薛定諤方(fang)(fang)程(cheng)(Schr?dinger equation),又(you)稱薛定諤波動方(fang)(fang)程(cheng)(Schrodinger wave equation),是由奧地利物理學(xue)家薛定諤提出的量子力學(xue)中(zhong)的一個基(ji)本(ben)方(fang)(fang)程(cheng),也是量子力學(xue)的一個基(ji)本(ben)假定。
它是將物質波的(de)概念和波動(dong)方(fang)(fang)程相(xiang)結合(he)建(jian)立的(de)二階偏微(wei)分(fen)方(fang)(fang)程,可描述(shu)微(wei)觀(guan)粒(li)子(zi)(zi)的(de)運(yun)動(dong),每個(ge)微(wei)觀(guan)系統(tong)都有一個(ge)相(xiang)應的(de)薛定諤方(fang)(fang)程式(shi),通過(guo)解方(fang)(fang)程可得到波函數的(de)具(ju)(ju)體形式(shi)以(yi)及對應的(de)能量(liang),從而了(le)解微(wei)觀(guan)系統(tong)的(de)性質。在量(liang)子(zi)(zi)力學中,粒(li)子(zi)(zi)以(yi)概率的(de)方(fang)(fang)式(shi)出現(xian),具(ju)(ju)有不確定性,宏觀(guan)尺度(du)下失效可忽略不計。
薛(xue)定(ding)(ding)諤方(fang)程(cheng)是量子力(li)學(xue)的(de)(de)(de)基本(ben)方(fang)程(cheng)。是1926年(nian)奧地(di)利理(li)(li)論物理(li)(li)學(xue)家薛(xue)定(ding)(ding)諤提(ti)出的(de)(de)(de)。它描述微觀粒子的(de)(de)(de)狀態隨時間變化(hua)的(de)(de)(de)規律。微觀系統的(de)(de)(de)狀態由波函(han)數(shu)來(lai)描寫,薛(xue)定(ding)(ding)諤方(fang)程(cheng)即(ji)是波函(han)數(shu)的(de)(de)(de)微分方(fang)程(cheng)。若給定(ding)(ding)了初(chu)始條件和邊界的(de)(de)(de)條件,就可由此方(fang)程(cheng)解(jie)出波函(han)數(shu)。
薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方程(cheng)(Schrodinger equation)在量(liang)(liang)子(zi)(zi)力學(xue)(xue)(xue)中,體系的(de)狀態(tai)不(bu)能用(yong)力學(xue)(xue)(xue)量(liang)(liang)(例(li)如x)的(de)值(zhi)來(lai)確定(ding)(ding),而是(shi)(shi)要用(yong)力學(xue)(xue)(xue)量(liang)(liang)的(de)函(han)(han)數Ψ(x,t),即(ji)波(bo)函(han)(han)數(又稱概(gai)率幅,態(tai)函(han)(han)數)來(lai)確定(ding)(ding),因(yin)此波(bo)函(han)(han)數成(cheng)為量(liang)(liang)子(zi)(zi)力學(xue)(xue)(xue)研究的(de)主要對(dui)象。力學(xue)(xue)(xue)量(liang)(liang)取值(zhi)的(de)概(gai)率分布如何,這個分布隨時間如何變化,這些問(wen)題都可(ke)以通過(guo)求(qiu)解(jie)波(bo)函(han)(han)數的(de)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方程(cheng)得到解(jie)答。這個方程(cheng)是(shi)(shi)奧地利物理(li)(li)(li)學(xue)(xue)(xue)家薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)于1926年(nian)提(ti)出(chu)的(de),它是(shi)(shi)量(liang)(liang)子(zi)(zi)力學(xue)(xue)(xue)最基(ji)本的(de)方程(cheng)之一,在量(liang)(liang)子(zi)(zi)力學(xue)(xue)(xue)中的(de)地位與(yu)牛頓方程(cheng)在經(jing)典(dian)力學(xue)(xue)(xue)中的(de)地位相(xiang)當,超弦理(li)(li)(li)論試(shi)圖統一兩種理(li)(li)(li)論。
薛定諤方程是量子(zi)力(li)學(xue)最基本的方程,亦(yi)是量子(zi)力(li)學(xue)的一個基本假定,其正(zheng)確性只能靠(kao)實驗(yan)來確定。
