傅里葉變換，表示能將滿足(zu)一定條件的(de)某個函數(shu)表示成三角函數(shu)（正弦(xian)和/或余弦(xian)函數(shu)）或者它(ta)們的(de)積(ji)分的(de)線性組合。
在不同的研(yan)究領(ling)域，傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)具有多種不同的變(bian)體形式，如(ru)連續傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)和(he)離散傅(fu)(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)。最(zui)初傅(fu)(fu)里(li)葉分析(xi)是作為熱(re)過程的解析(xi)分析(xi)的工(gong)具被(bei)提(ti)出的。
設(she)f∈，則其傅里葉變換(huan)為上的(de)函數，定義為
且稱為(wei)傅里葉級數。
收斂性
f到(dao)的傅里葉(xie)映射為，且，且f的傅里葉(xie)級數在L2范數下收斂(lian)于f。
對稱性質
若 ，則。
奇偶性質
若(ruo) ，且 ，其中 表(biao)示 的實部， 表(biao)示 的虛部，則(ze) 是關于 的偶函(han)數，的模是關于的偶函(han)數，輻角是關于的奇函(han)數。
線性性質
若，，則
其中α和(he)β為常數。
時移性質
若，則。
頻移性質
若，則。
尺度變換性質
若，則。
卷積定理
時域卷(juan)積定理：若，，則；
頻域卷(juan)積定(ding)理：若(ruo)，，則(ze)。
時域微積分
微分性質(zhi)：若，則，；
積分性質：若，則。
頻域微積分
微分性(xing)質：若，則；
積分性質(zhi)：若，則。
盡(jin)管最(zui)初傅(fu)里葉分析是作(zuo)為熱過程(cheng)的(de)(de)(de)解(jie)析分析的(de)(de)(de)工具(ju)，但(dan)是其(qi)思想方法仍然具(ju)有(you)典(dian)型的(de)(de)(de)還原論(lun)和(he)分析主義的(de)(de)(de)特征。"任意"的(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)通過一(yi)定(ding)的(de)(de)(de)分解(jie)，都(dou)能夠表(biao)示為正弦(xian)(xian)函(han)(han)數(shu)的(de)(de)(de)線性組合的(de)(de)(de)形式，而正弦(xian)(xian)函(han)(han)數(shu)在物(wu)(wu)理上是被(bei)充分研究而相(xiang)對(dui)簡單(dan)的(de)(de)(de)函(han)(han)數(shu)類，這一(yi)想法跟化學上的(de)(de)(de)原子論(lun)想法何其(qi)相(xiang)似！奇(qi)妙的(de)(de)(de)是，現(xian)代數(shu)學發現(xian)傅(fu)里葉變換具(ju)有(you)非常(chang)好的(de)(de)(de)性質，使得它如此的(de)(de)(de)好用和(he)有(you)用，讓人不得不感(gan)嘆造(zao)物(wu)(wu)的(de)(de)(de)神奇(qi)：
傅里葉變(bian)換是(shi)線性算子(zi)，若賦予適當的范數，它還是(shi)酉算子(zi)；
傅里葉(xie)變換的逆變換容易求出，而且形式與(yu)正(zheng)變換非常類(lei)似；
正弦基(ji)函數是微(wei)(wei)分(fen)運(yun)算的(de)本征(zheng)函數，從(cong)(cong)而(er)使得線(xian)性微(wei)(wei)分(fen)方(fang)程(cheng)的(de)求解(jie)可以轉(zhuan)化為常(chang)系(xi)(xi)數的(de)代數方(fang)程(cheng)的(de)求解(jie).在線(xian)性時不(bu)變(bian)的(de)物(wu)理系(xi)(xi)統內，頻率(lv)是個不(bu)變(bian)的(de)性質，從(cong)(cong)而(er)系(xi)(xi)統對(dui)于復雜激勵的(de)響應(ying)可以通過組合(he)其對(dui)不(bu)同頻率(lv)正弦信號(hao)的(de)響應(ying)來獲取；
著名的卷(juan)積定(ding)理指出：傅里(li)葉變換(huan)可以化復雜(za)的卷(juan)積運(yun)算為簡單的乘積運(yun)算，從(cong)而提供了(le)計算卷(juan)積的一種簡單手(shou)段；
離散形式的(de)傅里葉變(bian)換(huan)可(ke)以利用數字計算(suan)機快速(su)的(de)算(suan)出（其算(suan)法稱(cheng)為快速(su)傅里葉變(bian)換(huan)算(suan)法（FFT)).
正是由于上述的良(liang)好性質(zhi)，傅(fu)里葉變(bian)換在物理學、數論(lun)、組合數學、信號處(chu)理、概率、統計、密碼(ma)學、聲學、光(guang)學等領域(yu)都(dou)有著廣泛的應用。
傅(fu)里葉變(bian)換(huan)是(shi)數(shu)字(zi)信號處理中的(de)基本(ben)(ben)操作，廣泛(fan)應用于表(biao)述及分析離散時(shi)域信號領(ling)域。但(dan)由于其運算(suan)量與變(bian)換(huan)點(dian)數(shu)N的(de)平方成(cheng)正比關系，因此，在N較大時(shi)，直接應用DFT算(suan)法進行譜變(bian)換(huan)是(shi)不(bu)切合(he)實(shi)際的(de)。然而，快速傅(fu)里葉變(bian)換(huan)技術的(de)出現(xian)使情況發生了(le)根本(ben)(ben)性的(de)變(bian)化。本(ben)(ben)文主(zhu)要(yao)描述了(le)采用FPGA來實(shi)現(xian)2k/4k/8k點(dian)FFT的(de)設計方法。
一(yi)般情況(kuang)下，N點的(de)傅里葉變換對(dui)為：
其中(zhong)，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和x(n）都為(wei)(wei)復(fu)數。與之相對(dui)的(de)快速傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換有(you)很多種(zhong)，如DIT（時域抽(chou)取(qu)法(fa)(fa)）、DIF（頻(pin)域抽(chou)取(qu)法(fa)(fa)）、Cooley－Tukey和Winograd等(deng)。對(dui)于2n傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換，Cooley－Tukey算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)可導出DIT和DIF算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)。本文運(yun)用的(de)基(ji)(ji)本思想是Cooley－Tukey算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)，即將高點(dian)數的(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換通過多重低點(dian)數傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)換來實現。雖(sui)然DIT與DIF有(you)差別，但由于它們在(zai)(zai)本質上(shang)都是一種(zhong)基(ji)(ji)于標號分(fen)解的(de)算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)，故在(zai)(zai)運(yun)算(suan)(suan)(suan)(suan)量和算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)復(fu)雜(za)性等(deng)方(fang)面完全一樣，而沒有(you)性能上(shang)的(de)優劣之分(fen)，所以(yi)(yi)(yi)可以(yi)(yi)(yi)根(gen)據需要任取(qu)其中(zhong)一種(zhong)，本文主要以(yi)(yi)(yi)DIT方(fang)法(fa)(fa)為(wei)(wei)對(dui)象(xiang)來討論。
N=8192點DFT的運算表達式為(wei)：
式中(zhong)，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2，k=2048k1+k2）其中(zhong)n1和k2可取0,1，．．．，2047,k1和n2可取0,1,2,3。
由式（3）可(ke)知，8k傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)可(ke)由4×2k的(de)(de)(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)構(gou)(gou)(gou)成。同理，4k傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)可(ke)由2×2k的(de)(de)(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)構(gou)(gou)(gou)成。而2k傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)可(ke)由128×16的(de)(de)(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)構(gou)(gou)(gou)成。128的(de)(de)(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)可(ke)進一步(bu)由16×8的(de)(de)(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)構(gou)(gou)(gou)成，歸根(gen)結(jie)底，整個傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)可(ke)由基(ji)2、基(ji)4的(de)(de)(de)傅(fu)里葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)構(gou)(gou)(gou)成。2k的(de)(de)(de)FFT可(ke)以通過5個基(ji)4和1個基(ji)2變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)來實現；4k的(de)(de)(de)FFT變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)可(ke)通過6個基(ji)4變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)來實現；8k的(de)(de)(de)FFT可(ke)以通過6個基(ji)4和1個基(ji)2變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)來實現。也就是說：FFT的(de)(de)(de)基(ji)本結(jie)構(gou)(gou)(gou)可(ke)由基(ji)2/4模塊、復(fu)數乘(cheng)法器(qi)、存儲(chu)單(dan)元(yuan)和存儲(chu)器(qi)控制(zhi)模塊構(gou)(gou)(gou)成，其(qi)整體結(jie)構(gou)(gou)(gou)如圖1所示。
RAM用來存儲輸入數(shu)據、運算(suan)(suan)過程中的中間(jian)結果(guo)以(yi)及(ji)運算(suan)(suan)完成后的數(shu)據，ROM用來存儲旋轉因子表。蝶形運算(suan)(suan)單元即為基2/4模塊(kuai)，控(kong)制(zhi)模塊(kuai)可(ke)用于(yu)產(chan)生控(kong)制(zhi)時序及(ji)地址信號，以(yi)控(kong)制(zhi)中間(jian)運算(suan)(suan)過程及(ji)最后輸出結果(guo)。
基(ji)4和基(ji)2的信號(hao)流如圖(tu)2所示。圖(tu)中，若A=r0+j*i0，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2，D=r3+j*i3是要進行變換(huan)的信號(hao)，Wk0=c0+j*s0=1，Wk1=c1+j*s1，Wk2=c2+j*s2，Wk3=c3+j*s3為旋轉因子(zi)，將(jiang)其(qi)分別代入圖(tu)2中的基(ji)4蝶形(xing)運算(suan)單元，則(ze)有：
A′=[r0+(r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2)+(r3×c3－i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? （4）
B′=[r0+(i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2）－（i3×c3+r3×s3)]+j[i0－（r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2)+(r3×c3－i3×s3)] (5）
C′=[r0－（r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]+j[i0－（i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2）－（i3×c3+r3×s3)] （6）
D′=[r0－（i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]? （7）
而在(zai)基2蝶形中，Wk0和(he)Wk2的(de)值(zhi)均為1，這樣，將(jiang)A，B，C和(he)D的(de)表達式(shi)代入圖(tu)2中的(de)基2運算(suan)的(de)四個(ge)等式(shi)中，則有(you)：
A′=r0+(r1×c1－i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? （8）
B′=r0－ (r1×c1－i1×s1)+j[i0－（i1×c1+r1×s1)] （9）
