傅里葉變換(huan),表示(shi)能將滿足一定條件(jian)的某個(ge)函(han)數(shu)(shu)表示(shi)成三(san)角函(han)數(shu)(shu)(正弦和/或余弦函(han)數(shu)(shu))或者它們的積分的線(xian)性組(zu)合。
在(zai)不同的(de)研究領域,傅里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)具有多種不同的(de)變(bian)(bian)體形式,如連續(xu)傅里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)和離散傅里葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)。最初傅里葉(xie)分析是作為(wei)熱過程(cheng)的(de)解析分析的(de)工具被提出(chu)的(de)。
設f∈,則其傅(fu)里葉變(bian)換(huan)為(wei)上的函數(shu),定義為(wei)
且稱(cheng)為(wei)傅里葉級數。
收斂性
f到的(de)(de)傅里葉映(ying)射(she)為,且,且f的(de)(de)傅里葉級(ji)數在L2范數下(xia)收(shou)斂于f。
對稱性質
若 ,則。
奇偶性質
若 ,且 ,其中 表示 的實部(bu), 表示 的虛部(bu),則 是關(guan)(guan)于 的偶函(han)數(shu),的模是關(guan)(guan)于的偶函(han)數(shu),輻角是關(guan)(guan)于的奇函(han)數(shu)。
線性性質
若,,則
其中α和β為常數。
時移性質
若,則。
頻移性質
若,則。
尺度變換性質
若,則。
卷積定理
時域(yu)卷(juan)積定(ding)理:若,,則;
頻域(yu)卷積定理:若,,則。
時域微積分
微分性質:若,則,;
積(ji)分性質(zhi):若,則。
頻域微積分
微分性(xing)質:若(ruo),則;
積分性質:若(ruo),則。
盡管最初(chu)傅里葉分(fen)(fen)析(xi)是作為熱過(guo)程的(de)解(jie)析(xi)分(fen)(fen)析(xi)的(de)工具,但是其思想(xiang)方(fang)法仍然具有(you)典型的(de)還原論和(he)分(fen)(fen)析(xi)主義的(de)特征。"任意"的(de)函數通(tong)過(guo)一(yi)定的(de)分(fen)(fen)解(jie),都能夠表示為正弦函數的(de)線(xian)性(xing)組合的(de)形式,而(er)正弦函數在(zai)物理上(shang)是被充分(fen)(fen)研究而(er)相對簡(jian)單的(de)函數類(lei),這(zhe)一(yi)想(xiang)法跟(gen)化(hua)學上(shang)的(de)原子論想(xiang)法何其相似(si)!奇妙的(de)是,現(xian)代數學發現(xian)傅里葉變換具有(you)非(fei)常(chang)好的(de)性(xing)質(zhi),使得它如此(ci)的(de)好用和(he)有(you)用,讓人不(bu)得不(bu)感嘆(tan)造物的(de)神奇:
傅里(li)葉變(bian)換是線(xian)性(xing)算子,若(ruo)賦予適(shi)當的(de)范數,它還(huan)是酉(you)算子;
傅里葉變換的逆變換容易求出,而(er)且形式與正變換非常類似;
正(zheng)弦基函(han)數(shu)是(shi)微分運算的(de)本征函(han)數(shu),從而(er)使得線性(xing)微分方(fang)程的(de)求(qiu)解(jie)可(ke)以(yi)轉化為常系數(shu)的(de)代數(shu)方(fang)程的(de)求(qiu)解(jie).在線性(xing)時不變的(de)物理系統(tong)內,頻率是(shi)個不變的(de)性(xing)質,從而(er)系統(tong)對(dui)于復雜激勵(li)的(de)響應可(ke)以(yi)通過組合其(qi)對(dui)不同頻率正(zheng)弦信(xin)號的(de)響應來獲取;
著名的卷積(ji)定理指出:傅(fu)里葉變(bian)換可以化復雜(za)的卷積(ji)運算(suan)為簡單(dan)的乘積(ji)運算(suan),從而提供了計算(suan)卷積(ji)的一種簡單(dan)手段;
離散形(xing)式(shi)的傅里葉(xie)變換(huan)可以(yi)利用數(shu)字計算(suan)(suan)(suan)機快速的算(suan)(suan)(suan)出(chu)(其算(suan)(suan)(suan)法稱(cheng)為(wei)快速傅里葉(xie)變換(huan)算(suan)(suan)(suan)法(FFT)).
正是由于上述的(de)良好性質,傅里葉變換在物理學、數(shu)論、組合數(shu)學、信號處理、概(gai)率(lv)、統(tong)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著(zhu)廣泛的(de)應用。
傅里葉變換(huan)(huan)(huan)是(shi)數字信(xin)號(hao)處(chu)理(li)中的(de)基本操(cao)作,廣泛應用于(yu)表述及分析離散時(shi)域信(xin)號(hao)領域。但由于(yu)其運算(suan)(suan)量與變換(huan)(huan)(huan)點(dian)數N的(de)平方成(cheng)正比關系,因此,在N較大(da)時(shi),直(zhi)接應用DFT算(suan)(suan)法進行譜變換(huan)(huan)(huan)是(shi)不(bu)切合實際的(de)。然而,快速傅里葉變換(huan)(huan)(huan)技術的(de)出(chu)現使情況(kuang)發生了根(gen)本性的(de)變化。本文主要(yao)描述了采(cai)用FPGA來實現2k/4k/8k點(dian)FFT的(de)設計方法。
一般情況下(xia),N點的傅里葉變換對為:
其中(zhong),WN=exp(-2pi/N)。X(k)和x(n)都(dou)為(wei)復數(shu)。與(yu)之(zhi)相對(dui)的(de)(de)快速傅里(li)葉變換(huan)有(you)很多種(zhong),如DIT(時域抽(chou)取法(fa))、DIF(頻域抽(chou)取法(fa))、Cooley-Tukey和Winograd等(deng)。對(dui)于2n傅里(li)葉變換(huan),Cooley-Tukey算(suan)法(fa)可導出DIT和DIF算(suan)法(fa)。本(ben)文運用的(de)(de)基本(ben)思想(xiang)是Cooley-Tukey算(suan)法(fa),即將(jiang)高點數(shu)的(de)(de)傅里(li)葉變換(huan)通過多重低點數(shu)傅里(li)葉變換(huan)來實現。雖然DIT與(yu)DIF有(you)差別,但(dan)由于它們在(zai)本(ben)質(zhi)上(shang)都(dou)是一(yi)種(zhong)基于標號(hao)分解的(de)(de)算(suan)法(fa),故在(zai)運算(suan)量和算(suan)法(fa)復雜(za)性等(deng)方面完全一(yi)樣(yang),而沒有(you)性能上(shang)的(de)(de)優劣之(zhi)分,所以可以根據需要(yao)任取其中(zhong)一(yi)種(zhong),本(ben)文主要(yao)以DIT方法(fa)為(wei)對(dui)象來討論。
N=8192點DFT的(de)運算表達(da)式為:
式中,m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2,k=2048k1+k2)其中n1和k2可(ke)取0,1,...,2047,k1和n2可(ke)取0,1,2,3。
由(you)(you)(you)式(3)可(ke)(ke)知,8k傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)可(ke)(ke)由(you)(you)(you)4×2k的(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)。同理,4k傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)可(ke)(ke)由(you)(you)(you)2×2k的(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)。而2k傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)可(ke)(ke)由(you)(you)(you)128×16的(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)。128的(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)可(ke)(ke)進一步(bu)由(you)(you)(you)16×8的(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng),歸根結(jie)底,整個傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)可(ke)(ke)由(you)(you)(you)基(ji)2、基(ji)4的(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)成(cheng)。2k的(de)FFT可(ke)(ke)以(yi)通(tong)過5個基(ji)4和1個基(ji)2變(bian)換(huan)(huan)來(lai)實現(xian);4k的(de)FFT變(bian)換(huan)(huan)可(ke)(ke)通(tong)過6個基(ji)4變(bian)換(huan)(huan)來(lai)實現(xian);8k的(de)FFT可(ke)(ke)以(yi)通(tong)過6個基(ji)4和1個基(ji)2變(bian)換(huan)(huan)來(lai)實現(xian)。也就(jiu)是說:FFT的(de)基(ji)本結(jie)構(gou)(gou)可(ke)(ke)由(you)(you)(you)基(ji)2/4模塊、復數乘(cheng)法器、存(cun)儲單(dan)元和存(cun)儲器控制模塊構(gou)(gou)成(cheng),其整體結(jie)構(gou)(gou)如圖1所示。
RAM用來存(cun)儲輸(shu)入數(shu)據、運(yun)(yun)算(suan)過程(cheng)(cheng)中的中間結果(guo)以(yi)及運(yun)(yun)算(suan)完成后(hou)的數(shu)據,ROM用來存(cun)儲旋轉(zhuan)因子表。蝶形運(yun)(yun)算(suan)單元即(ji)為基2/4模塊(kuai),控制模塊(kuai)可(ke)用于產生控制時序及地址信號(hao),以(yi)控制中間運(yun)(yun)算(suan)過程(cheng)(cheng)及最后(hou)輸(shu)出結果(guo)。
基(ji)(ji)4和基(ji)(ji)2的信號流(liu)如圖(tu)2所示。圖(tu)中(zhong),若(ruo)A=r0+j*i0,B=r1+j*i1,C=r2+j*i2,D=r3+j*i3是要(yao)進行變換的信號,Wk0=c0+j*s0=1,Wk1=c1+j*s1,Wk2=c2+j*s2,Wk3=c3+j*s3為旋轉因子(zi),將(jiang)其分(fen)別(bie)代入(ru)圖(tu)2中(zhong)的基(ji)(ji)4蝶形運算單元,則有:
A′=[r0+(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)+(r3×c3-i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? (4)
B′=[r0+(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)-(i3×c3+r3×s3)]+j[i0-(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)+(r3×c3-i3×s3)] (5)
C′=[r0-(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)-(r3×c3-i3×s3)]+j[i0-(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)-(i3×c3+r3×s3)] (6)
D′=[r0-(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)-(r3×c3-i3×s3)]? (7)
而在(zai)基2蝶形中,Wk0和Wk2的(de)(de)(de)值均為1,這樣,將(jiang)A,B,C和D的(de)(de)(de)表(biao)達式代入圖2中的(de)(de)(de)基2運算的(de)(de)(de)四個(ge)等式中,則有:
A′=r0+(r1×c1-i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? (8)
B′=r0- (r1×c1-i1×s1)+j[i0-(i1×c1+r1×s1)] (9)
C′=r2+(r3×c3-i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? (10)
D′=r2-(r3×c3-i3×s3)+j[i0-(i3×c3+r3×s3)]? (11)
