質能(neng)(neng)方程即(ji)描述質量(liang)(liang)(liang)與(yu)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)之(zhi)間的(de)(de)當(dang)量(liang)(liang)(liang)關系(xi)的(de)(de)方程。在(zai)經典物理學中,質量(liang)(liang)(liang)和(he)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)是兩(liang)個(ge)完全不(bu)同(tong)的(de)(de)概念(nian),它(ta)們之(zhi)間沒有(you)確(que)定(ding)(ding)的(de)(de)當(dang)量(liang)(liang)(liang)關系(xi),一定(ding)(ding)質量(liang)(liang)(liang)的(de)(de)物體(ti)可以具有(you)不(bu)同(tong)的(de)(de)能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang);能(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)概念(nian)也(ye)比較局限(xian),力學中有(you)動能(neng)(neng)、勢能(neng)(neng)等。
在狹義(yi)相對論中,能(neng)量概念有(you)了推廣,質量和能(neng)量有(you)確定的(de)(de)當(dang)量關系,物體的(de)(de)質量為m,則相應的(de)(de)能(neng)量為E=mc2。
質能方(fang)(fang)程E=mc2,E表示(shi)(shi)能量(liang),m代表質量(liang),而c則表示(shi)(shi)光速(常量(liang),c=299792458m/s)。由阿爾伯(bo)特·愛因(yin)斯坦提出。該(gai)方(fang)(fang)程主要(yao)用來(lai)解釋核變反(fan)應中(zhong)的(de)質量(liang)虧損和計算(suan)高能物理中(zhong)粒(li)子的(de)能量(liang)。這也導(dao)致了(le)德布羅意波和波動力學的(de)誕(dan)生。
質能方程(cheng)表述(shu)如下:
其中,E是(shi)能量,單(dan)位(wei)(wei)是(shi)焦(jiao)耳(J)。M是(shi)質量,單(dan)位(wei)(wei)是(shi)千克(kg)。C是(shi)真空中光速(m/s),c=299792458m/s
該(gai)公(gong)式表明物體(ti)相(xiang)對(dui)于一個參照系(xi)靜止(zhi)(zhi)時仍然有能(neng)(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang),這(zhe)(zhe)是違(wei)反(fan)牛頓系(xi)統(tong)的(de)(de),因為在牛頓系(xi)統(tong)中(zhong),靜止(zhi)(zhi)物體(ti)是沒有能(neng)(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang)的(de)(de)。這(zhe)(zhe)就是為什么物體(ti)的(de)(de)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)被(bei)稱為靜止(zhi)(zhi)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)。公(gong)式中(zhong)的(de)(de)E可以(yi)看成是物體(ti)總能(neng)(neng)(neng)量(liang)(liang)(liang),它(ta)與物體(ti)總質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(該(gai)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)包括靜止(zhi)(zhi)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)和運(yun)動所(suo)帶來(lai)的(de)(de)質(zhi)量(liang)(liang)(liang))成正(zheng)(zheng)比,只有當物體(ti)靜止(zhi)(zhi)時,它(ta)才與物體(ti)的(de)(de)(靜止(zhi)(zhi))質(zhi)量(liang)(liang)(liang)(牛頓系(xi)統(tong)中(zhong)的(de)(de)'質(zhi)量(liang)(liang)(liang)')成正(zheng)(zheng)比。這(zhe)(zhe)也表明物體(ti)的(de)(de)總質(zhi)量(liang)(liang)(liang)和靜止(zhi)(zhi)質(zhi)量(liang)(liang)(liang)不(bu)同。
反(fan)過來講(jiang),一束光子在真空中傳播,其(qi)靜止(zhi)質量是0,但由于它們有運動能量,因(yin)此(ci)它們也有質量。
表達形式1:
上式中的(de)(de)為物體的(de)(de)靜止質量(liang),為物體的(de)(de)靜止能量(liang)。中學物理教材中所(suo)講的(de)(de)質能方(fang)程含義與此(ci)表達(da)式相同(tong),通常簡寫為。
表達形式2:
為隨運(yun)動速度增大而增大了(le)的質量。為物體運(yun)動時的能量,即物體的靜止能量和動能之和。
表達形式3:
