薛定諤方(fang)程(cheng)（Schr?dinger equation），又稱薛定諤波(bo)動方(fang)程(cheng)（Schrodinger wave equation），是由奧(ao)地利物(wu)理(li)學家薛定諤提出的量子(zi)力學中的一個基(ji)本方(fang)程(cheng)，也(ye)是量子(zi)力學的一個基(ji)本假定。
它是將物質波(bo)的概(gai)念和波(bo)動方程(cheng)相(xiang)結合(he)建立(li)的二階偏(pian)微(wei)分方程(cheng)，可描述微(wei)觀(guan)粒(li)子的運動，每個微(wei)觀(guan)系(xi)統都(dou)有一個相(xiang)應的薛定諤方程(cheng)式(shi)，通過解方程(cheng)可得到波(bo)函數的具(ju)體形式(shi)以(yi)及對(dui)應的能量，從而了解微(wei)觀(guan)系(xi)統的性(xing)(xing)質。在量子力(li)學(xue)中(zhong)，粒(li)子以(yi)概(gai)率(lv)的方式(shi)出現，具(ju)有不確定性(xing)(xing)，宏觀(guan)尺(chi)度下(xia)失效可忽略不計。
薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)是(shi)量子力學的基本方(fang)程(cheng)。是(shi)1926年奧地(di)利理論物理學家薛定(ding)諤提出的。它(ta)描述微觀粒子的狀態隨時間變化(hua)的規律。微觀系(xi)統的狀態由(you)波函數(shu)來描寫，薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)即是(shi)波函數(shu)的微分方(fang)程(cheng)。若給定(ding)了初始(shi)條件和邊界的條件，就可由(you)此方(fang)程(cheng)解出波函數(shu)。
薛(xue)定諤(e)方程（Schrodinger equation）在量(liang)子(zi)力學(xue)(xue)(xue)中(zhong)，體系(xi)的(de)(de)狀態不能用力學(xue)(xue)(xue)量(liang)（例如x）的(de)(de)值(zhi)來確(que)定，而是(shi)(shi)要用力學(xue)(xue)(xue)量(liang)的(de)(de)函(han)數(shu)(shu)Ψ（x,t），即波(bo)函(han)數(shu)(shu)（又稱概(gai)(gai)率幅，態函(han)數(shu)(shu)）來確(que)定，因此波(bo)函(han)數(shu)(shu)成為量(liang)子(zi)力學(xue)(xue)(xue)研究的(de)(de)主要對象。力學(xue)(xue)(xue)量(liang)取值(zhi)的(de)(de)概(gai)(gai)率分布(bu)如何，這(zhe)個分布(bu)隨時間如何變化，這(zhe)些問題都可以(yi)通(tong)過(guo)求解波(bo)函(han)數(shu)(shu)的(de)(de)薛(xue)定諤(e)方程得到解答。這(zhe)個方程是(shi)(shi)奧地(di)利物理學(xue)(xue)(xue)家薛(xue)定諤(e)于1926年提出的(de)(de)，它是(shi)(shi)量(liang)子(zi)力學(xue)(xue)(xue)最(zui)基(ji)本的(de)(de)方程之一，在量(liang)子(zi)力學(xue)(xue)(xue)中(zhong)的(de)(de)地(di)位與牛頓方程在經典力學(xue)(xue)(xue)中(zhong)的(de)(de)地(di)位相當，超(chao)弦理論試(shi)圖統一兩(liang)種理論。
薛(xue)定(ding)諤方(fang)(fang)程是量子(zi)力學最(zui)基(ji)本(ben)的(de)方(fang)(fang)程，亦(yi)是量子(zi)力學的(de)一個基(ji)本(ben)假(jia)定(ding)，其正(zheng)確性(xing)只能靠實驗來確定(ding)。
量子(zi)(zi)力學中(zhong)求(qiu)解(jie)粒子(zi)(zi)問題常歸結(jie)為解(jie)薛(xue)定(ding)諤(e)方程或(huo)定(ding)態薛(xue)定(ding)諤(e)方程。薛(xue)定(ding)諤(e)方程廣泛地用于(yu)原子(zi)(zi)物理、核物理和固體物理，對于(yu)原子(zi)(zi)、分子(zi)(zi)、核、固體等一系列問題中(zhong)求(qiu)解(jie)的結(jie)果都與(yu)實際符合得很好。
薛(xue)(xue)定諤(e)方程僅適(shi)用于速度(du)不太大的(de)(de)非相(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)粒(li)子，其中也沒有包(bao)含(han)關于粒(li)子自旋的(de)(de)描(miao)述。當涉及(ji)相(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)效應(ying)時，薛(xue)(xue)定諤(e)方程由相(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)量(liang)子力學方程所取代，其中自然包(bao)含(han)了粒(li)子的(de)(de)自旋。