C′=r2+(r3×c3－i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? （10）
D′=r2－（r3×c3－i3×s3)+j[i0－（i3×c3+r3×s3)]? （11）
在(zai)上述式(shi)（4）～（11）中有很多類同項，如i1×c1+r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它(ta)們僅僅是加減號的(de)不同，其結構和運(yun)算均類似(si)，這就為簡化電路提(ti)供了可能(neng)。同時，在(zai)蝶形(xing)運(yun)算中，復(fu)數乘(cheng)法可以由實數乘(cheng)法以一定的(de)格式(shi)來表(biao)示(shi)，這也為設計復(fu)數乘(cheng)法器提(ti)供了一種實現(xian)的(de)途徑。
以(yi)基(ji)4為(wei)例(li)，在(zai)其運算單元(yuan)(yuan)中，實際(ji)上只需做三(san)個(ge)(ge)復(fu)數(shu)(shu)(shu)乘法(fa)運算，即(ji)只須計算BWk1、CWk2和DWk3的值(zhi)即(ji)可(ke)，這(zhe)樣在(zai)一個(ge)(ge)基(ji)4蝶形單元(yuan)(yuan)里面，最多只需要(yao)3個(ge)(ge)復(fu)數(shu)(shu)(shu)乘法(fa)器就可(ke)以(yi)了。在(zai)實際(ji)過(guo)程中，在(zai)不提高時鐘頻率下，只要(yao)將時序控制好?便(bian)可(ke)利用(yong)流(liu)水(shui)線（Pipeline）技術并只用(yong)一個(ge)(ge)復(fu)數(shu)(shu)(shu)乘法(fa)器就可(ke)完成這(zhe)三(san)個(ge)(ge)復(fu)數(shu)(shu)(shu)乘法(fa)，大(da)大(da)節省(sheng)了硬(ying)件(jian)資(zi)源。
FFT變換(huan)(huan)后(hou)輸出(chu)的(de)結果通常為(wei)一特定的(de)倒序。因(yin)此，幾(ji)級(ji)變換(huan)(huan)后(hou)對地址的(de)控制必(bi)須準確(que)無誤。
倒序(xu)的(de)規律是和分(fen)解的(de)方式密切(qie)相關的(de)，以(yi)基(ji)8為例，其基(ji)本倒序(xu)規則(ze)如下：
基8可以用(yong)2×2×2三(san)級基2變(bian)換來表(biao)示(shi)，則(ze)(ze)其輸入順(shun)序(xu)則(ze)(ze)可用(yong)二(er)進制序(xu)列（n1 n2 n3）來表(biao)示(shi)，變(bian)換結束后(hou)，其順(shun)序(xu)將變(bian)為(wei)（n3 n2 n1），如：X?011 → x?110 ，即輸入順(shun)序(xu)為(wei)3，輸出時(shi)順(shun)序(xu)變(bian)為(wei)6。
更進(jin)一步，對于基16的(de)變換，可由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式來(lai)構成(cheng)，相對于不(bu)(bu)同的(de)分解形式，往(wang)往(wang)會(hui)有(you)不(bu)(bu)同的(de)倒序方式。以4×4為(wei)例，其輸(shu)入順序可以用二進(jin)制序列(lie)（n1 n2 n3n4）來(lai)表示變換結束后(hou)，其順序可變為(wei)（（n3 n4）（n1 n2）），如：X?0111 → x?1101 。即輸(shu)入順序為(wei)7，輸(shu)出時(shi)順序變為(wei)13。
在2k/4k/8k的(de)傅里葉(xie)變換中(zhong)，由于要經(jing)過多次(ci)的(de)基(ji)4和基(ji)2運算(suan)(suan)，因此，從每次(ci)運算(suan)(suan)完成后到(dao)進入(ru)下一次(ci)運算(suan)(suan)前，應(ying)對運算(suan)(suan)的(de)結果進行倒序(xu)，以保證運算(suan)(suan)的(de)正確性。
N點(dian)傅里(li)葉變(bian)換的旋(xuan)轉因子有著(zhu)明顯的周(zhou)期性和對稱(cheng)性。其周(zhou)期性表(biao)現為：
FFT之所以可使(shi)運算效率得到提(ti)高，就是利(li)用了對(dui)稱性和周期(qi)性把(ba)長序列(lie)的DFT逐級分解成幾個序列(lie)的DFT，并最終以短點(dian)數(shu)變換(huan)來實現長點(dian)數(shu)變換(huan)。
根據旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因子(zi)的對稱性(xing)和周期性(xing)，在(zai)(zai)利(li)用ROM存儲(chu)(chu)(chu)旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因子(zi)時，可以只(zhi)存儲(chu)(chu)(chu)旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因子(zi)表的一(yi)部分，而在(zai)(zai)讀出(chu)時增加讀出(chu)地址及符號的控制，這樣可以正確實現FFT。因此(ci)，充(chong)分利(li)用旋(xuan)(xuan)轉(zhuan)因子(zi)的性(xing)質，可節省70%以上存儲(chu)(chu)(chu)單元(yuan)。
實(shi)際上，由于旋轉(zhuan)因子(zi)(zi)可分(fen)解為正、余(yu)(yu)弦(xian)(xian)函數的(de)組合，故ROM中(zhong)存的(de)值(zhi)為正、余(yu)(yu)弦(xian)(xian)函數值(zhi)的(de)組合。對2k/4k/8k的(de)傅里葉變換(huan)來說，只是(shi)對一個周期進行不同(tong)的(de)分(fen)割。由于8k變換(huan)的(de)旋轉(zhuan)因子(zi)(zi)包括了2k/4k的(de)所有因子(zi)(zi)，因此，實(shi)現時只要對讀ROM的(de)地址進行控制，即(ji)可實(shi)現2k/4k/8k變換(huan)的(de)通用(yong)。
因(yin)FFT是(shi)為(wei)時序電(dian)路而(er)設(she)計的(de)(de)(de)(de)(de)，因(yin)此(ci)，控制信(xin)號(hao)(hao)要包括時序的(de)(de)(de)(de)(de)控制信(xin)號(hao)(hao)及存(cun)儲器(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)讀寫地址，并(bing)產生各種輔助的(de)(de)(de)(de)(de)指示信(xin)號(hao)(hao)。同(tong)時在計算(suan)模塊(kuai)的(de)(de)(de)(de)(de)內部，為(wei)保(bao)證高速，所有的(de)(de)(de)(de)(de)乘法器(qi)都須始(shi)終保(bao)持較高的(de)(de)(de)(de)(de)利用率。這意味著在每一個時鐘(zhong)來臨時都要向這些單(dan)元輸入新(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)操作數(shu)，而(er)這一切都需要控制信(xin)號(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)緊密配合。
為了(le)實現(xian)FFT的(de)流形運算(suan)(suan)，在(zai)運算(suan)(suan)的(de)同時，存儲器也要接收數據。這(zhe)可以(yi)采用乒(ping)乓RAM的(de)方法來完(wan)成。這(zhe)種方式決(jue)定了(le)實現(xian)FFT運算(suan)(suan)的(de)最大時間。對于4k操作，其接收時間為4096個(ge)數據周期(qi)(qi),這(zhe)樣FFT的(de)最大運算(suan)(suan)時間就是(shi)4096個(ge)數據周期(qi)(qi)。另外，由于輸(shu)入(ru)數據是(shi)以(yi)一定的(de)時鐘為周期(qi)(qi)依次輸(shu)入(ru)的(de)，故在(zai)進(jin)行(xing)內(nei)部運算(suan)(suan)時，可以(yi)用較高的(de)內(nei)部時鐘進(jin)行(xing)運算(suan)(suan)，然后再存入(ru)RAM依次輸(shu)出。
為節省資源，可對存(cun)儲(chu)數據RAM采(cai)用原址(zhi)讀出原址(zhi)寫入的(de)(de)方(fang)法(fa)，即(ji)在進(jin)行(xing)下一級變換(huan)的(de)(de)同(tong)時，首先應將結果回(hui)寫到讀出數據的(de)(de)RAM存(cun)貯器(qi)中(zhong)；而對于(yu)ROM，則應采(cai)用與運(yun)算的(de)(de)數據相對應的(de)(de)方(fang)法(fa)來讀出存(cun)儲(chu)器(qi)中(zhong)旋轉因子的(de)(de)值。
在2k/4k/8k傅(fu)里葉變換中，要實(shi)現(xian)通用性，控(kong)制(zhi)器是最主要的模(mo)塊。2k、4k、8k變換具有不同(tong)(tong)(tong)的內部運算時間和存儲器地址，在設(she)計(ji)中，針對(dui)不同(tong)(tong)(tong)的點數應(ying)設(she)計(ji)不同(tong)(tong)(tong)的存儲器存取地址，同(tong)(tong)(tong)時，在完成變換后，還要對(dui)開始輸出(chu)有用信(xin)號的時刻進行指(zhi)示。
Fourier transform或(huo)Transformée de Fourier有(you)多個中文(wen)譯名，常(chang)見的有(you)“傅(fu)里葉(xie)變換(huan)(huan)”、“付立葉(xie)變換(huan)(huan)”、“傅(fu)立葉(xie)轉換(huan)(huan)”、“傅(fu)氏(shi)轉換(huan)(huan)”、“傅(fu)氏(shi)變換(huan)(huan)”、等等。
傅(fu)(fu)里(li)葉變換(huan)(huan)是一(yi)種分(fen)析(xi)信號(hao)的方法(fa)，它可分(fen)析(xi)信號(hao)的成(cheng)(cheng)(cheng)分(fen)，也可用(yong)這些成(cheng)(cheng)(cheng)分(fen)合(he)成(cheng)(cheng)(cheng)信號(hao)。許多波(bo)形可作為信號(hao)的成(cheng)(cheng)(cheng)分(fen)，比如(ru)正(zheng)(zheng)弦(xian)波(bo)、方波(bo)、鋸(ju)齒波(bo)等，傅(fu)(fu)里(li)葉變換(huan)(huan)用(yong)正(zheng)(zheng)弦(xian)波(bo)作為信號(hao)的成(cheng)(cheng)(cheng)分(fen)。
f(t)是(shi)(shi)t的周(zhou)(zhou)期(qi)函(han)數(shu)(shu)，如果t滿足(zu)狄利克雷條件：在一(yi)個(ge)以(yi)(yi)2T為(wei)周(zhou)(zhou)期(qi)內f(X)連續(xu)或(huo)只有(you)有(you)限個(ge)第一(yi)類間斷點，附f（x）單調(diao)或(huo)可劃(hua)分成有(you)限個(ge)單調(diao)區間，則F（x）以(yi)(yi)2T為(wei)周(zhou)(zhou)期(qi)的傅里(li)葉級(ji)數(shu)(shu)收斂(lian)，和(he)函(han)數(shu)(shu)S（x）也(ye)是(shi)(shi)以(yi)(yi)2T為(wei)周(zhou)(zhou)期(qi)的周(zhou)(zhou)期(qi)函(han)數(shu)(shu)，且在這些間斷點上(shang)，函(han)數(shu)(shu)是(shi)(shi)有(you)限值；在一(yi)個(ge)周(zhou)(zhou)期(qi)內具(ju)有(you)有(you)限個(ge)極值點；絕對可積(ji)。則有(you)下(xia)圖①式成立。稱為(wei)積(ji)分運算(suan)f(t)的傅里(li)葉變(bian)換，
②式的積(ji)分運算叫做(zuo)F(ω)的傅里葉逆變(bian)換(huan)。F(ω)叫做(zuo)f(t)的象函數，f(t)叫做(zuo)
F(ω)的象(xiang)原函數。F(ω)是f(t)的象(xiang)。f(t)是F(ω)原象(xiang)。
①傅里葉變換
②傅里葉逆變換
傅里葉(xie)(xie)變換在(zai)物理(li)學、電子類學科(ke)、數論(lun)、組合數學、信(xin)號處理(li)、概率(lv)論(lun)、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的(de)應用(yong)（例(li)如在(zai)信(xin)號處理(li)中(zhong)，傅里葉(xie)(xie)變換的(de)典型用(yong)途是將信(xin)號分(fen)解成頻率(lv)譜——顯示與頻率(lv)對應的(de)幅值大小）。
* 傅里葉變換屬于(yu)諧波分(fen)析。
* 傅里葉變(bian)換的逆(ni)變(bian)換容易求出，而且形式與正變(bian)換非常類似;
* 正(zheng)弦基函(han)(han)數是微分(fen)運算的本征函(han)(han)數，從而使得線(xian)性(xing)微分(fen)方程(cheng)的求解可以轉(zhuan)化為常系(xi)數的代數方程(cheng)的求解.在線(xian)性(xing)時不變(bian)的物(wu)理系(xi)統(tong)(tong)內，頻率是個不變(bian)的性(xing)質(zhi)，從而系(xi)統(tong)(tong)對(dui)于復雜激勵的響應(ying)可以通過組合其對(dui)不同頻率正(zheng)弦信號的響應(ying)來獲取；
*卷積定理指出：傅(fu)里葉變換可以化復雜的卷積運(yun)算(suan)為簡單的乘(cheng)積運(yun)算(suan)，從而提(ti)供(gong)了計算(suan)卷積的一種簡單手(shou)段；
* 離散形式的傅里(li)葉變(bian)換(huan)可以利用數字計算機快(kuai)速(su)地算出（其算法稱為快(kuai)速(su)傅里(li)葉變(bian)換(huan)算法（FFT)).
