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復變函數(shu)中，e^(ix)=(cos x+isin x)稱為歐拉公式，e是(shi)自然對(dui)數(shu)的(de)底(di)，i是(shi)虛數(shu)單位。

拓撲(pu)學中，在(zai)任何(he)一個規則(ze)球面地圖上(shang)，用R記(ji)區域個數(shu)，V記(ji)頂點個數(shu)，E記(ji)邊界個數(shu)，則(ze)R+V-E=2，這就是歐(ou)拉定(ding)理(li)，它于1640年由Descartes首(shou)先給出(chu)證明(ming)，后來Euler(歐(ou)拉)于1752年又獨立地給出(chu)證明(ming)，我們稱其(qi)為歐(ou)拉定(ding)理(li)，在(zai)國(guo)外也有人稱其(qi)為Descartes定(ding)理(li)。

復變函數

把(ba)復指數(shu)函數(shu)與三(san)角函數(shu)聯系(xi)起來的(de)(de)一個公式，，e是(shi)自然對數(shu)的(de)(de)底，i是(shi)虛數(shu)單位。它將指數(shu)函數(shu)的(de)(de)定義(yi)域擴大到復數(shu)，建立了(le)三(san)角函數(shu)和指數(shu)函數(shu)的(de)(de)關(guan)系(xi)，它不(bu)僅出現在數(shu)學(xue)分(fen)析里，而且(qie)在復變函數(shu)論里也(ye)占有非常重要的(de)(de)地位，更被譽為(wei)“數(shu)學(xue)中(zhong)的(de)(de)天橋”。

拓撲學

拓(tuo)撲學又稱(cheng)“連續幾何學”。

幾何(he)學(xue)的一門分科。研究(jiu)幾何(he)圖形(xing)經(jing)過連(lian)續(xu)形(xing)變后仍(reng)能保(bao)持(chi)的性質。包括點(dian)集(ji)拓(tuo)撲(pu)(pu)、代數拓(tuo)撲(pu)(pu)、微(wei)分拓(tuo)撲(pu)(pu)等分支。

在(zai)代數(shu)拓撲(pu)(pu)中，歐拉(la)示性數(shu)（Euler characteristic）是一(yi)個拓撲(pu)(pu)不(bu)變(bian)量(liang)（事(shi)實上，是同倫不(bu)變(bian)量(liang)），對于一(yi)大類拓撲(pu)(pu)空間有定義。它通常記(ji)作。

二維拓撲多面體的歐拉示性數可以(yi)用以(yi)下公式(shi)計算：

其中V、E和F分(fen)別是點、邊和面的(de)個(ge)數。 特(te)別的(de)有(you)，對于(yu)所(suo)有(you)和一個(ge)球(qiu)面同胚的(de)多(duo)面體，我們有(you)

拓撲學中歐拉公式的證明

用數學歸納法證明

(1)當(dang)R=2時，由說明1,這(zhe)兩個區域可想(xiang)象(xiang)為以赤(chi)道(dao)(dao)為邊(bian)界的兩個半球面(mian)，赤(chi)道(dao)(dao)上有(you)兩個“頂點(dian)”將赤(chi)道(dao)(dao)分成兩條“邊(bian)界”，即(ji) R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,歐拉定理(li)成立.。

(2)設R=m(m≥2)時(shi)歐(ou)拉定(ding)理成立，下(xia)面證(zheng)明R=m+1時(shi)歐(ou)拉定(ding)理也成立。

由說明2，我們在(zai)R=m+1的(de)(de)(de)(de)地圖上(shang)任(ren)選一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)區域X，則(ze)X必有(you)與它如(ru)此相鄰的(de)(de)(de)(de)區域Y，使得在(zai)去(qu)(qu)掉(diao)(diao)X和Y之間的(de)(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)條(tiao)邊界(jie)(jie)后，地圖上(shang)只有(you)m個(ge)區域了；在(zai)去(qu)(qu)掉(diao)(diao)X和Y之間的(de)(de)(de)(de)邊界(jie)(jie)后，若原(yuan)該(gai)(gai)邊界(jie)(jie)兩(liang)端(duan)(duan)的(de)(de)(de)(de)頂(ding)點現(xian)(xian)在(zai)都(dou)還是(shi)(shi)3條(tiao)或3條(tiao)以(yi)上(shang)邊界(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)頂(ding)點，則(ze)該(gai)(gai)頂(ding)點保(bao)留，同時(shi)其他的(de)(de)(de)(de)邊界(jie)(jie)數不變;若原(yuan)該(gai)(gai)邊界(jie)(jie)一(yi)(yi)(yi)(yi)端(duan)(duan)或兩(liang)端(duan)(duan)的(de)(de)(de)(de)頂(ding)點現(xian)(xian)在(zai)成為2條(tiao)邊界(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)頂(ding)點，則(ze)去(qu)(qu)掉(diao)(diao)該(gai)(gai)頂(ding)點，該(gai)(gai)頂(ding)點兩(liang)邊的(de)(de)(de)(de)兩(liang)條(tiao)邊界(jie)(jie)便(bian)成為一(yi)(yi)(yi)(yi)條(tiao)邊界(jie)(jie)。于(yu)是(shi)(shi)，在(zai)去(qu)(qu)掉(diao)(diao)X和Y之間的(de)(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)條(tiao)邊界(jie)(jie)時(shi)只有(you)三種(zhong)情況(kuang)：