.薛定諤(e)提出的(de)(de)(de)量子(zi)(zi)力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)基本(ben)方(fang)程(cheng)。建立(li)于(yu)1926年(nian)。它是一(yi)個非相對論的(de)(de)(de)波(bo)(bo)動方(fang)程(cheng)。它反映(ying)了描述(shu)微觀粒子(zi)(zi)的(de)(de)(de)狀(zhuang)態(tai)隨時(shi)間變化的(de)(de)(de)規律，它在(zai)(zai)量子(zi)(zi)力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)地位(wei)相當(dang)于(yu)牛頓(dun)定律對于(yu)經典力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)一(yi)樣，是量子(zi)(zi)力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)基本(ben)假設(she)之(zhi)一(yi)。設(she)描述(shu)微觀粒子(zi)(zi)狀(zhuang)態(tai)的(de)(de)(de)波(bo)(bo)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)為(wei)(wei)Ψ（r，t），質量為(wei)(wei)m的(de)(de)(de)微觀粒子(zi)(zi)在(zai)(zai)勢(shi)場V（r，t）中(zhong)(zhong)運動的(de)(de)(de)薛定諤(e)方(fang)程(cheng)。在(zai)(zai)給定初始(shi)條件和邊界條件以及波(bo)(bo)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)所滿(man)足的(de)(de)(de)單值(zhi)、有限、連(lian)續(xu)的(de)(de)(de)條件下(xia)，可(ke)解出波(bo)(bo)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)Ψ（r，t）。由(you)此可(ke)計算粒子(zi)(zi)的(de)(de)(de)分(fen)布概(gai)率和任何可(ke)能(neng)實驗的(de)(de)(de)平均值(zhi)（期望值(zhi)）。當(dang)勢(shi)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)V不依賴于(yu)時(shi)間t時(shi)，粒子(zi)(zi)具有確定的(de)(de)(de)能(neng)量，粒子(zi)(zi)的(de)(de)(de)狀(zhuang)態(tai)稱為(wei)(wei)定態(tai)。定態(tai)時(shi)的(de)(de)(de)波(bo)(bo)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)可(ke)寫成式中(zhong)(zhong)Ψ（r）稱為(wei)(wei)定態(tai)波(bo)(bo)函(han)(han)(han)數(shu)(shu)，滿(man)足定態(tai)薛定諤(e)方(fang)程(cheng)，這一(yi)方(fang)程(cheng)在(zai)(zai)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)上(shang)稱為(wei)(wei)本(ben)征方(fang)程(cheng)，式中(zhong)(zhong)E為(wei)(wei)本(ben)征值(zhi)，它是定態(tai)能(neng)量，Ψ（r）又稱為(wei)(wei)屬于(yu)本(ben)征值(zhi)E的(de)(de)(de)本(ben)征函(han)(han)(han)數(shu)(shu)。
薛定(ding)諤方程(cheng)是(shi)量子力學(xue)的(de)基(ji)(ji)本方程(cheng)，它揭(jie)示了微觀物(wu)理(li)世界物(wu)質運(yun)動的(de)基(ji)(ji)本規律，如牛頓(dun)定(ding)律在(zai)經典力學(xue)中(zhong)所(suo)起的(de)作用一樣(yang)，它是(shi)原子物(wu)理(li)學(xue)中(zhong)處理(li)一切非(fei)相對(dui)論問題的(de)有力工(gong)具，在(zai)原子、分(fen)子、固體物(wu)理(li)、核物(wu)理(li)、化學(xue)等領域中(zhong)被廣泛應用。