量子力學(xue)中求解粒(li)子問題(ti)常歸結為解薛定諤方(fang)(fang)程或定態(tai)薛定諤方(fang)(fang)程。薛定諤方(fang)(fang)程廣(guang)泛(fan)地(di)用于原(yuan)子物理(li)(li)、核(he)物理(li)(li)和(he)固(gu)體物理(li)(li),對(dui)于原(yuan)子、分子、核(he)、固(gu)體等一系列問題(ti)中求解的結果都與實際符合得(de)很好。
薛定諤方(fang)(fang)程僅適(shi)用于速(su)度(du)不太大的(de)(de)非相對(dui)(dui)論粒(li)子,其(qi)中(zhong)也沒有包含關于粒(li)子自旋(xuan)的(de)(de)描(miao)述(shu)。當涉(she)及相對(dui)(dui)論效應時,薛定諤方(fang)(fang)程由相對(dui)(dui)論量子力學方(fang)(fang)程所取代(dai),其(qi)中(zhong)自然包含了粒(li)子的(de)(de)自旋(xuan)。
.薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)提出(chu)的(de)(de)(de)(de)量(liang)(liang)子力學基(ji)(ji)本(ben)方(fang)程。建立于1926年。它是(shi)一個非相對論的(de)(de)(de)(de)波動方(fang)程。它反映(ying)了描述(shu)微(wei)觀(guan)粒(li)(li)子的(de)(de)(de)(de)狀態(tai)(tai)(tai)隨時(shi)間變(bian)化的(de)(de)(de)(de)規律(lv),它在(zai)量(liang)(liang)子力學中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)地位相當(dang)于牛頓(dun)定(ding)(ding)律(lv)對于經(jing)典力學一樣(yang),是(shi)量(liang)(liang)子力學的(de)(de)(de)(de)基(ji)(ji)本(ben)假設之一。設描述(shu)微(wei)觀(guan)粒(li)(li)子狀態(tai)(tai)(tai)的(de)(de)(de)(de)波函(han)(han)數為(wei)Ψ(r,t),質(zhi)量(liang)(liang)為(wei)m的(de)(de)(de)(de)微(wei)觀(guan)粒(li)(li)子在(zai)勢場V(r,t)中(zhong)(zhong)運動的(de)(de)(de)(de)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方(fang)程。在(zai)給定(ding)(ding)初始條(tiao)件(jian)和(he)邊(bian)界條(tiao)件(jian)以及波函(han)(han)數所滿(man)足的(de)(de)(de)(de)單值、有限、連續的(de)(de)(de)(de)條(tiao)件(jian)下,可解出(chu)波函(han)(han)數Ψ(r,t)。由此(ci)可計算(suan)粒(li)(li)子的(de)(de)(de)(de)分布概率(lv)和(he)任何可能(neng)實驗的(de)(de)(de)(de)平均值(期望值)。當(dang)勢函(han)(han)數V不依賴于時(shi)間t時(shi),粒(li)(li)子具(ju)有確定(ding)(ding)的(de)(de)(de)(de)能(neng)量(liang)(liang),粒(li)(li)子的(de)(de)(de)(de)狀態(tai)(tai)(tai)稱(cheng)為(wei)定(ding)(ding)態(tai)(tai)(tai)。定(ding)(ding)態(tai)(tai)(tai)時(shi)的(de)(de)(de)(de)波函(han)(han)數可寫成(cheng)式(shi)中(zhong)(zhong)Ψ(r)稱(cheng)為(wei)定(ding)(ding)態(tai)(tai)(tai)波函(han)(han)數,滿(man)足定(ding)(ding)態(tai)(tai)(tai)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方(fang)程,這一方(fang)程在(zai)數學上稱(cheng)為(wei)本(ben)征方(fang)程,式(shi)中(zhong)(zhong)E為(wei)本(ben)征值,它是(shi)定(ding)(ding)態(tai)(tai)(tai)能(neng)量(liang)(liang),Ψ(r)又稱(cheng)為(wei)屬于本(ben)征值E的(de)(de)(de)(de)本(ben)征函(han)(han)數。
薛定諤(e)方(fang)程(cheng)是量子(zi)力學的基本方(fang)程(cheng),它揭示(shi)了微(wei)觀物(wu)理(li)世界物(wu)質運動的基本規律,如牛(niu)頓定律在(zai)經典力學中(zhong)所起的作用一樣(yang),它是原(yuan)子(zi)物(wu)理(li)學中(zhong)處(chu)理(li)一切非相對論問題的有力工具,在(zai)原(yuan)子(zi)、分子(zi)、固體物(wu)理(li)、核物(wu)理(li)、化(hua)學等領(ling)域中(zhong)被(bei)廣泛應用。