①減少一(yi)個區域和一(yi)條邊界(jie)；

②減少一(yi)個區域(yu)、一(yi)個頂點和兩條邊界；

③減(jian)少(shao)一(yi)個區(qu)域(yu)、兩(liang)個頂(ding)點和三條(tiao)邊界；

即在(zai)去(qu)掉X和Y之間(jian)的(de)(de)(de)邊(bian)界(jie)(jie)時，不(bu)論何種情況都(dou)必定有“減(jian)(jian)(jian)少(shao)的(de)(de)(de)區域數(shu)(shu)+減(jian)(jian)(jian)少(shao)的(de)(de)(de)頂點數(shu)(shu)=減(jian)(jian)(jian)少(shao)的(de)(de)(de)邊(bian)界(jie)(jie)數(shu)(shu)”我們將(jiang)上述過(guo)程(cheng)反過(guo)來(lai)(即將(jiang)X和Y之間(jian)去(qu)掉的(de)(de)(de)邊(bian)界(jie)(jie)又照原(yuan)樣畫(hua)上)，就(jiu)又成為R= m+ 1的(de)(de)(de)地圖(tu)了，在(zai)這一(yi)過(guo)程(cheng)中必然是“增加(jia)的(de)(de)(de)區域數(shu)(shu)+ 增加(jia)的(de)(de)(de)頂點數(shu)(shu) = 增加(jia)的(de)(de)(de)邊(bian)界(jie)(jie)數(shu)(shu)”。

因此(ci) ，若(ruo) R= m (m≥2)時(shi)歐(ou)拉定理成(cheng)立(li)(li) ，則 R= m+ 1時(shi)歐(ou)拉定理也成(cheng)立(li)(li).。

由(1)和(2)可知，對于任何正整(zheng)數(shu)R≥2,歐(ou)拉(la)定理成立(li)。

柯西的證明

第(di)一個歐(ou)拉公式(shi)的嚴格證明，由(you)20歲的柯西(xi)給出(chu)，大致如下：

從多面(mian)體(ti)(ti)去掉一面(mian)，通過把去掉的(de)(de)面(mian)的(de)(de)邊互(hu)相拉遠，把所有(you)剩下的(de)(de)面(mian)變成點和曲線(xian)的(de)(de)平面(mian)網(wang)絡。不失(shi)一般(ban)性，可以假設變形(xing)的(de)(de)邊繼續保持為(wei)直線(xian)段(duan)。正常的(de)(de)面(mian)不再(zai)是(shi)(shi)正常的(de)(de)多邊形(xing)即(ji)使開始的(de)(de)時(shi)候它們是(shi)(shi)正常的(de)(de)。但是(shi)(shi)，點，邊和面(mian)的(de)(de)個數保持不變，和給定多面(mian)體(ti)(ti)的(de)(de)一樣(移去的(de)(de)面(mian)對應網(wang)絡的(de)(de)外(wai)部。)

重復一系列(lie)可(ke)以簡化網絡卻不改(gai)變(bian)其歐(ou)拉數（也是歐(ou)拉示性數）的額外變(bian)換(huan)。

若有一(yi)個(ge)(ge)多邊(bian)(bian)形面有3條邊(bian)(bian)以(yi)上(shang)，我們(men)劃一(yi)個(ge)(ge)對(dui)角線。這增加(jia)一(yi)條邊(bian)(bian)和一(yi)個(ge)(ge)面。繼續增加(jia)邊(bian)(bian)直到(dao)所(suo)有面都是(shi)三角形。

除掉只有一條邊(bian)(bian)和(he)(he)外部(bu)相鄰的三(san)角形。這把邊(bian)(bian)和(he)(he)面的個數各減一而保持(chi)頂點數不變。

（逐個(ge)）除去所有和網絡外部共(gong)享(xiang)兩條邊(bian)的三角(jiao)形(xing)。這會(hui)減少(shao)一個(ge)頂點、兩條邊(bian)和一個(ge)面。

重復使用第(di)2步(bu)和第(di)3步(bu)直(zhi)到只剩一(yi)個三(san)角形。對于一(yi)個三(san)角形（把外部數在內），。所以。

推理證明

設想這個多面(mian)(mian)(mian)體是先有一(yi)個面(mian)(mian)(mian)，然后(hou)將(jiang)其他(ta)各面(mian)(mian)(mian)一(yi)個接一(yi)個地(di)添裝(zhuang)上去的.因為一(yi)共(gong)有F個面(mian)(mian)(mian)，因此要添(F-1)個面(mian)(mian)(mian).

考察第Ⅰ個面，設它是(shi)n邊(bian)形(xing)，有(you)n個頂點(dian)，n條邊(bian)，這(zhe)時(shi)E=V，即棱數等于頂點(dian)數.

