dui)《周髀(bi)算(suan)經》成(cheng)書過程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)討(tao)論(lun)時(shi)(shi)所(suo)說(shuo)(shuo)(shuo):《周髀(bi)》不但不是(shi)(shi)(shi)(shi)個(ge)(ge)人(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作,甚至也未必(bi)是(shi)(shi)(shi)(shi)單一性(xing)質(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作,而(er)可能(neng)是(shi)(shi)(shi)(shi)由(you)多個(ge)(ge)在不同(tong)歷史時(shi)(shi)期(qi)(qi)出(chu)(chu)現,相關、相類但并不相同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)(xue)說(shuo)(shuo)(shuo)、理(li)論(lun),逐(zhu)漸累(lei)積而(er)成(cheng)。因此,將《周髀(bi)算(suan)經》單純視(shi)為表述蓋(gai)(gai)天(tian)說(shuo)(shuo)(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自洽體(ti)系,而(er)忽視(shi)它(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)層積性(xing)質(zhi),是(shi)(shi)(shi)(shi)不甚恰當的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。筆者也贊同(tong)將《周髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)劃(hua)分(fen)為三個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)(qi)。具體(ti)而(er)言,上(shang)卷之(zhi)(zhi)一,商(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)與(yu)(yu)周公(gong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)答(da),應(ying)該(gai)是(shi)(shi)(shi)(shi)《周髀(bi)算(suan)經》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原(yuan)始文(wen)字,它(ta)反映了早期(qi)(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)以商(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)為代(dai)表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中國古代(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家對(dui)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)以及數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)之(zhi)(zhi)為用的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)認(ren)(ren)識。商(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)答(da)周公(gong)問(wen)(wen)企圖說(shuo)(shuo)(shuo)明(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)(shi)(shi)(shi)解決幾何測(ce)量學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)方法(fa),這(zhe)(zhe)一點他做到了。這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)方法(fa)包(bao)含勾股定理(li)與(yu)(yu)用矩之(zhi)(zhi)道。按照商(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)說(shuo)(shuo)(shuo)法(fa),這(zhe)(zhe)些數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)內容(rong)在大(da)禹(yu)治水(shui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)候(hou)已經具備,應(ying)該(gai)是(shi)(shi)(shi)(shi)可信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。