在(zai)上(shang)述式(4)~(11)中有很多(duo)類同項,如i1×c1+r1×s1和r1×c1-i1×s1等,它們(men)僅(jin)僅(jin)是加(jia)減號的(de)不同,其結構和運算均類似,這(zhe)就(jiu)為簡(jian)化電路提供了(le)可(ke)(ke)能。同時,在(zai)蝶(die)形運算中,復(fu)數乘法(fa)可(ke)(ke)以由實數乘法(fa)以一定的(de)格式來(lai)表示,這(zhe)也為設計復(fu)數乘法(fa)器提供了(le)一種實現(xian)的(de)途徑(jing)。
以(yi)基(ji)4為(wei)例,在其(qi)運(yun)算(suan)單(dan)元中,實際(ji)上只(zhi)需做三(san)個(ge)復數乘(cheng)法(fa)(fa)運(yun)算(suan),即只(zhi)須計算(suan)BWk1、CWk2和DWk3的值(zhi)即可(ke),這樣在一(yi)(yi)個(ge)基(ji)4蝶形單(dan)元里面,最多只(zhi)需要(yao)3個(ge)復數乘(cheng)法(fa)(fa)器(qi)就可(ke)以(yi)了。在實際(ji)過程(cheng)中,在不提高時鐘頻(pin)率下(xia),只(zhi)要(yao)將時序控(kong)制(zhi)好?便可(ke)利用流水線(Pipeline)技術并只(zhi)用一(yi)(yi)個(ge)復數乘(cheng)法(fa)(fa)器(qi)就可(ke)完(wan)成這三(san)個(ge)復數乘(cheng)法(fa)(fa),大大節省(sheng)了硬件資源。
FFT變(bian)換(huan)后(hou)輸出(chu)的結果通常為一(yi)特定的倒(dao)序。因(yin)此,幾級變(bian)換(huan)后(hou)對地址的控(kong)制必須準確無誤。
倒(dao)(dao)序的(de)規律是和(he)分解的(de)方式密切相關的(de),以基8為例,其基本倒(dao)(dao)序規則如下:
基8可(ke)以用(yong)2×2×2三級基2變(bian)換來表(biao)示,則其輸入順(shun)(shun)序(xu)(xu)則可(ke)用(yong)二(er)進制(zhi)序(xu)(xu)列(n1 n2 n3)來表(biao)示,變(bian)換結束后,其順(shun)(shun)序(xu)(xu)將變(bian)為(n3 n2 n1),如:X?011 → x?110 ,即輸入順(shun)(shun)序(xu)(xu)為3,輸出時順(shun)(shun)序(xu)(xu)變(bian)為6。
更進(jin)一步,對(dui)于(yu)基16的變換,可(ke)由2×2×2×2,4×4,4×2×2等形式來構成,相對(dui)于(yu)不同(tong)的分解形式,往(wang)往(wang)會(hui)有不同(tong)的倒序(xu)(xu)方式。以(yi)4×4為(wei)(wei)例,其輸(shu)入順(shun)序(xu)(xu)可(ke)以(yi)用二進(jin)制(zhi)序(xu)(xu)列(lie)(n1 n2 n3n4)來表示變換結束后,其順(shun)序(xu)(xu)可(ke)變為(wei)(wei)((n3 n4)(n1 n2)),如:X?0111 → x?1101 。即輸(shu)入順(shun)序(xu)(xu)為(wei)(wei)7,輸(shu)出時順(shun)序(xu)(xu)變為(wei)(wei)13。
在(zai)2k/4k/8k的(de)傅里葉變換中(zhong),由于(yu)要經(jing)過多次(ci)的(de)基4和(he)基2運算(suan)(suan),因此,從每次(ci)運算(suan)(suan)完成(cheng)后(hou)到進入下一次(ci)運算(suan)(suan)前(qian),應對運算(suan)(suan)的(de)結果進行倒序(xu),以(yi)保證運算(suan)(suan)的(de)正確性。
N點傅里葉(xie)變換的旋轉因子有著(zhu)明顯的周(zhou)期(qi)性(xing)和(he)對稱(cheng)性(xing)。其(qi)周(zhou)期(qi)性(xing)表現為:
FFT之所以(yi)(yi)可使(shi)運算效率(lv)得(de)到提高,就是利用了對稱(cheng)性和周(zhou)期性把長序(xu)列的(de)DFT逐級(ji)分(fen)解成幾(ji)個序(xu)列的(de)DFT,并(bing)最(zui)終以(yi)(yi)短點數(shu)變(bian)換來實(shi)現(xian)長點數(shu)變(bian)換。
根據旋轉(zhuan)因(yin)子(zi)的對稱性(xing)和(he)周期(qi)性(xing),在利(li)(li)用(yong)ROM存(cun)儲旋轉(zhuan)因(yin)子(zi)時,可(ke)(ke)以只存(cun)儲旋轉(zhuan)因(yin)子(zi)表的一部分(fen),而在讀出時增加讀出地址及(ji)符號的控制(zhi),這樣(yang)可(ke)(ke)以正(zheng)確實現FFT。因(yin)此,充分(fen)利(li)(li)用(yong)旋轉(zhuan)因(yin)子(zi)的性(xing)質,可(ke)(ke)節省70%以上存(cun)儲單元。
實(shi)際上,由于旋轉因子(zi)可分(fen)解為(wei)正、余弦函數(shu)的(de)組合(he),故ROM中(zhong)存的(de)值為(wei)正、余弦函數(shu)值的(de)組合(he)。對(dui)(dui)2k/4k/8k的(de)傅里葉變(bian)換來說,只是對(dui)(dui)一(yi)個周期進行不(bu)同的(de)分(fen)割。由于8k變(bian)換的(de)旋轉因子(zi)包括了2k/4k的(de)所有因子(zi),因此(ci),實(shi)現(xian)時只要(yao)對(dui)(dui)讀(du)ROM的(de)地(di)址(zhi)進行控制(zhi),即可實(shi)現(xian)2k/4k/8k變(bian)換的(de)通用。
因FFT是為時(shi)序電路而設計的(de),因此,控(kong)制(zhi)信號(hao)(hao)要(yao)包括時(shi)序的(de)控(kong)制(zhi)信號(hao)(hao)及存儲器(qi)的(de)讀寫地址(zhi),并產(chan)生各種輔助(zhu)的(de)指示信號(hao)(hao)。同時(shi)在計算模(mo)塊(kuai)的(de)內部,為保證高速,所(suo)有的(de)乘法器(qi)都(dou)須始終保持較高的(de)利用率(lv)。這意味著(zhu)在每一(yi)個時(shi)鐘來(lai)臨時(shi)都(dou)要(yao)向(xiang)這些單(dan)元(yuan)輸入新的(de)操作(zuo)數(shu),而這一(yi)切(qie)都(dou)需要(yao)控(kong)制(zhi)信號(hao)(hao)的(de)緊密配合。
為(wei)了(le)實(shi)(shi)現FFT的(de)流形運算(suan),在(zai)運算(suan)的(de)同時(shi),存(cun)(cun)儲器也(ye)要接收數(shu)(shu)據。這可(ke)以采(cai)用乒乓RAM的(de)方法來完成。這種方式決定了(le)實(shi)(shi)現FFT運算(suan)的(de)最(zui)大(da)時(shi)間。對于4k操作,其(qi)接收時(shi)間為(wei)4096個數(shu)(shu)據周期(qi),這樣FFT的(de)最(zui)大(da)運算(suan)時(shi)間就是4096個數(shu)(shu)據周期(qi)。另外,由于輸入(ru)(ru)數(shu)(shu)據是以一(yi)定的(de)時(shi)鐘為(wei)周期(qi)依次輸入(ru)(ru)的(de),故在(zai)進(jin)行內部運算(suan)時(shi),可(ke)以用較(jiao)高的(de)內部時(shi)鐘進(jin)行運算(suan),然后(hou)再存(cun)(cun)入(ru)(ru)RAM依次輸出(chu)。
為節省(sheng)資源,可(ke)對存(cun)儲(chu)數(shu)據(ju)RAM采用(yong)原址讀(du)出原址寫入的(de)方法,即(ji)在進行下一級變換的(de)同時,首先應將結果(guo)回寫到(dao)讀(du)出數(shu)據(ju)的(de)RAM存(cun)貯器(qi)中;而對于ROM,則應采用(yong)與運(yun)算的(de)數(shu)據(ju)相對應的(de)方法來讀(du)出存(cun)儲(chu)器(qi)中旋轉因子(zi)的(de)值。
在2k/4k/8k傅(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)中,要(yao)實現(xian)通用(yong)性,控制器是最主要(yao)的模(mo)塊。2k、4k、8k變(bian)換(huan)具有不(bu)同(tong)(tong)的內部運(yun)算(suan)時間和(he)存儲(chu)器地(di)址,在設計中,針(zhen)對不(bu)同(tong)(tong)的點數應設計不(bu)同(tong)(tong)的存儲(chu)器存取地(di)址,同(tong)(tong)時,在完(wan)成(cheng)變(bian)換(huan)后,還(huan)要(yao)對開始輸出有用(yong)信號的時刻進行指示。
Fourier transform或Transformée de Fourier有多個中文譯名,常見的有“傅(fu)里葉變換”、“付立葉變換”、“傅(fu)立葉轉換”、“傅(fu)氏轉換”、“傅(fu)氏變換”、等等。
傅里葉(xie)(xie)變換是(shi)一(yi)種(zhong)分(fen)析信(xin)(xin)號(hao)的方法,它可分(fen)析信(xin)(xin)號(hao)的成分(fen),也可用(yong)這些成分(fen)合成信(xin)(xin)號(hao)。許(xu)多波形可作(zuo)為信(xin)(xin)號(hao)的成分(fen),比如正(zheng)弦波、方波、鋸齒(chi)波等(deng),傅里葉(xie)(xie)變換用(yong)正(zheng)弦波作(zuo)為信(xin)(xin)號(hao)的成分(fen)。
f(t)是t的(de)周期(qi)函數(shu),如果t滿(man)足狄(di)利(li)克雷條(tiao)件:在(zai)一(yi)個(ge)以2T為(wei)周期(qi)內(nei)f(X)連續(xu)或只有(you)(you)有(you)(you)限(xian)個(ge)第一(yi)類(lei)間(jian)斷(duan)點,附f(x)單調(diao)或可(ke)劃分成有(you)(you)限(xian)個(ge)單調(diao)區(qu)間(jian),則F(x)以2T為(wei)周期(qi)的(de)傅里葉級(ji)數(shu)收(shou)斂(lian),和函數(shu)S(x)也是以2T為(wei)周期(qi)的(de)周期(qi)函數(shu),且(qie)在(zai)這(zhe)些間(jian)斷(duan)點上,函數(shu)是有(you)(you)限(xian)值;在(zai)一(yi)個(ge)周期(qi)內(nei)具有(you)(you)有(you)(you)限(xian)個(ge)極值點;絕對可(ke)積。則有(you)(you)下圖①式成立。稱為(wei)積分運(yun)算f(t)的(de)傅里葉變(bian)換(huan),
②式的積分運算叫(jiao)做F(ω)的傅里葉逆(ni)變換。F(ω)叫(jiao)做f(t)的象(xiang)函(han)數,f(t)叫(jiao)做
F(ω)的(de)象原函數。F(ω)是f(t)的(de)象。f(t)是F(ω)原象。
①傅里葉變換
②傅里葉逆變換
傅(fu)里葉(xie)變換在物(wu)理學(xue)(xue)、電子類學(xue)(xue)科、數論、組合數學(xue)(xue)、信(xin)號(hao)處理、概率(lv)(lv)論、統計(ji)學(xue)(xue)、密碼(ma)學(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)、光學(xue)(xue)、海洋(yang)學(xue)(xue)、結(jie)構(gou)動力學(xue)(xue)等領域都(dou)有著廣泛的應用(例如在信(xin)號(hao)處理中,傅(fu)里葉(xie)變換的典型用途是將信(xin)號(hao)分解(jie)成頻率(lv)(lv)譜——顯(xian)示與頻率(lv)(lv)對應的幅值大小(xiao))。
* 傅里(li)葉變換屬于諧波分析。
* 傅里葉變(bian)換的(de)逆(ni)變(bian)換容易求出,而且形式與正變(bian)換非常類似;
* 正(zheng)弦(xian)基函數是微分運算的(de)本征(zheng)函數,從(cong)而(er)使得線性微分方(fang)程的(de)求(qiu)解可以(yi)(yi)轉化為常系數的(de)代數方(fang)程的(de)求(qiu)解.在線性時不(bu)變的(de)物理系統內,頻率是個不(bu)變的(de)性質(zhi),從(cong)而(er)系統對(dui)于復(fu)雜激(ji)勵的(de)響應可以(yi)(yi)通過組合(he)其對(dui)不(bu)同(tong)頻率正(zheng)弦(xian)信號的(de)響應來獲取;
*卷(juan)積(ji)定(ding)理指出:傅里葉變換可以化復(fu)雜的(de)卷(juan)積(ji)運(yun)算(suan)為(wei)簡(jian)單的(de)乘積(ji)運(yun)算(suan),從而提(ti)供了計算(suan)卷(juan)積(ji)的(de)一種簡(jian)單手段;
* 離散形(xing)式的傅里(li)葉變換可以利用數字計算機快(kuai)速(su)地算出(其算法(fa)稱為快(kuai)速(su)傅里(li)葉變換算法(fa)(FFT)).
