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基本介紹

《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)算經》原名(ming)《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)》，算經的十(shi)書之一，是中國最古老的天文學(xue)(xue)和數(shu)學(xue)(xue)著作，約(yue)成書于(yu)公元前1世紀，主(zhu)要闡明當時的蓋天說(shuo)和四分歷(li)法。唐初規定它為國子監(jian)明算科的教(jiao)材之一，故改名(ming)《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)算經》。

《周(zhou)髀算經》在(zai)數學上(shang)(shang)的(de)主要成(cheng)就是(shi)介紹(shao)了勾股(gu)定理（據說(shuo)原書(shu)沒有對(dui)勾股(gu)定理進(jin)行(xing)證(zheng)明(ming)，其(qi)證(zheng)明(ming)是(shi)三國時(shi)東吳人趙爽在(zai)《周(zhou)髀注(zhu)》一書(shu)的(de)《勾股(gu)圓(yuan)方圖注(zhu)》中給出的(de)）及其(qi)在(zai)測量(liang)上(shang)(shang)的(de)應用(yong)以及怎樣引用(yong)到(dao)天文計算。）

《周髀(bi)算經》的采用最簡便可(ke)行(xing)(xing)的方(fang)法(fa)確定天文歷(li)法(fa)，揭(jie)示(shi)日月星(xing)辰的運行(xing)(xing)規律，囊括四季(ji)更替，氣(qi)候變(bian)化，包涵南北有(you)極(ji)，晝夜相推的道理(li)。給后來者生(sheng)活作息提供(gong)有(you)力的保(bao)障，自此(ci)以后歷(li)代數學(xue)家(jia)無不以《周髀(bi)算經》為參考，在此(ci)基礎上不斷創新和發展(zhan)。

其他信息

年代

假(jia)設我們把《周(zhou)(zhou)髀算經》的(de)(de)本文限定為(wei)商(shang)高與周(zhou)(zhou)公的(de)(de)問(wen)答，似乎(hu)(hu)其成書年(nian)代(dai)也(ye)就不難(nan)斷定了(le)。可(ke)是(shi)，乾嘉以(yi)(yi)后(hou)，考據(ju)之(zhi)學(xue)興起(qi)，疑(yi)古之(zhi)風日盛，到了(le)現代(dai)，幾乎(hu)(hu)所有的(de)(de)中外學(xue)者都不得不接受(shou)這樣的(de)(de)推斷：不僅商(shang)高是(shi)后(hou)人假(jia)托(tuo)的(de)(de)，甚至陳子(zi)也(ye)是(shi)后(hou)人虛構出來(lai)的(de)(de)。于是(shi)，僅僅把商(shang)高問(wen)答看作(zuo)《周(zhou)(zhou)髀算經》本文就不再(zai)有任何意義了(le)。因此，許多(duo)學(xue)者都將陳子(zi)問(wen)答以(yi)(yi)后(hou)的(de)(de)文字作(zuo)為(wei)《周(zhou)(zhou)髀算經》全(quan)文的(de)(de)一個部分(fen)，不再(zai)加以(yi)(yi)區分(fen)。此一來(lai)，人們開始(shi)根(gen)據(ju)《周(zhou)(zhou)髀算經》中的(de)(de)內容(rong)推斷它(ta)的(de)(de)成書年(nian)代(dai)。

通常的(de)方法可以分成(cheng)兩類：天(tian)文(wen)學(xue)史專家，喜(xi)歡利用現代天(tian)文(wen)學(xue)手段(duan)，根據(ju)《周髀(bi)算經》中記錄的(de)一些特殊的(de)天(tian)文(wen)現象或數據(ju)，推算其(qi)應該出現的(de)年(nian)代，并以此來確定(ding)其(qi)成(cheng)書(shu)時代。例(li)如，日本學(xue)者能田忠亮(liang)便(bian)以《周髀(bi)算經》中的(de)北極(ji)星（北極(ji)璇璣）到北天(tian)極(ji)的(de)距離．歸(gui)算出其(qi)成(cheng)書(shu)年(nian)代大約在(zai)公元前(qian)5到7世紀之間(jian)。

另一種方法則(ze)是根據《周髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》涉及的(de)(de)一些內容(rong)，與相對(dui)而言年(nian)(nian)代(dai)比(bi)較(jiao)明確的(de)(de)其他歷史典籍(ji)的(de)(de)比(bi)較(jiao)，推斷其成書年(nian)(nian)代(dai)。錢寶(bao)琮（1892年(nian)(nian)－1974年(nian)(nian)）在《周髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)考》中對(dui)《周髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》的(de)(de)年(nian)(nian)代(dai)做出(chu)如下(xia)的(de)(de)考證：第(di)一，《周髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》主(zhu)要分為(wei)兩個部分，前為(wei)商(shang)高問答，后為(wei)陳(chen)子模(mo)型；第(di)二，由于懷疑商(shang)高是后人的(de)(de)偽托，因此(ci)，認為(wei)陳(chen)子以下(xia)的(de)(de)文(wen)字(zi)才是《周髀(bi)(bi)算(suan)(suan)經(jing)》的(de)(de)主(zhu)體，通過與《淮南子·天文(wen)訓》的(de)(de)比(bi)較(jiao)，從六(liu)個方面論述了陳(chen)子以下(xia)的(de)(de)文(wen)字(zi)成書在

公(gong)元(yuan)前(qian)100年(nian)左(zuo)右；第三，“周(zhou)髀(bi)”的(de)意(yi)思以陳(chen)子之(zhi)說為準，同時也(ye)提(ti)到其他(ta)一些解釋；第四，比較24氣名目及(ji)次序與《三統歷》之(zhi)異(yi)同，提(ti)到趙(zhao)爽注稱原節氣長度15日與《淮南(nan)子》的(de)粗略(lve)記(ji)法類似；第五，分數(shu)算法的(de)繁(fan)復(fu)與《九章算術》類似。他(ta)的(de)結(jie)論是(shi)，《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》成(cheng)書在公(gong)元(yuan)前(qian)100年(nian)左(zuo)右。在疑古思潮(chao)的(de)影響下，還有一種傾向也(ye)值得人們的(de)注意(yi)，那就是(shi)以《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》全書中所(suo)有內(nei)容的(de)下限來(lai)判定(ding)它的(de)成(cheng)書年(nian)代，古克禮（C．Cullen）大(da)約可以算是(shi)這個方(fang)面的(de)一個代表。