一(yi)(yi)般情況下，若“傅(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)”一(yi)(yi)詞的前面未加任(ren)何(he)限定(ding)語，則指(zhi)的是“連續(xu)傅(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)”。“連續(xu)傅(fu)里(li)葉變(bian)換(huan)(huan)(huan)”將平方可積的函(han)數(shu) 表示成復指(zhi)數(shu)函(han)數(shu)的積分形式(shi)：
上式其實表示的(de)(de)(de)是連續(xu)傅(fu)里葉變(bian)(bian)換的(de)(de)(de)逆變(bian)(bian)換，即將時間域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)表示為頻率域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu) 的(de)(de)(de)積(ji)分。反過來，其正變(bian)(bian)換恰好是將頻率域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu) 表示為時間域(yu)的(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu) 的(de)(de)(de)積(ji)分形式。一般可(ke)稱(cheng)函(han)數(shu)(shu) 為原(yuan)函(han)數(shu)(shu)，而稱(cheng)函(han)數(shu)(shu) 為傅(fu)里葉變(bian)(bian)換的(de)(de)(de)像(xiang)函(han)數(shu)(shu)，原(yuan)函(han)數(shu)(shu)和像(xiang)函(han)數(shu)(shu)構成一個傅(fu)里葉變(bian)(bian)換對（transform pair）。
當 為(wei)奇函數(shu)（或偶函數(shu)）時，其余弦（或正弦）分量(liang)為(wei)零，而可以(yi)稱這時的變(bian)換(huan)為(wei)余弦變(bian)換(huan)（或正弦變(bian)換(huan)）。
主(zhu)條目：傅里(li)葉級數
連續形(xing)式的傅(fu)里葉(xie)變換其(qi)(qi)實是傅(fu)里葉(xie)級數的推廣(guang)，因(yin)為積分其(qi)(qi)實是一種極(ji)限形(xing)式的求和(he)算子(zi)而已。對于周期函數，它的傅(fu)里葉(xie)級數（Fourier series）表(biao)示被定義(yi)為：
其中 為函數的周期， 為傅里葉展開(kai)系數，它們等(deng)于
對于實值函數，函數的(de)傅里葉級數可以寫成：
其中 和 是實頻(pin)率分(fen)量的振幅。
主(zhu)條(tiao)目：離(li)散時(shi)間傅里(li)葉變換
離散(san)時(shi)間傅里(li)葉變(bian)換（discrete-time Fourier transform, DTFT）針對(dui)的是(shi)定義域為Z的數(shu)列。設 為某一數(shu)列，則(ze)其DTFT被定義為
DTFT在時域上離散，在頻(pin)域上則是周(zhou)期的(de)，它一般用來對離散時間(jian)信號進行頻(pin)譜(pu)分析(xi)。DTFT可以被看作是傅里葉級數的(de)逆。
為了在(zai)科學計(ji)(ji)算和數(shu)字信(xin)號處理等領(ling)域使用計(ji)(ji)算機(ji)進(jin)行傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變換(huan)，必須(xu)(xu)將函數(shu)定義在(zai)離散點上而非連續域內，且須(xu)(xu)滿足有限(xian)性(xing)或周期性(xing)條件。這(zhe)種情(qing)況(kuang)下，序列 的離散傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)變換(huan)（discrete Fourier transform, DFT）為
直接(jie)使用(yong)(yong)DFT的定義計(ji)算(suan)的計(ji)算(suan)復(fu)雜(za)(za)度(du)為 ，而快速傅里葉變換（fast Fourier transform, FFT）可以(yi)(yi)將復(fu)雜(za)(za)度(du)改進為 。計(ji)算(suan)復(fu)雜(za)(za)度(du)的降低以(yi)(yi)及(ji)數(shu)字電路(lu)計(ji)算(suan)能力的發展使得DFT成為在信號處理領域十分實用(yong)(yong)且重要的方法。
在阿貝爾群上(shang)的統一描述
以(yi)上(shang)各(ge)種傅(fu)里(li)葉(xie)變換可以(yi)被更統一(yi)的(de)(de)表述(shu)成任意(yi)局部緊(jin)致的(de)(de)阿貝(bei)爾群上(shang)的(de)(de)傅(fu)里(li)葉(xie)變換。這一(yi)問(wen)題屬于(yu)調(diao)和分(fen)析(xi)的(de)(de)范疇。在調(diao)和分(fen)析(xi)中，一(yi)個(ge)變換從一(yi)個(ge)群變換到它(ta)的(de)(de)對偶群（dual group）。此外，將傅(fu)里(li)葉(xie)變換與卷積相(xiang)聯系的(de)(de)卷積定理在調(diao)和分(fen)析(xi)中也有類似的(de)(de)結論。
下(xia)表列(lie)出(chu)了傅里葉變換家族的(de)(de)成員。容(rong)易發現，函數在時(shi)（頻）域的(de)(de)離散對(dui)應于(yu)其像函數在頻（時(shi)）域的(de)(de)周期性(xing)，反之(zhi)連續則意味著在對(dui)應域的(de)(de)信號的(de)(de)非周期性(xing)。
傅(fu)(fu)里葉是一(yi)位法(fa)(fa)國數學(xue)家和(he)物理學(xue)家的(de)(de)(de)名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(dui)(dui)熱傳遞很(hen)感興(xing)趣，于1807年(nian)在(zai)(zai)法(fa)(fa)國科學(xue)學(xue)會(hui)上(shang)發表(biao)了(le)一(yi)篇論文，運用正弦曲線(xian)來(lai)描述(shu)溫度分布，論文里有(you)(you)個在(zai)(zai)當(dang)時具有(you)(you)爭議(yi)性的(de)(de)(de)決斷：任何連(lian)續周期信號可以(yi)由(you)一(yi)組適當(dang)的(de)(de)(de)正弦曲線(xian)組合而成。當(dang)時審查這個論文的(de)(de)(de)人，其(qi)中有(you)(you)兩位是歷史(shi)上(shang)著名的(de)(de)(de)數學(xue)家拉格朗日(ri)(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和(he)拉普(pu)拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dang)拉普(pu)拉斯和(he)其(qi)它審查者(zhe)投票通過并要(yao)發表(biao)這個論文時，拉格朗日(ri)堅決反對(dui)(dui)，在(zai)(zai)他(ta)此后(hou)生命的(de)(de)(de)六年(nian)中，拉格朗日(ri)堅持認為傅(fu)(fu)里葉的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)(fa)無法(fa)(fa)表(biao)示帶有(you)(you)棱角(jiao)的(de)(de)(de)信號，如在(zai)(zai)方(fang)波中出現非連(lian)續變(bian)化斜率(lv)。法(fa)(fa)國科學(xue)學(xue)會(hui)屈(qu)服于拉格朗日(ri)的(de)(de)(de)威望(wang)，拒絕了(le)傅(fu)(fu)里葉的(de)(de)(de)工作，幸運的(de)(de)(de)是，傅(fu)(fu)里葉還(huan)有(you)(you)其(qi)它事情可忙(mang)，他(ta)參加了(le)政(zheng)治(zhi)運動，隨拿破侖遠(yuan)征埃及(ji)，法(fa)(fa)國大革命后(hou)因會(hui)被推(tui)上(shang)斷頭臺而一(yi)直在(zai)(zai)逃避。直到拉格朗日(ri)死后(hou)15年(nian)這個論文才被發表(biao)出來(lai)。
拉格朗日是(shi)對的(de)：正弦(xian)曲線無法組合成一個(ge)帶有棱角的(de)信號(hao)。但是(shi)，我們可以用(yong)正弦(xian)曲線來非(fei)常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此(ci)，傅里葉(xie)是(shi)對的(de)。
用(yong)正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)(qu)線來代替(ti)原來的(de)(de)曲(qu)(qu)(qu)線而不用(yong)方波(bo)(bo)或三角波(bo)(bo)來表(biao)示(shi)的(de)(de)原因(yin)在于(yu)，分解(jie)信(xin)號(hao)的(de)(de)方法是(shi)(shi)無窮的(de)(de)，但分解(jie)信(xin)號(hao)的(de)(de)目的(de)(de)是(shi)(shi)為(wei)了(le)更(geng)加簡單(dan)地處理(li)原來的(de)(de)信(xin)號(hao)。用(yong)正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)余(yu)弦(xian)來表(biao)示(shi)原信(xin)號(hao)會(hui)更(geng)加簡單(dan)，因(yin)為(wei)正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)余(yu)弦(xian)擁(yong)有原信(xin)號(hao)所(suo)不具有的(de)(de)性質：正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)(qu)線保真度。一(yi)個正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)(qu)線信(xin)號(hao)輸入(ru)后，輸出的(de)(de)仍是(shi)(shi)正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)(qu)線，只有幅度和相位可能(neng)發生變化(hua)，但是(shi)(shi)頻(pin)率和波(bo)(bo)的(de)(de)形狀仍是(shi)(shi)一(yi)樣的(de)(de)。且只有正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)弦(xian)曲(qu)(qu)(qu)線才(cai)擁(yong)有這樣的(de)(de)性質，正(zheng)(zheng)(zheng)(zheng)因(yin)如此我們才(cai)不用(yong)方波(bo)(bo)或三角波(bo)(bo)來表(biao)示(shi)。
為什(shen)么偏偏選擇三角(jiao)函(han)(han)數而不(bu)(bu)用其他(ta)函(han)(han)數進行(xing)分(fen)解(jie)？我們從(cong)物理(li)系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)(de)特(te)(te)征(zheng)信(xin)(xin)號(hao)(hao)角(jiao)度來(lai)解(jie)釋。我們知道(dao)：大(da)自(zi)然(ran)中很多現(xian)象可以(yi)抽象成一(yi)個線性(xing)(xing)時(shi)不(bu)(bu)變(bian)(bian)系(xi)統(tong)來(lai)研(yan)究，無論你用微分(fen)方程還是(shi)(shi)傳遞函(han)(han)數或(huo)者狀態空(kong)間(jian)描述。線性(xing)(xing)時(shi)不(bu)(bu)變(bian)(bian)系(xi)統(tong)可以(yi)這樣理(li)解(jie)：輸入輸出信(xin)(xin)號(hao)(hao)滿足線性(xing)(xing)關(guan)系(xi)，而且系(xi)統(tong)參數不(bu)(bu)隨時(shi)間(jian)變(bian)(bian)換。對于大(da)自(zi)然(ran)界的(de)(de)(de)(de)很多系(xi)統(tong)，一(yi)個正(zheng)弦曲(qu)線信(xin)(xin)號(hao)(hao)輸入后(hou)，輸出的(de)(de)(de)(de)仍(reng)是(shi)(shi)正(zheng)弦曲(qu)線，只有(you)幅度和(he)相(xiang)位可能發(fa)生變(bian)(bian)化，但是(shi)(shi)頻(pin)率和(he)波(bo)的(de)(de)(de)(de)形(xing)狀仍(reng)是(shi)(shi)一(yi)樣的(de)(de)(de)(de)。也就是(shi)(shi)說正(zheng)弦信(xin)(xin)號(hao)(hao)是(shi)(shi)系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)(de)特(te)(te)征(zheng)向量！當然(ran)，指(zhi)數信(xin)(xin)號(hao)(hao)也是(shi)(shi)系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)(de)特(te)(te)征(zheng)向量，表示能量的(de)(de)(de)(de)衰減(jian)或(huo)積聚。自(zi)然(ran)界的(de)(de)(de)(de)衰減(jian)或(huo)者擴散現(xian)象大(da)多是(shi)(shi)指(zhi)數形(xing)式的(de)(de)(de)(de)，或(huo)者既有(you)波(bo)動(dong)又有(you)指(zhi)數衰減(jian)（復指(zhi)數 形(xing)式），因此具有(you)特(te)(te)征(zheng)的(de)(de)(de)(de)基函(han)(han)數就由三角(jiao)函(han)(han)數變(bian)(bian)成復指(zhi)數函(han)(han)數。但是(shi)(shi)，如果輸入是(shi)(shi)方波(bo)、三角(jiao)波(bo)或(huo)者其他(ta)什(shen)么波(bo)形(xing)，那輸出就不(bu)(bu)一(yi)定是(shi)(shi)什(shen)么樣子了(le)。所以(yi)，除了(le)指(zhi)數信(xin)(xin)號(hao)(hao)和(he)正(zheng)弦信(xin)(xin)號(hao)(hao)以(yi)外的(de)(de)(de)(de)其他(ta)波(bo)形(xing)都不(bu)(bu)是(shi)(shi)線性(xing)(xing)系(xi)統(tong)的(de)(de)(de)(de)特(te)(te)征(zheng)信(xin)(xin)號(hao)(hao)。