一般情(qing)況下,若(ruo)“傅(fu)里葉變換(huan)”一詞的(de)前面未加(jia)任(ren)何限定語,則(ze)指的(de)是“連續(xu)傅(fu)里葉變換(huan)”。“連續(xu)傅(fu)里葉變換(huan)”將平方可積的(de)函數(shu)(shu) 表示成復指數(shu)(shu)函數(shu)(shu)的(de)積分形式:
上式其(qi)實表示的(de)(de)(de)是(shi)連續傅里葉變(bian)換(huan)的(de)(de)(de)逆變(bian)換(huan),即(ji)將(jiang)時(shi)間域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu)表示為頻率域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu) 的(de)(de)(de)積(ji)分(fen)。反過來,其(qi)正變(bian)換(huan)恰好是(shi)將(jiang)頻率域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu) 表示為時(shi)間域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu) 的(de)(de)(de)積(ji)分(fen)形式。一般可(ke)稱函(han)數(shu)(shu)(shu) 為原(yuan)函(han)數(shu)(shu)(shu),而(er)稱函(han)數(shu)(shu)(shu) 為傅里葉變(bian)換(huan)的(de)(de)(de)像函(han)數(shu)(shu)(shu),原(yuan)函(han)數(shu)(shu)(shu)和(he)像函(han)數(shu)(shu)(shu)構成一個傅里葉變(bian)換(huan)對(transform pair)。
當 為奇函數(shu)(或偶函數(shu))時(shi),其余弦(xian)(或正(zheng)弦(xian))分量為零(ling),而可以稱這時(shi)的變(bian)換(huan)為余弦(xian)變(bian)換(huan)(或正(zheng)弦(xian)變(bian)換(huan))。
主條目:傅里(li)葉級數
連續(xu)形式的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)變換其(qi)(qi)實是傅(fu)里(li)(li)葉(xie)級數(shu)的(de)(de)推廣,因為積分其(qi)(qi)實是一種極限形式的(de)(de)求和(he)算子(zi)而已。對于周期函數(shu),它的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)級數(shu)(Fourier series)表(biao)示(shi)被定義為:
其中 為(wei)函(han)數(shu)的周期, 為(wei)傅里(li)葉(xie)展(zhan)開系數(shu),它們等于
對于實值函數,函數的傅里葉級數可以寫(xie)成:
其中 和(he) 是實頻率(lv)分(fen)量的振(zhen)幅。
主條目(mu):離散時間傅(fu)里葉變換
離(li)散(san)時間傅里葉變(bian)換(discrete-time Fourier transform, DTFT)針對的(de)是定(ding)義(yi)域為Z的(de)數列。設 為某(mou)一數列,則其DTFT被定(ding)義(yi)為
DTFT在(zai)時域上(shang)離散,在(zai)頻域上(shang)則(ze)是周期的,它一(yi)般用來對離散時間(jian)信號(hao)進行頻譜分析。DTFT可以被看(kan)作是傅里葉(xie)級數的逆(ni)。
為了在科學計(ji)算和數字信號(hao)處(chu)理等領域(yu)使用計(ji)算機(ji)進行傅里葉變(bian)(bian)換,必須將(jiang)函數定義在離(li)散(san)點上而(er)非連(lian)續(xu)域(yu)內,且須滿足有限性或周期(qi)性條件。這種(zhong)情況下,序列 的(de)離(li)散(san)傅里葉變(bian)(bian)換(discrete Fourier transform, DFT)為
直接使用DFT的定義計算的計算復(fu)雜(za)度為(wei) ,而快(kuai)速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)可以(yi)將復(fu)雜(za)度改進為(wei) 。計算復(fu)雜(za)度的降(jiang)低以(yi)及數字(zi)電路計算能力(li)的發展使得(de)DFT成為(wei)在信號處理領域十分實用且重要的方(fang)法。
在阿貝爾群上的統一(yi)描述
以(yi)上(shang)各種傅(fu)里(li)(li)(li)葉變(bian)(bian)換(huan)可以(yi)被(bei)更(geng)統一(yi)的(de)(de)(de)表(biao)述(shu)成任意(yi)局部緊致的(de)(de)(de)阿貝爾(er)群上(shang)的(de)(de)(de)傅(fu)里(li)(li)(li)葉變(bian)(bian)換(huan)。這一(yi)問題屬(shu)于調(diao)和(he)分(fen)析的(de)(de)(de)范(fan)疇。在調(diao)和(he)分(fen)析中,一(yi)個(ge)(ge)變(bian)(bian)換(huan)從一(yi)個(ge)(ge)群變(bian)(bian)換(huan)到它(ta)的(de)(de)(de)對偶群(dual group)。此外,將傅(fu)里(li)(li)(li)葉變(bian)(bian)換(huan)與卷積(ji)相聯系的(de)(de)(de)卷積(ji)定(ding)理在調(diao)和(he)分(fen)析中也有類似的(de)(de)(de)結論。
下表列(lie)出了傅(fu)里(li)葉變換(huan)家族的(de)(de)成員。容(rong)易發現(xian),函(han)數(shu)(shu)在時(頻)域的(de)(de)離(li)散對(dui)應于其像函(han)數(shu)(shu)在頻(時)域的(de)(de)周(zhou)期(qi)性(xing),反(fan)之連續則(ze)意味著在對(dui)應域的(de)(de)信號的(de)(de)非周(zhou)期(qi)性(xing)。
傅里葉(xie)(xie)是(shi)(shi)一(yi)位法(fa)國數學(xue)(xue)家和(he)物理學(xue)(xue)家的(de)(de)名字,英語原名是(shi)(shi)Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(dui)熱傳遞很感興趣,于(yu)1807年(nian)在(zai)(zai)法(fa)國科學(xue)(xue)學(xue)(xue)會上(shang)發表(biao)了(le)(le)一(yi)篇論文,運用正弦(xian)曲線來描述(shu)溫(wen)度(du)分(fen)布,論文里有(you)(you)(you)個(ge)在(zai)(zai)當(dang)時(shi)具有(you)(you)(you)爭議性的(de)(de)決斷(duan):任(ren)何連續(xu)(xu)周期信(xin)號可以由一(yi)組適當(dang)的(de)(de)正弦(xian)曲線組合(he)而成。當(dang)時(shi)審(shen)查這(zhe)(zhe)個(ge)論文的(de)(de)人,其(qi)中(zhong)有(you)(you)(you)兩位是(shi)(shi)歷史上(shang)著名的(de)(de)數學(xue)(xue)家拉(la)(la)(la)格(ge)朗日(ri)(ri)(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和(he)拉(la)(la)(la)普拉(la)(la)(la)斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),當(dang)拉(la)(la)(la)普拉(la)(la)(la)斯和(he)其(qi)它審(shen)查者投票通過并要發表(biao)這(zhe)(zhe)個(ge)論文時(shi),拉(la)(la)(la)格(ge)朗日(ri)(ri)堅決反對(dui),在(zai)(zai)他此后生命的(de)(de)六年(nian)中(zhong),拉(la)(la)(la)格(ge)朗日(ri)(ri)堅持認為傅里葉(xie)(xie)的(de)(de)方法(fa)無法(fa)表(biao)示帶有(you)(you)(you)棱(leng)角的(de)(de)信(xin)號,如在(zai)(zai)方波(bo)中(zhong)出現非(fei)連續(xu)(xu)變(bian)化斜率。法(fa)國科學(xue)(xue)學(xue)(xue)會屈服于(yu)拉(la)(la)(la)格(ge)朗日(ri)(ri)的(de)(de)威望(wang),拒絕了(le)(le)傅里葉(xie)(xie)的(de)(de)工作,幸(xing)運的(de)(de)是(shi)(shi),傅里葉(xie)(xie)還(huan)有(you)(you)(you)其(qi)它事情可忙,他參加(jia)了(le)(le)政治運動,隨拿破侖遠征(zheng)埃及,法(fa)國大革(ge)命后因(yin)會被(bei)推(tui)上(shang)斷(duan)頭臺而一(yi)直在(zai)(zai)逃避。直到拉(la)(la)(la)格(ge)朗日(ri)(ri)死后15年(nian)這(zhe)(zhe)個(ge)論文才被(bei)發表(biao)出來。
拉格朗(lang)日是(shi)對的:正(zheng)弦曲(qu)線(xian)無(wu)法組合成一個帶有棱角的信號。但是(shi),我們可以用(yong)正(zheng)弦曲(qu)線(xian)來非常逼(bi)近(jin)地表示它,逼(bi)近(jin)到兩種(zhong)表示方法不存(cun)在能(neng)量差(cha)別(bie),基(ji)于此,傅(fu)里(li)葉是(shi)對的。
用正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)曲線(xian)來代替原(yuan)(yuan)來的(de)曲線(xian)而不(bu)(bu)用方波(bo)或三(san)角波(bo)來表示的(de)原(yuan)(yuan)因(yin)(yin)在于,分(fen)解信(xin)(xin)號(hao)的(de)方法是(shi)無窮(qiong)的(de),但(dan)分(fen)解信(xin)(xin)號(hao)的(de)目的(de)是(shi)為了(le)更加簡(jian)單(dan)地處理原(yuan)(yuan)來的(de)信(xin)(xin)號(hao)。用正(zheng)(zheng)余弦(xian)(xian)來表示原(yuan)(yuan)信(xin)(xin)號(hao)會更加簡(jian)單(dan),因(yin)(yin)為正(zheng)(zheng)余弦(xian)(xian)擁(yong)有原(yuan)(yuan)信(xin)(xin)號(hao)所不(bu)(bu)具有的(de)性質:正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)曲線(xian)保(bao)真度。一個正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)曲線(xian)信(xin)(xin)號(hao)輸入后,輸出的(de)仍是(shi)正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)曲線(xian),只有幅度和相(xiang)位可能發生變化,但(dan)是(shi)頻率和波(bo)的(de)形狀仍是(shi)一樣的(de)。且只有正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)曲線(xian)才(cai)擁(yong)有這樣的(de)性質,正(zheng)(zheng)因(yin)(yin)如此我們才(cai)不(bu)(bu)用方波(bo)或三(san)角波(bo)來表示。
為什(shen)么偏偏選(xuan)擇三(san)角(jiao)函(han)數(shu)(shu)而(er)不(bu)(bu)用(yong)(yong)其(qi)他(ta)函(han)數(shu)(shu)進行分解?我(wo)們(men)從(cong)物理系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)(de)特(te)征(zheng)信(xin)(xin)號(hao)角(jiao)度來解釋。我(wo)們(men)知道:大自(zi)(zi)然(ran)中很多(duo)現象(xiang)可(ke)以抽象(xiang)成一(yi)個線性時(shi)(shi)不(bu)(bu)變(bian)(bian)系(xi)統(tong)來研究,無論你用(yong)(yong)微(wei)分方程還是(shi)(shi)(shi)傳遞函(han)數(shu)(shu)或(huo)(huo)者(zhe)狀態空間描述。線性時(shi)(shi)不(bu)(bu)變(bian)(bian)系(xi)統(tong)可(ke)以這樣理解:輸(shu)(shu)入(ru)輸(shu)(shu)出(chu)(chu)信(xin)(xin)號(hao)滿足線性關系(xi),而(er)且系(xi)統(tong)參(can)數(shu)(shu)不(bu)(bu)隨時(shi)(shi)間變(bian)(bian)換(huan)。對于大自(zi)(zi)然(ran)界的(de)(de)(de)(de)很多(duo)系(xi)統(tong),一(yi)個正(zheng)弦曲線信(xin)(xin)號(hao)輸(shu)(shu)入(ru)后,輸(shu)(shu)出(chu)(chu)的(de)(de)(de)(de)仍(reng)(reng)是(shi)(shi)(shi)正(zheng)弦曲線,只有(you)幅度和(he)相位可(ke)能(neng)發生變(bian)(bian)化(hua),但是(shi)(shi)(shi)頻(pin)率和(he)波(bo)(bo)的(de)(de)(de)(de)形(xing)狀仍(reng)(reng)是(shi)(shi)(shi)一(yi)樣的(de)(de)(de)(de)。也(ye)就是(shi)(shi)(shi)說正(zheng)弦信(xin)(xin)號(hao)是(shi)(shi)(shi)系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)(de)特(te)征(zheng)向(xiang)量(liang)!當然(ran),指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)信(xin)(xin)號(hao)也(ye)是(shi)(shi)(shi)系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)(de)特(te)征(zheng)向(xiang)量(liang),表示能(neng)量(liang)的(de)(de)(de)(de)衰減或(huo)(huo)積(ji)聚。自(zi)(zi)然(ran)界的(de)(de)(de)(de)衰減或(huo)(huo)者(zhe)擴散現象(xiang)大多(duo)是(shi)(shi)(shi)指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)形(xing)式(shi)的(de)(de)(de)(de),或(huo)(huo)者(zhe)既有(you)波(bo)(bo)動又(you)有(you)指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)衰減(復(fu)指(zhi)(zhi)數(shu)(shu) 形(xing)式(shi)),因(yin)此具有(you)特(te)征(zheng)的(de)(de)(de)(de)基(ji)函(han)數(shu)(shu)就由三(san)角(jiao)函(han)數(shu)(shu)變(bian)(bian)成復(fu)指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)函(han)數(shu)(shu)。但是(shi)(shi)(shi),如(ru)果輸(shu)(shu)入(ru)是(shi)(shi)(shi)方波(bo)(bo)、三(san)角(jiao)波(bo)(bo)或(huo)(huo)者(zhe)其(qi)他(ta)什(shen)么波(bo)(bo)形(xing),那輸(shu)(shu)出(chu)(chu)就不(bu)(bu)一(yi)定是(shi)(shi)(shi)什(shen)么樣子(zi)了。所(suo)以,除了指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)信(xin)(xin)號(hao)和(he)正(zheng)弦信(xin)(xin)號(hao)以外的(de)(de)(de)(de)其(qi)他(ta)波(bo)(bo)形(xing)都(dou)不(bu)(bu)是(shi)(shi)(shi)線性系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)(de)特(te)征(zheng)信(xin)(xin)號(hao)。