第(di)二個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)(qi),陳(chen)(chen)子(zi)(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出(chu)(chu),其內容(rong)為上(shang)卷之(zhi)(zhi)二陳(chen)(chen)子(zi)(zi)與(yu)(yu)容(rong)方的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)答(da),這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)部分(fen)大(da)約在戰國時(shi)(shi)期(qi)(qi)已經形成(cheng)。這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)(qi),陳(chen)(chen)子(zi)(zi)將商(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩之(zhi)(zhi)道進(jin)一步(bu)發展成(cheng)為測(ce)望日高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)差(cha)術。也是(shi)(shi)(shi)(shi)可以相信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。陳(chen)(chen)子(zi)(zi)問(wen)(wen)答(da)中試圖解決的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)(shi)(shi)(shi),利用影差(cha)原(yuan)理(li)與(yu)(yu)日高(gao)(gao)(gao)(gao)術,在商(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩之(zhi)(zhi)道的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎上(shang),進(jin)一步(bu)完善更加宏(hong)大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)測(ce)天(tian)量地(di)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論(lun)與(yu)(yu)實踐。陳(chen)(chen)子(zi)(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出(chu)(chu),事實上(shang)是(shi)(shi)(shi)(shi)在向著(zhu)這(zhe)(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目(mu)標邁出(chu)(chu)了關鍵的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一步(bu):把(ba)商(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周髀(bi)》轉化(hua)為蓋(gai)(gai)天(tian)說(shuo)(shuo)(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周髀(bi)》,把(ba)一部比較單純的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)著(zhu)作轉化(hua)為一部純粹(cui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)理(li)天(tian)文(wen)學(xue)(xue)論(lun)著(zhu)。
從(cong)上(shang)卷(juan)之三開始,是對蓋天(tian)(tian)說(shuo)理(li)論(lun)的(de)擴(kuo)張與(yu)完(wan)(wan)善。首先(xian)是在陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)基本(ben)假設下,建立(li)七衡六間的(de)宇宙(zhou)模(mo)型,并以(yi)術文的(de)形(xing)(xing)式(shi)給(gei)(gei)出(chu)每日(ri)太陽運行軌道的(de)計算方法(fa),使七衡圖(tu)成(cheng)(cheng)為(wei)(wei)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)可以(yi)操作的(de)真正的(de)活動式(shi)星盤。在此基礎上(shang),進一(yi)(yi)步引(yin)入新的(de)天(tian)(tian)地形(xing)(xing)狀(zhuang)的(de)模(mo)式(shi),給(gei)(gei)出(chu)了(le)地理(li)五帶的(de)劃分(fen)、寒暑成(cheng)(cheng)因的(de)解釋、日(ri)出(chu)日(ri)落的(de)方位,并建立(li)了(le)蓋天(tian)(tian)說(shuo)的(de)天(tian)(tian)體測量學,引(yin)入了(le)去極度的(de)概念,制作了(le)比(bi)較完(wan)(wan)整的(de)《四分(fen)歷》等等。