用(yong)正弦曲(qu)線(xian)來(lai)(lai)代替(ti)原(yuan)(yuan)來(lai)(lai)的(de)(de)(de)曲(qu)線(xian)而(er)不用(yong)方波或三(san)角波或者其他什么函數來(lai)(lai)表示的(de)(de)(de)原(yuan)(yuan)因(yin)在(zai)于(yu)(yu)：正弦信號恰好是(shi)很多線(xian)性時不變系(xi)統的(de)(de)(de)特(te)征(zheng)(zheng)向量(liang)。于(yu)(yu)是(shi)就(jiu)有(you)了傅(fu)里(li)葉變換。對于(yu)(yu)更一般的(de)(de)(de)線(xian)性時不變系(xi)統，復指(zhi)數信號(表示耗散(san)或衰減)是(shi)系(xi)統的(de)(de)(de)“特(te)征(zheng)(zheng)向量(liang)”。于(yu)(yu)是(shi)就(jiu)有(you)了拉(la)普拉(la)斯變換。z變換也(ye)是(shi)同樣的(de)(de)(de)道理(li)，這(zhe)時是(shi)離散(san)系(xi)統的(de)(de)(de)“特(te)征(zheng)(zheng)向量(liang)”。這(zhe)里(li)沒有(you)區分(fen)特(te)征(zheng)(zheng)函數和特(te)征(zheng)(zheng)向量(liang)的(de)(de)(de)概念，主要(yao)想表達二者的(de)(de)(de)思想是(shi)相同的(de)(de)(de)，只不過一個是(shi)有(you)限(xian)維向量(liang)，一個是(shi)無限(xian)維函數。
傅里葉級數和傅里葉變換其實(shi)就是我們之前討論的(de)(de)(de)特征值與特征向量(liang)的(de)(de)(de)問(wen)題。分(fen)(fen)解信(xin)號的(de)(de)(de)方法是無窮的(de)(de)(de)，但分(fen)(fen)解信(xin)號的(de)(de)(de)目的(de)(de)(de)是為了更加簡(jian)單地處(chu)理原來的(de)(de)(de)信(xin)號。這(zhe)樣，用正余弦(xian)(xian)(xian)來表示原信(xin)號會更加簡(jian)單，因(yin)為正余弦(xian)(xian)(xian)擁有(you)原信(xin)號所不具有(you)的(de)(de)(de)性質(zhi)：正弦(xian)(xian)(xian)曲(qu)線(xian)保真(zhen)度。且只有(you)正弦(xian)(xian)(xian)曲(qu)線(xian)才擁有(you)這(zhe)樣的(de)(de)(de)性質(zhi)。
這也(ye)解釋(shi)了(le)為什(shen)么(me)我們(men)一(yi)碰(peng)到(dao)信號就(jiu)想方(fang)設法的(de)把它表示成正(zheng)弦量或(huo)者(zhe)復(fu)指(zhi)數量的(de)形式；為什(shen)么(me)方(fang)波或(huo)者(zhe)三角(jiao)波如(ru)此“簡單”，我們(men)非(fei)要展(zhan)開(kai)的(de)如(ru)此“麻煩”；為什(shen)么(me)對于一(yi)個沒有什(shen)么(me)規律的(de)“非(fei)周期”信號，我們(men)都絞盡腦(nao)汁的(de)用正(zheng)弦量展(zhan)開(kai)。就(jiu)因為正(zheng)弦量(或(huo)復(fu)指(zhi)數)是特征向量。
什(shen)么是時(shi)(shi)域？從我們(men)出生，我們(men)看到的(de)(de)世界都(dou)以(yi)時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)貫穿，股(gu)票的(de)(de)走(zou)勢、人的(de)(de)身高、汽車的(de)(de)軌跡都(dou)會隨著時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)發(fa)生改(gai)(gai)變。這種以(yi)時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)作為(wei)參照(zhao)來觀察動態世界的(de)(de)方(fang)法我們(men)稱(cheng)其為(wei)時(shi)(shi)域分析。而我們(men)也(ye)想(xiang)當(dang)然(ran)的(de)(de)認為(wei)，世間(jian)(jian)(jian)萬物都(dou)在隨著時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)不停的(de)(de)改(gai)(gai)變，并且永遠不會靜止下來。
什么(me)是(shi)(shi)(shi)(shi)頻域？頻域(frequency domain)是(shi)(shi)(shi)(shi)描述信號在(zai)頻率方面特性(xing)時用(yong)(yong)到(dao)的一種坐標系。用(yong)(yong)線性(xing)代數的語言就是(shi)(shi)(shi)(shi)裝著正弦函數的空(kong)間(jian)。頻域最重(zhong)(zhong)要的性(xing)質是(shi)(shi)(shi)(shi)：它不是(shi)(shi)(shi)(shi)真實的，而是(shi)(shi)(shi)(shi)一個(ge)數學構(gou)造。頻域是(shi)(shi)(shi)(shi)一個(ge)遵循特定規則(ze)的數學范疇。正弦波是(shi)(shi)(shi)(shi)頻域中唯一存在(zai)的波形(xing)，這(zhe)是(shi)(shi)(shi)(shi)頻域中最重(zhong)(zhong)要的規則(ze)，即正弦波是(shi)(shi)(shi)(shi)對頻域的描述，因為時域中的任(ren)何波形(xing)都可用(yong)(yong)正弦波合成。
對(dui)于(yu)一個(ge)信(xin)號(hao)(hao)來(lai)說，信(xin)號(hao)(hao)強度隨時間的變(bian)化規律就(jiu)是時域(yu)(yu)特(te)性(xing)，信(xin)號(hao)(hao)是由哪(na)些單一頻率(lv)的信(xin)號(hao)(hao)合成的就(jiu)是頻域(yu)(yu)特(te)性(xing)。
時(shi)(shi)域(yu)(yu)分析(xi)與頻域(yu)(yu)分析(xi)是對信(xin)(xin)號的兩(liang)個觀察面。時(shi)(shi)域(yu)(yu)分析(xi)是以(yi)時(shi)(shi)間軸為(wei)坐標表示(shi)動態信(xin)(xin)號的關系；頻域(yu)(yu)分析(xi)是把信(xin)(xin)號變為(wei)以(yi)頻率軸為(wei)坐標表示(shi)出來。一(yi)般來說(shuo)，時(shi)(shi)域(yu)(yu)的表示(shi)較為(wei)形象與直(zhi)觀，頻域(yu)(yu)分析(xi)則更(geng)為(wei)簡練，剖析(xi)問題更(geng)為(wei)深刻和(he)方便。目前，信(xin)(xin)號分析(xi)的趨勢是從時(shi)(shi)域(yu)(yu)向頻域(yu)(yu)發展。然而(er)，它們(men)是互相聯系，缺一(yi)不可，相輔(fu)相成的。貫穿(chuan)時(shi)(shi)域(yu)(yu)與頻域(yu)(yu)的方法之(zhi)一(yi)，就是傳說(shuo)中的傅里葉(xie)(xie)分析(xi)。傅里葉(xie)(xie)分析(xi)可分為(wei)傅里葉(xie)(xie)級數（Fourier Serie）和(he)傅里葉(xie)(xie)變換(Fourier Transformation)。
根據原信號的不同(tong)類型，我們可以(yi)把傅里葉變換分為四(si)種類別：
1非周期性連續信號傅里葉(xie)變換（Fourier Transform）
2周期性連續(xu)信號傅里葉(xie)級數(Fourier Series)
3非周(zhou)期性離(li)散信(xin)號(hao)離(li)散時域傅里葉變換(huan)（Discrete Time Fourier Transform）
4周(zhou)期性離(li)散(san)信(xin)號(hao)離(li)散(san)傅里葉變(bian)換(huan)(Discrete Fourier Transform)
下圖是四(si)種原信號圖例：
這(zhe)四種傅(fu)里(li)葉變換(huan)都是(shi)針(zhen)對(dui)正(zheng)無(wu)(wu)窮大(da)和負無(wu)(wu)窮大(da)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，即信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)的(de)(de)長度(du)(du)是(shi)無(wu)(wu)窮大(da)的(de)(de)，我(wo)(wo)們(men)(men)知道這(zhe)對(dui)于(yu)計算機(ji)處理(li)來(lai)說是(shi)不可能的(de)(de)，那(nei)么有(you)(you)(you)沒(mei)有(you)(you)(you)針(zhen)對(dui)長度(du)(du)有(you)(you)(you)限(xian)(xian)的(de)(de)傅(fu)里(li)葉變換(huan)呢？沒(mei)有(you)(you)(you)。因為(wei)正(zheng)余弦(xian)波被定(ding)義成從負無(wu)(wu)窮大(da)到正(zheng)無(wu)(wu)窮大(da)，我(wo)(wo)們(men)(men)無(wu)(wu)法(fa)把(ba)(ba)一個長度(du)(du)無(wu)(wu)限(xian)(xian)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)組合成長度(du)(du)有(you)(you)(you)限(xian)(xian)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)。面對(dui)這(zhe)種困難，方(fang)法(fa)是(shi)把(ba)(ba)長度(du)(du)有(you)(you)(you)限(xian)(xian)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)表(biao)示成長度(du)(du)無(wu)(wu)限(xian)(xian)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，可以(yi)把(ba)(ba)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)無(wu)(wu)限(xian)(xian)地從左右進(jin)行延(yan)伸(shen)，延(yan)伸(shen)的(de)(de)部分用零來(lai)表(biao)示，這(zhe)樣，這(zhe)個信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)就(jiu)可以(yi)被看成是(shi)非周期性(xing)離(li)散(san)(san)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，我(wo)(wo)們(men)(men)就(jiu)可以(yi)用到離(li)散(san)(san)時域傅(fu)里(li)葉變換(huan)的(de)(de)方(fang)法(fa)。還有(you)(you)(you)，也可以(yi)把(ba)(ba)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)用復制的(de)(de)方(fang)法(fa)進(jin)行延(yan)伸(shen)，這(zhe)樣信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)就(jiu)變成了周期性(xing)離(li)散(san)(san)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，這(zhe)時我(wo)(wo)們(men)(men)就(jiu)可以(yi)用離(li)散(san)(san)傅(fu)里(li)葉變換(huan)方(fang)法(fa)進(jin)行變換(huan)。這(zhe)里(li)我(wo)(wo)們(men)(men)要(yao)學的(de)(de)是(shi)離(li)散(san)(san)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，對(dui)于(yu)連續信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)我(wo)(wo)們(men)(men)不作討(tao)論(lun)，因為(wei)計算機(ji)只(zhi)能處理(li)離(li)散(san)(san)的(de)(de)數值(zhi)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，我(wo)(wo)們(men)(men)的(de)(de)最終目的(de)(de)是(shi)運用計算機(ji)來(lai)處理(li)信(xin)(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)。
但(dan)是(shi)(shi)(shi)對(dui)于(yu)(yu)(yu)非周(zhou)(zhou)期(qi)性(xing)的(de)信號，我們(men)(men)需要用(yong)(yong)無(wu)窮多不同(tong)頻率的(de)正(zheng)(zheng)弦曲線來(lai)表示(shi)，這對(dui)于(yu)(yu)(yu)計算(suan)機(ji)來(lai)說是(shi)(shi)(shi)不可能(neng)(neng)實(shi)現的(de)。所以對(dui)于(yu)(yu)(yu)離散(san)(san)(san)信號的(de)變換只(zhi)有(you)離散(san)(san)(san)傅里葉變換（DFT）才能(neng)(neng)被適用(yong)(yong)，對(dui)于(yu)(yu)(yu)計算(suan)機(ji)來(lai)說只(zhi)有(you)離散(san)(san)(san)的(de)和有(you)限(xian)長度(du)的(de)數據才能(neng)(neng)被處理(li)，對(dui)于(yu)(yu)(yu)其它的(de)變換類型(xing)只(zhi)有(you)在數學演算(suan)中才能(neng)(neng)用(yong)(yong)到(dao)，在計算(suan)機(ji)面(mian)前我們(men)(men)只(zhi)能(neng)(neng)用(yong)(yong)DFT方法，后面(mian)我們(men)(men)要理(li)解(jie)的(de)也正(zheng)(zheng)是(shi)(shi)(shi)DFT方法。這里要理(li)解(jie)的(de)是(shi)(shi)(shi)我們(men)(men)使用(yong)(yong)周(zhou)(zhou)期(qi)性(xing)的(de)信號目的(de)是(shi)(shi)(shi)為了能(neng)(neng)夠用(yong)(yong)數學方法來(lai)解(jie)決問題，至于(yu)(yu)(yu)考慮(lv)周(zhou)(zhou)期(qi)性(xing)信號是(shi)(shi)(shi)從哪里得(de)到(dao)或(huo)怎樣得(de)到(dao)是(shi)(shi)(shi)無(wu)意義的(de)。