用(yong)正(zheng)弦(xian)曲線(xian)(xian)來代替原(yuan)來的(de)(de)(de)曲線(xian)(xian)而(er)不用(yong)方波或三角波或者其他什么(me)函數(shu)來表示(shi)的(de)(de)(de)原(yuan)因(yin)在于(yu):正(zheng)弦(xian)信號恰(qia)好是很(hen)多線(xian)(xian)性(xing)時不變系統的(de)(de)(de)特(te)征(zheng)向量(liang)(liang)(liang)。于(yu)是就(jiu)有(you)(you)了傅里葉變換。對于(yu)更一般的(de)(de)(de)線(xian)(xian)性(xing)時不變系統,復指數(shu)信號(表示(shi)耗散或衰減)是系統的(de)(de)(de)“特(te)征(zheng)向量(liang)(liang)(liang)”。于(yu)是就(jiu)有(you)(you)了拉普拉斯變換。z變換也(ye)是同(tong)樣(yang)的(de)(de)(de)道理,這時是離散系統的(de)(de)(de)“特(te)征(zheng)向量(liang)(liang)(liang)”。這里沒(mei)有(you)(you)區分(fen)特(te)征(zheng)函數(shu)和特(te)征(zheng)向量(liang)(liang)(liang)的(de)(de)(de)概念,主要想(xiang)表達二者的(de)(de)(de)思想(xiang)是相同(tong)的(de)(de)(de),只不過一個是有(you)(you)限(xian)維向量(liang)(liang)(liang),一個是無(wu)限(xian)維函數(shu)。
傅(fu)里(li)葉級數和傅(fu)里(li)葉變換其實就(jiu)是我們(men)之(zhi)前(qian)討論的(de)特征(zheng)值(zhi)與特征(zheng)向量的(de)問題。分解信號的(de)方(fang)法是無窮(qiong)的(de),但分解信號的(de)目的(de)是為了(le)更加(jia)簡(jian)單(dan)地處理原來的(de)信號。這(zhe)樣(yang),用正(zheng)余弦(xian)(xian)來表(biao)示原信號會更加(jia)簡(jian)單(dan),因為正(zheng)余弦(xian)(xian)擁(yong)有原信號所不具有的(de)性(xing)質:正(zheng)弦(xian)(xian)曲線保真(zhen)度。且(qie)只(zhi)有正(zheng)弦(xian)(xian)曲線才(cai)擁(yong)有這(zhe)樣(yang)的(de)性(xing)質。
這(zhe)也解釋(shi)了為(wei)什(shen)么(me)(me)我(wo)們一(yi)碰到信號就想方設(she)法的把它表示成正弦(xian)量或者復(fu)(fu)指數量的形式;為(wei)什(shen)么(me)(me)方波或者三角(jiao)波如(ru)此“簡(jian)單”,我(wo)們非(fei)要展開(kai)的如(ru)此“麻煩”;為(wei)什(shen)么(me)(me)對于一(yi)個沒有什(shen)么(me)(me)規律(lv)的“非(fei)周期”信號,我(wo)們都絞盡腦汁的用正弦(xian)量展開(kai)。就因為(wei)正弦(xian)量(或復(fu)(fu)指數)是特征向量。
什么是時域?從我們出(chu)生,我們看到的(de)世(shi)界(jie)都以(yi)時間貫(guan)穿,股票(piao)的(de)走(zou)勢、人的(de)身(shen)高、汽(qi)車的(de)軌跡都會隨(sui)著時間發生改(gai)變(bian)。這種(zhong)以(yi)時間作為參(can)照來觀察動態世(shi)界(jie)的(de)方(fang)法(fa)我們稱其為時域分析(xi)。而我們也想當然的(de)認(ren)為,世(shi)間萬物都在隨(sui)著時間不停的(de)改(gai)變(bian),并且永(yong)遠不會靜(jing)止(zhi)下來。
什么是頻(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)?頻(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)(frequency domain)是描述信號在頻(pin)(pin)(pin)率(lv)方面特性時用到(dao)的(de)(de)一(yi)種坐(zuo)標系。用線性代數的(de)(de)語言就是裝著正(zheng)(zheng)弦函數的(de)(de)空間。頻(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)最重要的(de)(de)性質是:它不是真實的(de)(de),而是一(yi)個數學構造。頻(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)是一(yi)個遵循特定規則的(de)(de)數學范疇(chou)。正(zheng)(zheng)弦波(bo)是頻(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)中(zhong)唯一(yi)存在的(de)(de)波(bo)形,這是頻(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)中(zhong)最重要的(de)(de)規則,即正(zheng)(zheng)弦波(bo)是對頻(pin)(pin)(pin)域(yu)(yu)(yu)的(de)(de)描述,因為時域(yu)(yu)(yu)中(zhong)的(de)(de)任何波(bo)形都可用正(zheng)(zheng)弦波(bo)合(he)成。
對于一個信號(hao)來(lai)說,信號(hao)強度隨時(shi)間(jian)的(de)(de)變化規(gui)律就是(shi)時(shi)域特性,信號(hao)是(shi)由(you)哪(na)些單一頻率的(de)(de)信號(hao)合成(cheng)的(de)(de)就是(shi)頻域特性。
時域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)與頻(pin)域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)是(shi)(shi)對信號(hao)的(de)(de)(de)(de)兩個觀(guan)察面。時域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)是(shi)(shi)以時間軸(zhou)(zhou)為(wei)(wei)(wei)坐標表(biao)示(shi)動態(tai)信號(hao)的(de)(de)(de)(de)關系;頻(pin)域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)是(shi)(shi)把信號(hao)變為(wei)(wei)(wei)以頻(pin)率軸(zhou)(zhou)為(wei)(wei)(wei)坐標表(biao)示(shi)出來。一般來說,時域(yu)(yu)的(de)(de)(de)(de)表(biao)示(shi)較為(wei)(wei)(wei)形象與直(zhi)觀(guan),頻(pin)域(yu)(yu)分(fen)(fen)析(xi)則更為(wei)(wei)(wei)簡練,剖析(xi)問題更為(wei)(wei)(wei)深刻和(he)方便。目前,信號(hao)分(fen)(fen)析(xi)的(de)(de)(de)(de)趨勢是(shi)(shi)從時域(yu)(yu)向(xiang)頻(pin)域(yu)(yu)發展。然(ran)而,它們是(shi)(shi)互相(xiang)聯系,缺一不可(ke),相(xiang)輔相(xiang)成的(de)(de)(de)(de)。貫(guan)穿時域(yu)(yu)與頻(pin)域(yu)(yu)的(de)(de)(de)(de)方法(fa)之一,就(jiu)是(shi)(shi)傳說中(zhong)的(de)(de)(de)(de)傅里(li)葉分(fen)(fen)析(xi)。傅里(li)葉分(fen)(fen)析(xi)可(ke)分(fen)(fen)為(wei)(wei)(wei)傅里(li)葉級數(Fourier Serie)和(he)傅里(li)葉變換(Fourier Transformation)。
根(gen)據原信(xin)號的不同類型,我們可以(yi)把傅(fu)里葉(xie)變換分為四(si)種類別:
1非周期性連續信號傅里葉變(bian)換(Fourier Transform)
2周期性連續信號(hao)傅里葉級數(Fourier Series)
3非周期性離散信(xin)號離散時(shi)域傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform)
4周(zhou)期性離散(san)(san)信號(hao)離散(san)(san)傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)
下圖是四種原信號圖例:
這四種(zhong)傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)都是(shi)針(zhen)對(dui)正(zheng)(zheng)無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)和負(fu)無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)的(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao),即(ji)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)(de)的(de)(de)(de)長(chang)度(du)是(shi)無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)的(de)(de)(de),我(wo)(wo)們知(zhi)道(dao)這對(dui)于(yu)計(ji)算(suan)機處理來說是(shi)不可(ke)(ke)能的(de)(de)(de),那么(me)有(you)沒(mei)(mei)有(you)針(zhen)對(dui)長(chang)度(du)有(you)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)呢?沒(mei)(mei)有(you)。因為(wei)正(zheng)(zheng)余弦波被定義成(cheng)從負(fu)無(wu)(wu)窮(qiong)大(da)到正(zheng)(zheng)無(wu)(wu)窮(qiong)大(da),我(wo)(wo)們無(wu)(wu)法(fa)(fa)把(ba)一(yi)個長(chang)度(du)無(wu)(wu)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)組合成(cheng)長(chang)度(du)有(you)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)。面對(dui)這種(zhong)困(kun)難,方(fang)法(fa)(fa)是(shi)把(ba)長(chang)度(du)有(you)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)表示成(cheng)長(chang)度(du)無(wu)(wu)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao),可(ke)(ke)以(yi)把(ba)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)無(wu)(wu)限(xian)(xian)(xian)地(di)從左右進(jin)行(xing)延(yan)(yan)伸(shen)(shen),延(yan)(yan)伸(shen)(shen)的(de)(de)(de)部分用(yong)(yong)(yong)零來表示,這樣,這個信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)就(jiu)可(ke)(ke)以(yi)被看(kan)成(cheng)是(shi)非周期性離散信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao),我(wo)(wo)們就(jiu)可(ke)(ke)以(yi)用(yong)(yong)(yong)到離散時域傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)。還有(you),也可(ke)(ke)以(yi)把(ba)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)用(yong)(yong)(yong)復制的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)進(jin)行(xing)延(yan)(yan)伸(shen)(shen),這樣信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)就(jiu)變(bian)(bian)成(cheng)了周期性離散信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao),這時我(wo)(wo)們就(jiu)可(ke)(ke)以(yi)用(yong)(yong)(yong)離散傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)方(fang)法(fa)(fa)進(jin)行(xing)變(bian)(bian)換(huan)。這里(li)我(wo)(wo)們要學(xue)的(de)(de)(de)是(shi)離散信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao),對(dui)于(yu)連續信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)我(wo)(wo)們不作(zuo)討論,因為(wei)計(ji)算(suan)機只能處理離散的(de)(de)(de)數值信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao),我(wo)(wo)們的(de)(de)(de)最終目(mu)的(de)(de)(de)是(shi)運用(yong)(yong)(yong)計(ji)算(suan)機來處理信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)(de)。