這(zhe)(zhe)些雖然大大地豐富了(le)陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)理(li)論(lun)內(nei)涵,但同時也制造了(le)蓋天(tian)(tian)說(shuo)系統內(nei)部的(de)一(yi)(yi)些無法(fa)完(wan)(wan)全自洽的(de)矛盾,成(cheng)(cheng)為(wei)(wei)后(hou)世學者不斷(duan)批評的(de)目(mu)標。這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)部分(fen)的(de)形(xing)(xing)成(cheng)(cheng),意(yi)味著《周髀(bi)算經》作為(wei)(wei)一(yi)(yi)部論(lun)述蓋天(tian)(tian)說(shuo)理(li)論(lun)的(de)專著的(de)完(wan)(wan)成(cheng)(cheng)。從(cong)《周髀(bi)算經》上(shang)卷(juan)之三開始,出(chu)現了(le)大量的(de)“術曰”,這(zhe)(zhe)一(yi)(yi)點與(yu)商高問答及陳(chen)子(zi)問答的(de)行文風格形(xing)(xing)成(cheng)(cheng)明(ming)顯的(de)反(fan)差(cha),從(cong)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)側面反(fan)映(ying)出(chu)其(qi)形(xing)(xing)成(cheng)(cheng)時期(qi)應該是比(bi)前兩個(ge)(ge)(ge)部分(fen)更加晚(wan)近的(de)事實。
綜上所述,《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》的第(di)一(yi)(yi)部分商高問答,曾經(jing)作(zuo)為(wei)《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》獨立的本文(wen),其(qi)完(wan)成時(shi)間應該是(shi)在(zai)西周(zhou)初(chu)期,約(yue)公元(yuan)前(qian)11世紀(ji)。陳(chen)子問答中的數(shu)(shu)學理論與(yu)(yu)宇宙模(mo)型(xing)完(wan)成的時(shi)間,大(da)約(yue)在(zai)公元(yuan)前(qian)4、5世紀(ji)。作(zuo)為(wei)一(yi)(yi)部闡釋(shi)蓋天說理論的數(shu)(shu)理天文(wen)學著(zhu)作(zuo),《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》從上卷之三開始(shi),是(shi)對陳(chen)子模(mo)型(xing)的完(wan)善和(he)擴充,其(qi)中的一(yi)(yi)些基本數(shu)(shu)據(ju)與(yu)(yu)結構,如七(qi)衡圖與(yu)(yu)去極度等,應該是(shi)在(zai)陳(chen)子模(mo)型(xing)提出后(hou)就已經(jing)確(que)定了的,但是(shi),陳(chen)子假設的平行平面的天地模(mo)型(xing),則(ze)得到(dao)了一(yi)(yi)定的修正,并且加入了一(yi)(yi)些新的東西,如寒暑(shu)成因與(yu)(yu)歷法(fa)等內容,總(zong)而言之,《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》第(di)三部分的成型(xing),按照錢寶(bao)琮與(yu)(yu)劉朝陽的考證,應該不會(hui)晚于公元(yuan)前(qian)100年(nian)。
根據《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》原文(wen)中(zhong)的(de)明確交待,以及在文(wen)獻中(zhong)對幾(ji)個(ge)關(guan)鍵問題的(de)詳細論證,我們(men)已經(jing)知道《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》中(zhong)的(de)蓋(gai)天宇(yu)宙有如(ru)下特征∶
一、大地與天為相距80,000里的平(ping)行圓形平(ping)面。
二、大(da)地中央(yang)有高(gao)大(da)柱(zhu)形物(高(gao)60,000里(li)的(de)“璇璣”,其底面直徑(jing)為23,000里(li))。
三、該(gai)宇宙模型的(de)構造者在圓(yuan)形(xing)大(da)地上為自己的(de)居息之處確定(ding)了位置(zhi),并且這位置(zhi)不在中央而是偏南。
四(si)、大地中央的柱(zhu)形延伸(shen)至天處為北極。
五(wu)、日月星辰在天上環繞北極作平面圓周運動。
六、太陽在這種圓周(zhou)運(yun)動中有著多重(zhong)同心軌道,并且以半年為周(zhou)期作規律性的(de)軌道遷移(一年往返(fan)一遍)。
七、太陽的上述運(yun)行模式可以在相當(dang)程度上說明(ming)晝(zhou)夜成因和太陽周年視運(yun)動中的一(yi)些天象。