1900年(nian)，馬克(ke)(ke)(ke)斯·普朗克(ke)(ke)(ke)在研究黑體輻(fu)射中作出將電磁輻(fu)射能量(liang)(liang)量(liang)(liang)子(zi)(zi)化的(de)(de)假設，因此發現將能量(liang)(liang)與(yu)(yu)頻率關(guan)聯在一(yi)起(qi)的(de)(de)普朗克(ke)(ke)(ke)關(guan)系(xi)式(shi)。1905年(nian)，阿(a)爾(er)伯特(te)·愛因斯坦從(cong)對于(yu)光電效應的(de)(de)研究又給予這(zhe)關(guan)系(xi)式(shi)嶄(zhan)新的(de)(de)詮釋：頻率為ν的(de)(de)光子(zi)(zi)擁(yong)有的(de)(de)能量(liang)(liang)為hν；其中，因子(zi)(zi)h是(shi)普朗克(ke)(ke)(ke)常(chang)數。這(zhe)一(yi)點子(zi)(zi)成(cheng)為后來波(bo)粒二象性概念(nian)的(de)(de)早期路標之一(yi)。由于(yu)在狹義(yi)相對論里，能量(liang)(liang)與(yu)(yu)動量(liang)(liang)的(de)(de)關(guan)聯方(fang)式(shi)類(lei)似頻率與(yu)(yu)波(bo)數的(de)(de)關(guan)聯方(fang)式(shi)，因此可以揣測，光子(zi)(zi)的(de)(de)動量(liang)(liang)與(yu)(yu)波(bo)長成(cheng)反比(bi)，與(yu)(yu)波(bo)數成(cheng)正比(bi)，以方(fang)程來表示這(zhe)關(guan)系(xi)式(shi)。
路易(yi)·德(de)布(bu)羅(luo)意認為，不單光子(zi)(zi)(zi)(zi)遵守這關(guan)系(xi)式，所有(you)(you)粒(li)子(zi)(zi)(zi)(zi)都遵守這關(guan)系(xi)式。他于1924年進一(yi)步(bu)提出的(de)德(de)布(bu)羅(luo)意假說(shuo)表明，每一(yi)種微(wei)觀粒(li)子(zi)(zi)(zi)(zi)都具(ju)有(you)(you)波(bo)動性(xing)與粒(li)子(zi)(zi)(zi)(zi)性(xing)，這性(xing)質稱(cheng)為波(bo)粒(li)二象性(xing)。電子(zi)(zi)(zi)(zi)也不例外的(de)具(ju)有(you)(you)這種性(xing)質。電子(zi)(zi)(zi)(zi)是一(yi)種物質波(bo)，稱(cheng)為“電子(zi)(zi)(zi)(zi)波(bo)”。電子(zi)(zi)(zi)(zi)的(de)能(neng)量(liang)(liang)與動量(liang)(liang)分(fen)別決(jue)定了伴隨它(ta)的(de)物質波(bo)所具(ju)有(you)(you)的(de)頻率與波(bo)數。在原子(zi)(zi)(zi)(zi)里，束縛(fu)電子(zi)(zi)(zi)(zi)形成駐波(bo)；這意味著他的(de)旋轉頻率只能(neng)呈某些離(li)散數值。這些量(liang)(liang)子(zi)(zi)(zi)(zi)化(hua)軌道(dao)對應于離(li)散能(neng)級。從這些點子(zi)(zi)(zi)(zi)，德(de)布(bu)羅(luo)意復制出玻爾模型的(de)能(neng)級。
在(zai)1925年，瑞士(shi)蘇黎世每(mei)兩周會(hui)(hui)舉辦(ban)一(yi)場物理(li)(li)學術研(yan)討會(hui)(hui)。有一(yi)次，主辦(ban)者彼(bi)得·德拜邀請薛定(ding)(ding)諤講述關于(yu)德布羅意的(de)(de)(de)(de)波(bo)粒二象(xiang)性(xing)博士(shi)論(lun)文。那(nei)段時期，薛定(ding)(ding)諤正(zheng)在(zai)研(yan)究氣體理(li)(li)論(lun)，他(ta)(ta)從閱讀愛因斯坦關于(yu)玻(bo)色-愛因斯坦統計的(de)(de)(de)(de)論(lun)述中(zhong)，接觸德布羅意的(de)(de)(de)(de)博士(shi)論(lun)文，在(zai)這(zhe)方(fang)(fang)面有很精深的(de)(de)(de)(de)理(li)(li)解(jie)(jie)。在(zai)研(yan)討會(hui)(hui)里，他(ta)(ta)將(jiang)波(bo)粒二象(xiang)性(xing)闡(chan)述的(de)(de)(de)(de)淋漓(li)盡致，大家(jia)都聽的(de)(de)(de)(de)津津有味(wei)。德拜指出(chu)，既然(ran)粒子具有波(bo)動(dong)性(xing)，應該(gai)有一(yi)種能夠正(zheng)確(que)描述這(zhe)種量(liang)子性(xing)質(zhi)的(de)(de)(de)(de)波(bo)動(dong)方(fang)(fang)程。他(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)意見(jian)給予薛定(ding)(ding)諤極大的(de)(de)(de)(de)啟發與鼓(gu)舞，他(ta)(ta)開始尋(xun)找這(zhe)波(bo)動(dong)方(fang)(fang)程。檢試此(ci)(ci)方(fang)(fang)程最簡單(dan)與基(ji)本的(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)法就(jiu)是，用此(ci)(ci)方(fang)(fang)程來描述氫原子內部束縛電子的(de)(de)(de)(de)物理(li)(li)行為，而必能復制出(chu)玻(bo)爾(er)模型(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論(lun)結(jie)果(guo)，另外，這(zhe)方(fang)(fang)程還必須能解(jie)(jie)釋索末菲(fei)模型(xing)(xing)給出(chu)的(de)(de)(de)(de)精細結(jie)構。