但是(shi)對于(yu)非周(zhou)期性的信(xin)號(hao),我們需要用(yong)(yong)無窮多不(bu)同(tong)頻(pin)率的正(zheng)弦(xian)曲線(xian)來表示,這對于(yu)計(ji)算機來說(shuo)是(shi)不(bu)可能(neng)實現的。所以對于(yu)離(li)散(san)信(xin)號(hao)的變換只(zhi)有離(li)散(san)傅里(li)葉變換(DFT)才能(neng)被(bei)(bei)適用(yong)(yong),對于(yu)計(ji)算機來說(shuo)只(zhi)有離(li)散(san)的和(he)有限長度的數(shu)據(ju)才能(neng)被(bei)(bei)處理(li),對于(yu)其它(ta)的變換類型(xing)只(zhi)有在數(shu)學演(yan)算中才能(neng)用(yong)(yong)到,在計(ji)算機面前我們只(zhi)能(neng)用(yong)(yong)DFT方(fang)法,后面我們要理(li)解(jie)(jie)的也正(zheng)是(shi)DFT方(fang)法。這里(li)要理(li)解(jie)(jie)的是(shi)我們使用(yong)(yong)周(zhou)期性的信(xin)號(hao)目的是(shi)為了能(neng)夠(gou)用(yong)(yong)數(shu)學方(fang)法來解(jie)(jie)決問題(ti),至于(yu)考慮周(zhou)期性信(xin)號(hao)是(shi)從(cong)哪里(li)得(de)到或(huo)怎(zen)樣(yang)得(de)到是(shi)無意義的。
每(mei)種傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)變換都分成(cheng)實(shi)(shi)數(shu)(shu)和復數(shu)(shu)兩種方(fang)法,對于實(shi)(shi)數(shu)(shu)方(fang)法是(shi)(shi)最好理(li)(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)的(de)(de)(de),但是(shi)(shi)復數(shu)(shu)方(fang)法就(jiu)相對復雜許多了(le),需要懂得有關復數(shu)(shu)的(de)(de)(de)理(li)(li)(li)(li)論知識(shi),不(bu)過,如(ru)果理(li)(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)了(le)實(shi)(shi)數(shu)(shu)離(li)散傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)變換(real DFT),再去理(li)(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)復數(shu)(shu)傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)就(jiu)更容(rong)易了(le),所以我(wo)們先把復數(shu)(shu)的(de)(de)(de)傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)放(fang)到一邊去,先來(lai)(lai)理(li)(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)實(shi)(shi)數(shu)(shu)傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)變換,在后(hou)面我(wo)們會先講(jiang)講(jiang)關于復數(shu)(shu)的(de)(de)(de)基本理(li)(li)(li)(li)論,然(ran)后(hou)在理(li)(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)了(le)實(shi)(shi)數(shu)(shu)傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)變換的(de)(de)(de)基礎上再來(lai)(lai)理(li)(li)(li)(li)解(jie)(jie)(jie)復數(shu)(shu)傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)變換。
還有(you),這里我們所要說的(de)(de)(de)變換(huan)(huan)(huan)(huan)(transform)雖(sui)然是(shi)(shi)數(shu)學(xue)意義上的(de)(de)(de)變換(huan)(huan)(huan)(huan),但跟函(han)數(shu)變換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)不同的(de)(de)(de),函(han)數(shu)變換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)符合一一映射準(zhun)則的(de)(de)(de),對于離(li)散數(shu)字信號處理(DSP),有(you)許多(duo)的(de)(de)(de)變換(huan)(huan)(huan)(huan):傅里葉變換(huan)(huan)(huan)(huan)、拉普拉斯(si)變換(huan)(huan)(huan)(huan)、Z變換(huan)(huan)(huan)(huan)、希爾伯(bo)特變換(huan)(huan)(huan)(huan)、離(li)散余弦變換(huan)(huan)(huan)(huan)等,這些(xie)都(dou)擴展了(le)函(han)數(shu)變換(huan)(huan)(huan)(huan)的(de)(de)(de)定義,允許輸入和輸出有(you)多(duo)種的(de)(de)(de)值,簡單(dan)地說變換(huan)(huan)(huan)(huan)就是(shi)(shi)把一堆(dui)的(de)(de)(de)數(shu)據(ju)變成另一堆(dui)的(de)(de)(de)數(shu)據(ju)的(de)(de)(de)方(fang)法。
傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變換是數字信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)處(chu)理(li)(li)領域一(yi)種很(hen)重(zhong)要(yao)的(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)法。要(yao)知道傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變換算(suan)(suan)法的(de)(de)(de)(de)意義(yi),首先要(yao)了解(jie)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)原(yuan)理(li)(li)的(de)(de)(de)(de)意義(yi)。傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)原(yuan)理(li)(li)表明(ming):任何連續測(ce)量的(de)(de)(de)(de)時(shi)序或信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao),都可(ke)以表示為(wei)不(bu)同頻(pin)率的(de)(de)(de)(de)正弦波信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)無限疊加。而根據該原(yuan)理(li)(li)創立的(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉(xie)(xie)變換算(suan)(suan)法利用直接(jie)測(ce)量到的(de)(de)(de)(de)原(yuan)始(shi)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao),以累(lei)加方式來計(ji)算(suan)(suan)該信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)中不(bu)同正弦波信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率、振幅和相位。
和傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)算法對(dui)應(ying)的是(shi)反(fan)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)算法。該反(fan)變(bian)換(huan)從本質上(shang)說也是(shi)一種累加處(chu)理,這樣就可以(yi)將(jiang)(jiang)單獨改變(bian)的正弦波信(xin)(xin)號(hao)轉換(huan)成一個信(xin)(xin)號(hao)。因此,可以(yi)說,傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)將(jiang)(jiang)原來難以(yi)處(chu)理的時域信(xin)(xin)號(hao)轉換(huan)成了易(yi)于分析的頻域信(xin)(xin)號(hao)(信(xin)(xin)號(hao)的頻譜),可以(yi)利(li)用一些工具對(dui)這些頻域信(xin)(xin)號(hao)進行處(chu)理、加工。最(zui)后還可以(yi)利(li)用傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)(xie)反(fan)變(bian)換(huan)將(jiang)(jiang)這些頻域信(xin)(xin)號(hao)轉換(huan)成時域信(xin)(xin)號(hao)。
從(cong)現代數學的(de)(de)眼光來看,傅(fu)里葉變(bian)換(huan)是一種(zhong)特殊的(de)(de)積分變(bian)換(huan)。它能將滿足一定(ding)條(tiao)件(jian)的(de)(de)某(mou)個函數表示(shi)成正弦(xian)基函數的(de)(de)線性組合或者(zhe)積分。在不同的(de)(de)研究領(ling)域,傅(fu)里葉變(bian)換(huan)具有多種(zhong)不同的(de)(de)變(bian)體形式,如連續(xu)傅(fu)里葉變(bian)換(huan)和離散傅(fu)里葉變(bian)換(huan)。
在數(shu)學領(ling)域,盡管最初傅里(li)(li)葉(xie)(xie)分(fen)析(xi)是(shi)作為(wei)熱過(guo)程(cheng)的(de)(de)(de)解析(xi)分(fen)析(xi)的(de)(de)(de)工具,但是(shi)其思想方(fang)法仍然(ran)具有典型的(de)(de)(de)還原論和分(fen)析(xi)主義的(de)(de)(de)特征。"任意"的(de)(de)(de)函(han)數(shu)通過(guo)一定(ding)的(de)(de)(de)分(fen)解,都(dou)能(neng)夠表示為(wei)正(zheng)(zheng)弦(xian)函(han)數(shu)的(de)(de)(de)線性組合的(de)(de)(de)形式,而(er)(er)正(zheng)(zheng)弦(xian)函(han)數(shu)在物理(li)上是(shi)被充分(fen)研究而(er)(er)相對簡單(dan)(dan)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)類(lei):1. 傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變換(huan)(huan)(huan)是(shi)線性算(suan)(suan)子,若賦予適當(dang)的(de)(de)(de)范數(shu),它還是(shi)酉算(suan)(suan)子;2. 傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變換(huan)(huan)(huan)的(de)(de)(de)逆變換(huan)(huan)(huan)容易求出(chu),而(er)(er)且形式與正(zheng)(zheng)變換(huan)(huan)(huan)非常類(lei)似;3. 正(zheng)(zheng)弦(xian)基函(han)數(shu)是(shi)微分(fen)運算(suan)(suan)的(de)(de)(de)本征函(han)數(shu),從(cong)而(er)(er)使得(de)線性微分(fen)方(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)求解可(ke)以(yi)轉化為(wei)常系(xi)(xi)數(shu)的(de)(de)(de)代數(shu)方(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)求解。在線性時復雜(za)的(de)(de)(de)卷積運算(suan)(suan)為(wei)簡單(dan)(dan)的(de)(de)(de)乘積運算(suan)(suan),從(cong)而(er)(er)提供了計算(suan)(suan)卷積的(de)(de)(de)一種簡單(dan)(dan)手段;4. 離(li)散(san)形式的(de)(de)(de)傅里(li)(li)葉(xie)(xie)的(de)(de)(de)物理(li)系(xi)(xi)統內,頻率(lv)是(shi)個不變的(de)(de)(de)性質(zhi),從(cong)而(er)(er)系(xi)(xi)統對于復雜(za)激勵(li)的(de)(de)(de)響(xiang)應可(ke)以(yi)通過(guo)組合其對不同頻率(lv)正(zheng)(zheng)弦(xian)信(xin)號的(de)(de)(de)響(xiang)應來獲取;5. 著名(ming)的(de)(de)(de)卷積定(ding)理(li)指出(chu):傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變換(huan)(huan)(huan)可(ke)以(yi)化復變換(huan)(huan)(huan)可(ke)以(yi)利用數(shu)字計算(suan)(suan)機快速的(de)(de)(de)算(suan)(suan)出(chu)(其算(suan)(suan)法稱為(wei)快速傅里(li)(li)葉(xie)(xie)變換(huan)(huan)(huan)算(suan)(suan)法(FFT))。
正(zheng)是由于上述的良(liang)好性(xing)質,傅(fu)里葉(xie)變(bian)換(huan)在物理學(xue)、數論、組合(he)數學(xue)、信號(hao)處理、概率、統(tong)計、密碼學(xue)、聲(sheng)學(xue)、光學(xue)等領域都(dou)有著(zhu)廣(guang)泛的應用。