1900年,馬克(ke)斯·普朗(lang)(lang)克(ke)在(zai)(zai)研究(jiu)黑體輻(fu)(fu)射中(zhong)作出將電磁(ci)輻(fu)(fu)射能量(liang)(liang)量(liang)(liang)子(zi)(zi)化的(de)(de)假設,因此(ci)發(fa)現將能量(liang)(liang)與(yu)頻率(lv)關(guan)聯在(zai)(zai)一(yi)起的(de)(de)普朗(lang)(lang)克(ke)關(guan)系(xi)式(shi)(shi)。1905年,阿爾伯特·愛因斯坦從對于光電效應的(de)(de)研究(jiu)又給予這關(guan)系(xi)式(shi)(shi)嶄新的(de)(de)詮(quan)釋:頻率(lv)為ν的(de)(de)光子(zi)(zi)擁有的(de)(de)能量(liang)(liang)為hν;其中(zhong),因子(zi)(zi)h是普朗(lang)(lang)克(ke)常數。這一(yi)點子(zi)(zi)成(cheng)(cheng)為后來波粒二象性概念的(de)(de)早期路標之(zhi)一(yi)。由于在(zai)(zai)狹(xia)義相對論里,能量(liang)(liang)與(yu)動(dong)量(liang)(liang)的(de)(de)關(guan)聯方式(shi)(shi)類似頻率(lv)與(yu)波數的(de)(de)關(guan)聯方式(shi)(shi),因此(ci)可以(yi)揣測(ce),光子(zi)(zi)的(de)(de)動(dong)量(liang)(liang)與(yu)波長成(cheng)(cheng)反比,與(yu)波數成(cheng)(cheng)正比,以(yi)方程(cheng)來表示(shi)這關(guan)系(xi)式(shi)(shi)。
路易·德布羅意(yi)(yi)認為,不單光子(zi)(zi)遵守這(zhe)關系式(shi),所有粒子(zi)(zi)都遵守這(zhe)關系式(shi)。他于1924年進一步提(ti)出(chu)的(de)德布羅意(yi)(yi)假說表明,每一種微觀粒子(zi)(zi)都具有波動性(xing)(xing)(xing)與(yu)粒子(zi)(zi)性(xing)(xing)(xing),這(zhe)性(xing)(xing)(xing)質稱(cheng)為波粒二象(xiang)性(xing)(xing)(xing)。電(dian)(dian)子(zi)(zi)也不例(li)外的(de)具有這(zhe)種性(xing)(xing)(xing)質。電(dian)(dian)子(zi)(zi)是一種物(wu)質波,稱(cheng)為“電(dian)(dian)子(zi)(zi)波”。電(dian)(dian)子(zi)(zi)的(de)能(neng)量(liang)與(yu)動量(liang)分別決定了伴(ban)隨它的(de)物(wu)質波所具有的(de)頻率(lv)與(yu)波數(shu)(shu)。在原子(zi)(zi)里(li),束縛(fu)電(dian)(dian)子(zi)(zi)形成駐波;這(zhe)意(yi)(yi)味著他的(de)旋轉(zhuan)頻率(lv)只能(neng)呈某些離散數(shu)(shu)值。這(zhe)些量(liang)子(zi)(zi)化軌(gui)道(dao)對(dui)應(ying)于離散能(neng)級。從(cong)這(zhe)些點(dian)子(zi)(zi),德布羅意(yi)(yi)復制出(chu)玻爾模型(xing)的(de)能(neng)級。
在(zai)(zai)1925年,瑞士蘇(su)黎(li)世每兩(liang)周會(hui)(hui)舉辦一(yi)(yi)場物理(li)學術研討會(hui)(hui)。有(you)一(yi)(yi)次,主辦者彼得·德(de)拜(bai)邀請薛定諤(e)(e)講述關(guan)于德(de)布羅(luo)意的(de)波粒(li)二象性博(bo)士論(lun)(lun)文。那段時(shi)期,薛定諤(e)(e)正在(zai)(zai)研究(jiu)氣體理(li)論(lun)(lun),他(ta)(ta)從閱讀愛因斯(si)坦關(guan)于玻(bo)色-愛因斯(si)坦統計(ji)的(de)論(lun)(lun)述中,接觸德(de)布羅(luo)意的(de)博(bo)士論(lun)(lun)文,在(zai)(zai)這(zhe)方(fang)(fang)(fang)(fang)面(mian)有(you)很精(jing)深的(de)理(li)解(jie)。在(zai)(zai)研討會(hui)(hui)里,他(ta)(ta)將波粒(li)二象性闡述的(de)淋漓盡致,大(da)家(jia)都(dou)聽的(de)津津有(you)味(wei)。