很快(kuai)，薛定諤就通過德布羅意論(lun)(lun)(lun)文(wen)的(de)(de)(de)相(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)性(xing)理論(lun)(lun)(lun)，推導(dao)出一個(ge)相(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)性(xing)波(bo)(bo)動方(fang)程(cheng)(cheng)，他將這方(fang)程(cheng)(cheng)應(ying)用(yong)于氫原(yuan)子(zi)，計算(suan)出束縛電(dian)子(zi)的(de)(de)(de)波(bo)(bo)函數。因為薛定諤沒(mei)有將電(dian)子(zi)的(de)(de)(de)自(zi)旋納入考量(liang)，所(suo)以從這方(fang)程(cheng)(cheng)推導(dao)出的(de)(de)(de)精細結(jie)構公式不(bu)符合索末菲模型。他只(zhi)好將這方(fang)程(cheng)(cheng)加以修改，除去相(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)性(xing)部分(fen)，并用(yong)剩下的(de)(de)(de)非(fei)(fei)相(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)性(xing)方(fang)程(cheng)(cheng)來計算(suan)氫原(yuan)子(zi)的(de)(de)(de)譜(pu)線。解(jie)析(xi)這微分(fen)方(fang)程(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)工(gong)作相(xiang)(xiang)當困難，在其好朋友數學家赫爾(er)曼·外爾(er)鼎力相(xiang)(xiang)助(zhu)下，他復制出了與玻(bo)爾(er)模型完全(quan)相(xiang)(xiang)同的(de)(de)(de)答(da)案。因此，他決定暫且不(bu)發表相(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)性(xing)部分(fen)，只(zhi)把非(fei)(fei)相(xiang)(xiang)對(dui)論(lun)(lun)(lun)性(xing)波(bo)(bo)動方(fang)程(cheng)(cheng)與氫原(yuan)子(zi)光譜(pu)分(fen)析(xi)結(jie)果(guo)，寫為一篇論(lun)(lun)(lun)文(wen)。1926年，他正式發表了這論(lun)(lun)(lun)文(wen)。
這(zhe)篇論(lun)文(wen)迅(xun)速在量子學(xue)(xue)(xue)(xue)術界引起(qi)震撼。普(pu)朗克表示“他已閱(yue)讀完畢整篇論(lun)文(wen)，就像被一個迷語困(kun)惑多時，渴慕知道答(da)案的孩(hai)童，現在終于聽到了解答(da)”。愛(ai)因(yin)斯坦稱贊，這(zhe)著作(zuo)的靈(ling)感如同(tong)泉水(shui)般(ban)源自(zi)一位(wei)真正的天才。愛(ai)因(yin)斯坦覺得(de)，薛(xue)(xue)定(ding)諤已做出決定(ding)性貢獻。由于薛(xue)(xue)定(ding)諤所創建的波動(dong)(dong)力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)涉及到眾所熟悉(xi)的波動(dong)(dong)概念與數學(xue)(xue)(xue)(xue)，而不是(shi)矩(ju)陣力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)中既抽象又陌生(sheng)的矩(ju)陣代數，量子學(xue)(xue)(xue)(xue)者(zhe)都很樂意地開始學(xue)(xue)(xue)(xue)習與應(ying)(ying)用(yong)波動(dong)(dong)力(li)學(xue)(xue)(xue)(xue)。自(zi)旋的發(fa)現者(zhe)喬(qiao)治·烏倫(lun)貝克驚嘆，“薛(xue)(xue)定(ding)諤方(fang)程給我(wo)們帶來極大的解救(jiu)！”沃(wo)爾(er)夫岡·泡(pao)利認為(wei)，這(zhe)論(lun)文(wen)應(ying)(ying)可算是(shi)最重要的著作(zuo)之一。