圖像(xiang)的(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率是(shi)(shi)(shi)表征圖像(xiang)中(zhong)灰(hui)度(du)(du)(du)變(bian)(bian)化(hua)(hua)劇(ju)烈程(cheng)度(du)(du)(du)的(de)(de)指標,是(shi)(shi)(shi)灰(hui)度(du)(du)(du)在(zai)平面空間上(shang)的(de)(de)梯(ti)度(du)(du)(du)。如:大面積的(de)(de)沙漠(mo)在(zai)圖像(xiang)中(zhong)是(shi)(shi)(shi)一(yi)片灰(hui)度(du)(du)(du)變(bian)(bian)化(hua)(hua)緩慢的(de)(de)區(qu)域(yu),對(dui)應(ying)的(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率值(zhi)很低;而(er)對(dui)于地(di)表屬性變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)劇(ju)烈的(de)(de)邊緣區(qu)域(yu)在(zai)圖像(xiang)中(zhong)是(shi)(shi)(shi)一(yi)片灰(hui)度(du)(du)(du)變(bian)(bian)化(hua)(hua)劇(ju)烈的(de)(de)區(qu)域(yu),對(dui)應(ying)的(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率值(zhi)較(jiao)高。傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)在(zai)實際(ji)中(zhong)有非常明(ming)顯的(de)(de)物(wu)理意(yi)(yi)義(yi),設f是(shi)(shi)(shi)一(yi)個能量有限的(de)(de)模擬(ni)信號,則其傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)就(jiu)表示f的(de)(de)譜。從(cong)(cong)純粹的(de)(de)數學意(yi)(yi)義(yi)上(shang)看,傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)一(yi)個函(han)數轉換(huan)(huan)(huan)(huan)為一(yi)系(xi)列(lie)周期函(han)數來處理的(de)(de)。從(cong)(cong)物(wu)理效果(guo)看,傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)圖像(xiang)從(cong)(cong)空間域(yu)轉換(huan)(huan)(huan)(huan)到(dao)頻(pin)(pin)(pin)率域(yu),其逆變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)圖像(xiang)從(cong)(cong)頻(pin)(pin)(pin)率域(yu)轉換(huan)(huan)(huan)(huan)到(dao)空間域(yu)。換(huan)(huan)(huan)(huan)句話說,傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)的(de)(de)物(wu)理意(yi)(yi)義(yi)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)圖像(xiang)的(de)(de)灰(hui)度(du)(du)(du)分(fen)布函(han)數變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)為圖像(xiang)的(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率分(fen)布函(han)數,傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)逆變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)將(jiang)圖像(xiang)的(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率分(fen)布函(han)數變(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(huan)為灰(hui)度(du)(du)(du)分(fen)布函(han)數。
傅(fu)(fu)里葉變(bian)換以(yi)前,圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)(未壓(ya)縮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)位(wei)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu))是(shi)(shi)由(you)對(dui)(dui)(dui)在(zai)(zai)連續空(kong)間(jian)(現實(shi)空(kong)間(jian))上(shang)(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)采樣(yang)得到(dao)(dao)一(yi)(yi)(yi)(yi)系(xi)列點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)合,我(wo)們(men)習(xi)慣用一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)二維(wei)(wei)矩陣表示空(kong)間(jian)上(shang)(shang)(shang)各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian),則(ze)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)可(ke)(ke)由(you)z=f(x,y)來表示。由(you)于空(kong)間(jian)是(shi)(shi)三維(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de),圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)是(shi)(shi)二維(wei)(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de),因(yin)(yin)此空(kong)間(jian)中(zhong)(zhong)物(wu)體在(zai)(zai)另一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)維(wei)(wei)度(du)(du)上(shang)(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系(xi)就(jiu)由(you)梯(ti)(ti)(ti)度(du)(du)來表示,這(zhe)樣(yang)我(wo)們(men)可(ke)(ke)以(yi)通(tong)過(guo)觀察圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)得知物(wu)體在(zai)(zai)三維(wei)(wei)空(kong)間(jian)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)(dui)(dui)應關(guan)系(xi)。為什么(me)要提梯(ti)(ti)(ti)度(du)(du)?因(yin)(yin)為實(shi)際上(shang)(shang)(shang)對(dui)(dui)(dui)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)進行二維(wei)(wei)傅(fu)(fu)里葉變(bian)換得到(dao)(dao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu),就(jiu)是(shi)(shi)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)梯(ti)(ti)(ti)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)分布(bu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu),當然(ran)頻(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)與圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)(shang)(shang)各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)并(bing)不存在(zai)(zai)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)(dui)應的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系(xi),即(ji)使在(zai)(zai)不移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情況下也(ye)是(shi)(shi)沒有(you)。傅(fu)(fu)里葉頻(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)(shang)我(wo)們(men)看(kan)到(dao)(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)明(ming)暗不一(yi)(yi)(yi)(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)(liang)點(dian)(dian)(dian)(dian),實(shi)際上(shang)(shang)(shang)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)(shang)(shang)某一(yi)(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)(dian)(dian)與鄰(lin)域點(dian)(dian)(dian)(dian)差異(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)強(qiang)弱(ruo),即(ji)梯(ti)(ti)(ti)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大(da)小(xiao),也(ye)即(ji)該(gai)(gai)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大(da)小(xiao)(可(ke)(ke)以(yi)這(zhe)么(me)理解(jie),圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)低頻(pin)(pin)(pin)(pin)部(bu)分指低梯(ti)(ti)(ti)度(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian),高(gao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)部(bu)分相反)。一(yi)(yi)(yi)(yi)般來講(jiang),梯(ti)(ti)(ti)度(du)(du)大(da)則(ze)該(gai)(gai)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)(liang)度(du)(du)強(qiang),否(fou)則(ze)該(gai)(gai)點(dian)(dian)(dian)(dian)亮(liang)(liang)度(du)(du)弱(ruo)。這(zhe)樣(yang)通(tong)過(guo)觀察傅(fu)(fu)里葉變(bian)換后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu),也(ye)叫功(gong)率(lv)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu),我(wo)們(men)首先就(jiu)可(ke)(ke)以(yi)看(kan)出(chu),圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)能量分布(bu),如果(guo)頻(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)暗的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)數更多(duo),那么(me)實(shi)際圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)是(shi)(shi)比(bi)較柔(rou)和的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(因(yin)(yin)為各(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)與鄰(lin)域差異(yi)都(dou)不大(da),梯(ti)(ti)(ti)度(du)(du)相對(dui)(dui)(dui)較小(xiao)),反之,如果(guo)頻(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)亮(liang)(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)數多(duo),那么(me)實(shi)際圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)一(yi)(yi)(yi)(yi)定是(shi)(shi)尖銳(rui)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de),邊界(jie)分明(ming)且邊界(jie)兩(liang)邊像(xiang)(xiang)(xiang)素差異(yi)較大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。對(dui)(dui)(dui)頻(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)原點(dian)(dian)(dian)(dian)以(yi)后,可(ke)(ke)以(yi)看(kan)出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)分布(bu)是(shi)(shi)以(yi)原點(dian)(dian)(dian)(dian)為圓心,對(dui)(dui)(dui)稱分布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。將(jiang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)圓心除(chu)了(le)可(ke)(ke)以(yi)清(qing)晰地看(kan)出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)分布(bu)以(yi)外,還有(you)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)好(hao)處(chu),它可(ke)(ke)以(yi)分離(li)出(chu)有(you)周期性規(gui)律的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)干擾(rao)(rao)信號(hao),比(bi)如正弦干擾(rao)(rao),一(yi)(yi)(yi)(yi)副帶有(you)正弦干擾(rao)(rao),移(yi)(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)原點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)(shang)可(ke)(ke)以(yi)看(kan)出(chu)除(chu)了(le)中(zhong)(zhong)心以(yi)外還存在(zai)(zai)以(yi)某一(yi)(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)(dian)(dian)為中(zhong)(zhong)心,對(dui)(dui)(dui)稱分布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)(liang)點(dian)(dian)(dian)(dian)集(ji)合,這(zhe)個(ge)集(ji)合就(jiu)是(shi)(shi)干擾(rao)(rao)噪音產生的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de),這(zhe)時(shi)可(ke)(ke)以(yi)很直(zhi)觀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)通(tong)過(guo)在(zai)(zai)該(gai)(gai)位(wei)置(zhi)放置(zhi)帶阻濾波(bo)器消(xiao)除(chu)干擾(rao)(rao)。