德(de)拜(bai)指(zhi)出(chu),既然粒(li)子(zi)具有(you)波動性,應(ying)該有(you)一(yi)(yi)種能(neng)(neng)夠正確描述這(zhe)種量子(zi)性質的(de)波動方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)。他(ta)(ta)的(de)意見給予(yu)薛定諤(e)(e)極大(da)的(de)啟(qi)發與鼓舞,他(ta)(ta)開始尋找這(zhe)波動方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)。檢(jian)試此方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)最(zui)簡單(dan)與基本的(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)就是,用此方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)來描述氫原子(zi)內(nei)部束(shu)縛(fu)電子(zi)的(de)物理(li)行為,而必能(neng)(neng)復(fu)制(zhi)出(chu)玻(bo)爾模型(xing)的(de)理(li)論(lun)(lun)結(jie)果,另(ling)外,這(zhe)方(fang)(fang)(fang)(fang)程(cheng)還必須能(neng)(neng)解(jie)釋(shi)索末菲模型(xing)給出(chu)的(de)精(jing)細結(jie)構。
很快,薛定(ding)諤就通過(guo)德布(bu)羅意論(lun)(lun)(lun)(lun)文的相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)理論(lun)(lun)(lun)(lun),推(tui)導出(chu)一(yi)個相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)波動方程(cheng)(cheng),他(ta)將這(zhe)方程(cheng)(cheng)應用(yong)于(yu)氫原子,計(ji)算出(chu)束(shu)縛電子的波函數。因(yin)(yin)為(wei)薛定(ding)諤沒有將電子的自旋納入考(kao)量,所以從這(zhe)方程(cheng)(cheng)推(tui)導出(chu)的精細(xi)結構公(gong)式不符合索末菲模型(xing)。他(ta)只好將這(zhe)方程(cheng)(cheng)加以修改,除去相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)部分,并(bing)用(yong)剩(sheng)下(xia)的非相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)方程(cheng)(cheng)來計(ji)算氫原子的譜(pu)線(xian)。解析(xi)這(zhe)微分方程(cheng)(cheng)的工作相(xiang)當(dang)困難,在(zai)其好朋友數學家赫爾(er)(er)曼·外爾(er)(er)鼎力相(xiang)助下(xia),他(ta)復(fu)制出(chu)了與(yu)玻爾(er)(er)模型(xing)完全相(xiang)同(tong)的答(da)案。因(yin)(yin)此,他(ta)決定(ding)暫且不發表相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)部分,只把(ba)非相(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)(lun)性(xing)波動方程(cheng)(cheng)與(yu)氫原子光譜(pu)分析(xi)結果,寫為(wei)一(yi)篇(pian)論(lun)(lun)(lun)(lun)文。1926年,他(ta)正式發表了這(zhe)論(lun)(lun)(lun)(lun)文。
這篇論文(wen)迅速在量子學(xue)術界引起震撼。普朗克表示“他已閱讀完畢整篇論文(wen),就像被一個迷(mi)語困惑多時(shi),渴慕知道(dao)答案的(de)(de)(de)孩童,現在終(zhong)于聽到(dao)了解答”。愛(ai)因斯(si)坦稱贊,這著作的(de)(de)(de)靈感如同泉水般源自一位真正的(de)(de)(de)天才。愛(ai)因斯(si)坦覺得,薛(xue)定諤已做出決定性貢獻(xian)。由于薛(xue)定諤所創建的(de)(de)(de)波動(dong)力(li)學(xue)涉及(ji)到(dao)眾所熟悉的(de)(de)(de)波動(dong)概(gai)念與數(shu)學(xue),而不是矩陣力(li)學(xue)中既抽象又陌(mo)生的(de)(de)(de)矩陣代數(shu),量子學(xue)者都很(hen)樂意(yi)地開始學(xue)習與應(ying)用波動(dong)力(li)學(xue)。自旋的(de)(de)(de)發現者喬(qiao)治·烏倫貝克驚(jing)嘆,“薛(xue)定諤方程(cheng)給我們帶來(lai)極大的(de)(de)(de)解救!”沃爾夫岡(gang)·泡(pao)利(li)認為(wei),這論文(wen)應(ying)可算是最重要的(de)(de)(de)著作之一。