令人(ren)極為驚訝的(de)(de)是,筆者(zhe)(zhe)發現上述七項特征竟與古(gu)代印度的(de)(de)宇宙(zhou)模(mo)型全(quan)都吻合!這樣的(de)(de)現象恐非偶然,值得加(jia)以注意和研究。下面先報道筆者(zhe)(zhe)初(chu)步比較(jiao)的(de)(de)結果,更(geng)深(shen)入(ru)的(de)(de)研究或當俟諸異日。
關于古代(dai)印度(du)宇(yu)宙(zhou)模(mo)型的(de)記載,主要保存(cun)在一些《往世書(shu)》(Puranas)中(zhong)。《往世書(shu)》是印度(du)教的(de)圣典,同時又是古代(dai)史籍,帶(dai)有百科全書(shu)性質。它們(men)的(de)確(que)切成書(shu)年代(dai)難(nan)以(yi)判定,但其中(zhong)關于宇(yu)宙(zhou)模(mo)式的(de)一套概念,學者們(men)相(xiang)信可(ke)以(yi)追溯到吠(fei)陀時代(dai)----約(yue)公元前1000年之前,因(yin)而(er)是非常古老的(de)。《往世書(shu)》中(zhong)的(de)宇(yu)宙(zhou)模(mo)式可(ke)以(yi)概述如下:
大(da)地(di)(di)象平底的(de)圓盤,在大(da)地(di)(di)中央聳立著(zhu)(zhu)巍峨的(de)高山,名為迷盧(lu)(Meru,也(ye)即漢譯(yi)佛經中的(de)“須彌山”,或作Sumeru,譯(yi)成“蘇迷盧(lu)”)。迷盧(lu)山外圍(wei)繞著(zhu)(zhu)環形(xing)陸(lu)地(di)(di),此(ci)(ci)陸(lu)地(di)(di)又為環形(xing)大(da)海(hai)所圍(wei)繞,……如此(ci)(ci)遞相環繞向(xiang)外延展(zhan),共有七(qi)圈大(da)陸(lu)和七(qi)圈海(hai)洋。
印度在迷(mi)盧山的南方。
與(yu)大地(di)平行的(de)天(tian)上有著一系列天(tian)輪(lun),這些天(tian)輪(lun)的(de)共同軸心就是迷盧(lu)山(shan);迷盧(lu)山(shan)的(de)頂端就是北極星(xing)(xing)(Dhruva)所在之處,諸天(tian)輪(lun)攜帶著各種天(tian)體繞(rao)之旋轉;這些天(tian)體包括日、月、恒星(xing)(xing)、……以及五(wu)大行星(xing)(xing)----依次為水星(xing)(xing)、金星(xing)(xing)、火星(xing)(xing)、木星(xing)(xing)和土(tu)星(xing)(xing)。
利用迷盧(lu)山(shan)可以(yi)解釋黑(hei)夜與白晝的(de)交(jiao)替(ti)。攜帶(dai)太陽(yang)的(de)天(tian)輪上有(you)180條軌(gui)道,太陽(yang)每天(tian)遷移一軌(gui),半(ban)年后反(fan)向重(zhong)復,以(yi)此來描(miao)述日(ri)出(chu)方位角的(de)周年變化。……
又唐代(dai)釋(shi)道宣《釋(shi)迦(jia)方志》卷上也(ye)記述了古代(dai)印度的宇宙模型,細節上恰(qia)可與上述記載相互補充∶
……蘇迷盧山(shan),即經所謂須彌山(shan)也(ye),在大海中,據金輪表,半出(chu)海上(shang)八萬由旬,日月回薄于其腰也(ye)。外有金山(shan)七重圍(wei)之,中各海水,具八功德。
根據這些記載(zai),古代印度宇(yu)宙(zhou)模型(xing)與(yu)《周髀算經》蓋(gai)天(tian)宇(yu)宙(zhou)模型(xing)卻是有驚人的相似之處(chu),在細節(jie)上幾乎(hu)處(chu)處(chu)吻合∶
一、兩者(zhe)的天(tian)、地(di)都是圓形的平行平面;
二、“璇璣”和“迷盧山”同樣扮演了大地中央的“天柱”角(jiao)色;
三、周地和印度(du)都被置于(yu)各自宇宙(zhou)中大地的南(nan)半(ban)部分(fen);
四、“璇璣”和(he)“迷盧上”的正上方都是各種天體旋轉(zhuan)的樞軸----北極;
五、日月星(xing)辰(chen)在天上環繞北極作平面圓周運(yun)動。
六、如果說印度(du)迷盧山外的(de)“七山七海”在(zai)數字(zi)上使(shi)人聯想到《周髀算經(jing)》的(de)“七衡六間”的(de)話,那么印度(du)宇宙中太(tai)陽(yang)天輪的(de)180條軌道無論(lun)從(cong)性(xing)質(zhi)還是功能來說都與(yu)七衡六間完全(quan)一致(太(tai)陽(yang)在(zai)七衡之間的(de)往(wang)返也是每(mei)天連續移動的(de))。
七、特別值得指出,《周(zhou)髀(bi)算經》中天與地的距離(li)(li)是八(ba)萬里,而迷盧山也(ye)是高出海上“八(ba)萬由(you)旬”,其上即諸天輪所在,是其天地距離(li)(li)恰好同(tong)為八(ba)萬單位(wei),難道純屬偶然?
在人類文(wen)明發展史上,文(wen)化的多(duo)元自發生成是完全可(ke)能的,因(yin)此許多(duo)不同文(wen)明中相似之處,也可(ke)能是偶然巧(qiao)合。但是《周髀算經》的蓋天宇宙模型與古代印(yin)度宇宙模型之間的相似程度實在太高----從整個格局到許多(duo)細(xi)節都一(yi)一(yi)吻合,如果仍用“偶然巧(qiao)合”去解釋,無論如何總顯得過于(yu)勉(mian)強。