另外說明以下幾點:
1、圖(tu)像經過二維傅(fu)里葉變(bian)換(huan)后,其變(bian)換(huan)系數矩陣表明(ming):
若變換(huan)(huan)矩陣Fn原點設在中心(xin),其頻(pin)譜(pu)能量(liang)集中分布在變換(huan)(huan)系數(shu)短陣的中心(xin)附近(圖中陰影區)。若所用的二維傅(fu)里葉變換(huan)(huan)矩陣Fn的原點設在左上角(jiao),那么圖像信(xin)號能量(liang)將集中在系數(shu)矩陣的四個角(jiao)上。這是由二維傅(fu)里葉變換(huan)(huan)本身(shen)性質決定的。同時也表明一股圖像能量(liang)集中低頻(pin)區域。
2 、變換之(zhi)后的(de)圖(tu)像在原(yuan)點平(ping)移之(zhi)前四角(jiao)是低頻(pin),最亮(liang),平(ping)移之(zhi)后中間部分是低頻(pin),最亮(liang),亮(liang)度大(da)說明低頻(pin)的(de)能量大(da)(幅角(jiao)比較大(da))。
將(jiang)其發展延伸,構造出了其他形式的(de)積分(fen)變換:
從數(shu)學的角度(du)理解積(ji)(ji)分變(bian)(bian)換就(jiu)(jiu)是通(tong)過積(ji)(ji)分運(yun)算(suan),把一(yi)(yi)個(ge)函(han)(han)數(shu)變(bian)(bian)成另一(yi)(yi)個(ge)函(han)(han)數(shu)。也可(ke)以理解成是算(suan)內(nei)積(ji)(ji),然后就(jiu)(jiu)變(bian)(bian)成一(yi)(yi)個(ge)函(han)(han)數(shu)向另一(yi)(yi)個(ge)函(han)(han)數(shu)的投影:
K(s,t)積(ji)分(fen)變換(huan)的(de)(de)核(he)(he)(he)(Kernel)。當(dang)選取不(bu)同(tong)的(de)(de)積(ji)分(fen)域和變換(huan)核(he)(he)(he)時,就(jiu)得到不(bu)同(tong)名稱(cheng)的(de)(de)積(ji)分(fen)變換(huan)。學術一點(dian)的(de)(de)說法是(shi):向(xiang)核(he)(he)(he)空(kong)(kong)間(jian)(jian)投影,將原問(wen)題轉化到核(he)(he)(he)空(kong)(kong)間(jian)(jian)。所謂核(he)(he)(he)空(kong)(kong)間(jian)(jian),就(jiu)是(shi)這(zhe)個空(kong)(kong)間(jian)(jian)里面(mian)裝的(de)(de)是(shi)核(he)(he)(he)函數。
當然,選(xuan)取什(shen)(shen)么(me)(me)樣的(de)(de)核(he)主要看(kan)你面對的(de)(de)問(wen)題有什(shen)(shen)么(me)(me)特征(zheng)。不(bu)同問(wen)題的(de)(de)特征(zheng)不(bu)同,就(jiu)會對應特定的(de)(de)核(he)函數(shu)(shu)。把核(he)函數(shu)(shu)作為基函數(shu)(shu)。將(jiang)現在的(de)(de)坐(zuo)標投影到核(he)空間里(li)面去,問(wen)題就(jiu)會得到簡化。之所(suo)以叫核(he),是因為這是最核(he)心的(de)(de)地(di)方。為什(shen)(shen)么(me)(me)其(qi)他(ta)變換(huan)(huan)你都沒怎么(me)(me)聽(ting)說(shuo)過而只熟悉傅里(li)葉變換(huan)(huan)和拉普拉斯變換(huan)(huan)呢?因為復指(zhi)數(shu)(shu)信號才(cai)是描(miao)述這個(ge)世界的(de)(de)特征(zheng)函數(shu)(shu)!
一個關于實(shi)數(shu)離散傅里葉變換(Real DFT)實(shi)例
先(xian)來看一個(ge)(ge)變(bian)換實例(li),一個(ge)(ge)原始信(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)的(de)長度是(shi)(shi)16,于是(shi)(shi)可以把這(zhe)個(ge)(ge)信(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)分(fen)解9個(ge)(ge)余弦(xian)波和9個(ge)(ge)正弦(xian)波(一個(ge)(ge)長度為(wei)N的(de)信(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao)可以分(fen)解成N/2+1個(ge)(ge)正余弦(xian)信(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao),這(zhe)是(shi)(shi)為(wei)什么呢?結合下(xia)面的(de)18個(ge)(ge)正余弦(xian)圖,我想從(cong)計算機(ji)處(chu)理精度上(shang)就不(bu)難理解,一個(ge)(ge)長度為(wei)N的(de)信(xin)號(hao)(hao)(hao)(hao),最多只能有(you)N/2+1個(ge)(ge)不(bu)同(tong)頻(pin)率,再(zai)多的(de)頻(pin)率就超過了計算機(ji)所能所處(chu)理的(de)精度范圍),如下(xia)圖:
9個正弦信號:
9個余弦信號:
把以(yi)上所有信(xin)號相加即可得(de)到原始信(xin)號,至于(yu)是(shi)怎么分(fen)別變換(huan)出(chu)9種不(bu)同(tong)頻率信(xin)號的(de),我們先不(bu)急,先看(kan)(kan)看(kan)(kan)對于(yu)以(yi)上的(de)變換(huan)結果,在程序中(zhong)又是(shi)該怎么表示的(de),我們可以(yi)看(kan)(kan)看(kan)(kan)下面這個(ge)示例圖:
上圖中左邊(bian)表(biao)(biao)示(shi)時域(yu)中的(de)(de)信(xin)號,右邊(bian)是(shi)(shi)頻(pin)(pin)域(yu)信(xin)號表(biao)(biao)示(shi)方(fang)法,從(cong)(cong)左向(xiang)右表(biao)(biao)示(shi)正(zheng)向(xiang)轉(zhuan)換(Forward DFT),從(cong)(cong)右向(xiang)左表(biao)(biao)示(shi)逆向(xiang)轉(zhuan)換(Inverse DFT),用(yong)小寫x[]表(biao)(biao)示(shi)信(xin)號在(zai)(zai)每個(ge)時間點上的(de)(de)幅度值數組(zu)(zu)(zu), 用(yong)大寫X[]表(biao)(biao)示(shi)每種(zhong)頻(pin)(pin)率(lv)的(de)(de)幅度值數組(zu)(zu)(zu), 因為(wei)(wei)有(you)N/2+1種(zhong)頻(pin)(pin)率(lv),所以該數組(zu)(zu)(zu)長(chang)度為(wei)(wei)N/2+1,X[]數組(zu)(zu)(zu)又分兩種(zhong),一種(zhong)是(shi)(shi)表(biao)(biao)示(shi)余弦波的(de)(de)不同頻(pin)(pin)率(lv)幅度值:Re X[],另一種(zhong)是(shi)(shi)表(biao)(biao)示(shi)正(zheng)弦波的(de)(de)不同頻(pin)(pin)率(lv)幅度值:Im X[],Re是(shi)(shi)實數(Real)的(de)(de)意(yi)思(si),Im是(shi)(shi)虛數(Imagine)的(de)(de)意(yi)思(si),采(cai)用(yong)復(fu)(fu)數的(de)(de)表(biao)(biao)示(shi)方(fang)法把正(zheng)余弦波組(zu)(zu)(zu)合起來進行表(biao)(biao)示(shi),但這里我們不考(kao)慮復(fu)(fu)數的(de)(de)其它作用(yong),只記住是(shi)(shi)一種(zhong)組(zu)(zu)(zu)合方(fang)法而(er)已,目(mu)的(de)(de)是(shi)(shi)為(wei)(wei)了便于(yu)表(biao)(biao)達(在(zai)(zai)后面我們會知(zhi)道,復(fu)(fu)數形(xing)式的(de)(de)傅(fu)里葉變換長(chang)度是(shi)(shi)N,而(er)不是(shi)(shi)N/2+1)。
FFT是離(li)散(san)傅里葉變(bian)換(huan)(huan)的快(kuai)速算法(fa),可(ke)以(yi)將一個信(xin)(xin)(xin)(xin)號變(bian)換(huan)(huan)到(dao)頻域(yu)(yu)。有(you)些信(xin)(xin)(xin)(xin)號在(zai)時域(yu)(yu)上是很(hen)(hen)難看(kan)出(chu)(chu)什么(me)特(te)征(zheng)的,但是如果變(bian)換(huan)(huan)到(dao)頻域(yu)(yu)之后,就(jiu)很(hen)(hen)容易看(kan)出(chu)(chu)特(te)征(zheng)了(le)。這(zhe)就(jiu)是很(hen)(hen)多(duo)信(xin)(xin)(xin)(xin)號分析采用FFT變(bian)換(huan)(huan)的原因(yin)。另(ling)外,FFT可(ke)以(yi)將一個信(xin)(xin)(xin)(xin)號的頻譜提取出(chu)(chu)來(lai),這(zhe)在(zai)頻譜分析方面也(ye)是經常用的。
FFT結果的具(ju)體物理(li)意義。一個模擬信(xin)號(hao),經過ADC采樣(yang)之后,就變(bian)成了數字信(xin)號(hao)。采樣(yang)定理(li)告訴(su)我(wo)們,采樣(yang)頻率(lv)要大于信(xin)號(hao)頻率(lv)的兩倍(bei)。
采(cai)樣得(de)到的數(shu)字信(xin)號,就可(ke)以(yi)做(zuo)FFT變換了(le)。N個采(cai)樣點,經過FFT之后(hou),就可(ke)以(yi)得(de)到N個點的FFT結果。為了(le)方(fang)(fang)便進行FFT運算,通常N取(qu)2的整(zheng)數(shu)次方(fang)(fang)。
假設(she)(she)采(cai)樣(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為Fs,信(xin)(xin)號頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)F,采(cai)樣(yang)點(dian)(dian)(dian)數(shu)(shu)(shu)為N。那么(me)FFT之后(hou)(hou)結(jie)(jie)果(guo)(guo)就(jiu)是(shi)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)為N點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)復數(shu)(shu)(shu)。每一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)就(jiu)對應著一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)點(dian)(dian)(dian)。這個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模值,就(jiu)是(shi)該(gai)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)值下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幅度(du)特性(xing)。具體跟原(yuan)始信(xin)(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)幅度(du)有(you)什么(me)關系呢(ni)?假設(she)(she)原(yuan)始信(xin)(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)峰值為A,那么(me)FFT的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)(jie)果(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)每個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(除了第(di)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)直(zhi)流分(fen)量(liang)之外)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模值就(jiu)是(shi)A的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)N/2倍(bei)。而第(di)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)就(jiu)是(shi)直(zhi)流分(fen)量(liang),它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模值就(jiu)是(shi)直(zhi)流分(fen)量(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)N倍(bei)。