古克禮(li)認(ren)(ren)為(wei)以前的學者(zhe)大多(duo)錯(cuo)誤地企圖去發現《周(zhou)髀算(suan)(suan)經》作為(wei)一個整(zheng)體完成(cheng)的年代，因(yin)此，它們的結(jie)論(lun)是在一種假象的幻(huan)覺中獲得的。他認(ren)(ren)為(wei)，這部書是一些志(zhi)同道合的研究者(zhe)分(fen)(fen)別撰述的論(lun)文(wen)集(ji)。他的做(zuo)法是，首(shou)先，調查《周(zhou)髀算(suan)(suan)經》的內(nei)在結(jie)構，并(bing)將(jiang)其(qi)劃分(fen)(fen)為(wei)不同的章節(jie)，討(tao)論(lun)節(jie)與(yu)(yu)(yu)節(jie)之間(jian)的關(guan)系；其(qi)次，討(tao)論(lun)與(yu)(yu)(yu)各(ge)節(jie)內(nei)容(rong)(rong)有關(guan)的外(wai)部世界的資料與(yu)(yu)(yu)活動；第三，探討(tao)可能產生與(yu)(yu)(yu)各(ge)節(jie)內(nei)容(rong)(rong)相關(guan)的歷史環境。他將(jiang)《周(zhou)髀算(suan)(suan)經》的整(zheng)體編排打(da)亂(luan)，把它們劃分(fen)(fen)為(wei)外(wai)篇(pian)與(yu)(yu)(yu)內(nei)篇(pian)兩個部分(fen)(fen)。其(qi)中內(nei)篇(pian)以陳子模型為(wei)主展開，取其(qi)下限在公元1世紀。

在有(you)關外(wai)部(bu)環境的(de)(de)討論中(zhong)(zhong)，指出(chu)作為皇家的(de)(de)藏書(shu)目錄(lu)，班(ban)固（32－92年(nian)(nian)）編寫的(de)(de)《漢書(shu)·藝文志》中(zhong)(zhong)有(you)《許(xu)商算術》與《杜忠算術》而(er)無《周髀(bi)算經》；蓋天說在公(gong)元(yuan)l世紀已經為人(ren)所熟知(zhi)(zhi)，蔡邕在公(gong)元(yuan)180年(nian)(nian)已經明確將其(qi)列為中(zhong)(zhong)圈古(gu)(gu)代(dai)(dai)的(de)(de)三(san)家宇(yu)宙論之一。結(jie)論是，由于(yu)(yu)受到了渾天說的(de)(de)影響，《周髀(bi)算經》的(de)(de)成(cheng)書(shu)時間不(bu)可能早(zao)于(yu)(yu)公(gong)元(yuan)前(qian)l世紀，但也不(bu)會(hui)晚于(yu)(yu)公(gong)元(yuan)200年(nian)(nian)。筆者以為，判(pan)別中(zhong)(zhong)國古(gu)(gu)代(dai)(dai)科學(xue)典(dian)籍的(de)(de)完成(cheng)年(nian)(nian)代(dai)(dai)，應該(gai)以書(shu)中(zhong)(zhong)主(zhu)要(yao)的(de)(de)科學(xue)思想(xiang)或知(zhi)(zhi)識(shi)水平所反映的(de)(de)年(nian)(nian)代(dai)(dai)為判(pan)別標準，而(er)不(bu)應以書(shu)中(zhong)(zhong)夾雜的(de)(de)若干后(hou)代(dai)(dai)摻入的(de)(de)只言片語作為推斷的(de)(de)條件。由于(yu)(yu)早(zao)期(qi)的(de)(de)科學(xue)典(dian)籍通常都是人(ren)類(lei)知(zhi)(zhi)識(shi)逐漸(jian)積累(lei)的(de)(de)結(jie)晶，因此，搞(gao)清楚其(qi)中(zhong)(zhong)科學(xue)思想(xiang)的(de)(de)萌生時期(qi)與流傳(chuan)脈(mo)絡，也許(xu)比單純判(pan)定(ding)它的(de)(de)成(cheng)書(shu)年(nian)(nian)代(dai)(dai)更(geng)有(you)意義。

科學史已(yi)經(jing)(jing)反(fan)復(fu)地證明，今天看(kan)來是(shi)(shi)(shi)非常顯然的(de)(de)科學真理，在(zai)(zai)人類(lei)認識(shi)它(ta)的(de)(de)初期往往經(jing)(jing)歷了長期的(de)(de)懷疑，甚至抵制。例(li)如，歲差(cha)現象在(zai)(zai)南(nan)北朝時期的(de)(de)存廢之(zhi)爭，就是(shi)(shi)(shi)一個(ge)典型的(de)(de)事例(li)。因此，試圖通過以《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)》中的(de)(de)內(nei)容(rong)的(de)(de)完(wan)整或正確性介于某(mou)兩(liang)個(ge)古代(dai)文(wen)獻之(zhi)間，就認定(ding)其(qi)成書(shu)年(nian)代(dai)也必定(ding)介于兩(liang)者(zhe)之(zhi)間的(de)(de)方(fang)法(fa)，是(shi)(shi)(shi)靠不(bu)住的(de)(de)。而利用一些重要數據的(de)(de)理論(lun)推算來判定(ding)其(qi)成書(shu)年(nian)代(dai)的(de)(de)方(fang)法(fa)，許多時候也是(shi)(shi)(shi)不(bu)太可行的(de)(de)。有關《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)》成書(shu)年(nian)代(dai)的(de)(de)討論(lun)，馮禮貴(gui)曾經(jing)(jing)收集了14種不(bu)同的(de)(de)觀點(dian)。盡管在(zai)(zai)《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)》成書(shu)年(nian)代(dai)的(de)(de)判斷上有很(hen)大的(de)(de)區別(bie)，但幾乎所(suo)有的(de)(de)研究(jiu)者(zhe)都有一個(ge)共(gong)識(shi)，那就是(shi)(shi)(shi)《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)》并(bing)不(bu)是(shi)(shi)(shi)成書(shu)于一人一時，它(ta)經(jing)(jing)過了許多朝代(dai)的(de)(de)流傳進化(hua)才得以完(wan)成我們(men)所(suo)看(kan)到的(de)(de)篇幅(fu)與結(jie)構。