薛(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤給出的(de)(de)(de)薛(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤方程能夠正確地(di)描述(shu)波(bo)函(han)數的(de)(de)(de)量子(zi)(zi)行為。在那時,物(wu)理(li)學者尚不(bu)清(qing)楚如何(he)詮釋(shi)波(bo)函(han)數,薛(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤試(shi)圖(tu)以(yi)電荷(he)密度來詮釋(shi)波(bo)函(han)數的(de)(de)(de)絕對值平方,可并不(bu)成(cheng)(cheng)功。1926年,玻(bo)恩(en)提出概(gai)(gai)率(lv)(lv)幅(fu)的(de)(de)(de)概(gai)(gai)念,成(cheng)(cheng)功地(di)詮釋(shi)了波(bo)函(han)數的(de)(de)(de)物(wu)理(li)意義。但是薛(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤與愛因(yin)斯(si)(si)坦觀(guan)點(dian)相同(tong),都不(bu)贊同(tong)這種統計或概(gai)(gai)率(lv)(lv)方法,以(yi)及它(ta)所伴隨(sui)的(de)(de)(de)非連續(xu)性波(bo)函(han)數坍縮。愛因(yin)斯(si)(si)坦主張,量子(zi)(zi)力(li)學是個決(jue)定(ding)(ding)(ding)性理(li)論的(de)(de)(de)統計近(jin)似(si)。在薛(xue)(xue)定(ding)(ding)(ding)諤有(you)生的(de)(de)(de)最后一(yi)年,寫給玻(bo)恩(en)的(de)(de)(de)一(yi)封信中(zhong),他(ta)清(qing)楚地(di)表示他(ta)不(bu)接受哥本哈(ha)根詮釋(shi)。
埃爾溫·薛定諤(Erwin Schrodinger,1887年—1961年)1887年8月12日出生于(yu)奧地(di)利首(shou)都維也納(na)。1906年至1910年,他就學于(yu)維也納(na)大(da)學物理(li)系。1910年獲得(de)博士學位。畢業后,在維也納(na)大(da)學第二(er)物理(li)研究(jiu)所從事實驗物理(li)的(de)工(gong)作。第一(yi)次世界大(da)戰期間(jian),他應(ying)征(zheng)服(fu)役于(yu)一(yi)個偏僻的(de)炮兵要塞,利用閑(xian)暇時間(jian)研究(jiu)理(li)論物理(li)。
戰(zhan)后他仍回到第二物(wu)理研究所。1920年(nian)他到耶拿(na)大(da)(da)學(xue)協助(zhu)維恩工(gong)作。1921年(nian)薛(xue)(xue)定諤(e)受聘到瑞士的(de)蘇黎(li)世(shi)大(da)(da)學(xue)任(ren)(ren)數學(xue)物(wu)理教授,在(zai)那里工(gong)作了6年(nian),薛(xue)(xue)定諤(e)方程就是(shi)在(zai)這一期間提出的(de)。1927年(nian)薛(xue)(xue)定諤(e)接替普朗(lang)克到柏林大(da)(da)學(xue)擔任(ren)(ren)理論物(wu)理教授。1933年(nian)希特勒上臺后,薛(xue)(xue)定諤(e)對于納粹政權(quan)迫害愛因斯坦等杰(jie)出科學(xue)家的(de)法西斯行為(wei)深為(wei)憤慨,移居牛(niu)津(jin),在(zai)馬(ma)達倫學(xue)院任(ren)(ren)訪問教授。同(tong)年(nian)他與狄拉克共同(tong)獲得(de)諾(nuo)貝(bei)爾物(wu)理學(xue)獎。
1936年他(ta)回(hui)到(dao)奧(ao)地利(li)任格拉茨大(da)學(xue)理(li)(li)論物(wu)(wu)理(li)(li)教(jiao)授(shou)。不到(dao)兩年,奧(ao)地利(li)被(bei)納粹并吞后(hou),他(ta)又陷入了(le)逆境。1939年10月流亡到(dao)愛爾蘭首府都(dou)柏林(lin),就任都(dou)柏林(lin)高(gao)級研(yan)究所所長,從(cong)事理(li)(li)論物(wu)(wu)理(li)(li)研(yan)究。在此期(qi)間還進行(xing)了(le)科學(xue)哲學(xue)、生物(wu)(wu)物(wu)(wu)理(li)(li)研(yan)究,頗有建(jian)樹。出版了(le)《生命(ming)是(shi)什(shen)么》一書(shu),試圖用量子物(wu)(wu)理(li)(li)闡明(ming)遺傳結構的(de)穩(wen)定性(xing)。1956年薛(xue)定諤回(hui)到(dao)了(le)奧(ao)地利(li),被(bei)聘為(wei)維也納大(da)學(xue)理(li)(li)論物(wu)(wu)理(li)(li)教(jiao)授(shou),奧(ao)地利(li)政府給予他(ta)極大(da)的(de)榮譽,設定了(le)以薛(xue)定諤命(ming)名的(de)國(guo)家(jia)獎金(jin),由奧(ao)地利(li)科學(xue)院(yuan)授(shou)予。