每(mei)種傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換都分成實(shi)數(shu)(shu)(shu)和復(fu)數(shu)(shu)(shu)兩種方法(fa)，對于(yu)實(shi)數(shu)(shu)(shu)方法(fa)是最好(hao)理解的(de)，但是復(fu)數(shu)(shu)(shu)方法(fa)就相(xiang)對復(fu)雜許(xu)多了(le)，需要懂得有(you)關復(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)理論知(zhi)識，不過，如(ru)果(guo)理解了(le)實(shi)數(shu)(shu)(shu)離散傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(real DFT)，再(zai)去理解復(fu)數(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)就更容易了(le)，所以我(wo)們(men)先把復(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)放(fang)到一(yi)邊去，先來理解實(shi)數(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換，在后(hou)面我(wo)們(men)會先講(jiang)講(jiang)關于(yu)復(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)基本理論，然后(hou)在理解了(le)實(shi)數(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換的(de)基礎上再(zai)來理解復(fu)數(shu)(shu)(shu)傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換。
還有，這里我們所要說的(de)(de)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(transform)雖然(ran)是數(shu)(shu)學意義上的(de)(de)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)，但跟函數(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是不同的(de)(de)，函數(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是符(fu)合一一映射準則的(de)(de)，對于離(li)散數(shu)(shu)字信(xin)號處理（DSP），有許多的(de)(de)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)：傅(fu)里葉變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)、拉普(pu)拉斯變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)、Z變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)、希(xi)爾伯(bo)特變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)、離(li)散余弦變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)等，這些(xie)都擴展了函數(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)的(de)(de)定義，允許輸(shu)入(ru)和輸(shu)出有多種的(de)(de)值(zhi)，簡(jian)單地說變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)就是把(ba)一堆的(de)(de)數(shu)(shu)據變(bian)(bian)(bian)成另(ling)一堆的(de)(de)數(shu)(shu)據的(de)(de)方法。
傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變換(huan)是數字信號(hao)處(chu)理領域一種很重(zhong)要(yao)的(de)(de)(de)算法(fa)。要(yao)知(zhi)道傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變換(huan)算法(fa)的(de)(de)(de)意(yi)義(yi)，首先要(yao)了(le)解傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)原(yuan)理的(de)(de)(de)意(yi)義(yi)。傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)原(yuan)理表(biao)明：任何(he)連續(xu)測量(liang)的(de)(de)(de)時(shi)序或信號(hao)，都可以(yi)表(biao)示為(wei)不同頻(pin)率(lv)的(de)(de)(de)正弦波信號(hao)的(de)(de)(de)無限疊加(jia)。而根據該原(yuan)理創(chuang)立的(de)(de)(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變換(huan)算法(fa)利用直接測量(liang)到(dao)的(de)(de)(de)原(yuan)始信號(hao)，以(yi)累加(jia)方式來計算該信號(hao)中不同正弦波信號(hao)的(de)(de)(de)頻(pin)率(lv)、振(zhen)幅和相位。
和傅里葉變(bian)換(huan)算法(fa)對應的(de)(de)是反(fan)傅里葉變(bian)換(huan)算法(fa)。該反(fan)變(bian)換(huan)從本質上(shang)說也是一種累(lei)加處(chu)理(li)，這(zhe)樣(yang)就(jiu)可以(yi)將(jiang)單獨改(gai)變(bian)的(de)(de)正弦波(bo)信(xin)號轉換(huan)成一個信(xin)號。因此，可以(yi)說，傅里葉變(bian)換(huan)將(jiang)原來難以(yi)處(chu)理(li)的(de)(de)時域信(xin)號轉換(huan)成了易(yi)于分析(xi)的(de)(de)頻域信(xin)號（信(xin)號的(de)(de)頻譜(pu)），可以(yi)利用(yong)一些(xie)工具對這(zhe)些(xie)頻域信(xin)號進行(xing)處(chu)理(li)、加工。最后還可以(yi)利用(yong)傅里葉反(fan)變(bian)換(huan)將(jiang)這(zhe)些(xie)頻域信(xin)號轉換(huan)成時域信(xin)號。
從現(xian)代數(shu)(shu)(shu)學的(de)眼光來看，傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)是一種特殊的(de)積(ji)分變(bian)(bian)換(huan)。它能將(jiang)滿足一定條件的(de)某個函(han)數(shu)(shu)(shu)表示(shi)成正弦基函(han)數(shu)(shu)(shu)的(de)線性(xing)組合或者積(ji)分。在不同的(de)研究領域，傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)具有多種不同的(de)變(bian)(bian)體形(xing)式，如連續傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)和(he)離散傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)。
在(zai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)領域，盡管最初傅(fu)(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)(xie)分(fen)(fen)析(xi)(xi)是作為熱過程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)解(jie)析(xi)(xi)分(fen)(fen)析(xi)(xi)的(de)(de)(de)(de)(de)工具(ju)，但是其思想方(fang)法仍(reng)然具(ju)有典型的(de)(de)(de)(de)(de)還(huan)原論(lun)和分(fen)(fen)析(xi)(xi)主義的(de)(de)(de)(de)(de)特征(zheng)。"任意"的(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu)通(tong)過一定的(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)(fen)解(jie)，都能夠表示為正弦(xian)函(han)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)線性(xing)(xing)組合(he)的(de)(de)(de)(de)(de)形式，而正弦(xian)函(han)數(shu)(shu)(shu)在(zai)物(wu)理(li)上是被充分(fen)(fen)研究而相對(dui)簡(jian)單的(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu)類(lei)：1. 傅(fu)(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)是線性(xing)(xing)算(suan)(suan)(suan)子,若(ruo)賦予適當(dang)的(de)(de)(de)(de)(de)范數(shu)(shu)(shu)，它還(huan)是酉算(suan)(suan)(suan)子；2. 傅(fu)(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)逆變(bian)(bian)換(huan)容易求出(chu)，而且形式與正變(bian)(bian)換(huan)非常類(lei)似；3. 正弦(xian)基函(han)數(shu)(shu)(shu)是微(wei)分(fen)(fen)運算(suan)(suan)(suan)的(de)(de)(de)(de)(de)本征(zheng)函(han)數(shu)(shu)(shu),從而使得線性(xing)(xing)微(wei)分(fen)(fen)方(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)求解(jie)可(ke)以(yi)轉(zhuan)化為常系數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)代數(shu)(shu)(shu)方(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)求解(jie)。在(zai)線性(xing)(xing)時復(fu)雜(za)的(de)(de)(de)(de)(de)卷(juan)積(ji)運算(suan)(suan)(suan)為簡(jian)單的(de)(de)(de)(de)(de)乘(cheng)積(ji)運算(suan)(suan)(suan),從而提(ti)供了計算(suan)(suan)(suan)卷(juan)積(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)一種簡(jian)單手段；4. 離散形式的(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)(xie)的(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)理(li)系統(tong)內,頻率是個不變(bian)(bian)的(de)(de)(de)(de)(de)性(xing)(xing)質,從而系統(tong)對(dui)于(yu)復(fu)雜(za)激勵的(de)(de)(de)(de)(de)響應可(ke)以(yi)通(tong)過組合(he)其對(dui)不同頻率正弦(xian)信號的(de)(de)(de)(de)(de)響應來獲取；5. 著名的(de)(de)(de)(de)(de)卷(juan)積(ji)定理(li)指出(chu):傅(fu)(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)可(ke)以(yi)化復(fu)變(bian)(bian)換(huan)可(ke)以(yi)利(li)用數(shu)(shu)(shu)字計算(suan)(suan)(suan)機快速(su)的(de)(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)(suan)出(chu)(其算(suan)(suan)(suan)法稱(cheng)為快速(su)傅(fu)(fu)(fu)里葉(xie)(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)算(suan)(suan)(suan)法(FFT))。
正是由于上述的良好性質,傅(fu)里葉變換在(zai)物理(li)學(xue)、數(shu)論、組合數(shu)學(xue)、信(xin)號處理(li)、概率、統計、密碼(ma)學(xue)、聲學(xue)、光(guang)學(xue)等領(ling)域都有著廣泛的應(ying)用。
圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)頻率(lv)是表(biao)征(zheng)圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)中灰(hui)度變(bian)(bian)(bian)(bian)化劇(ju)(ju)烈(lie)程度的(de)(de)(de)(de)(de)指標，是灰(hui)度在平(ping)面(mian)空間上(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)梯(ti)度。如：大面(mian)積的(de)(de)(de)(de)(de)沙漠在圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)中是一片灰(hui)度變(bian)(bian)(bian)(bian)化緩慢的(de)(de)(de)(de)(de)區(qu)(qu)域(yu)(yu)(yu)，對應的(de)(de)(de)(de)(de)頻率(lv)值(zhi)(zhi)很低；而對于(yu)地表(biao)屬性變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)劇(ju)(ju)烈(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)邊緣區(qu)(qu)域(yu)(yu)(yu)在圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)中是一片灰(hui)度變(bian)(bian)(bian)(bian)化劇(ju)(ju)烈(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)區(qu)(qu)域(yu)(yu)(yu)，對應的(de)(de)(de)(de)(de)頻率(lv)值(zhi)(zhi)較高。傅(fu)里(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)在實(shi)際中有非常明(ming)顯(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)物理意義(yi)，設f是一個能量(liang)有限(xian)的(de)(de)(de)(de)(de)模擬信(xin)號，則其傅(fu)里(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)就表(biao)示f的(de)(de)(de)(de)(de)譜。