薛(xue)(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)給(gei)出的(de)薛(xue)(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)方(fang)程能夠正確(que)地描(miao)述波(bo)(bo)函(han)數的(de)量(liang)子行為。在(zai)(zai)那(nei)時，物理學者尚不(bu)清(qing)楚(chu)如何詮(quan)釋(shi)(shi)波(bo)(bo)函(han)數，薛(xue)(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)試(shi)圖以電荷密(mi)度來詮(quan)釋(shi)(shi)波(bo)(bo)函(han)數的(de)絕(jue)對值平方(fang)，可并不(bu)成(cheng)功。1926年(nian)，玻(bo)恩(en)提出概(gai)率幅的(de)概(gai)念，成(cheng)功地詮(quan)釋(shi)(shi)了波(bo)(bo)函(han)數的(de)物理意義(yi)。但(dan)是薛(xue)(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)與愛因斯(si)坦(tan)(tan)觀點相(xiang)同(tong)，都不(bu)贊同(tong)這(zhe)種統計或概(gai)率方(fang)法，以及(ji)它所伴隨的(de)非連續性波(bo)(bo)函(han)數坍縮。愛因斯(si)坦(tan)(tan)主張，量(liang)子力學是個決定(ding)性理論(lun)的(de)統計近似。在(zai)(zai)薛(xue)(xue)(xue)定(ding)諤(e)(e)有(you)生的(de)最(zui)后(hou)一(yi)年(nian)，寫給(gei)玻(bo)恩(en)的(de)一(yi)封信中，他(ta)清(qing)楚(chu)地表示(shi)他(ta)不(bu)接受哥本哈根詮(quan)釋(shi)(shi)。
埃爾溫·薛定(ding)諤（Erwin Schrodinger，1887年(nian)—1961年(nian)）1887年(nian)8月(yue)12日出生于(yu)奧(ao)地(di)利首都(dou)維(wei)也(ye)納(na)。1906年(nian)至(zhi)1910年(nian)，他就學(xue)(xue)于(yu)維(wei)也(ye)納(na)大學(xue)(xue)物理(li)(li)系。1910年(nian)獲得博(bo)士學(xue)(xue)位。畢業后，在維(wei)也(ye)納(na)大學(xue)(xue)第二物理(li)(li)研究(jiu)所從事(shi)實驗(yan)物理(li)(li)的(de)(de)工作。第一(yi)(yi)次世界大戰(zhan)期(qi)間，他應征(zheng)服役于(yu)一(yi)(yi)個偏僻的(de)(de)炮兵要塞(sai)，利用閑(xian)暇時間研究(jiu)理(li)(li)論物理(li)(li)。
戰后(hou)他仍(reng)回到第二(er)物理(li)(li)研究所。1920年(nian)(nian)他到耶拿大(da)(da)學(xue)協助維恩工作。1921年(nian)(nian)薛定(ding)(ding)諤受聘(pin)到瑞士的蘇黎(li)世大(da)(da)學(xue)任(ren)(ren)數學(xue)物理(li)(li)教授，在(zai)那里工作了6年(nian)(nian)，薛定(ding)(ding)諤方程(cheng)就是(shi)在(zai)這(zhe)一(yi)期間提出(chu)(chu)的。1927年(nian)(nian)薛定(ding)(ding)諤接(jie)替普(pu)朗克(ke)(ke)到柏(bo)林大(da)(da)學(xue)擔任(ren)(ren)理(li)(li)論物理(li)(li)教授。1933年(nian)(nian)希特勒(le)上臺后(hou)，薛定(ding)(ding)諤對于納粹政權迫害愛因斯(si)(si)坦等(deng)杰出(chu)(chu)科學(xue)家的法西斯(si)(si)行(xing)為深(shen)為憤慨，移(yi)居牛津，在(zai)馬達倫學(xue)院任(ren)(ren)訪問(wen)教授。同(tong)年(nian)(nian)他與(yu)狄拉(la)克(ke)(ke)共同(tong)獲得諾貝爾(er)物理(li)(li)學(xue)獎(jiang)。
1936年他(ta)回(hui)到(dao)奧地(di)利任格拉(la)茨大(da)(da)學理論(lun)物(wu)(wu)理教授。不到(dao)兩年，奧地(di)利被納粹并吞后(hou)，他(ta)又陷入了(le)逆境。1939年10月流亡到(dao)愛爾(er)蘭首府都柏林，就任都柏林高級研究(jiu)所所長，從事(shi)理論(lun)物(wu)(wu)理研究(jiu)。在此期間還(huan)進行了(le)科學哲學、生(sheng)物(wu)(wu)物(wu)(wu)理研究(jiu)，頗(po)有建樹。出版了(le)《生(sheng)命是(shi)什么(me)》一書，試(shi)圖用量(liang)子物(wu)(wu)理闡明遺傳結構(gou)的(de)穩(wen)定(ding)性。1956年薛定(ding)諤回(hui)到(dao)了(le)奧地(di)利，被聘(pin)為維(wei)也納大(da)(da)學理論(lun)物(wu)(wu)理教授，奧地(di)利政府給予他(ta)極大(da)(da)的(de)榮譽，設(she)定(ding)了(le)以(yi)薛定(ding)諤命名的(de)國家獎(jiang)金(jin)，由奧地(di)利科學院(yuan)授予。
