復變函數中,e^(ix)=(cos x+isin x)稱為(wei)歐(ou)拉公式,e是(shi)自然對數的底,i是(shi)虛(xu)數單(dan)位。
拓撲學中,在任何一(yi)個規則(ze)球面(mian)地(di)圖(tu)上(shang),用R記(ji)區(qu)域(yu)個數,V記(ji)頂(ding)點個數,E記(ji)邊界個數,則(ze)R+V-E=2,這(zhe)就是歐拉(la)(la)定理,它(ta)于(yu)1640年(nian)由Descartes首先給出證明(ming),后來Euler(歐拉(la)(la))于(yu)1752年(nian)又獨立地(di)給出證明(ming),我們稱其(qi)為歐拉(la)(la)定理,在國(guo)外(wai)也有人稱其(qi)為Descartes定理。
把復(fu)指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)與三角(jiao)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)聯(lian)系起來的一個公式(shi),,e是(shi)自然對數(shu)(shu)(shu)(shu)的底,i是(shi)虛數(shu)(shu)(shu)(shu)單位(wei)。它(ta)將(jiang)指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)的定義域擴大到復(fu)數(shu)(shu)(shu)(shu),建立(li)了三角(jiao)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)和指(zhi)(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)的關系,它(ta)不僅(jin)出現(xian)在數(shu)(shu)(shu)(shu)學分析里,而且在復(fu)變(bian)函(han)(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)論(lun)里也占有非常重要的地(di)位(wei),更被譽(yu)為(wei)“數(shu)(shu)(shu)(shu)學中(zhong)的天橋”。
拓撲學又稱“連續(xu)幾何(he)學”。
幾(ji)何學的一門分(fen)(fen)科。研究幾(ji)何圖形(xing)經過連(lian)續形(xing)變(bian)后仍(reng)能保持(chi)的性質。包括點集拓撲、代數拓撲、微分(fen)(fen)拓撲等分(fen)(fen)支。
在代數拓(tuo)撲中,歐拉示(shi)性數(Euler characteristic)是一個拓(tuo)撲不變量(liang)(事實(shi)上,是同倫不變量(liang)),對于(yu)一大類拓(tuo)撲空間(jian)有定義。它通(tong)常記作。
二維拓撲多(duo)面體的(de)歐拉示性數可以用以下公式計算:
其中V、E和F分別(bie)是點、邊(bian)和面的個數。 特別(bie)的有,對于(yu)所有和一個球面同胚的多面體,我們有
(1)當R=2時,由說明1,這兩(liang)個區域可想(xiang)象(xiang)為(wei)(wei)以赤(chi)道(dao)為(wei)(wei)邊界的(de)兩(liang)個半(ban)球面,赤(chi)道(dao)上(shang)有兩(liang)個“頂點”將赤(chi)道(dao)分成(cheng)兩(liang)條(tiao)“邊界”,即 R= 2,V= 2,E= 2;于是 R+ V- E= 2,歐(ou)拉定理成(cheng)立.。
(2)設R=m(m≥2)時歐拉定理成立,下面證明R=m+1時歐拉定理也成立。
由(you)說明2,我們(men)在(zai)R=m+1的(de)(de)(de)(de)地圖(tu)(tu)上任選一(yi)個區(qu)域(yu)(yu)X,則(ze)X必有(you)(you)與它如此相鄰的(de)(de)(de)(de)區(qu)域(yu)(yu)Y,使(shi)得在(zai)去掉(diao)(diao)X和(he)(he)Y之(zhi)間的(de)(de)(de)(de)唯(wei)一(yi)一(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)界(jie)后(hou),地圖(tu)(tu)上只有(you)(you)m個區(qu)域(yu)(yu)了;在(zai)去掉(diao)(diao)X和(he)(he)Y之(zhi)間的(de)(de)(de)(de)邊(bian)(bian)(bian)界(jie)后(hou),若(ruo)原該(gai)(gai)邊(bian)(bian)(bian)界(jie)兩端的(de)(de)(de)(de)頂(ding)(ding)點(dian)現(xian)在(zai)都(dou)還是(shi)3條(tiao)(tiao)(tiao)或3條(tiao)(tiao)(tiao)以上邊(bian)(bian)(bian)界(jie)的(de)(de)(de)(de)頂(ding)(ding)點(dian),則(ze)該(gai)(gai)頂(ding)(ding)點(dian)保留(liu),同時(shi)其他的(de)(de)(de)(de)邊(bian)(bian)(bian)界(jie)數(shu)不(bu)變;若(ruo)原該(gai)(gai)邊(bian)(bian)(bian)界(jie)一(yi)端或兩端的(de)(de)(de)(de)頂(ding