章(zhang)鴻釗曾經(jing)(jing)(jing)(jing)明確地將(jiang)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)成劃分為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)三個(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)：第(di)一(yi)期(qi)(qi)(qi)，商(shang)(shang)高(gao)(gao)問(wen)(wen)答；第(di)二期(qi)(qi)(qi)，陳子(zi)問(wen)(wen)答；第(di)三期(qi)(qi)(qi)，陳子(zi)以(yi)后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)文(wen)字。這(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分，是(shi)(shi)許(xu)多(duo)人(ren)都默(mo)認(ren)(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)個(ge)(ge)事(shi)實。正如陳方正在(zai)(zai)總結前人(ren)對(dui)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》成書過程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)討論(lun)時所說(shuo)：《周(zhou)髀(bi)》不但不是(shi)(shi)個(ge)(ge)人(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作，甚至也(ye)未必是(shi)(shi)單一(yi)性質的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作，而可(ke)能是(shi)(shi)由多(duo)個(ge)(ge)在(zai)(zai)不同(tong)歷(li)史時期(qi)(qi)(qi)出現，相(xiang)關、相(xiang)類但并不相(xiang)同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)說(shuo)、理論(lun)，逐(zhu)漸累積而成。因此，將(jiang)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》單純(chun)(chun)視(shi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)表述蓋(gai)天(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自洽(qia)體系，而忽(hu)視(shi)它(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)層積性質，是(shi)(shi)不甚恰(qia)當的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。筆(bi)者也(ye)贊同(tong)將(jiang)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)成劃分為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)三個(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)。具體而言，上(shang)卷之(zhi)一(yi)，商(shang)(shang)高(gao)(gao)與(yu)周(zhou)公的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)答，應(ying)該(gai)(gai)是(shi)(shi)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原始(shi)文(wen)字，它(ta)反映了早期(qi)(qi)(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)以(yi)商(shang)(shang)高(gao)(gao)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)代表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中國(guo)古代數(shu)(shu)學(xue)家對(dui)數(shu)(shu)學(xue)以(yi)及數(shu)(shu)學(xue)之(zhi)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)認(ren)(ren)識。商(shang)(shang)高(gao)(gao)答周(zhou)公問(wen)(wen)企(qi)圖(tu)說(shuo)明的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)(shi)解決幾何測量(liang)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)方法(fa)，這(zhe)一(yi)點(dian)他做(zuo)到了。這(zhe)個(ge)(ge)方法(fa)包(bao)含勾股(gu)定理與(yu)用(yong)矩之(zhi)道。按照商(shang)(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)說(shuo)法(fa)，這(zhe)些數(shu)(shu)學(xue)內(nei)容(rong)在(zai)(zai)大(da)禹治水的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時候已經(jing)(jing)(jing)(jing)具備(bei)，應(ying)該(gai)(gai)是(shi)(shi)可(ke)信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。第(di)二個(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)，陳子(zi)模型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提(ti)出，其內(nei)容(rong)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)上(shang)卷之(zhi)二陳子(zi)與(yu)容(rong)方的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)答，這(zhe)個(ge)(ge)部分大(da)約在(zai)(zai)戰國(guo)時期(qi)(qi)(qi)已經(jing)(jing)(jing)(jing)形(xing)(xing)成。這(zhe)個(ge)(ge)時期(qi)(qi)(qi)，陳子(zi)將(jiang)商(shang)(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用(yong)矩之(zhi)道進一(yi)步發展(zhan)成為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)測望日高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)重差術。也(ye)是(shi)(shi)可(ke)以(yi)相(xiang)信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。陳子(zi)問(wen)(wen)答中試圖(tu)解決的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)題是(shi)(shi)，利用(yong)影差原理與(yu)日高(gao)(gao)術，在(zai)(zai)商(shang)(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用(yong)矩之(zhi)道的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎上(shang)，進一(yi)步完(wan)善更加(jia)宏(hong)大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)測天(tian)量(liang)地的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理論(lun)與(yu)實踐。陳子(zi)模型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提(ti)出，事(shi)實上(shang)是(shi)(shi)在(zai)(zai)向著(zhu)這(zhe)樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標邁出了關鍵的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)步：把(ba)商(shang)(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)髀(bi)》轉(zhuan)化為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)蓋(gai)天(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周(zhou)髀(bi)》，把(ba)一(yi)部比較單純(chun)(chun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)著(zhu)作轉(zhuan)化為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)一(yi)部純(chun)(chun)粹的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)理天(tian)文(wen)學(xue)論(lun)著(zhu)。