而每個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位(wei)呢(ni),就(jiu)是(shi)在該(gai)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位(wei)。第(di)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)表示直(zhi)流分(fen)量(liang)(即(ji)0Hz),而最(zui)后(hou)(hou)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)N的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)再下(xia)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(實際上這個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)是(shi)不存在的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de),這里是(shi)假設(she)(she)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)第(di)N+1個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian),也可(ke)以(yi)看做是(shi)將第(di)一(yi)(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)分(fen)做兩半分(fen),另(ling)一(yi)(yi)半移到(dao)最(zui)后(hou)(hou))則(ze)表示采(cai)樣(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)Fs,這中間(jian)被N-1個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)平均分(fen)成(cheng)N等份,每個(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)依次(ci)增(zeng)加(jia)。例如(ru)某點(dian)(dian)(dian)n所表示的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為:Fn=(n-1)*Fs/N。由(you)上面的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)公式可(ke)以(yi)看出,Fn所能分(fen)辨到(dao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為為Fs/N,如(ru)果(guo)(guo)采(cai)樣(yang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)Fs為1024Hz,采(cai)樣(yang)點(dian)(dian)(dian)數(shu)(shu)(shu)為1024點(dian)(dian)(dian),則(ze)可(ke)以(yi)分(fen)辨到(dao)1Hz。1024Hz的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)采(cai)樣(yang)率(lv)(lv)(lv)(lv)采(cai)樣(yang)1024點(dian)(dian)(dian),剛好是(shi)1秒(miao)(miao),也就(jiu)是(shi)說,采(cai)樣(yang)1秒(miao)(miao)時(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號并做FFT,則(ze)結(jie)(jie)果(guo)(guo)可(ke)以(yi)分(fen)析(xi)到(dao)1Hz,如(ru)果(guo)(guo)采(cai)樣(yang)2秒(miao)(miao)時(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號并做FFT,則(ze)結(jie)(jie)果(guo)(guo)可(ke)以(yi)分(fen)析(xi)到(dao)0.5Hz。如(ru)果(guo)(guo)要提(ti)高(gao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)辨力,則(ze)必須增(zeng)加(jia)采(cai)樣(yang)點(dian)(dian)(dian)數(shu)(shu)(shu),也即(ji)采(cai)樣(yang)時(shi)(shi)間(jian)。頻(pin)(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)辨率(lv)(lv)(lv)(lv)和采(cai)樣(yang)時(shi)(shi)間(jian)是(shi)倒數(shu)(shu)(shu)關系。
假設FFT之(zhi)后某(mou)點n用復數a+bi表示,那么這個(ge)復數的模(mo)就(jiu)是(shi)An=根號(hao)(hao)a*a+b*b,相(xiang)位就(jiu)是(shi)Pn=atan2(b,a)。根據以上的結(jie)(jie)果(guo),就(jiu)可以計算出n點(n≠1,且(qie)n<=N/2)對應的信(xin)號(hao)(hao)的表達(da)式為:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于n=1點的信(xin)號(hao)(hao),是(shi)直流分量,幅度即為A1/N。由(you)于FFT結(jie)(jie)果(guo)的對稱性,通常我(wo)們只使用前半部分的結(jie)(jie)果(guo),即小于采樣頻(pin)率一半的結(jie)(jie)果(guo)。
下面(mian)(mian)以一(yi)個(ge)(ge)實際的(de)信號來(lai)(lai)做說明。假設我(wo)們(men)有(you)一(yi)個(ge)(ge)信號,它含有(you)2V的(de)直流(liu)分量,頻(pin)率(lv)為(wei)(wei)50Hz、相位為(wei)(wei)-30度、幅度為(wei)(wei)3V的(de)交(jiao)流(liu)信號,以及一(yi)個(ge)(ge)頻(pin)率(lv)為(wei)(wei)75Hz、相位為(wei)(wei)90度、幅度為(wei)(wei)1.5V的(de)交(jiao)流(liu)信號。用數(shu)學表(biao)達式(shi)(shi)就是(shi)如(ru)下:S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式(shi)(shi)中cos參數(shu)為(wei)(wei)弧(hu)度,所以-30度和(he)90度要(yao)分別換算(suan)成弧(hu)度。我(wo)們(men)以256Hz的(de)采(cai)樣(yang)率(lv)對這個(ge)(ge)信號進行采(cai)樣(yang),總(zong)共采(cai)樣(yang)256點。按(an)照我(wo)們(men)上(shang)面(mian)(mian)的(de)分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我(wo)們(men)可以知道(dao),每兩個(ge)(ge)點之間(jian)的(de)間(jian)距就是(shi)1Hz,第(di)(di)n個(ge)(ge)點的(de)頻(pin)率(lv)就是(shi)n-1。我(wo)們(men)的(de)信號有(you)3個(ge)(ge)頻(pin)率(lv):0Hz、50Hz、75Hz,應該分別在第(di)(di)1個(ge)(ge)點、第(di)(di)51個(ge)(ge)點、第(di)(di)76個(ge)(ge)點上(shang)出現峰值(zhi),其它各點應該接(jie)近0。實際情況如(ru)何呢?我(wo)們(men)來(lai)(lai)看看FFT的(de)結果(guo)的(de)模值(zhi)如(ru)圖所示。
從圖中我們(men)可以看到,在第(di)1點、第(di)51點、和第(di)76點附(fu)近有比較大的值(zhi)。我們(men)分別將這(zhe)三個點附(fu)近的數據(ju)拿上(shang)來細(xi)看:
1點(dian): 512+0i
2點: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點:332.55 - 192i
52點:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點:-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點:3.4315E-12 + 192i
77點:-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很(hen)明顯(xian),1點(dian)(dian)、51點(dian)(dian)、76點(dian)(dian)的(de)值(zhi)都比較大,它附(fu)近的(de)點(dian)(dian)值(zhi)都很(hen)小,可以認為是0,即在那些頻率(lv)點(dian)(dian)上的(de)信(xin)號幅度(du)為0。接著(zhu),我們來計算各點(dian)(dian)的(de)幅度(du)值(zhi)。分別計算這三個點(dian)(dian)的(de)模值(zhi),結果(guo)如下:
1點: 512
51點:384
76點:192
按照公式(shi),可以(yi)計算(suan)出(chu)直流分量為(wei):512/N=512/256=2;50Hz信號(hao)的(de)(de)幅(fu)度(du)為(wei):384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信號(hao)的(de)(de)幅(fu)度(du)為(wei)192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見,從頻譜分析出(chu)來(lai)的(de)(de)幅(fu)度(du)是正確的(de)(de)。
然后再來計算(suan)(suan)相(xiang)(xiang)位(wei)信(xin)息。直流信(xin)號(hao)沒(mei)有相(xiang)(xiang)位(wei)可(ke)言,不用管(guan)它(ta)。先計算(suan)(suan)50Hz信(xin)號(hao)的(de)相(xiang)(xiang)位(wei),atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結(jie)果是(shi)(shi)弧度,換(huan)算(suan)(suan)為角度就是(shi)(shi)180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算(suan)(suan)75Hz信(xin)號(hao)的(de)相(xiang)(xiang)位(wei),atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,換(huan)算(suan)(suan)成角度就是(shi)(shi)180*1.5708/pi=90.0002。可(ke)見,相(xiang)(xiang)位(wei)也是(shi)(shi)對的(de)。根據(ju)FFT結(jie)果以及(ji)上面的(de)分析計算(suan)(suan),我們(men)就可(ke)以寫出(chu)信(xin)號(hao)的(de)表達(da)式(shi)了,它(ta)就是(shi)(shi)我們(men)開始提供的(de)信(xin)號(hao)。
總結:假(jia)設(she)采樣頻率(lv)(lv)(lv)為Fs,采樣點(dian)數(shu)(shu)(shu)為N,做(zuo)FFT之后(hou),某(mou)一(yi)點(dian)n(n從1開始)表示的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻率(lv)(lv)(lv)為:Fn=(n-1)*Fs/N;該點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)模值(zhi)除以(yi)N/2就(jiu)是對(dui)應該頻率(lv)(lv)(lv)下的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幅(fu)度(du)(對(dui)于直流信(xin)號(hao)是除以(yi)N);該點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)(xiang)位(wei)即是對(dui)應該頻率(lv)(lv)(lv)下的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)(xiang)位(wei)。相(xiang)(xiang)位(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)計算可(ke)用(yong)函數(shu)(shu)(shu)atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)角度(du)值(zhi),范圍從-pi到pi。要精確到xHz,則需要采樣長度(du)為1/x秒的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao),并做(zuo)FFT。要提高頻率(lv)(lv)(lv)分辨率(lv)(lv)(lv),就(jiu)需要增加采樣點(dian)數(shu)(shu)(shu),這(zhe)在(zai)(zai)一(yi)些實(shi)際的(de)(de)(de)(de)(de)(de)應用(yong)中是不現實(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de),需要在(zai)(zai)較(jiao)短的(de)(de)(de)(de)(de)(de)時間內(nei)完成分析。解(jie)決這(zhe)個問題的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)法(fa)有(you)頻率(lv)(lv)(lv)細(xi)分法(fa),比較(jiao)簡單的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)法(fa)是采樣比較(jiao)短時間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao),然后(hou)在(zai)(zai)后(hou)面(mian)補(bu)充一(yi)定數(shu)(shu)(shu)量的(de)(de)(de)(de)(de)(de)0,使(shi)其長度(du)達到需要的(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)數(shu)(shu)(shu),再做(zuo)FFT,這(zhe)在(zai)(zai)一(yi)定程度(du)上能夠提高頻率(lv)(lv)(lv)分辨力(li)。具體的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻率(lv)(lv)(lv)細(xi)分法(fa)可(ke)參考相(xiang)(xiang)關文獻。