)(ding)點(dian)現(xian)在(zai)成為2條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)界(jie)的(de)(de)(de)(de)頂(ding)(ding)點(dian),則(ze)去掉(diao)(diao)該(gai)(gai)頂(ding)(ding)點(dian),該(gai)(gai)頂(ding)(ding)點(dian)兩邊(bian)(bian)(bian)的(de)(de)(de)(de)兩條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)界(jie)便成為一(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)界(jie)。于(yu)是(shi),在(zai)去掉(diao)(diao)X和(he)(he)Y之(zhi)間的(de)(de)(de)(de)唯(wei)一(yi)一(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)(bian)界(jie)時(shi)只有(you)(you)三種情(qing)況:
①減少一個區域和一條(tiao)邊界;
②減少(shao)一個區(qu)域(yu)、一個頂(ding)點(dian)和兩條邊界;
③減(jian)少一(yi)個區域(yu)、兩個頂點和三條邊界;
即(ji)在(zai)去掉X和(he)Y之間的(de)邊(bian)界(jie)時,不論(lun)何(he)種(zhong)情況都必定(ding)有(you)“減(jian)少(shao)的(de)區域(yu)數(shu)+減(jian)少(shao)的(de)頂點數(shu)=減(jian)少(shao)的(de)邊(bian)界(jie)數(shu)”我們將上述過程反過來(即(ji)將X和(he)Y之間去掉的(de)邊(bian)界(jie)又(you)照原樣畫上),就又(you)成為(wei)R= m+ 1的(de)地圖了,在(zai)這一過程中(zhong)必然(ran)是“增(zeng)加的(de)區域(yu)數(shu)+ 增(zeng)加的(de)頂點數(shu) = 增(zeng)加的(de)邊(bian)界(jie)數(shu)”。
因此(ci) ,若 R= m (m≥2)時歐(ou)拉定理(li)成(cheng)立 ,則 R= m+ 1時歐(ou)拉定理(li)也成(cheng)立.。
由(you)(1)和(he)(2)可知,對于任何正整數R≥2,歐拉定理成立(li)。
第一個(ge)歐(ou)拉(la)公式的(de)嚴格證明(ming),由20歲的(de)柯西給出(chu),大致如下:
從多面體去掉一面,通過把去掉的(de)(de)(de)面的(de)(de)(de)邊互(hu)相拉遠,把所有剩(sheng)下的(de)(de)(de)面變(bian)成點(dian)和(he)曲(qu)線的(de)(de)(de)平面網(wang)絡(luo)。不失(shi)一般性,可以假(jia)設變(bian)形的(de)(de)(de)邊繼(ji)續保持為直線段。正常(chang)的(de)(de)(de)面不再是正常(chang)的(de)(de)(de)多邊形即使(shi)開始(shi)的(de)(de)(de)時候它(ta)們是正常(chang)的(de)(de)(de)。但是,點(dian),邊和(he)面的(de)(de)(de)個(ge)數(shu)保持不變(bian),和(he)給(gei)定多面體的(de)(de)(de)一樣(yang)(移去的(de)(de)(de)面對應(ying)網(wang)絡(luo)的(de)(de)(de)外部(bu)。)
重復一系列可以簡化網絡卻不改變(bian)其歐拉數(也(ye)是歐拉示(shi)性數)的額外(wai)變(bian)換(huan)。
若有一個(ge)多邊(bian)(bian)形面(mian)(mian)(mian)有3條邊(bian)(bian)以上,我們(men)劃一個(ge)對角(jiao)線(xian)。這增加一條邊(bian)(bian)和(he)一個(ge)面(mian)(mian)(mian)。繼續增加邊(bian)(bian)直到所(suo)有面(mian)(mian)(mian)都是(shi)三角(jiao)形。
除掉只有(you)一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數各(ge)減(jian)一而(er)保(bao)持頂點(dian)數不變。
(逐(zhu)個)除去所(suo)有和網絡外部共享(xiang)兩條邊(bian)(bian)的三角形。這會減少(shao)一個頂點、兩條邊(bian)(bian)和一個面。
重復使(shi)用第(di)2步(bu)和第(di)3步(bu)直到(dao)只剩一個(ge)三(san)(san)角形(xing)。對(dui)于一個(ge)三(san)(san)角形(xing)(把外部(bu)數在內),。所以。
設想這個多面(mian)(mian)體是先有一個面(mian)(mian),然(ran)后將其他各面(mian)(mian)一個接一個地添裝上去(qu)的.因(yin)為一共有F個面(mian)(mian),因(yin)此(ci)要添(F-1)個面(mian)(mian).
考察(cha)第Ⅰ個(ge)面,設它是n邊(bian)形,有(you)n個(ge)頂點,n條邊(bian),這時(shi)E=V,即棱數(shu)等(deng)于頂點數(shu).