一維薛定諤方程
三維薛定諤方程
定態薛定諤方程
單粒子薛(xue)定諤方程的數學表(biao)達形式
這是(shi)(shi)(shi)一(yi)個二階線性偏微分(fen)方程(cheng)，ψ(x，y，z)是(shi)(shi)(shi)待求(qiu)函數(shu)(shu)(shu)，它是(shi)(shi)(shi)x,y,z三個變量(liang)的(de)(de)復數(shu)(shu)(shu)函數(shu)(shu)(shu)（就(jiu)是(shi)(shi)(shi)說(shuo)函數(shu)(shu)(shu)值不(bu)一(yi)定是(shi)(shi)(shi)實數(shu)(shu)(shu)，也可能是(shi)(shi)(shi)虛數(shu)(shu)(shu)）。式子最左邊的(de)(de)倒三角是(shi)(shi)(shi)拉普拉斯算符，意思是(shi)(shi)(shi)分(fen)別對ψ(x，y，z)的(de)(de)梯度求(qiu)散度。
這是(shi)一(yi)(yi)個(ge)描(miao)述一(yi)(yi)個(ge)粒(li)子(zi)在(zai)三維勢(shi)(shi)場中(zhong)的定(ding)(ding)態(tai)薛定(ding)(ding)諤方程。所謂勢(shi)(shi)場，就(jiu)是(shi)粒(li)子(zi)在(zai)其中(zhong)會(hui)有勢(shi)(shi)能的場，比如電(dian)場就(jiu)是(shi)一(yi)(yi)個(ge)帶電(dian)粒(li)子(zi)的勢(shi)(shi)場；所謂定(ding)(ding)態(tai)，就(jiu)是(shi)假(jia)設波函(han)數(shu)不(bu)隨(sui)時(shi)(shi)(shi)間變(bian)化。其中(zhong)，E是(shi)粒(li)子(zi)本身的能量；U（x，y，z）是(shi)描(miao)述勢(shi)(shi)場的函(han)數(shu)，假(jia)設不(bu)隨(sui)時(shi)(shi)(shi)間變(bian)化。薛定(ding)(ding)諤方程有一(yi)(yi)個(ge)很(hen)好的性質，就(jiu)是(shi)時(shi)(shi)(shi)間和空(kong)(kong)間部(bu)分是(shi)相互分立的，求出定(ding)(ding)態(tai)波函(han)數(shu)的空(kong)(kong)間部(bu)分后再乘上時(shi)(shi)(shi)間部(bu)分以后就(jiu)成了(le)完整的波函(han)數(shu)了(le)。
簡單系統，如氫原子中電子的(de)薛定(ding)諤方程才能(neng)求解，對(dui)于復雜(za)系統必須近(jin)(jin)似求解。因為(wei)對(dui)于有(you)Z個(ge)電子的(de)原子，其電子由于屏蔽(bi)效應(ying)相(xiang)互作用勢能(neng)會發生改變，所以只能(neng)近(jin)(jin)似求解。近(jin)(jin)似求解的(de)方法(fa)(fa)主要(yao)有(you)變分法(fa)(fa)和微擾法(fa)(fa)。
在(zai)束縛(fu)態邊界條件下(xia)并(bing)不是(shi)(shi)E值對(dui)應的所有解(jie)在(zai)物(wu)理上都是(shi)(shi)可以接受的。主量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)、角(jiao)量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)、磁量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)都是(shi)(shi)薛(xue)(xue)定諤方(fang)(fang)程(cheng)的解(jie)。要完(wan)整(zheng)描(miao)述電子(zi)(zi)(zi)狀態，必須要四個量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)。自旋(xuan)磁量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)不是(shi)(shi)薛(xue)(xue)定諤方(fang)(fang)程(cheng)的解(jie)，而(er)是(shi)(shi)作為實驗事(shi)實接受下(xia)來的。
主量(liang)子(zi)數n和能(neng)(neng)量(liang)有關的量(liang)子(zi)數。原子(zi)具(ju)有分立能(neng)(neng)級，能(neng)(neng)量(liang)只(zhi)能(neng)(neng)取一系列(lie)值(zhi)，每一個(ge)波(bo)函數都對應(ying)相應(ying)的能(neng)(neng)量(liang)。氫原子(zi)以及(ji)類氫原子(zi)的分立值(zhi)為(wei)：