當然,如果我們(men)就此立刻進入關于“誰源(yuan)于誰”的考據之(zhi)中,那(nei)又將遠遠超出(chu)本文的范圍。
2寒暑五帶的知(zhi)識來自何處(chu)?
《周髀算經(jing)》中有相(xiang)當于現代人熟知(zhi)的關于地球上(shang)寒(han)暑(shu)五帶的知(zhi)識。這(zhe)是一個非常令(ling)人驚異的現象(xiang)----因(yin)為這(zhe)類(lei)知(zhi)識是以往(wang)兩千年間,中國(guo)傳統天文學(xue)說(shuo)中所沒有、而且不相(xiang)信的。
這些知識在《周髀算經》中主要見于卷(juan)下第(di)9節∶
極(ji)下不生萬物(wu),何以知之?……北極(ji)左(zuo)右(you),夏有不釋之冰。
中衡去(qu)周七(qi)萬(wan)五千五百(bai)里。中衡左右,冬有不(bu)死(si)(si)之(zhi)草,夏長(chang)之(zhi)類(lei)。此陽彰(zhang)陰微(wei),故萬(wan)物不(bu)死(si)(si),五谷一歲再熟。
凡(fan)北極之左右,物有朝(chao)生(sheng)暮獲,冬生(sheng)之類。
這里需要先作一些說明(ming)∶
上引第(di)二則中,所(suo)謂“中衡左右”即(ji)趙爽注文中所(suo)認為(wei)的(de)“內衡之(zhi)外(wai),外(wai)衡之(zhi)內”;這一(yi)區域正好(hao)對應于(yu)地(di)球(qiu)寒暑五(wu)帶中的(de)熱帶(南緯(wei)(wei)23°30′至(zhi)北緯(wei)(wei)23°30′之(zhi)間)----盡管《周(zhou)髀算經(jing)》中并無(wu)地(di)球(qiu)的(de)觀念。
上(shang)引第三則(ze)中(zhong),說北(bei)極左右“物有朝生暮獲”,這就必須聯(lian)系(xi)到(dao)《周髀算(suan)(suan)經》蓋(gai)天宇宙模型對(dui)于極晝、極夜(ye)現(xian)象(xiang)的演繹和描述(shu)能力。據前所(suo)述(shu),圓形(xing)大(da)地中(zhong)央的“璇(xuan)璣(ji)(ji)”之底(di)面(mian)直徑為(wei)(wei)23,000里,則(ze)半(ban)(ban)徑為(wei)(wei)11,500里,而(er)《周髀算(suan)(suan)經》所(suo)設(she)定(ding)的太陽光芒向其(qi)四周照(zhao)射(she)的極限(xian)距離是167,000里;于是,由本文(wen)圖1清楚(chu)可見,每年從春分至(zhi)秋(qiu)分期間(jian),在(zai)“璇(xuan)璣(ji)(ji)”范圍(wei)內將出現(xian)極晝----晝夜(ye)始終在(zai)陽光之下;而(er)從秋(qiu)分到(dao)春分期間(jian)則(ze)出現(xian)極夜(ye)----陽光在(zai)此期間(jian)的任何時刻都照(zhao)射(she)不到(dao)“璇(xuan)璣(ji)(ji)”范圍(wei)之內。這也就是趙爽注文(wen)中(zhong)所(suo)說的“北(bei)極之下,從春分至(zhi)秋(qiu)分為(wei)(wei)晝,從秋(qiu)分至(zhi)春分為(wei)(wei)夜(ye)”,因(yin)為(wei)(wei)是以半(ban)(ban)年為(wei)(wei)晝、半(ban)(ban)年為(wei)(wei)夜(ye)。
《周髀算經》中(zhong)上述關于寒(han)暑五(wu)帶的(de)知(zhi)識,其準(zhun)確性是沒有疑問的(de)。然而這些知(zhi)識卻(que)并(bing)不是以往兩千年間中(zhong)國(guo)傳統天文學中(zhong)的(de)組成(cheng)部分。對于這一現象(xiang),可以從幾(ji)方面來(lai)加以討論。
首先(xian),為《周髀(bi)算(suan)經(jing)》作(zuo)注(zhu)的(de)(de)趙(zhao)爽,竟(jing)然(ran)就表示不(bu)(bu)(bu)相信書(shu)中(zhong)的(de)(de)這(zhe)些知(zhi)識。例如對(dui)于(yu)北極附(fu)近“夏有不(bu)(bu)(bu)釋之(zhi)(zhi)冰(bing)”,趙(zhao)爽注(zhu)稱∶“冰(bing)凍不(bu)(bu)(bu)解,是以推(tui)之(zhi)(zhi),夏至之(zhi)(zhi)日外衡之(zhi)(zhi)下為冬(dong)矣,萬物當死----此(ci)日遠近為冬(dong)夏,非陰陽(yang)之(zhi)(zhi)氣,爽或疑焉。”又如對(dui)于(yu)“冬(dong)有不(bu)(bu)(bu)死之(zhi)(zhi)草”、“陽(yang)彰(zhang)陰微”、“五谷一歲再(zai)熟”的(de)(de)熱帶,趙(zhao)爽表示“此(ci)欲以內衡之(zhi)(zhi)外、外衡之(zhi)(zhi)內,常(chang)為夏也。然(ran)其修(xiu)廣,爽未(wei)之(zhi)(zhi)前聞”----他(ta)從(cong)未(wei)聽(ting)說(shuo)(shuo)過。我們從(cong)趙(zhao)爽為《周髀(bi)算(suan)經(jing)》全書(shu)所作(zuo)的(de)(de)注(zhu)釋來(lai)判斷,他(ta)毫(hao)無疑問是那(nei)個時代夠(gou)格的(de)(de)天文(wen)學家(jia)之(zhi)(zhi)一,為什么竟(jing)從(cong)未(wei)聽(ting)說(shuo)(shuo)過這(zhe)些寒暑五帶知(zhi)識?