添上第(di)Ⅱ個(ge)面后(hou),因為一條棱與原(yuan)來的(de)棱重(zhong)合,而且有兩(liang)個(ge)頂點和(he)第(di)Ⅰ個(ge)面的(de)兩(liang)個(ge)頂點重(zhong)合,所以增加的(de)棱數比增加的(de)頂點數多1,因此,這時E=V+1.
以后每增添一(yi)個面,總是(shi)增加(jia)(jia)的棱數(shu)(shu)比(bi)增加(jia)(jia)的頂點數(shu)(shu)多(duo)1,例(li)如
增添兩個面(mian)后,有關系E=V+2;
增添三(san)個(ge)面后,有關系E=V+3;
……
增添(tian)(F-2)個(ge)面后,有關系(xi)E=V+(F-2).
最后增添一(yi)個面(mian)后,就成為(wei)(wei)多面(mian)體,這時棱數和(he)頂(ding)點數都(dou)沒有增加.因(yin)此,關系(xi)式仍為(wei)(wei)E=V+ (F-2).即(ji)
F+V=E+2.
這個公(gong)式叫做歐拉(la)公(gong)式.它表(biao)明2這個數(shu)是簡單多面(mian)體表(biao)面(mian)在連續(xu)變形(xing)下不(bu)變的(de)數(shu)。
當(dang)r=0或1時式子的值為(wei)0,當(dang)r=2時值為(wei)1,當(dang)r=3時值為(wei)a+b+c。
設(she)△ABC的外(wai)心(xin)(xin)為O,內心(xin)(xin)為I,外(wai)接圓半徑為R,內切圓半徑為r,又記外(wai)心(xin)(xin)、內心(xin)(xin)的距離OI為d,則有
(1)式稱(cheng)為歐拉公式。
為了證明(1)式,我們現將它改(gai)成
(2)式左邊(bian)是點(dian)I對于(yu)(yu)⊙O的冪:過圓內任一點(dian)P的弦被P分(fen)成(cheng)兩個(ge)部分(fen),這(zhe)兩個(ge)部分(fen)的乘積是一個(ge)定值,稱為P關(guan)于(yu)(yu)⊙O的冪。事實(shi)上,如(ru)果將OI延長交圓于(yu)(yu)E、F,那(nei)么
因此,設(she)AI交⊙O于M,則
因此,只需證明
為了證明(ming)(5)式,應(ying)當(dang)尋(xun)找兩個(ge)相似的(de)(de)三角(jiao)形(xing)。一(yi)個(ge)以長IA、r為邊;另一(yi)個(ge)以長2R、MI為邊。前一(yi)個(ge)不難找,△IDA就是,D是內切圓(yuan)與AC的(de)(de)切點(dian)。后一(yi)個(ge)也必須是直角(jiao)三角(jiao)形(xing),所以一(yi)邊是直徑(jing)ML,另一(yi)個(ge)頂點(dian)也應(ying)當(dang)在圓(yuan)上。△MBL就滿足要求。
因此(5)式成(cheng)立(li),從而(1)式成(cheng)立(li)。
因為,所以由歐拉公式(shi)得出一(yi)個副產品(pin),即
特征函(han)(han)數用歐拉公式:隨(sui)機變量X的特征函(han)(han)數定義為(wei)
眾所(suo)周(zhou)知,生活中(zhong)處處存在著(zhu)摩(mo)擦力,歐(ou)拉測算出(chu)了(le)摩(mo)擦力與繩(sheng)索纏(chan)繞在樁(zhuang)上(shang)圈數之間的(de)關系。現(xian)將歐(ou)拉這(zhe)個頗有價值的(de)公式(shi)列在這(zhe)里:
其中,f表(biao)示(shi)我(wo)們施加的(de)力,F表(biao)示(shi)與(yu)其對抗的(de)力,e為自然對數的(de)底,k表(biao)示(shi)繩與(yu)樁之(zhi)間的(de)摩擦系數,a表(biao)示(shi)纏繞轉角,即繩索纏繞形成的(de)弧(hu)長與(yu)弧(hu)半(ban)徑(jing)之(zhi)比。
設G為(wei)n階m條(tiao)邊r個面的連通平面圖,則n-m+r=2,此(ci)公式稱為(wei)歐(ou)拉公式。可(ke)以通過歸納(na)法證明(ming),且證明(ming)方法和(he)拓撲(pu)學中的類似,此(ci)處(chu)略(lve)去(qu)。盡管和(he)拓撲(pu)中的歐(ou)拉公式十分相似,但(dan)圖論(lun)在(zai)現代一(yi)般劃分在(zai)離散(san)數學的研究范疇內,因此(ci)在(zai)這里單(dan)獨列出。