，n越大(da)能量(liang)越高電子(zi)層離核越遠(yuan)。主(zhu)量(liang)子(zi)數決(jue)定(ding)了(le)(le)電子(zi)出現的最大(da)幾率的區域離核遠(yuan)近(jin)，決(jue)定(ding)了(le)(le)電子(zi)的能量(liang)。N=1，2，3，……；常用K、L、M、N……表(biao)示。
角量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)l和能(neng)量(liang)有關的(de)(de)量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)。電子(zi)(zi)(zi)在(zai)原子(zi)(zi)(zi)中具有確定的(de)(de)角動量(liang)L，它(ta)的(de)(de)取值不是任意的(de)(de)，只能(neng)取一系列分立(li)值，稱(cheng)為(wei)(wei)角動量(liang)量(liang)子(zi)(zi)(zi)化(hua)。。l越大(da)，角動量(liang)越大(da)，能(neng)量(liang)越高，電子(zi)(zi)(zi)云的(de)(de)形(xing)(xing)狀(zhuang)也不同。l=0，1，2，……常用s，p，d，f，g表示，簡(jian)單的(de)(de)說就是前面說的(de)(de)電子(zi)(zi)(zi)亞(ya)層。角量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)決(jue)定了軌道(dao)形(xing)(xing)狀(zhuang)，所以也稱(cheng)為(wei)(wei)軌道(dao)形(xing)(xing)狀(zhuang)量(liang)子(zi)(zi)(zi)數(shu)。s為(wei)(wei)球型，p為(wei)(wei)啞鈴型，d為(wei)(wei)花(hua)瓣(ban)，f軌道(dao)更為(wei)(wei)復雜。
磁量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)數(shu)m是和電子(zi)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)無關的(de)(de)(de)(de)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)數(shu)。原(yuan)子(zi)中電子(zi)繞核運動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)(dao)(dao)角(jiao)動(dong)(dong)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)，在(zai)外(wai)磁場(chang)方向(xiang)(xiang)上的(de)(de)(de)(de)分(fen)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)是量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)化的(de)(de)(de)(de)，并(bing)由(you)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)數(shu)m決定，m稱為(wei)(wei)磁量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)數(shu)。對于任(ren)意選(xuan)定的(de)(de)(de)(de)外(wai)磁場(chang)方向(xiang)(xiang)Z，角(jiao)動(dong)(dong)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)L在(zai)此方向(xiang)(xiang)上的(de)(de)(de)(de)分(fen)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)Lz只能(neng)(neng)取(qu)一系列(lie)分(fen)立值(zhi)，這種現象稱為(wei)(wei)空(kong)間量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)化。。磁量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)子(zi)數(shu)決定了原(yuan)子(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)(dao)(dao)空(kong)間伸展方向(xiang)(xiang)，即(ji)原(yuan)子(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)(dao)(dao)在(zai)空(kong)間的(de)(de)(de)(de)取(qu)向(xiang)(xiang)，s軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)(dao)(dao)一個(ge)方向(xiang)(xiang)（球(qiu)），p軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)(dao)(dao)3個(ge)方向(xiang)(xiang)，d軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)(dao)(dao)5個(ge)，f軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)(dao)(dao)7個(ge)……。