從上(shang)卷之(zhi)三開始(shi)，是對蓋(gai)(gai)(gai)天(tian)(tian)說理(li)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)擴張與完(wan)(wan)善。首先(xian)是在陳(chen)子模(mo)(mo)型(xing)(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基本假設下，建立(li)七衡(heng)六間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)宇(yu)宙模(mo)(mo)型(xing)(xing)(xing)，并(bing)以術文的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形式給出(chu)(chu)每日(ri)(ri)太陽運行(xing)軌(gui)道的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)計算方法，使(shi)七衡(heng)圖成(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)一個可以操作的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)真正的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)活動式星盤。在此基礎(chu)上(shang)，進一步引入(ru)新的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)地形狀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)(mo)式，給出(chu)(chu)了(le)(le)地理(li)五帶的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分、寒暑成(cheng)(cheng)(cheng)因(yin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)解釋、日(ri)(ri)出(chu)(chu)日(ri)(ri)落的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)方位，并(bing)建立(li)了(le)(le)蓋(gai)(gai)(gai)天(tian)(tian)說的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)(tian)體測量學(xue)，引入(ru)了(le)(le)去(qu)極度的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概念，制作了(le)(le)比(bi)較完(wan)(wan)整的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《四分歷(li)》等等。這(zhe)(zhe)些雖然(ran)大大地豐(feng)富(fu)了(le)(le)陳(chen)子模(mo)(mo)型(xing)(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論(lun)(lun)內(nei)涵，但(dan)同時也制造(zao)了(le)(le)蓋(gai)(gai)(gai)天(tian)(tian)說系統(tong)內(nei)部(bu)(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一些無法完(wan)(wan)全自洽的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)矛盾，成(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)后世學(xue)者不斷批評的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標。這(zhe)(zhe)個部(bu)(bu)分的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)(cheng)(cheng)，意味(wei)著《周髀(bi)算經》作為(wei)一部(bu)(bu)論(lun)(lun)述蓋(gai)(gai)(gai)天(tian)(tian)說理(li)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)專(zhuan)著的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)完(wan)(wan)成(cheng)(cheng)(cheng)。從《周髀(bi)算經》上(shang)卷之(zhi)三開始(shi)，出(chu)(chu)現(xian)了(le)(le)大量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“術曰”，這(zhe)(zhe)一點與商高(gao)問答及(ji)陳(chen)子問答的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)行(xing)文風格形成(cheng)(cheng)(cheng)明顯的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)反差(cha)，從一個側(ce)面反映(ying)出(chu)(chu)其形成(cheng)(cheng)(cheng)時期應該是比(bi)前兩個部(bu)(bu)分更加(jia)晚近的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)事實(shi)。

綜上(shang)所述，《周髀算(suan)經(jing)(jing)》的(de)第一部分商高問答，曾經(jing)(jing)作為《周髀算(suan)經(jing)(jing)》獨立的(de)本文，其完(wan)(wan)成(cheng)時間應(ying)該(gai)是(shi)在(zai)(zai)西周初期，約公(gong)元前11世(shi)紀(ji)。陳(chen)子問答中的(de)數(shu)學理(li)論與(yu)宇(yu)宙(zhou)模(mo)型(xing)(xing)完(wan)(wan)成(cheng)的(de)時間，大約在(zai)(zai)公(gong)元前4、5世(shi)紀(ji)。作為一部闡釋蓋天(tian)說理(li)論的(de)數(shu)理(li)天(tian)文學著作，《周髀算(suan)經(jing)(jing)》從上(shang)卷之(zhi)三開始，是(shi)對(dui)陳(chen)子模(mo)型(xing)(xing)的(de)完(wan)(wan)善和擴(kuo)充，其中的(de)一些基本數(shu)據與(yu)結構，如七衡圖與(yu)去極度等(deng)，應(ying)該(gai)是(shi)在(zai)(zai)陳(chen)子模(mo)型(xing)(xing)提出(chu)后就已經(jing)(jing)確定(ding)了的(de)，但是(shi)，陳(chen)子假設(she)的(de)平(ping)行平(ping)面的(de)天(tian)地(di)模(mo)型(xing)(xing)，則得到了一定(ding)的(de)修正，并且(qie)加入了一些新的(de)東西，如寒暑成(cheng)因與(yu)歷法等(deng)內容(rong)，總而言之(zhi)，《周髀算(suan)經(jing)(jing)》第三部分的(de)成(cheng)型(xing)(xing)，按照錢寶琮與(yu)劉朝陽的(de)考證，應(ying)該(gai)不會晚于公(gong)元前100年。

質疑

根(gen)據《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》原文(wen)中的明確交待，以(yi)及在文(wen)獻中對幾個關鍵問題的詳細論(lun)證，我們已經(jing)知道《周(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》中的蓋天宇宙有如下特征(zheng)∶

一(yi)、大地與(yu)天為相距80,000里的平行圓形(xing)平面(mian)。

二、大(da)地中央有(you)高大(da)柱形(xing)物(wu)（高60,000里的(de)“璇璣”，其底面直徑為(wei)23,000里）。

三、該宇宙模型(xing)的(de)構(gou)造者在(zai)(zai)圓形(xing)大地(di)上為自己的(de)居息之處確定了位置(zhi)，并且這位置(zhi)不在(zai)(zai)中央而是(shi)偏南(nan)。

四、大地中央的柱(zhu)形延伸(shen)至天處(chu)為北極。

五、日月星辰在(zai)天上環繞北極(ji)作平面(mian)圓周運動(dong)。

六、太陽(yang)在這種圓周運動中(zhong)有著多重同(tong)心軌道(dao)，并且以(yi)半年為周期(qi)作規律性(xing)的軌道(dao)遷移(一(yi)年往返一(yi)遍)。

七、太陽的(de)上述(shu)運行模式可以在相當程度上說明晝夜成因和(he)太陽周年視運動中的(de)一(yi)些天象。

令人極為(wei)驚訝(ya)的(de)是(shi)，筆者發(fa)現上(shang)述七項特征竟(jing)與古代(dai)印度的(de)宇宙模型(xing)全(quan)都吻合(he)！這(zhe)樣(yang)的(de)現象恐非偶然(ran)，值得(de)加以注意(yi)和(he)研(yan)究。下面先報道筆者初步比較(jiao)的(de)結(jie)果，更深入(ru)的(de)研(yan)究或當俟諸(zhu)異日(ri)。