從純粹的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)意義(yi)上(shang)(shang)看(kan)，傅(fu)里(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是將一個函(han)數(shu)(shu)(shu)轉換(huan)(huan)(huan)為一系(xi)列周期函(han)數(shu)(shu)(shu)來處理的(de)(de)(de)(de)(de)。從物理效果看(kan)，傅(fu)里(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是將圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)從空間域(yu)(yu)(yu)轉換(huan)(huan)(huan)到頻率(lv)域(yu)(yu)(yu)，其逆(ni)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是將圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)從頻率(lv)域(yu)(yu)(yu)轉換(huan)(huan)(huan)到空間域(yu)(yu)(yu)。換(huan)(huan)(huan)句話(hua)說，傅(fu)里(li)(li)(li)葉(xie)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)物理意義(yi)是將圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)灰(hui)度分布(bu)(bu)(bu)函(han)數(shu)(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)為圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)頻率(lv)分布(bu)(bu)(bu)函(han)數(shu)(shu)(shu)，傅(fu)里(li)(li)(li)葉(xie)逆(ni)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是將圖(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)頻率(lv)分布(bu)(bu)(bu)函(han)數(shu)(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)為灰(hui)度分布(bu)(bu)(bu)函(han)數(shu)(shu)(shu)。
傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)前，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)（未壓縮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)位(wei)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)）是(shi)(shi)由(you)對(dui)在(zai)(zai)連續空(kong)間(jian)(jian)(jian)（現實空(kong)間(jian)(jian)(jian)）上(shang)(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)采樣(yang)得(de)到(dao)(dao)一(yi)(yi)系(xi)(xi)列(lie)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)合(he)，我(wo)們(men)(men)習慣用(yong)一(yi)(yi)個二(er)維(wei)矩陣表示空(kong)間(jian)(jian)(jian)上(shang)(shang)(shang)各點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，則(ze)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)可由(you)z=f(x,y)來(lai)(lai)表示。由(you)于空(kong)間(jian)(jian)(jian)是(shi)(shi)三維(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)是(shi)(shi)二(er)維(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，因(yin)此空(kong)間(jian)(jian)(jian)中(zhong)物體在(zai)(zai)另一(yi)(yi)個維(wei)度(du)上(shang)(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)就(jiu)由(you)梯(ti)(ti)(ti)度(du)來(lai)(lai)表示，這(zhe)樣(yang)我(wo)們(men)(men)可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)通過(guo)觀察圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)得(de)知(zhi)物體在(zai)(zai)三維(wei)空(kong)間(jian)(jian)(jian)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)應關系(xi)(xi)。為(wei)(wei)什么(me)要提梯(ti)(ti)(ti)度(du)？因(yin)為(wei)(wei)實際(ji)上(shang)(shang)(shang)對(dui)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)進行二(er)維(wei)傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)得(de)到(dao)(dao)頻(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，就(jiu)是(shi)(shi)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)梯(ti)(ti)(ti)度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)分布(bu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，當然頻(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)各點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)與圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)上(shang)(shang)(shang)各點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)并不(bu)存在(zai)(zai)一(yi)(yi)一(yi)(yi)對(dui)應的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)(xi)，即(ji)(ji)使在(zai)(zai)不(bu)移頻(pin)(pin)(pin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情況下也是(shi)(shi)沒有。傅里(li)葉(xie)(xie)頻(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)(shang)我(wo)們(men)(men)看(kan)到(dao)(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)明暗不(bu)一(yi)(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，實際(ji)上(shang)(shang)(shang)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)上(shang)(shang)(shang)某一(yi)(yi)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)與鄰(lin)域點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)差異(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)強弱，即(ji)(ji)梯(ti)(ti)(ti)度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大小，也即(ji)(ji)該(gai)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)大小（可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)這(zhe)么(me)理解，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)低頻(pin)(pin)(pin)部分指低梯(ti)(ti)(ti)度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)，高(gao)頻(pin)(pin)(pin)部分相(xiang)反）。一(yi)(yi)般來(lai)(lai)講，梯(ti)(ti)(ti)度(du)大則(ze)該(gai)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮度(du)強，否則(ze)該(gai)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)亮度(du)弱。這(zhe)樣(yang)通過(guo)觀察傅里(li)葉(xie)(xie)變(bian)換(huan)后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，也叫功率圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，我(wo)們(men)(men)首先(xian)就(jiu)可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)看(kan)出(chu)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)能量分布(bu)，如(ru)果(guo)頻(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)暗的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數更(geng)多(duo)，那(nei)么(me)實際(ji)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)是(shi)(shi)比較(jiao)柔和的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)（因(yin)為(wei)(wei)各點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)與鄰(lin)域差異(yi)都不(bu)大，梯(ti)(ti)(ti)度(du)相(xiang)對(dui)較(jiao)小），反之，如(ru)果(guo)頻(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)亮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)數多(duo)，那(nei)么(me)實際(ji)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)一(yi)(yi)定(ding)是(shi)(shi)尖銳的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，邊界分明且邊界兩邊像(xiang)(xiang)素(su)差異(yi)較(jiao)大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。對(dui)頻(pin)(pin)(pin)譜(pu)移頻(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)原(yuan)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)后，可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)看(kan)出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率分布(bu)是(shi)(shi)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)原(yuan)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)為(wei)(wei)圓(yuan)心(xin)(xin)，對(dui)稱分布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。將頻(pin)(pin)(pin)譜(pu)移頻(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)圓(yuan)心(xin)(xin)除了可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)清晰地(di)看(kan)出(chu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)頻(pin)(pin)(pin)率分布(bu)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)外(wai)，還有一(yi)(yi)個好處，它可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)分離出(chu)有周(zhou)期性規律的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)干(gan)擾(rao)信號，比如(ru)正弦(xian)干(gan)擾(rao)，一(yi)(yi)副帶有正弦(xian)干(gan)擾(rao)，移頻(pin)(pin)(pin)到(dao)(dao)原(yuan)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)譜(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)(shang)(shang)可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)看(kan)出(chu)除了中(zhong)心(xin)(xin)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)外(wai)還存在(zai)(zai)以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)某一(yi)(yi)點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)為(wei)(wei)中(zhong)心(xin)(xin)，對(dui)稱分布(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮點(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)集(ji)合(he)，這(zhe)個集(ji)合(he)就(jiu)是(shi)(shi)干(gan)擾(rao)噪音產生的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，這(zhe)時可以(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)很直(zhi)觀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)通過(guo)在(zai)(zai)該(gai)位(wei)置放置帶阻濾波器消除干(gan)擾(rao)。