l相(xiang)同(tong)(tong)(tong)(tong)，m不(bu)同(tong)(tong)(tong)(tong)即(ji)形狀相(xiang)同(tong)(tong)(tong)(tong)空(kong)間取(qu)向(xiang)(xiang)不(bu)同(tong)(tong)(tong)(tong)的(de)(de)(de)(de)原(yuan)子(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)(dao)(dao)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)是相(xiang)同(tong)(tong)(tong)(tong)的(de)(de)(de)(de)。不(bu)同(tong)(tong)(tong)(tong)原(yuan)子(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)(dao)(dao)(dao)具有相(xiang)同(tong)(tong)(tong)(tong)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)的(de)(de)(de)(de)現象稱為(wei)(wei)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)(liang)(liang)簡并(bing)。
能(neng)量(liang)相同的原子(zi)軌(gui)道(dao)稱(cheng)為簡并(bing)軌(gui)道(dao)，其數目稱(cheng)為簡并(bing)度(du)(du)。如p軌(gui)道(dao)有3個簡并(bing)軌(gui)道(dao)，簡并(bing)度(du)(du)為3。簡并(bing)軌(gui)道(dao)在外磁場作用(yong)下會產生能(neng)量(liang)差異，這就是線狀譜在磁場下分裂的原因。
粒子的自(zi)旋(xuan)(xuan)也(ye)產生角動(dong)量(liang)，其(qi)大(da)小取決于自(zi)旋(xuan)(xuan)磁量(liang)子數(shu)（ms）。電(dian)子自(zi)旋(xuan)(xuan)角動(dong)量(liang)是量(liang)子化的其(qi)值為(wei)，s為(wei)自(zi)旋(xuan)(xuan)量(liang)子數(shu)，自(zi)旋(xuan)(xuan)角動(dong)量(liang)的一(yi)個分量(liang)Lsz應取下列分立值：。
原子光(guang)譜(pu)，在高(gao)分辨光(guang)譜(pu)儀(yi)下，每(mei)一條(tiao)光(guang)線都是由(you)兩條(tiao)非常接近的(de)(de)光(guang)譜(pu)線組(zu)成，為解釋這一現象提出(chu)了(le)粒子的(de)(de)自旋。電子的(de)(de)自旋表(biao)示(shi)電子的(de)(de)兩種不(bu)同(tong)狀態，這兩種狀態有不(bu)同(tong)的(de)(de)自旋角(jiao)動量。
電子的自(zi)旋(xuan)(xuan)不(bu)是(shi)機械的自(zi)身(shen)旋(xuan)(xuan)轉，它(ta)是(shi)本身(shen)的內稟屬性，也是(shi)新的自(zi)由度，如質(zhi)量和電荷(he)一樣是(shi)它(ta)的內在屬性，電子的自(zi)旋(xuan)(xuan)角動量：?/2。
希爾伯特(te)空間與薛定諤方程
一般，物(wu)理(li)(li)上將物(wu)理(li)(li)狀態與(yu)希(xi)(xi)爾伯特空(kong)間上的向量（vector），物(wu)理(li)(li)量與(yu)希(xi)(xi)爾伯特空(kong)間上的算符相對應(ying)。這種形式下的薛定諤(e)方程為
H為(wei)哈密頓算符。這(zhe)(zhe)個方程在這(zhe)(zhe)個形式下充分(fen)顯(xian)示出了時間與空(kong)間的對(dui)應性（時間與能量(liang)相對(dui)應，正如(ru)空(kong)間與動量(liang)相對(dui)應，后述）。這(zhe)(zhe)種算符（物理量(liang)）不隨(sui)時間變化而狀態隨(sui)時間變化的對(dui)自然現象的描述方法被(bei)稱為(wei)薛定(ding)諤繪景(jing)，與之對(dui)應的是海森伯繪景(jing)。
空(kong)間坐(zuo)標算符x與其對應的動量算符p滿足以下交換關系：
所謂(wei)的薛定(ding)諤表(biao)示就是將空(kong)間算符直接作為x，而動量算符為下面的包含(han)微(wei)分的微(wei)分算符：
精靈世(shi)界
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