關于古(gu)代(dai)(dai)印度宇(yu)宙(zhou)模(mo)型的(de)記載，主要保(bao)存(cun)在一些(xie)《往世書(shu)》（Puranas）中(zhong)。《往世書(shu)》是印度教(jiao)的(de)圣典，同時又是古(gu)代(dai)(dai)史籍，帶(dai)有百科全書(shu)性質。它們(men)的(de)確切成(cheng)書(shu)年代(dai)(dai)難以判定，但其中(zhong)關于宇(yu)宙(zhou)模(mo)式(shi)的(de)一套概念，學者們(men)相信可(ke)以追溯(su)到吠(fei)陀時代(dai)(dai)----約(yue)公元前1000年之前，因而是非常古(gu)老的(de)。《往世書(shu)》中(zhong)的(de)宇(yu)宙(zhou)模(mo)式(shi)可(ke)以概述如下:

大(da)(da)地象平底的(de)圓盤，在大(da)(da)地中(zhong)央聳(song)立著巍(wei)峨的(de)高(gao)山，名為迷盧(Meru，也即漢譯(yi)佛經中(zhong)的(de)“須(xu)彌山”，或(huo)作Sumeru，譯(yi)成“蘇迷盧”)。迷盧山外圍(wei)繞著環形陸(lu)地，此(ci)陸(lu)地又(you)為環形大(da)(da)海(hai)所(suo)圍(wei)繞，……如此(ci)遞相(xiang)環繞向外延展，共有七圈大(da)(da)陸(lu)和七圈海(hai)洋。

印度(du)在(zai)迷盧山的南方。

與大地平行(xing)的天(tian)(tian)上有著(zhu)一系列天(tian)(tian)輪，這些天(tian)(tian)輪的共(gong)同軸心(xin)就(jiu)是迷盧(lu)山；迷盧(lu)山的頂端就(jiu)是北極星(xing)(Dhruva)所在之處，諸(zhu)天(tian)(tian)輪攜帶著(zhu)各種天(tian)(tian)體(ti)繞之旋(xuan)轉；這些天(tian)(tian)體(ti)包(bao)括(kuo)日、月、恒(heng)星(xing)、……以及五大行(xing)星(xing)----依次為(wei)水星(xing)、金星(xing)、火星(xing)、木星(xing)和土星(xing)。

利用迷盧山可以(yi)解釋黑夜與白晝的交替。攜帶太陽的天(tian)輪上有180條軌道(dao)，太陽每天(tian)遷(qian)移一軌，半年(nian)(nian)后反(fan)向(xiang)重復，以(yi)此(ci)來描述(shu)日(ri)出方(fang)位角的周(zhou)年(nian)(nian)變化。……

又唐代(dai)釋道宣(xuan)《釋迦方志》卷上(shang)也記述了古代(dai)印度的宇宙模型(xing)，細(xi)節(jie)上(shang)恰可與上(shang)述記載相互補充(chong)∶

……蘇迷盧山，即經所(suo)謂須彌山也，在大海(hai)中，據(ju)金輪表，半出海(hai)上八萬由旬，日(ri)月回薄于其腰也。外有金山七(qi)重圍之，中各(ge)海(hai)水(shui)，具八功德。

根據這些記載，古代印度宇(yu)宙模(mo)型與《周髀算(suan)經》蓋天宇(yu)宙模(mo)型卻(que)是有(you)驚人的(de)相似之處(chu)(chu)，在(zai)細節上幾乎處(chu)(chu)處(chu)(chu)吻(wen)合∶

一、兩者(zhe)的天、地都(dou)是圓形(xing)的平(ping)行(xing)平(ping)面；

二、“璇璣”和“迷盧山”同樣扮演(yan)了大地中央(yang)的“天柱(zhu)”角色；

三、周地和印度(du)都(dou)被置于各自宇(yu)宙中大地的南(nan)半(ban)部分；

四、“璇(xuan)璣”和“迷(mi)盧上”的正上方都是(shi)各種(zhong)天體(ti)旋轉(zhuan)的樞軸----北極；

五、日月星辰在(zai)天(tian)上環繞北(bei)極(ji)作平面圓周運動。

六、如果說印(yin)(yin)度迷盧山(shan)外(wai)的(de)(de)“七(qi)山(shan)七(qi)海”在(zai)(zai)數字上使人聯想到《周髀算經》的(de)(de)“七(qi)衡六間(jian)(jian)”的(de)(de)話，那么印(yin)(yin)度宇宙中太(tai)陽天輪(lun)的(de)(de)180條軌(gui)道無論從性(xing)質還是功能來說都與七(qi)衡六間(jian)(jian)完全一致(zhi)(太(tai)陽在(zai)(zai)七(qi)衡之(zhi)間(jian)(jian)的(de)(de)往返也是每天連續移動的(de)(de))。

七、特別值(zhi)得指出(chu)，《周髀(bi)算經》中天與地(di)的距離(li)是(shi)八(ba)萬里，而迷(mi)盧山也(ye)是(shi)高出(chu)海上“八(ba)萬由旬(xun)”，其上即諸(zhu)天輪所在，是(shi)其天地(di)距離(li)恰好(hao)同(tong)為(wei)八(ba)萬單位，難道純屬偶(ou)然?

在人類文(wen)明發(fa)展史上，文(wen)化的(de)(de)多(duo)元(yuan)自發(fa)生(sheng)成是(shi)完(wan)全可能(neng)(neng)的(de)(de)，因此許多(duo)不同文(wen)明中相似之處，也可能(neng)(neng)是(shi)偶然巧合(he)。但(dan)是(shi)《周髀(bi)算經》的(de)(de)蓋天(tian)宇宙模型與古代印度宇宙模型之間的(de)(de)相似程度實(shi)在太高----從整個格局到許多(duo)細節都一(yi)一(yi)吻合(he)，如(ru)果仍用“偶然巧合(he)”去解釋，無論如(ru)何總(zong)顯得過于勉強(qiang)。

當然，如(ru)果我們就此立刻(ke)進(jin)入關于“誰源于誰”的考(kao)據之中，那又將遠遠超出(chu)本文(wen)的范(fan)圍。

2寒暑五帶的知(zhi)識來(lai)自何處?