上(shang)(shang)式(shi)中的Δm通常為物體(ti)靜(jing)止(zhi)質量(liang)的變化,即質量(liang)虧損。ΔE為物體(ti)靜(jing)止(zhi)能量(liang)的變化。實際上(shang)(shang)這種表(biao)(biao)達(da)形式(shi)是表(biao)(biao)達(da)形式(shi)1的微分形式(shi).這種表(biao)(biao)達(da)形式(shi)最常用,也是學生(sheng)最容易產生(sheng)誤解的表(biao)(biao)達(da)形式(shi)。
注意:有些術語使用中,質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)(liang)單指靜止(zhi)質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)(liang),因為總(zong)質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)(liang)和能量(liang)(liang)是等價的(de)概念。若(ruo)指代靜止(zhi)質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)(liang),則公式應改寫為而,因此(ci),也就是總(zong)質(zhi)(zhi)(zhi)量(liang)(liang)的(de)表達式,其中為洛(luo)倫茲(zi)因子。
推導1
首(shou)先要認可狹(xia)義相對(dui)論的(de)(de)兩(liang)個假設(she):1、任一光源所發(fa)之球狀(zhuang)光在一切慣性參照系(xi)中的(de)(de)速(su)度都各向同性總為c。2、所有慣性參考(kao)系(xi)內的(de)(de)物理定律(lv)都是相同的(de)(de)。
如果你的(de)(de)行走速(su)度(du)(du)是(shi)(shi)v,你在(zai)(zai)(zai)一輛以速(su)度(du)(du)u行駛(shi)的(de)(de)公(gong)車(che)上(shang),那(nei)么當你與車(che)同向走時,你對地(di)面的(de)(de)速(su)度(du)(du)為(wei)u+v,反向時為(wei)u-v,你在(zai)(zai)(zai)車(che)上(shang)過了(le)1分鐘,別(bie)人在(zai)(zai)(zai)地(di)上(shang)也過了(le)1分鐘——這就是(shi)(shi)我們腦袋里的(de)(de)常識。也是(shi)(shi)物理學中著名的(de)(de)伽利略變換,整個(ge)經典(dian)力學的(de)(de)支柱。該(gai)理論認為(wei)空間是(shi)(shi)獨立的(de)(de),與在(zai)(zai)(zai)其中運(yun)動的(de)(de)各種(zhong)物體無關,而時間是(shi)(shi)均(jun)勻流逝的(de)(de),線性的(de)(de),在(zai)(zai)(zai)任何觀察者(zhe)來看都(dou)是(shi)(shi)相同的(de)(de)。
而(er)以上這個變(bian)換恰恰與狹義相(xiang)對(dui)論的假設相(xiang)矛(mao)盾(dun)。
事(shi)實上,在愛因斯(si)坦(tan)提出(chu)(chu)狹義相(xiang)對論(lun)之前,人們就觀(guan)察(cha)到(dao)許多與常(chang)識(shi)不符的(de)現象(xiang)。物(wu)理學家(jia)洛倫(lun)茲為(wei)了修正將要傾(qing)倒的(de)經(jing)典物(wu)理學大廈,提出(chu)(chu)了洛倫(lun)茲變換(huan),但他并不能解釋這種現象(xiang)為(wei)何(he)發生(sheng),只是根據當時的(de)觀(guan)察(cha)事(shi)實寫(xie)出(chu)(chu)的(de)經(jing)驗(yan)公式——洛倫(lun)茲變換(huan)——而它卻可(ke)以通(tong)過相(xiang)對論(lun)的(de)純理論(lun)推(tui)導出(chu)(chu)來。
然后根據這個公式又可以推導出質速(su)關(guan)系,也就是時(shi)間會隨速(su)度(du)增加而變慢,質量(liang)變大,長度(du)減小(xiao)。
一個(ge)物體(ti)的實(shi)際(ji)質(zhi)量(liang)為其(qi)靜止質(zhi)量(liang)與其(qi)通過(guo)運(yun)動(dong)多出來的質(zhi)量(liang)之和。
當外力作用在靜止質(zhi)量(liang)為的(de)自(zi)由質(zhi)點上時,質(zhi)點每(mei)經歷位移,其動能(neng)的(de)增量(liang)是,
如果外力與位移同方(fang)向(xiang),則上式成為,
設外(wai)力作(zuo)用(yong)于質點的時間為,則質點在外(wai)力沖量作(zuo)用(yong)下,其動量增量是(shi),
考(kao)慮到(dao),有上(shang)兩式相除,即得質點的速度表達式為,
亦即,
根據洛倫茲變(bian)換,得質量的變(bian)換公式為,兩邊平方得,
對速度求導:得
注(zhu)意到等式右(you)邊為0,即(ji)上式可化為
代入上式得。
上(shang)式說明,當質點(dian)的(de)速度(du)v增(zeng)大時(shi),其質量(liang)(liang)m和動(dong)能(neng)(neng)Ek都在增(zeng)加,質量(liang)(liang)的(de)增(zeng)量(liang)(liang)dm和動(dong)能(neng)(neng)的(de)增(zeng)量(liang)(liang)之間始終(zhong)保持所示的(de)量(liang)(liang)值上(shang)的(de)正(zheng)比關(guan)系。
當時,質量(liang),動能(neng),
據此,將上式積分(fen),即(ji)得。