比較(jiao)合理的(de)(de)解釋似乎只能(neng)是∶這(zhe)些知(zhi)識不(bu)(bu)(bu)是中(zhong)國傳(chuan)統天文(wen)學體系中(zhong)的(de)(de)組成部(bu)分,所以對(dui)于(yu)當時大(da)部(bu)分中(zhong)國天文(wen)學家(jia)來(lai)說(shuo)(shuo),這(zhe)些知(zhi)識是新奇的(de)(de)、與舊有知(zhi)識背景格格不(bu)(bu)(bu)入(ru)的(de)(de),因而也是難以置信的(de)(de)。
其次,在(zai)古代中(zhong)(zhong)國(guo)居傳統地位的(de)天文(wen)學說(shuo)----渾天說(shuo)中(zhong)(zhong),由于沒(mei)有(you)正(zheng)(zheng)確的(de)地球(qiu)(qiu)概念,是不可(ke)能提出(chu)寒(han)暑(shu)五(wu)帶(dai)之類的(de)問題來的(de)。因此直(zhi)到(dao)明朝(chao)末(mo)年(nian),來華的(de)耶(ye)穌(su)會(hui)傳教(jiao)(jiao)士(shi)在(zai)他(ta)們的(de)中(zhong)(zhong)文(wen)著作中(zhong)(zhong)向中(zhong)(zhong)國(guo)讀者介(jie)紹寒(han)暑(shu)五(wu)帶(dai)知識時,仍(reng)被中(zhong)(zhong)國(guo)人(ren)目為(wei)未(wei)之前聞的(de)新奇學說(shuo)。正(zheng)(zheng)式(shi)這些耶(ye)穌(su)會(hui)傳教(jiao)(jiao)士(shi)的(de)中(zhong)(zhong)文(wen)著作才使中(zhong)(zhong)國(guo)學者接受(shou)了(le)地球(qiu)(qiu)寒(han)暑(shu)五(wu)帶(dai)之說(shuo)。而(er)當清朝(chao)初(chu)年(nian)“西(xi)學中(zhong)(zhong)源”說(shuo)甚(shen)囂塵(chen)上時,梅文(wen)鼎等人(ren)為(wei)寒(han)暑(shu)五(wu)帶(dai)之說(shuo)尋(xun)找中(zhong)(zhong)國(guo)源頭(tou),找到(dao)的(de)正(zheng)(zheng)是《周髀算(suan)經》----他(ta)們認(ren)為(wei)是《周髀算(suan)經》等中(zhong)(zhong)國(guo)學說(shuo)在(zai)上古時期傳入西(xi)方(fang),才教(jiao)(jiao)會(hui)了(le)希(xi)臘(la)人(ren)、羅馬人(ren)和阿拉伯人(ren)掌握天文(wen)學知識的(de)。
我們面臨一(yi)(yi)系列尖(jian)銳的(de)問題∶既然在渾天(tian)(tian)學說(shuo)中(zhong)(zhong)因沒(mei)有(you)(you)地(di)球概念而(er)不(bu)(bu)可能(neng)(neng)(neng)提出(chu)(chu)寒暑五帶(dai)(dai)的(de)問題,那(nei)么《周髀算(suan)(suan)經》中(zhong)(zhong)同樣沒(mei)有(you)(you)地(di)球概念,何(he)(he)(he)以卻能(neng)(neng)(neng)記載這些(xie)(xie)知識?如果說(shuo)《周髀算(suan)(suan)經》的(de)作者身處北溫帶(dai)(dai)之(zhi)中(zhong)(zhong),只是根據(ju)越向北越冷、越往南越熱,就(jiu)能(neng)(neng)(neng)推衍出(chu)(chu)北極“夏有(you)(you)不(bu)(bu)釋之(zhi)冰”、熱帶(dai)(dai)“五谷(gu)一(yi)(yi)歲再熟”之(zhi)類的(de)現象(xiang),那(nei)渾天(tian)(tian)家(jia)何(he)(he)(he)以偏就(jiu)不(bu)(bu)能(neng)(neng)(neng)?再說(shuo)趙爽為(wei)《周髀算(suan)(suan)經》作注,他總該是接受蓋天(tian)(tian)學說(shuo)之(zhi)人,何(he)(he)(he)以連他都對這些(xie)(xie)知識不(bu)(bu)能(neng)(neng)(neng)相信(xin)?這樣看來,有(you)(you)必要考慮這些(xie)(xie)知識來自異(yi)域的(de)可能(neng)(neng)(neng)性。
首先,《周髀算(suan)經》中(zhong)明確記載了勾股定理的公式:“若求邪至日(ri)(ri)者,以日(ri)(ri)下為勾,日(ri)(ri)高(gao)為股,勾股各自乘,并而開(kai)方除(chu)之,得邪至日(ri)(ri)。”(《周髀算(suan)經》上(shang)卷二)
而勾股(gu)定理的證明呢,就(jiu)在(zai)《周髀算經》上卷一(yi)——
昔者周公問于商高曰(yue):“竊聞乎(hu)大夫善(shan)數也(ye),請(qing)問昔者包犧立(li)周天歷度——夫天可(ke)不階而升,地不可(ke)得尺寸而度,請(qing)問數安從出?”