《周髀算經》中(zhong)有相當于現代(dai)人(ren)熟(shu)知的(de)關(guan)于地球上(shang)寒暑五帶(dai)的(de)知識。這是(shi)一個非常(chang)令人(ren)驚異(yi)的(de)現象----因為這類(lei)知識是(shi)以往(wang)兩千(qian)年間，中(zhong)國傳統天(tian)文(wen)學(xue)說中(zhong)所沒有、而且(qie)不(bu)相信的(de)。

這些知識在《周(zhou)髀算經》中主要見(jian)于卷(juan)下第9節(jie)∶

極(ji)下(xia)不生萬物(wu)，何以知之(zhi)?……北(bei)極(ji)左(zuo)右(you)，夏有不釋(shi)之(zhi)冰。

中(zhong)衡去周七萬(wan)(wan)五千五百(bai)里。中(zhong)衡左(zuo)右，冬有不死之草，夏長之類。此陽彰陰微(wei)，故萬(wan)(wan)物不死，五谷一歲再熟。

凡北極之左右，物有朝(chao)生暮獲，冬生之類。

這(zhe)里需要先作(zuo)一些說明∶

上引第二(er)則中，所謂“中衡(heng)左(zuo)右”即趙爽注文中所認為的“內衡(heng)之(zhi)外，外衡(heng)之(zhi)內”；這一區域(yu)正好對應于地(di)球寒暑(shu)五帶中的熱帶(南緯23°30′至北緯23°30′之(zhi)間)----盡管《周髀算經》中并(bing)無地(di)球的觀念。

上引第(di)三則(ze)(ze)中，說北(bei)極(ji)左右“物有朝生(sheng)暮獲”，這就(jiu)必須聯系到《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》蓋天宇宙模型(xing)對(dui)于極(ji)晝(zhou)(zhou)、極(ji)夜(ye)現(xian)象(xiang)的演(yan)繹和描述能力。據前(qian)所(suo)述，圓形(xing)大地中央的“璇璣”之底面直(zhi)徑為23,000里(li)，則(ze)(ze)半(ban)徑為11,500里(li)，而《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)》所(suo)設(she)定(ding)的太陽(yang)光芒向其四周(zhou)(zhou)照(zhao)射的極(ji)限距離是167,000里(li)；于是，由本文圖1清楚可見(jian)，每年從春(chun)分(fen)(fen)(fen)(fen)至秋分(fen)(fen)(fen)(fen)期間，在“璇璣”范(fan)圍(wei)內將出現(xian)極(ji)晝(zhou)(zhou)----晝(zhou)(zhou)夜(ye)始終在陽(yang)光之下；而從秋分(fen)(fen)(fen)(fen)到春(chun)分(fen)(fen)(fen)(fen)期間則(ze)(ze)出現(xian)極(ji)夜(ye)----陽(yang)光在此期間的任何(he)時刻都照(zhao)射不(bu)到“璇璣”范(fan)圍(wei)之內。這也就(jiu)是趙爽(shuang)注文中所(suo)說的“北(bei)極(ji)之下，從春(chun)分(fen)(fen)(fen)(fen)至秋分(fen)(fen)(fen)(fen)為晝(zhou)(zhou)，從秋分(fen)(fen)(fen)(fen)至春(chun)分(fen)(fen)(fen)(fen)為夜(ye)”，因為是以半(ban)年為晝(zhou)(zhou)、半(ban)年為夜(ye)。

《周髀算經(jing)》中上(shang)述關(guan)于寒暑五帶的知識，其準(zhun)確性是(shi)沒有疑問(wen)的。然(ran)而這些知識卻并(bing)不是(shi)以(yi)往(wang)兩千年間中國傳統(tong)天文學中的組成部分。對于這一現象，可(ke)以(yi)從(cong)幾方面來加以(yi)討論。

首先，為(wei)(wei)《周髀(bi)算(suan)經》作(zuo)(zuo)注(zhu)的(de)(de)(de)(de)趙(zhao)(zhao)爽(shuang)，竟然(ran)就表(biao)示不(bu)(bu)相(xiang)信書(shu)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)這些(xie)(xie)知識。例如(ru)對(dui)于北極附近“夏(xia)有不(bu)(bu)釋(shi)之冰(bing)”，趙(zhao)(zhao)爽(shuang)注(zhu)稱∶“冰(bing)凍不(bu)(bu)解(jie)，是(shi)(shi)以(yi)推之，夏(xia)至之日外(wai)衡(heng)之下為(wei)(wei)冬(dong)矣，萬(wan)物當死(si)----此日遠近為(wei)(wei)冬(dong)夏(xia),非陰陽之氣，爽(shuang)或疑焉。”又(you)如(ru)對(dui)于“冬(dong)有不(bu)(bu)死(si)之草”、“陽彰陰微”、“五谷一歲再熟”的(de)(de)(de)(de)熱帶，趙(zhao)(zhao)爽(shuang)表(biao)示“此欲以(yi)內衡(heng)之外(wai)、外(wai)衡(heng)之內，常為(wei)(wei)夏(xia)也(ye)。然(ran)其修廣，爽(shuang)未之前聞”----他從未聽說過。我們從趙(zhao)(zhao)爽(shuang)為(wei)(wei)《周髀(bi)算(suan)經》全書(shu)所作(zuo)(zuo)的(de)(de)(de)(de)注(zhu)釋(shi)來判斷(duan)，他毫無疑問是(shi)(shi)那個時(shi)(shi)代夠(gou)格的(de)(de)(de)(de)天文(wen)學家(jia)之一，為(wei)(wei)什么竟從未聽說過這些(xie)(xie)寒暑五帶知識?比較合(he)理的(de)(de)(de)(de)解(jie)釋(shi)似(si)乎只能(neng)是(shi)(shi)∶這些(xie)(xie)知識不(bu)(bu)是(shi)(shi)中(zhong)國(guo)傳統天文(wen)學體(ti)系中(zhong)的(de)(de)(de)(de)組(zu)成部分(fen)，所以(yi)對(dui)于當時(shi)(shi)大部分(fen)中(zhong)國(guo)天文(wen)學家(jia)來說，這些(xie)(xie)知識是(shi)(shi)新奇的(de)(de)(de)(de)、與(yu)舊有知識背景格格不(bu)(bu)入(ru)的(de)(de)(de)(de)，因(yin)而也(ye)是(shi)(shi)難以(yi)置信的(de)(de)(de)(de)。