一維薛定諤方程
三維薛定諤方程
定態薛定諤方程
單粒子薛定諤方(fang)程(cheng)的數學(xue)表達形(xing)式
這(zhe)是(shi)(shi)一個二階線性偏微分(fen)(fen)方程(cheng),ψ(x,y,z)是(shi)(shi)待求函(han)數(shu),它是(shi)(shi)x,y,z三(san)個變量的(de)復數(shu)函(han)數(shu)(就是(shi)(shi)說函(han)數(shu)值不一定是(shi)(shi)實數(shu),也可能(neng)是(shi)(shi)虛數(shu))。式(shi)子最(zui)左邊的(de)倒三(san)角是(shi)(shi)拉(la)普拉(la)斯算(suan)符(fu),意思是(shi)(shi)分(fen)(fen)別(bie)對ψ(x,y,z)的(de)梯度求散度。
這(zhe)是(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)(ge)(ge)描述一(yi)個(ge)(ge)(ge)粒(li)子(zi)在三維(wei)勢場(chang)(chang)中(zhong)的(de)定態(tai)薛(xue)定諤方程(cheng)(cheng)。所謂勢場(chang)(chang),就是(shi)(shi)(shi)粒(li)子(zi)在其(qi)中(zhong)會(hui)有勢能的(de)場(chang)(chang),比(bi)如電(dian)(dian)場(chang)(chang)就是(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)(ge)(ge)帶(dai)電(dian)(dian)粒(li)子(zi)的(de)勢場(chang)(chang);所謂定態(tai),就是(shi)(shi)(shi)假設(she)波(bo)(bo)函(han)數(shu)不隨(sui)時(shi)間(jian)(jian)變化。其(qi)中(zhong),E是(shi)(shi)(shi)粒(li)子(zi)本(ben)身的(de)能量;U(x,y,z)是(shi)(shi)(shi)描述勢場(chang)(chang)的(de)函(han)數(shu),假設(she)不隨(sui)時(shi)間(jian)(jian)變化。薛(xue)定諤方程(cheng)(cheng)有一(yi)個(ge)(ge)(ge)很好的(de)性質,就是(shi)(shi)(shi)時(shi)間(jian)(jian)和空(kong)間(jian)(jian)部分(fen)(fen)是(shi)(shi)(shi)相互(hu)分(fen)(fen)立的(de),求出(chu)定態(tai)波(bo)(bo)函(han)數(shu)的(de)空(kong)間(jian)(jian)部分(fen)(fen)后(hou)再乘(cheng)上時(shi)間(jian)(jian)部分(fen)(fen)以后(hou)就成了完整的(de)波(bo)(bo)函(han)數(shu)了。
簡(jian)單系統(tong),如氫原(yuan)子(zi)(zi)中(zhong)電子(zi)(zi)的薛定諤方(fang)程(cheng)才能(neng)求解(jie),對于(yu)復雜系統(tong)必須(xu)近似求解(jie)。因為對于(yu)有Z個電子(zi)(zi)的原(yuan)子(zi)(zi),其電子(zi)(zi)由于(yu)屏蔽效應相互作用勢能(neng)會(hui)發生改變,所以只能(neng)近似求解(jie)。近似求解(jie)的方(fang)法(fa)主要有變分法(fa)和微擾(rao)法(fa)。
在束縛(fu)態(tai)(tai)邊界條(tiao)件下并不(bu)是(shi)E值(zhi)對應(ying)的(de)(de)所有解在物理(li)上都是(shi)可以接受的(de)(de)。主量(liang)(liang)子數、角量(liang)(liang)子數、磁量(liang)(liang)子數都是(shi)薛(xue)定諤方程(cheng)的(de)(de)解。要完整描(miao)述電(dian)子狀(zhuang)態(tai)(tai),必須要四(si)個量(liang)(liang)子數。自旋磁量(liang)(liang)子數不(bu)是(shi)薛(xue)定諤方程(cheng)的(de)(de)解,而(er)是(shi)作為(wei)實驗事實接受下來的(de)(de)。