商高曰:“數(shu)(shu)之(zhi)法(fa)出于(yu)圓(yuan)方(fang),圓(yuan)出于(yu)方(fang),方(fang)出于(yu)矩(ju),矩(ju)出于(yu)九九八十一(yi)。故(gu)折(zhe)矩(ju),以(yi)為勾(gou)廣(guang)三,股修四,徑(jing)隅五。既方(fang)之(zhi),外半其一(yi)矩(ju),環而共盤,得成三四五。兩(liang)矩(ju)共長二十有五,是(shi)謂積(ji)矩(ju)。故(gu)禹之(zhi)所以(yi)治天下(xia)者,此數(shu)(shu)之(zhi)所生也。”
周(zhou)(zhou)公對古代伏(fu)羲(庖(pao)犧)構造周(zhou)(zhou)天歷度的(de)事跡感(gan)到不可(ke)思議(天不可(ke)階而(er)升,地(di)不可(ke)得(de)尺寸而(er)度),就請教商(shang)高(gao)數(shu)(shu)學(xue)知(zhi)識從何而(er)來(lai)。于是商(shang)高(gao)以(yi)勾股定理的(de)證明為例,解釋(shi)數(shu)(shu)學(xue)知(zhi)識的(de)由來(lai)。“數(shu)(shu)之(zhi)法出(chu)于圓(yuan)方(fang)(fang)(fang),圓(yuan)出(chu)于方(fang)(fang)(fang),方(fang)(fang)(fang)出(chu)于矩(ju)(ju),矩(ju)(ju)出(chu)于九(jiu)(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)(jiu)八(ba)(ba)十一。”解釋(shi)發展脈絡——數(shu)(shu)之(zhi)法出(chu)于圓(yuan)(圓(yuan)周(zhou)(zhou)率三)方(fang)(fang)(fang)(四方(fang)(fang)(fang)),圓(yuan)出(chu)于方(fang)(fang)(fang)(圓(yuan)形面(mian)積=外接正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形面(mian)積*圓(yuan)周(zhou)(zhou)率/4),方(fang)(fang)(fang)出(chu)于矩(ju)(ju)(正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形源自(zi)兩(liang)邊相等的(de)矩(ju)(ju)),矩(ju)(ju)出(chu)于九(jiu)(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)(jiu)八(ba)(ba)十一(長乘寬面(mian)積計(ji)算依(yi)自(zi)九(jiu)(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)(jiu)乘法表(biao))。
“故折矩(ju)①,以為(wei)勾廣(guang)三(san)(san),股(gu)(gu)修四,徑隅五(wu)。”開(kai)始(shi)做圖——選擇一(yi)個勾三(san)(san)(圓周率三(san)(san))、股(gu)(gu)四(四方)的矩(ju),矩(ju)的兩條邊終點(dian)的連線應為(wei)5(徑隅五(wu))。
“②既方(fang)之,外半其(qi)(qi)一矩,環(huan)而共盤,得成三(san)四五。”這就是關鍵的證明(ming)過程——以矩的兩條邊(bian)畫(hua)正(zheng)方(fang)形(xing)(勾方(fang)、股方(fang)),根據矩的弦外面(mian)再畫(hua)一個(ge)矩(曲尺,實際上用作直角三(san)角形(xing)),將(jiang)“外半其(qi)(qi)一矩”得到的三(san)角形(xing)剪(jian)下(xia)環(huan)繞復制(zhi)形(xing)成一個(ge)大正(zheng)方(fang)形(xing),可(ke)看到其(qi)(qi)中有邊(bian)長三(san)勾方(fang)、邊(bian)長四股方(fang)、邊(bian)長五弦方(fang)三(san)個(ge)正(zheng)方(fang)形(xing)。