其次，在古代(dai)中(zhong)(zhong)(zhong)國居傳(chuan)(chuan)統地位的天文學(xue)(xue)說(shuo)----渾(hun)天說(shuo)中(zhong)(zhong)(zhong)，由(you)于沒有正確的地球概念，是(shi)不可能(neng)提出寒(han)暑五(wu)(wu)帶之(zhi)類的問題來的。因(yin)此直到明朝末年，來華的耶穌會傳(chuan)(chuan)教(jiao)士(shi)在他(ta)們(men)的中(zhong)(zhong)(zhong)文著(zhu)(zhu)作(zuo)中(zhong)(zhong)(zhong)向中(zhong)(zhong)(zhong)國讀者介(jie)紹寒(han)暑五(wu)(wu)帶知(zhi)識時(shi)，仍被中(zhong)(zhong)(zhong)國人(ren)(ren)(ren)目為未之(zhi)前聞(wen)的新(xin)奇學(xue)(xue)說(shuo)。正式這些耶穌會傳(chuan)(chuan)教(jiao)士(shi)的中(zhong)(zhong)(zhong)文著(zhu)(zhu)作(zuo)才使中(zhong)(zhong)(zhong)國學(xue)(xue)者接受(shou)了(le)地球寒(han)暑五(wu)(wu)帶之(zhi)說(shuo)。而當清朝初年“西學(xue)(xue)中(zhong)(zhong)(zhong)源(yuan)”說(shuo)甚囂(xiao)塵上(shang)時(shi)，梅文鼎等人(ren)(ren)(ren)為寒(han)暑五(wu)(wu)帶之(zhi)說(shuo)尋找中(zhong)(zhong)(zhong)國源(yuan)頭，找到的正是(shi)《周髀(bi)算(suan)(suan)經(jing)》----他(ta)們(men)認為是(shi)《周髀(bi)算(suan)(suan)經(jing)》等中(zhong)(zhong)(zhong)國學(xue)(xue)說(shuo)在上(shang)古時(shi)期傳(chuan)(chuan)入西方，才教(jiao)會了(le)希臘人(ren)(ren)(ren)、羅馬(ma)人(ren)(ren)(ren)和阿拉伯人(ren)(ren)(ren)掌握天文學(xue)(xue)知(zhi)識的。

我們面臨一系列尖(jian)銳的問(wen)題(ti)∶既(ji)然在渾(hun)天(tian)學(xue)說(shuo)中因(yin)沒(mei)有(you)(you)地(di)球(qiu)概念(nian)而不(bu)(bu)可能(neng)提(ti)出(chu)寒暑五帶(dai)的問(wen)題(ti)，那么(me)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》中同樣沒(mei)有(you)(you)地(di)球(qiu)概念(nian)，何以卻能(neng)記載這些知(zhi)識(shi)?如果說(shuo)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》的作者身(shen)處(chu)北溫帶(dai)之(zhi)中，只是根據(ju)越(yue)(yue)向北越(yue)(yue)冷、越(yue)(yue)往南越(yue)(yue)熱(re)，就能(neng)推衍出(chu)北極“夏有(you)(you)不(bu)(bu)釋之(zhi)冰”、熱(re)帶(dai)“五谷一歲再熟”之(zhi)類的現象，那渾(hun)天(tian)家何以偏就不(bu)(bu)能(neng)?再說(shuo)趙爽(shuang)為《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》作注，他總該是接(jie)受蓋天(tian)學(xue)說(shuo)之(zhi)人，何以連他都對這些知(zhi)識(shi)不(bu)(bu)能(neng)相信?這樣看來(lai)，有(you)(you)必要考(kao)慮(lv)這些知(zhi)識(shi)來(lai)自異域的可能(neng)性。

勾股定理

首先，《周(zhou)髀算(suan)經》中明確記(ji)載了勾(gou)股(gu)定理的公式(shi)：“若求邪至日者(zhe)，以日下為勾(gou)，日高為股(gu)，勾(gou)股(gu)各自乘，并而開方除(chu)之，得邪至日。”（《周(zhou)髀算(suan)經》上卷二）

而勾股定理的證明(ming)呢，就(jiu)在《周髀(bi)算經》上卷一——

昔(xi)者(zhe)周(zhou)公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問昔(xi)者(zhe)包犧立周(zhou)天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺(chi)寸(cun)而度，請問數安從出？”

商高曰：“數之(zhi)法出于(yu)(yu)(yu)圓方，圓出于(yu)(yu)(yu)方，方出于(yu)(yu)(yu)矩(ju)(ju)，矩(ju)(ju)出于(yu)(yu)(yu)九(jiu)九(jiu)八十一。故(gu)折矩(ju)(ju)，以為勾(gou)廣三(san)，股(gu)修四(si)，徑(jing)隅五。既方之(zhi)，外半其一矩(ju)(ju)，環而共盤(pan)，得成三(san)四(si)五。兩矩(ju)(ju)共長二十有(you)五，是謂積矩(ju)(ju)。故(gu)禹(yu)之(zhi)所(suo)以治(zhi)天下者，此數之(zhi)所(suo)生也。”