上式是(shi)相對論中的(de)動能(neng)表達(da)式。愛(ai)因(yin)斯坦(tan)在這里引入了(le)經典力學中從未(wei)有過的(de)獨特見(jian)解,他把叫(jiao)(jiao)做(zuo)物體的(de)靜止能(neng)量,把叫(jiao)(jiao)做(zuo)運(yun)動時的(de)能(neng)量,我們分(fen)別(bie)用和表示(shi):,。
推導:
首先是狹義(yi)相對論(lun)得到(dao)
洛倫茲因子
所以,運動物體的質(zhi)量
然后(hou)利用(yong)泰勒(le)展(zhan)開(展(zhan)開后(hou)第(di)二項(xiang)為(wei)零,此處(chu)為(wei)第(di)一項(xiang)和(he)第(di)三項(xiang)):
得到
其(qi)中為(wei)靜止能,就(jiu)是我們平時(shi)見到的在(zai)低速情況(kuang)下的動能,后面的是高(gao)階的能量。
(當可以(yi)測出(chu)時,由此公(gong)式可以(yi)計算出(chu)物體運(yun)動的絕對速度。)
推導2
根(gen)據公式,運動時(shi)物(wu)體(ti)質量增大(da)(da),同時(shi)運動時(shi)將會有動能,質量與動能均隨速度增大(da)(da)而增大(da)(da)。
根據,得(de),因為,所以(yi),由易得(de)。
將(jiang)該式對(dui)(dui)和(he)進行微分,得(de),代(dai)入得(de),對(dui)(dui)其積分,。
這(zhe)就是相對論下的動(dong)能(neng)公(gong)式。當(dang)速度為(wei)0,,動(dong)能(neng)為(wei)0。為(wei)物(wu)體靜(jing)(jing)止時的能(neng)量(liang),而(er)總能(neng)量(liang)=靜(jing)(jing)止能(neng)量(liang)+動(dong)能(neng),因此(ci)總能(neng)量(liang)。
這(zhe)個等式源于阿爾伯特·愛因斯坦對于物體慣性和它自(zi)身能(neng)量關(guan)系的(de)(de)研究。研究的(de)(de)著名結論(lun)(lun)就是物體質(zhi)量實際上就是它自(zi)身能(neng)量的(de)(de)量度。為了(le)便于理(li)解此(ci)關(guan)系的(de)(de)重要性,可(ke)以比較(jiao)一(yi)下(xia)電磁力和引(yin)力。電磁學理(li)論(lun)(lun)認為,能(neng)量包(bao)含(han)于與力相(xiang)關(guan)而與電荷無(wu)關(guan)的(de)(de)場(電場和磁場)中。在(zai)萬有引(yin)力理(li)論(lun)(lun)中,能(neng)量包(bao)含(han)于物質(zhi)本(ben)(ben)身。因此(ci)物質(zhi)質(zhi)量能(neng)夠(gou)使時空扭曲,但(dan)其(qi)它三種(zhong)基本(ben)(ben)相(xiang)互作用(yong)(電磁相(xiang)互作用(yong),強相(xiang)互作用(yong),弱相(xiang)互作用(yong))的(de)(de)粒子(zi)卻不能(neng),這(zhe)并不是偶然的(de)(de)。
這個(ge)方程對于原子(zi)彈的(de)發展(zhan)是關(guan)鍵性(xing)的(de)。這不僅(jin)顯示可(ke)能通過輕核的(de)核聚(ju)變(bian)和重核的(de)核裂變(bian)釋(shi)放(fang)這個(ge)結合能,也可(ke)用于估算會(hui)釋(shi)放(fang)的(de)結合能的(de)量(liang)。注意質子(zi)和中子(zi)的(de)質量(liang)還在那(nei)里,它(ta)們也代表了一個(ge)能量(liang)值。
一(yi)個著名的花絮是(shi)(shi)愛因斯坦最初將方(fang)程寫為(用了一(yi)個“L",而(er)(er)不(bu)是(shi)(shi)“E"來(lai)表(biao)(biao)示(shi)能量(liang)(liang),而(er)(er)E在其它地方(fang)也用來(lai)表(biao)(biao)示(shi)能量(liang)(liang))。
重要(yao)的(de)(de)是(shi)要(yao)注意(yi)實際的(de)(de)靜(jing)質(zhi)量(liang)(liang)到能(neng)(neng)量(liang)(liang)的(de)(de)轉換(huan)不(bu)大(da)可能(neng)(neng)是(shi)百(bai)分之百(bai)有效的(de)(de)。一個理(li)論上(shang)完(wan)美的(de)(de)轉化是(shi)物質(zhi)和(he)(he)反物質(zhi)的(de)(de)湮滅;對于(yu)多(duo)數(shu)情況,有很(hen)多(duo)帶靜(jing)質(zhi)量(liang)(liang)的(de)(de)副產品(pin)而不(bu)是(shi)能(neng)(neng)量(liang)(liang),因而只有少量(liang)(liang)的(de)(de)靜(jing)質(zhi)量(liang)(liang)真正被(bei)(bei)轉換(huan)。在(zai)該(gai)方程中,質(zhi)量(liang)(liang)就(jiu)是(shi)能(neng)(neng)量(liang)(liang),但是(shi)為了簡(jian)明起見,轉換(huan)這個詞常(chang)常(chang)被(bei)(bei)用于(yu)代替質(zhi)能(neng)(neng)等(deng)價(jia)關系,實際上(shang)通常(chang)所指的(de)(de)一般(ban)是(shi)靜(jing)質(zhi)量(liang)(liang)和(he)(he)能(neng)(neng)量(liang)(liang)的(de)(de)轉換(huan)。