主(zhu)量(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)n和能量(liang)(liang)有關的量(liang)(liang)子(zi)(zi)數(shu)。原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)具有分立(li)能級(ji),能量(liang)(liang)只能取(qu)一系(xi)列值(zhi),每一個波函數(shu)都對(dui)應相(xiang)應的能量(liang)(liang)。氫(qing)(qing)原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)以及(ji)類氫(qing)(qing)原(yuan)(yuan)子(zi)(zi)的分立(li)值(zhi)為:
,n越大(da)能量越高電子(zi)層離核越遠。主量子(zi)數決定了電子(zi)出(chu)現的最大(da)幾率的區域(yu)離核遠近,決定了電子(zi)的能量。N=1,2,3,……;常用(yong)K、L、M、N……表示。
角(jiao)(jiao)(jiao)量(liang)子(zi)數l和能量(liang)有關的(de)(de)(de)量(liang)子(zi)數。電子(zi)在原(yuan)子(zi)中具(ju)有確(que)定的(de)(de)(de)角(jiao)(jiao)(jiao)動量(liang)L,它的(de)(de)(de)取值不是(shi)任意的(de)(de)(de),只能取一系列分立值,稱(cheng)為(wei)角(jiao)(jiao)(jiao)動量(liang)量(liang)子(zi)化。。l越大,角(jiao)(jiao)(jiao)動量(liang)越大,能量(liang)越高,電子(zi)云的(de)(de)(de)形(xing)狀也(ye)不同。l=0,1,2,……常用s,p,d,f,g表示,簡單(dan)的(de)(de)(de)說就是(shi)前面說的(de)(de)(de)電子(zi)亞(ya)層。角(jiao)(jiao)(jiao)量(liang)子(zi)數決(jue)定了軌(gui)道形(xing)狀,所以也(ye)稱(cheng)為(wei)軌(gui)道形(xing)狀量(liang)子(zi)數。s為(wei)球(qiu)型,p為(wei)啞鈴型,d為(wei)花瓣,f軌(gui)道更為(wei)復雜(za)。
磁(ci)量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)m是和(he)電(dian)子(zi)(zi)(zi)能(neng)量(liang)無(wu)關(guan)的(de)(de)(de)量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)。原子(zi)(zi)(zi)中電(dian)子(zi)(zi)(zi)繞核(he)運動的(de)(de)(de)軌(gui)(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)角(jiao)動量(liang),在(zai)外磁(ci)場方向(xiang)上的(de)(de)(de)分(fen)量(liang)是量(liang)子(zi)(zi)(zi)化的(de)(de)(de),并由量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)m決(jue)定,m稱為(wei)磁(ci)量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)。對于任意(yi)選(xuan)定的(de)(de)(de)外磁(ci)場方向(xiang)Z,角(jiao)動量(liang)L在(zai)此方向(xiang)上的(de)(de)(de)分(fen)量(liang)Lz只能(neng)取一系列分(fen)立值,這(zhe)種現象稱為(wei)空間量(liang)子(zi)(zi)(zi)化。。磁(ci)量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)決(jue)定了原子(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)空間伸展(zhan)方向(xiang),即原子(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)在(zai)空間的(de)(de)(de)取向(xiang),s軌(gui)(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)一個(ge)方向(xiang)(球(qiu)),p軌(gui)(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)3個(ge)方向(xiang),d軌(gui)(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)5個(ge),f軌(gui)(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)7個(ge)……。l相同(tong),m不同(tong)即形狀相同(tong)空間取向(xiang)不同(tong)的(de)(de)(de)原子(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)能(neng)量(liang)是相同(tong)的(de)(de)(de)。不同(tong)原子(zi)(zi)(zi)軌(gui)(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)具有相同(tong)能(neng)量(liang)的(de)(de)(de)現象稱為(wei)能(neng)量(liang)簡并。