周公對古代伏羲（庖犧）構造(zao)周天歷度的(de)事跡(ji)感到不可思(si)議（天不可階(jie)而(er)升，地不可得(de)尺(chi)寸而(er)度），就請教商高(gao)數學知(zhi)識從何而(er)來。于是商高(gao)以(yi)勾(gou)股定理的(de)證明為例，解釋數學知(zhi)識的(de)由來。“數之法出(chu)于圓(yuan)方，圓(yuan)出(chu)于方，方出(chu)于矩(ju)(ju)，矩(ju)(ju)出(chu)于九九八十一。”解釋發展脈(mo)絡——數之法出(chu)于圓(yuan)（圓(yuan)周率(lv)三）方（四方），圓(yuan)出(chu)于方（圓(yuan)形(xing)面積=外接正(zheng)方形(xing)面積*圓(yuan)周率(lv)/4），方出(chu)于矩(ju)(ju)（正(zheng)方形(xing)源(yuan)自兩邊相等(deng)的(de)矩(ju)(ju)），矩(ju)(ju)出(chu)于九九八十一（長(chang)乘寬面積計算(suan)依自九九乘法表）。

“故(gu)折矩①，以為勾(gou)廣三(san)，股(gu)(gu)修四(si)，徑隅(yu)五(wu)。”開始做(zuo)圖——選擇一個勾(gou)三(san)（圓(yuan)周率三(san)）、股(gu)(gu)四(si)（四(si)方）的(de)矩，矩的(de)兩條邊終點(dian)的(de)連(lian)線應為5（徑隅(yu)五(wu)）。

“②既(ji)方之，外(wai)半(ban)其(qi)一(yi)矩(ju)，環而共盤，得(de)(de)成(cheng)三(san)(san)四(si)五(wu)。”這就是(shi)關鍵的(de)證明過程——以矩(ju)的(de)兩條邊畫(hua)正(zheng)方形(xing)（勾方、股方），根據矩(ju)的(de)弦外(wai)面(mian)再(zai)畫(hua)一(yi)個矩(ju)（曲尺，實際上用作直角三(san)(san)角形(xing)），將“外(wai)半(ban)其(qi)一(yi)矩(ju)”得(de)(de)到的(de)三(san)(san)角形(xing)剪下環繞(rao)復(fu)制形(xing)成(cheng)一(yi)個大(da)正(zheng)方形(xing)，可(ke)看(kan)到其(qi)中有邊長(chang)三(san)(san)勾方、邊長(chang)四(si)股方、邊長(chang)五(wu)弦方三(san)(san)個正(zheng)方形(xing)。

“兩(liang)(liang)矩共(gong)長③二十有(you)五，是謂(wei)積矩。”此為(wei)驗(yan)算——勾(gou)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)、股方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)的(de)(de)面(mian)(mian)積之和，與(yu)弦方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)的(de)(de)面(mian)(mian)積二十五相等——從(cong)圖形(xing)(xing)上(shang)(shang)來看(kan)，大正方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)減(jian)(jian)去四(si)(si)個(ge)三(san)角(jiao)形(xing)(xing)面(mian)(mian)積后(hou)為(wei)弦方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)，再是大正方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)減(jian)(jian)去右上(shang)(shang)、左(zuo)下(xia)兩(liang)(liang)個(ge)長方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)面(mian)(mian)積后(hou)為(wei)勾(gou)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)股方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)之和。因三(san)角(jiao)形(xing)(xing)為(wei)長方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)面(mian)(mian)積的(de)(de)一半，可推出(chu)四(si)(si)個(ge)三(san)角(jiao)形(xing)(xing)面(mian)(mian)積等于右上(shang)(shang)、左(zuo)下(xia)兩(liang)(liang)個(ge)長方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)面(mian)(mian)積，所以勾(gou)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)+股方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)=弦方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)。

注意(yi)：①矩(ju)，又稱(cheng)曲尺(chi)，L型的(de)木(mu)匠工(gong)具，由(you)長(chang)短兩根木(mu)條組成(cheng)的(de)直角。古代“矩(ju)”指L型曲尺(chi)，“矩(ju)形”才是“矩(ju)”衍生的(de)長(chang)方形。

②“既(ji)(ji)方之(zhi)(zhi)(zhi)，外半其(qi)(qi)一(yi)矩”此句有爭議(yi)。清代(dai)四(si)庫(ku)全(quan)書版(ban)定為“既(ji)(ji)方其(qi)(qi)外半之(zhi)(zhi)(zhi)一(yi)矩”，而(er)之(zhi)(zhi)(zhi)前版(ban)本多為“既(ji)(ji)方之(zhi)(zhi)(zhi)外半其(qi)(qi)一(yi)矩”。經陳(chen)良(liang)佐、李國(guo)偉、李繼閔(min)、曲安京(jing)等學者研(yan)究，“既(ji)(ji)方之(zhi)(zhi)(zhi)，外半其(qi)(qi)一(yi)矩”更符合邏輯。

③長指(zhi)的(de)是面積。古代(dai)對不同維度的(de)量綱(gang)比(bi)較，并沒有發(fa)明新的(de)術語，而統稱“長”。趙爽注稱：“兩矩(ju)者，句股各自(zi)乘之實。共長者，并實之數。

由于年代(dai)久遠，周(zhou)公弦圖(tu)失傳(chuan)，傳(chuan)世版本只(zhi)印了趙爽弦圖(tu)（造紙術在(zai)漢代(dai)才發(fa)明(ming)(ming)(ming)）。所以某些學(xue)者誤以為商高沒有證明(ming)(ming)(ming)（只(zhi)是說了一(yi)段莫名其(qi)(qi)妙(miao)的話），后來趙爽才給(gei)出證明(ming)(ming)(ming)。其(qi)(qi)實不然，摘錄(lu)趙爽注釋(shi)《周(zhou)髀(bi)算經》時所做的《勾股圓方圖(tu)》——“句(ju)股各自乘(cheng)，并之為弦實，開方除(chu)之即弦。案：弦圖(tu)又可以句(ju)股相(xiang)乘(cheng)為朱(zhu)實二，倍之為朱(zhu)實四，以句(ju)股之差(cha)自相(xiang)乘(cheng)為中(zhong)黃實，加差(cha)實亦(yi)成弦實。