添(tian)上第Ⅱ個面后，因為一條棱(leng)與(yu)原來的(de)棱(leng)重合，而且有兩個頂(ding)點(dian)和第Ⅰ個面的(de)兩個頂(ding)點(dian)重合，所(suo)以(yi)增(zeng)加的(de)棱(leng)數(shu)比增(zeng)加的(de)頂(ding)點(dian)數(shu)多(duo)1，因此，這時E=V+1.

以后每增添一(yi)個面，總(zong)是增加的棱數(shu)比增加的頂點數(shu)多1，例如

增添兩個(ge)面后，有關系E=V+2;

增添三個面后，有(you)關系E=V+3;

……

增添(F-2)個(ge)面后，有關系E=V+(F-2).

最后增添(tian)一個面后，就成為多面體，這時棱(leng)數和頂點數都沒有增加(jia).因(yin)此，關系(xi)式仍為E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

這個(ge)公(gong)式叫(jiao)做歐拉公(gong)式.它表(biao)明2這個(ge)數(shu)(shu)是(shi)簡(jian)單多面體表(biao)面在(zai)連續變形下不變的數(shu)(shu)。

分式

當r=0或1時式子的值為(wei)0，當r=2時值為(wei)1，當r=3時值為(wei)a+b+c。

平面幾何

設(she)△ABC的外心為(wei)O，內(nei)(nei)(nei)心為(wei)I，外接圓半徑(jing)為(wei)R，內(nei)(nei)(nei)切圓半徑(jing)為(wei)r，又記(ji)外心、內(nei)(nei)(nei)心的距離OI為(wei)d，則有

（1）式(shi)稱為歐(ou)拉公式(shi)。

為了證明（1）式，我們現將它改成(cheng)

（2）式左邊是(shi)點(dian)I對于(yu)(yu)⊙O的(de)冪：過圓內任(ren)一(yi)(yi)點(dian)P的(de)弦被(bei)P分(fen)成兩個部分(fen)，這兩個部分(fen)的(de)乘積是(shi)一(yi)(yi)個定值(zhi)，稱(cheng)為(wei)P關(guan)于(yu)(yu)⊙O的(de)冪。事實上，如果將OI延長交圓于(yu)(yu)E、F，那么

因此，設AI交⊙O于M，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為了證明（5）式，應(ying)當(dang)尋找(zhao)兩(liang)個(ge)(ge)相似的三角形。一個(ge)(ge)以(yi)長(chang)IA、r為邊；另一個(ge)(ge)以(yi)長(chang)2R、MI為邊。前一個(ge)(ge)不難找(zhao)，△IDA就(jiu)是(shi)，D是(shi)內切圓與AC的切點。后一個(ge)(ge)也必須是(shi)直角三角形，所以(yi)一邊是(shi)直徑ML，另一個(ge)(ge)頂點也應(ying)當(dang)在(zai)圓上。△MBL就(jiu)滿(man)足(zu)要(yao)求。

容易證明

因此(ci)（5）式(shi)成(cheng)立(li)(li)，從而（1）式(shi)成(cheng)立(li)(li)。

因為，所以由歐拉公式得出一個副(fu)產品，即

統計學

特征(zheng)函數(shu)用(yong)歐拉公(gong)式：隨(sui)機變量X的特征(zheng)函數(shu)定(ding)義為(wei)

物理學

眾所周知，生活中(zhong)處處存(cun)在(zai)著摩(mo)(mo)擦力，歐(ou)拉測算出(chu)了摩(mo)(mo)擦力與(yu)繩(sheng)索纏繞在(zai)樁上圈(quan)數(shu)之間的(de)關系。現將歐(ou)拉這(zhe)個頗有價值的(de)公式(shi)列在(zai)這(zhe)里：

其(qi)中，f表(biao)(biao)示我們施加(jia)的(de)力(li)，F表(biao)(biao)示與其(qi)對抗(kang)的(de)力(li)，e為(wei)自(zi)然對數的(de)底，k表(biao)(biao)示繩與樁之(zhi)間(jian)的(de)摩擦系數，a表(biao)(biao)示纏(chan)繞轉角，即繩索纏(chan)繞形成的(de)弧(hu)長(chang)與弧(hu)半徑(jing)之(zhi)比(bi)。

圖論

設G為n階m條邊r個(ge)面(mian)的(de)連通平(ping)面(mian)圖(tu)，則n-m+r=2，此公式稱為歐拉公式。可(ke)以通過歸(gui)納法證(zheng)明，且證(zheng)明方(fang)法和(he)(he)拓(tuo)撲(pu)(pu)學中(zhong)的(de)類似(si)，此處略去。盡管和(he)(he)拓(tuo)撲(pu)(pu)中(zhong)的(de)歐拉公式十(shi)分(fen)(fen)相似(si)，但圖(tu)論在現代一般劃分(fen)(fen)在離(li)散(san)數學的(de)研究范疇(chou)內，因此在這里單(dan)獨列出。