能(neng)量相同(tong)的(de)原子軌(gui)(gui)道(dao)稱為(wei)(wei)簡(jian)并(bing)(bing)(bing)軌(gui)(gui)道(dao),其(qi)數目稱為(wei)(wei)簡(jian)并(bing)(bing)(bing)度。如(ru)p軌(gui)(gui)道(dao)有3個簡(jian)并(bing)(bing)(bing)軌(gui)(gui)道(dao),簡(jian)并(bing)(bing)(bing)度為(wei)(wei)3。簡(jian)并(bing)(bing)(bing)軌(gui)(gui)道(dao)在(zai)外磁場作用下會產生能(neng)量差(cha)異,這(zhe)就是線狀譜在(zai)磁場下分裂(lie)的(de)原因。
粒子(zi)的(de)自(zi)旋(xuan)也產生角(jiao)(jiao)動(dong)(dong)量(liang)(liang),其大小取決(jue)于自(zi)旋(xuan)磁量(liang)(liang)子(zi)數(shu)(ms)。電子(zi)自(zi)旋(xuan)角(jiao)(jiao)動(dong)(dong)量(liang)(liang)是量(liang)(liang)子(zi)化(hua)的(de)其值為(wei),s為(wei)自(zi)旋(xuan)量(liang)(liang)子(zi)數(shu),自(zi)旋(xuan)角(jiao)(jiao)動(dong)(dong)量(liang)(liang)的(de)一(yi)個分量(liang)(liang)Lsz應取下列分立值:。
原子光(guang)(guang)(guang)譜,在(zai)高(gao)分辨光(guang)(guang)(guang)譜儀下,每一條(tiao)光(guang)(guang)(guang)線都是由兩(liang)條(tiao)非常接近的(de)光(guang)(guang)(guang)譜線組成,為(wei)解(jie)釋這一現象(xiang)提出了粒(li)子的(de)自(zi)旋。電(dian)子的(de)自(zi)旋表示(shi)電(dian)子的(de)兩(liang)種不同狀態,這兩(liang)種狀態有不同的(de)自(zi)旋角動量。
電(dian)子的(de)自(zi)旋(xuan)不是機械的(de)自(zi)身旋(xuan)轉,它(ta)是本(ben)身的(de)內(nei)稟屬(shu)性,也是新(xin)的(de)自(zi)由度,如質量和電(dian)荷(he)一(yi)樣是它(ta)的(de)內(nei)在屬(shu)性,電(dian)子的(de)自(zi)旋(xuan)角動量:?/2。
希爾伯(bo)特空間與薛定諤方(fang)程
一般,物理(li)上(shang)將物理(li)狀態(tai)與(yu)希爾伯特(te)空間上(shang)的向量(liang)(liang)(vector),物理(li)量(liang)(liang)與(yu)希爾伯特(te)空間上(shang)的算符(fu)相對應。這種形式(shi)下的薛(xue)定諤(e)方(fang)程為
H為哈密頓算符(fu)。這(zhe)個方(fang)程在(zai)這(zhe)個形式下(xia)充(chong)分(fen)顯示出了(le)時間與(yu)(yu)空(kong)(kong)間的(de)對(dui)(dui)(dui)應性(時間與(yu)(yu)能(neng)量(liang)相(xiang)對(dui)(dui)(dui)應,正(zheng)如空(kong)(kong)間與(yu)(yu)動量(liang)相(xiang)對(dui)(dui)(dui)應,后述)。這(zhe)種算符(fu)(物理量(liang))不隨時間變化(hua)而(er)狀態隨時間變化(hua)的(de)對(dui)(dui)(dui)自然現象的(de)描述方(fang)法被(bei)稱(cheng)為薛定諤(e)繪(hui)景,與(yu)(yu)之對(dui)(dui)(dui)應的(de)是海森(sen)伯繪(hui)景。
空間坐標算符x與其對(dui)應的動(dong)量算符p滿足以下(xia)交換關系:
所謂的薛定諤表(biao)示就是將空間算(suan)符(fu)直接作(zuo)為x,而(er)動量(liang)算(suan)符(fu)為下面的包含微(wei)分的微(wei)分算(suan)符(fu):