“兩矩(ju)共長(chang)③二十(shi)有五(wu),是(shi)謂積(ji)(ji)(ji)矩(ju)。”此為(wei)驗算——勾方(fang)(fang)(fang)(fang)、股方(fang)(fang)(fang)(fang)的面(mian)積(ji)(ji)(ji)之(zhi)和,與弦方(fang)(fang)(fang)(fang)的面(mian)積(ji)(ji)(ji)二十(shi)五(wu)相等——從(cong)圖形(xing)上(shang)來看,大正(zheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)減(jian)去四個三(san)角形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji)后(hou)為(wei)弦方(fang)(fang)(fang)(fang),再是(shi)大正(zheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)減(jian)去右上(shang)、左(zuo)下(xia)兩個長(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji)后(hou)為(wei)勾方(fang)(fang)(fang)(fang)股方(fang)(fang)(fang)(fang)之(zhi)和。因(yin)三(san)角形(xing)為(wei)長(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji)的一半,可推出四個三(san)角形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji)等于(yu)右上(shang)、左(zuo)下(xia)兩個長(chang)方(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)面(mian)積(ji)(ji)(ji),所以(yi)勾方(fang)(fang)(fang)(fang)+股方(fang)(fang)(fang)(fang)=弦方(fang)(fang)(fang)(fang)。
注意:①矩(ju),又稱(cheng)曲(qu)尺,L型(xing)的(de)(de)木匠(jiang)工具,由長短兩根(gen)木條組成(cheng)的(de)(de)直(zhi)角。古(gu)代(dai)“矩(ju)”指(zhi)L型(xing)曲(qu)尺,“矩(ju)形(xing)”才是“矩(ju)”衍生的(de)(de)長方形(xing)。
②“既方之(zhi),外(wai)半(ban)(ban)其(qi)一(yi)矩(ju)”此句(ju)有爭(zheng)議。清代(dai)四庫(ku)全書(shu)版定為“既方其(qi)外(wai)半(ban)(ban)之(zhi)一(yi)矩(ju)”,而之(zhi)前(qian)版本多為“既方之(zhi)外(wai)半(ban)(ban)其(qi)一(yi)矩(ju)”。經(jing)陳(chen)良佐、李國偉(wei)、李繼閔(min)、曲安(an)京等學者研(yan)究,“既方之(zhi),外(wai)半(ban)(ban)其(qi)一(yi)矩(ju)”更符(fu)合(he)邏輯。
③長指(zhi)的(de)是面積。古代對不同維(wei)度(du)的(de)量綱(gang)比較,并沒有(you)發明(ming)新的(de)術語,而統稱(cheng)“長”。趙(zhao)爽注稱(cheng):“兩矩(ju)者,句股各自乘之(zhi)實。共長者,并實之(zhi)數。
由于年代久(jiu)遠,周公弦(xian)圖失傳,傳世(shi)版本只(zhi)印了(le)趙(zhao)爽(shuang)弦(xian)圖(造紙術在漢(han)代才(cai)發明(ming))。所(suo)以某些學者誤以為商高沒有證明(ming)(只(zhi)是說了(le)一(yi)段莫名其妙(miao)的話(hua)),后來趙(zhao)爽(shuang)才(cai)給出證明(ming)。其實(shi)不然,摘錄趙(zhao)爽(shuang)注(zhu)釋《周髀算經》時所(suo)做的《勾股圓(yuan)方(fang)(fang)圖》——“句(ju)股各自乘(cheng),并之(zhi)為弦(xian)實(shi),開方(fang)(fang)除(chu)之(zhi)即弦(xian)。案(an):弦(xian)圖又可以句(ju)股相乘(cheng)為朱實(shi)二,倍之(zhi)為朱實(shi)四,以句(ju)股之(zhi)差自相乘(cheng)為中(zhong)黃實(shi),加差實(shi)亦成弦(xian)實(shi)。