另外說明以下幾點：
1、圖像經過(guo)二維傅(fu)里葉變換后，其變換系數(shu)矩陣(zhen)表明(ming)：
若變(bian)換矩陣Fn原點設在中(zhong)(zhong)心(xin)，其頻譜(pu)能(neng)量集(ji)中(zhong)(zhong)分(fen)布在變(bian)換系(xi)(xi)數短陣的中(zhong)(zhong)心(xin)附近（圖中(zhong)(zhong)陰影區）。若所(suo)用的二維傅(fu)里(li)葉變(bian)換矩陣Fn的原點設在左上角，那么圖像信號能(neng)量將集(ji)中(zhong)(zhong)在系(xi)(xi)數矩陣的四個角上。這(zhe)是由(you)二維傅(fu)里(li)葉變(bian)換本(ben)身性(xing)質決定的。同時也表明一(yi)股圖像能(neng)量集(ji)中(zhong)(zhong)低頻區域。
2 、變換之(zhi)后的(de)圖像在原點平(ping)移之(zhi)前四角是低(di)頻，最亮(liang)，平(ping)移之(zhi)后中間(jian)部分是低(di)頻，最亮(liang)，亮(liang)度大說明低(di)頻的(de)能量大（幅角比較大）。
將其發展延伸，構造出(chu)了(le)其他形式的積分(fen)變換:
從數(shu)學的角(jiao)度(du)理解(jie)(jie)積(ji)(ji)分變(bian)換(huan)就是通(tong)過積(ji)(ji)分運算(suan)，把一個(ge)函(han)數(shu)變(bian)成(cheng)另一個(ge)函(han)數(shu)。也可以理解(jie)(jie)成(cheng)是算(suan)內積(ji)(ji)，然后就變(bian)成(cheng)一個(ge)函(han)數(shu)向另一個(ge)函(han)數(shu)的投影：
K（s，t）積分變(bian)換的(de)核(Kernel)。當選取不同的(de)積分域和變(bian)換核時，就得到(dao)不同名稱的(de)積分變(bian)換。學術一點的(de)說(shuo)法是(shi)：向核空間(jian)投影，將原問題轉化到(dao)核空間(jian)。所謂核空間(jian)，就是(shi)這(zhe)個空間(jian)里面裝(zhuang)的(de)是(shi)核函數。
當然，選取什么樣的(de)(de)(de)核(he)(he)(he)主(zhu)要看你(ni)面對的(de)(de)(de)問(wen)題有什么特(te)(te)征。不同問(wen)題的(de)(de)(de)特(te)(te)征不同，就(jiu)會對應特(te)(te)定的(de)(de)(de)核(he)(he)(he)函(han)數(shu)。把(ba)核(he)(he)(he)函(han)數(shu)作為基函(han)數(shu)。將(jiang)現在的(de)(de)(de)坐標投影到(dao)核(he)(he)(he)空間里面去，問(wen)題就(jiu)會得到(dao)簡(jian)化。之所以叫核(he)(he)(he)，是因為這(zhe)是最核(he)(he)(he)心的(de)(de)(de)地方。為什么其他變(bian)換你(ni)都沒怎么聽說過而只熟(shu)悉傅里葉變(bian)換和拉普拉斯變(bian)換呢？因為復指(zhi)數(shu)信號才是描述這(zhe)個世界的(de)(de)(de)特(te)(te)征函(han)數(shu)！
一(yi)個(ge)關于實數離散傅里葉變換(Real DFT)實例
先來(lai)看一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)變換實例，一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)原始(shi)信(xin)號(hao)的(de)長度是(shi)16，于是(shi)可(ke)以把這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)信(xin)號(hao)分(fen)解9個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)余弦(xian)波和9個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)正弦(xian)波（一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)長度為(wei)N的(de)信(xin)號(hao)可(ke)以分(fen)解成N/2+1個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)正余弦(xian)信(xin)號(hao)，這(zhe)是(shi)為(wei)什么呢(ni)？結合(he)下面的(de)18個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)正余弦(xian)圖(tu),我想從計算(suan)機處(chu)理精度上就不難理解，一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)長度為(wei)N的(de)信(xin)號(hao)，最多只能(neng)有N/2+1個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)不同(tong)頻率，再多的(de)頻率就超(chao)過了計算(suan)機所能(neng)所處(chu)理的(de)精度范圍），如下圖(tu)：
9個正弦信號：
9個余弦信號：
把以(yi)上所有信號(hao)(hao)相加(jia)即可得到原始信號(hao)(hao)，至于(yu)是(shi)怎么分別變換出9種不(bu)同頻率信號(hao)(hao)的(de)，我們先不(bu)急，先看(kan)(kan)看(kan)(kan)對于(yu)以(yi)上的(de)變換結果，在程序中又是(shi)該怎么表示(shi)的(de)，我們可以(yi)看(kan)(kan)看(kan)(kan)下(xia)面這個示(shi)例圖：
上圖中左邊表(biao)(biao)(biao)示(shi)時域(yu)(yu)中的(de)信(xin)(xin)號(hao)，右邊是(shi)頻域(yu)(yu)信(xin)(xin)號(hao)表(biao)(biao)(biao)示(shi)方(fang)法(fa)，從(cong)左向右表(biao)(biao)(biao)示(shi)正(zheng)向轉換(huan)(Forward DFT)，從(cong)右向左表(biao)(biao)(biao)示(shi)逆(ni)向轉換(huan)(Inverse DFT)，用小寫x[]表(biao)(biao)(biao)示(shi)信(xin)(xin)號(hao)在(zai)每個時間點上的(de)幅(fu)度(du)值(zhi)數(shu)(shu)組(zu)(zu), 用大寫X[]表(biao)(biao)(biao)示(shi)每種頻率的(de)幅(fu)度(du)值(zhi)數(shu)(shu)組(zu)(zu), 因為(wei)有(you)N/2+1種頻率，所以該數(shu)(shu)組(zu)(zu)長度(du)為(wei)N/2+1，X[]數(shu)(shu)組(zu)(zu)又分兩種，一(yi)種是(shi)表(biao)(biao)(biao)示(shi)余弦(xian)波(bo)的(de)不同頻率幅(fu)度(du)值(zhi)：Re X[]，另一(yi)種是(shi)表(biao)(biao)(biao)示(shi)正(zheng)弦(xian)波(bo)的(de)不同頻率幅(fu)度(du)值(zhi)：Im X[]，Re是(shi)實數(shu)(shu)(Real)的(de)意思，Im是(shi)虛數(shu)(shu)(Imagine)的(de)意思，采用復數(shu)(shu)的(de)表(biao)(biao)(biao)示(shi)方(fang)法(fa)把正(zheng)余弦(xian)波(bo)組(zu)(zu)合起來(lai)進行表(biao)(biao)(biao)示(shi)，但這里我們不考慮復數(shu)(shu)的(de)其它作用，只(zhi)記住(zhu)是(shi)一(yi)種組(zu)(zu)合方(fang)法(fa)而已，目的(de)是(shi)為(wei)了便于(yu)表(biao)(biao)(biao)達（在(zai)后面我們會知道，復數(shu)(shu)形式的(de)傅里葉變換(huan)長度(du)是(shi)N，而不是(shi)N/2+1）。
FFT是離(li)散(san)傅里葉變(bian)(bian)換(huan)(huan)的(de)快速算法，可以將(jiang)一個信(xin)(xin)號變(bian)(bian)換(huan)(huan)到頻(pin)域。有(you)些(xie)信(xin)(xin)號在時(shi)域上(shang)是很(hen)(hen)難看出什么特(te)(te)征的(de)，但是如(ru)果變(bian)(bian)換(huan)(huan)到頻(pin)域之后，就很(hen)(hen)容易看出特(te)(te)征了。這(zhe)就是很(hen)(hen)多(duo)信(xin)(xin)號分(fen)析采用FFT變(bian)(bian)換(huan)(huan)的(de)原因(yin)。另外，FFT可以將(jiang)一個信(xin)(xin)號的(de)頻(pin)譜提取出來(lai)，這(zhe)在頻(pin)譜分(fen)析方面(mian)也是經常用的(de)。
FFT結果的具(ju)體物(wu)理(li)意義。一個模擬信號，經過ADC采樣之后(hou)，就變(bian)成了(le)數字信號。采樣定理(li)告訴我們，采樣頻率(lv)要(yao)大于(yu)信號頻率(lv)的兩倍。
采樣得到的(de)數字信號，就可(ke)以(yi)(yi)做FFT變換了。N個采樣點(dian)，經(jing)過FFT之后，就可(ke)以(yi)(yi)得到N個點(dian)的(de)FFT結(jie)果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的(de)整(zheng)數次(ci)方。
假設采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)(wei)(wei)Fs，信(xin)(xin)號(hao)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)F，采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)(shu)為(wei)(wei)(wei)N。那(nei)么(me)(me)FFT之后結(jie)果(guo)(guo)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)為(wei)(wei)(wei)N點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)復數(shu)(shu)。每一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)對應著一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)點(dian)(dian)(dian)(dian)。這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)模值(zhi)，就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)該(gai)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)值(zhi)下(xia)的(de)(de)(de)(de)幅度特性。具體跟原(yuan)始信(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)幅度有(you)什么(me)(me)關系(xi)呢(ni)？假設原(yuan)始信(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)峰值(zhi)為(wei)(wei)(wei)A，那(nei)么(me)(me)FFT的(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)每個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)（除了第(di)一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)直(zhi)流(liu)分(fen)(fen)量(liang)之外）的(de)(de)(de)(de)模值(zhi)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)A的(de)(de)(de)(de)N/2倍(bei)。而第(di)一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)直(zhi)流(liu)分(fen)(fen)量(liang)，它的(de)(de)(de)(de)模值(zhi)就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)直(zhi)流(liu)分(fen)(fen)量(liang)的(de)(de)(de)(de)N倍(bei)。而每個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)相位呢(ni)，就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)在(zai)該(gai)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)下(xia)的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)相位。第(di)一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)表示直(zhi)流(liu)分(fen)(fen)量(liang)（即0Hz），而最后一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)N的(de)(de)(de)(de)再下(xia)一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)（實際上(shang)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)不存在(zai)的(de)(de)(de)(de)，這(zhe)里是(shi)(shi)假設的(de)(de)(de)(de)第(di)N+1個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)，也可(ke)(ke)(ke)以(yi)(yi)看做(zuo)是(shi)(shi)將第(di)一個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)分(fen)(fen)做(zuo)兩半分(fen)(fen)，另一半移到(dao)最后）則(ze)(ze)表示采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)Fs，這(zhe)中間被(bei)N-1個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)平(ping)均分(fen)(fen)成(cheng)N等份(fen)，每個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)依次增加。例如(ru)某點(dian)(dian)(dian)(dian)n所表示的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)(wei)(wei)：Fn=(n-1)*Fs/N。由上(shang)面的(de)(de)(de)(de)公式可(ke)(ke)(ke)以(yi)(yi)看出，Fn所能(neng)分(fen)(fen)辨到(dao)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)(wei)(wei)為(wei)(wei)(wei)Fs/N，如(ru)果(guo)(guo)采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)Fs為(wei)(wei)(wei)1024Hz，采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)(shu)為(wei)(wei)(wei)1024點(dian)(dian)(dian)(dian)，則(ze)(ze)可(ke)(ke)(ke)以(yi)(yi)分(fen)(fen)辨到(dao)1Hz。1024Hz的(de)(de)(de)(de)采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)率(lv)(lv)(lv)(lv)采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)1024點(dian)(dian)(dian)(dian)，剛好是(shi)(shi)1秒(miao)(miao)(miao)，也就(jiu)(jiu)(jiu)(jiu)是(shi)(shi)說，采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)1秒(miao)(miao)(miao)時(shi)間的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)并做(zuo)FFT，則(ze)(ze)結(jie)果(guo)(guo)可(ke)(ke)(ke)以(yi)(yi)分(fen)(fen)析到(dao)1Hz，如(ru)果(guo)(guo)采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)2秒(miao)(miao)(miao)時(shi)間的(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)并做(zuo)FFT，則(ze)(ze)結(jie)果(guo)(guo)可(ke)(ke)(ke)以(yi)(yi)分(fen)(fen)析到(dao)0.5Hz。如(ru)果(guo)(guo)要提高(gao)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)辨力，則(ze)(ze)必須增加采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)(shu)，也即采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)時(shi)間。頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)辨率(lv)(lv)(lv)(lv)和采(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)(yang)時(shi)間是(shi)(shi)倒數(shu)(shu)關系(xi)。
假設FFT之后某點(dian)(dian)n用復數a+bi表示，那(nei)么這個(ge)復數的(de)(de)模就是(shi)An=根號a*a+b*b，相位就是(shi)Pn=atan2(b,a)。根據以上的(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)，就可以計(ji)算出n點(dian)(dian)（n≠1，且n<=N/2）對(dui)應的(de)(de)信號的(de)(de)表達式為(wei)：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對(dui)于(yu)n=1點(dian)(dian)的(de)(de)信號，是(shi)直流分量，幅度即為(wei)A1/N。由(you)于(yu)FFT結(jie)果(guo)(guo)的(de)(de)對(dui)稱性，通常我們只使(shi)用前半(ban)部分的(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)，即小于(yu)采樣(yang)頻率一半(ban)的(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)。
下(xia)面(mian)以(yi)(yi)一個(ge)實(shi)(shi)際的(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)來做(zuo)說明。假設我(wo)(wo)們(men)有(you)一個(ge)信(xin)(xin)號(hao)(hao)，它含有(you)2V的(de)(de)直(zhi)流分(fen)量，頻(pin)(pin)率(lv)為(wei)(wei)50Hz、相(xiang)位為(wei)(wei)-30度(du)、幅(fu)度(du)為(wei)(wei)3V的(de)(de)交流信(xin)(xin)號(hao)(hao)，以(yi)(yi)及一個(ge)頻(pin)(pin)率(lv)為(wei)(wei)75Hz、相(xiang)位為(wei)(wei)90度(du)、幅(fu)度(du)為(wei)(wei)1.5V的(de)(de)交流信(xin)(xin)號(hao)(hao)。用(yong)數學(xue)表達式(shi)就(jiu)(jiu)是如下(xia)：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式(shi)中cos參數為(wei)(wei)弧(hu)度(du)，所以(yi)(yi)-30度(du)和90度(du)要分(fen)別換算(suan)成弧(hu)度(du)。我(wo)(wo)們(men)以(yi)(yi)256Hz的(de)(de)采樣(yang)率(lv)對這(zhe)個(ge)信(xin)(xin)號(hao)(hao)進行(xing)采樣(yang)，總(zong)共采樣(yang)256點。按照我(wo)(wo)們(men)上面(mian)的(de)(de)分(fen)析，Fn=(n-1)*Fs/N，我(wo)(wo)們(men)可(ke)以(yi)(yi)知(zhi)道(dao)，每兩個(ge)點之(zhi)間(jian)的(de)(de)間(jian)距就(jiu)(jiu)是1Hz，第n個(ge)點的(de)(de)頻(pin)(pin)率(lv)就(jiu)(jiu)是n-1。我(wo)(wo)們(men)的(de)(de)信(xin)(xin)號(hao)(hao)有(you)3個(ge)頻(pin)(pin)率(lv)：0Hz、50Hz、75Hz，應(ying)該(gai)分(fen)別在第1個(ge)點、第51個(ge)點、第76個(ge)點上出現峰(feng)值，其它各(ge)點應(ying)該(gai)接近0。實(shi)(shi)際情況如何(he)呢？我(wo)(wo)們(men)來看(kan)看(kan)FFT的(de)(de)結果的(de)(de)模值如圖所示。
從圖中我們可以看到，在第1點(dian)、第51點(dian)、和第76點(dian)附(fu)近有比較大的(de)(de)值。我們分(fen)別將這三個點(dian)附(fu)近的(de)(de)數(shu)據拿上來細看：
1點： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點(dian)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點(dian)：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點：332.55 - 192i
52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點：3.4315E-12 + 192i
77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很(hen)明顯，1點(dian)、51點(dian)、76點(dian)的(de)值(zhi)都(dou)比較大，它附(fu)近的(de)點(dian)值(zhi)都(dou)很(hen)小，可以(yi)認為(wei)(wei)是0，即在那些頻率點(dian)上的(de)信號幅度(du)為(wei)(wei)0。接著，我們來計算各(ge)點(dian)的(de)幅度(du)值(zhi)。分別計算這(zhe)三個點(dian)的(de)模值(zhi)，結果如下：
1點： 512
51點：384
76點：192
按(an)照(zhao)公式，可(ke)以(yi)計算(suan)出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號(hao)(hao)的(de)幅度(du)為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號(hao)(hao)的(de)幅度(du)為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可(ke)見，從頻譜分析(xi)出來的(de)幅度(du)是(shi)正確的(de)。
然后再來(lai)計(ji)(ji)算(suan)(suan)相位(wei)(wei)信(xin)(xin)息。直流信(xin)(xin)號(hao)沒有相位(wei)(wei)可言，不(bu)用管它(ta)。先計(ji)(ji)算(suan)(suan)50Hz信(xin)(xin)號(hao)的(de)相位(wei)(wei)，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結(jie)果(guo)是(shi)弧度(du)，換算(suan)(suan)為(wei)角(jiao)度(du)就是(shi)180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計(ji)(ji)算(suan)(suan)75Hz信(xin)(xin)號(hao)的(de)相位(wei)(wei)，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度(du)，換算(suan)(suan)成角(jiao)度(du)就是(shi)180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位(wei)(wei)也是(shi)對的(de)。根據FFT結(jie)果(guo)以(yi)及上面的(de)分(fen)析計(ji)(ji)算(suan)(suan)，我(wo)們就可以(yi)寫出信(xin)(xin)號(hao)的(de)表(biao)達式了(le)，它(ta)就是(shi)我(wo)們開始提(ti)供(gong)的(de)信(xin)(xin)號(hao)。
總結：假設(she)采(cai)(cai)樣(yang)頻(pin)率為(wei)Fs，采(cai)(cai)樣(yang)點數(shu)(shu)為(wei)N，做FFT之后(hou)，某一(yi)點n（n從(cong)1開始）表示的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)率為(wei)：Fn=(n-1)*Fs/N；該(gai)點的(de)(de)(de)(de)(de)模值(zhi)除(chu)以(yi)(yi)N/2就(jiu)是(shi)(shi)(shi)對(dui)應(ying)該(gai)頻(pin)率下的(de)(de)(de)(de)(de)信號的(de)(de)(de)(de)(de)幅度(du)(du)（對(dui)于(yu)直流信號是(shi)(shi)(shi)除(chu)以(yi)(yi)N）；該(gai)點的(de)(de)(de)(de)(de)相位(wei)即是(shi)(shi)(shi)對(dui)應(ying)該(gai)頻(pin)率下的(de)(de)(de)(de)(de)信號的(de)(de)(de)(de)(de)相位(wei)。相位(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)計算可(ke)用函數(shu)(shu)atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是(shi)(shi)(shi)求坐標(biao)為(wei)(a,b)點的(de)(de)(de)(de)(de)角(jiao)度(du)(du)值(zhi)，范(fan)圍從(cong)-pi到(dao)pi。要精(jing)確到(dao)xHz，則需(xu)要采(cai)(cai)樣(yang)長度(du)(du)為(wei)1/x秒的(de)(de)(de)(de)(de)信號，并(bing)做FFT。要提高(gao)頻(pin)率分(fen)辨(bian)率，就(jiu)需(xu)要增(zeng)加采(cai)(cai)樣(yang)點數(shu)(shu)，這(zhe)在一(yi)些實際的(de)(de)(de)(de)(de)應(ying)用中是(shi)(shi)(shi)不現實的(de)(de)(de)(de)(de)，需(xu)要在較(jiao)短(duan)的(de)(de)(de)(de)(de)時間(jian)內完成分(fen)析(xi)。解決這(zhe)個問題的(de)(de)(de)(de)(de)方法有頻(pin)率細分(fen)法，比較(jiao)簡單的(de)(de)(de)(de)(de)方法是(shi)(shi)(shi)采(cai)(cai)樣(yang)比較(jiao)短(duan)時間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)信號，然后(hou)在后(hou)面補充一(yi)定(ding)數(shu)(shu)量的(de)(de)(de)(de)(de)0，使其長度(du)(du)達(da)到(dao)需(xu)要的(de)(de)(de)(de)(de)點數(shu)(shu)，再做FFT，這(zhe)在一(yi)定(ding)程(cheng)度(du)(du)上(shang)能夠提高(gao)頻(pin)率分(fen)辨(bian)力。具體(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)率細分(fen)法可(ke)參(can)考相關文(wen)獻。
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