麥克(ke)斯(si)(si)(si)(si)韋(wei)方程組(zu)(zu)，是(shi)英國物理學家(jia)詹姆斯(si)(si)(si)(si)·克(ke)拉克(ke)·麥克(ke)斯(si)(si)(si)(si)韋(wei)在19世紀(ji)建立的一組(zu)(zu)描述電(dian)(dian)(dian)場(chang)(chang)、磁(ci)場(chang)(chang)與(yu)電(dian)(dian)(dian)荷(he)密(mi)度、電(dian)(dian)(dian)流密(mi)度之間(jian)關系的偏(pian)微分方程。它由四(si)個方程組(zu)(zu)成：描述電(dian)(dian)(dian)荷(he)如(ru)(ru)何(he)產(chan)生電(dian)(dian)(dian)場(chang)(chang)的高(gao)斯(si)(si)(si)(si)定(ding)律(lv)(lv)、論(lun)述磁(ci)單極(ji)子不(bu)存在的高(gao)斯(si)(si)(si)(si)磁(ci)定(ding)律(lv)(lv)、描述電(dian)(dian)(dian)流和時變電(dian)(dian)(dian)場(chang)(chang)怎樣產(chan)生磁(ci)場(chang)(chang)的麥克(ke)斯(si)(si)(si)(si)韋(wei)-安培定(ding)律(lv)(lv)、描述時變磁(ci)場(chang)(chang)如(ru)(ru)何(he)產(chan)生電(dian)(dian)(dian)場(chang)(chang)的法拉第感應定(ding)律(lv)(lv)。
從麥(mai)克(ke)(ke)斯(si)韋(wei)(wei)方程(cheng)(cheng)組(zu)，可(ke)以(yi)推(tui)論出電磁波在真空(kong)中以(yi)光速傳播(bo)，并進(jin)而做(zuo)出光是電磁波的猜想。麥(mai)克(ke)(ke)斯(si)韋(wei)(wei)方程(cheng)(cheng)組(zu)和(he)洛倫茲力方程(cheng)(cheng)是經典電磁學的基(ji)礎方程(cheng)(cheng)。從這些基(ji)礎方程(cheng)(cheng)的相關理論，發展出現代的電力科技(ji)與電子科技(ji)。
麥克斯(si)(si)韋(wei)在1865年(nian)提(ti)出(chu)的最初(chu)形式的方(fang)程組由20個等式和20個變量組成。他在1873年(nian)嘗試用四(si)元(yuan)數來表(biao)(biao)達(da)，但(dan)未成功。現(xian)在所使(shi)用的數學形式是奧利弗·赫維賽德和約西亞(ya)·吉布斯(si)(si)于1884年(nian)以矢量分(fen)析(xi)的形式重新表(biao)(biao)達(da)的。
麥克斯韋(wei)誕生前的(de)(de)半個多(duo)(duo)世紀，人類(lei)對(dui)電(dian)磁(ci)現(xian)象的(de)(de)認識取得(de)了很大的(de)(de)進展。1785年(nian)，法(fa)國(guo)物理學(xue)家C.A.庫(ku)侖（Charles A. Coulomb）在扭秤實驗結果的(de)(de)基礎上(shang)，建(jian)立(li)了說明兩(liang)個點電(dian)荷之(zhi)(zhi)間相(xiang)互作(zuo)用力的(de)(de)庫(ku)侖定(ding)律。1820年(nian)，H.C.奧斯特（Hans Christian Oersted）發(fa)現(xian)電(dian)流能使磁(ci)針偏轉，從而把電(dian)與磁(ci)聯(lian)系(xi)起來(lai)。其后，A.M.安培（Andre Marie Ampère）研究了電(dian)流之(zhi)(zhi)間的(de)(de)相(xiang)互作(zuo)用力，提出(chu)了許(xu)多(duo)(duo)重要(yao)概念和安培環(huan)路定(ding)律。M.法(fa)拉第（Michael Faraday）在很多(duo)(duo)方面有杰(jie)出(chu)貢獻(xian)，特別(bie)是1831年(nian)發(fa)表的(de)(de)電(dian)磁(ci)感(gan)應定(ding)律，是電(dian)機、變壓(ya)器等設備的(de)(de)重要(yao)理論基礎。
1845年，關于電(dian)(dian)磁(ci)(ci)現(xian)象的(de)三(san)個最(zui)基本的(de)實驗(yan)定律：庫侖定律（1785年）、畢奧-薩伐爾定律（1820年）、法拉(la)第(di)(di)電(dian)(dian)磁(ci)(ci)感應定律（1831~1845年）已被總(zong)結出來，法拉(la)第(di)(di)的(de)“電(dian)(dian)力線”和“磁(ci)(ci)力線”（現(xian)在也叫(jiao)做(zuo)“電(dian)(dian)場線”與“磁(ci)(ci)感線”）概(gai)念(nian)已發(fa)展(zhan)成“電(dian)(dian)磁(ci)(ci)場概(gai)念(nian)”。1855年至1865年，麥(mai)克斯韋在全面地審視了庫侖定律、畢奧—薩伐爾定律和法拉(la)第(di)(di)定律的(de)基礎(chu)上，把數學分析(xi)方(fang)法帶進了電(dian)(dian)磁(ci)(ci)學的(de)研究領域，由此導致麥(mai)克斯韋電(dian)(dian)磁(ci)(ci)理論(lun)的(de)誕生。
在麥克(ke)斯韋之前，關于電(dian)磁(ci)現象的(de)學(xue)說都以超(chao)距作(zuo)(zuo)用(yong)觀念為(wei)基礎，認為(wei)帶電(dian)體(ti)、磁(ci)化體(ti)或載流導(dao)體(ti)之間(jian)的(de)相互(hu)作(zuo)(zuo)用(yong)，都是(shi)可(ke)以超(chao)越中間(jian)媒(mei)質而(er)直(zhi)接進(jin)(jin)行并立即(ji)完成的(de)，即(ji)認為(wei)電(dian)磁(ci)擾動的(de)傳(chuan)播速度(du)無(wu)限(xian)大。在那(nei)個時期，持不同意(yi)見的(de)只有(you)法(fa)拉第(di)。他認為(wei)上述(shu)這些(xie)相互(hu)作(zuo)(zuo)用(yong)與中間(jian)媒(mei)質有(you)關，是(shi)通(tong)過(guo)中間(jian)媒(mei)質的(de)傳(chuan)遞(di)而(er)進(jin)(jin)行的(de)，即(ji)主張間(jian)遞(di)學(xue)說。
麥克斯韋繼承了(le)法拉(la)第的(de)(de)(de)(de)(de)觀點，參照流體力學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)模型，應(ying)用嚴謹的(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)形(xing)式總(zong)結了(le)前人(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)工作，提出了(le)位移電(dian)流的(de)(de)(de)(de)(de)假說，推廣了(le)電(dian)流的(de)(de)(de)(de)(de)涵義，將電(dian)磁(ci)(ci)場基(ji)本(ben)定(ding)律歸(gui)結為(wei)四個(ge)微分方(fang)程(cheng)，這就(jiu)是著名的(de)(de)(de)(de)(de)麥克斯韋方(fang)程(cheng)組。他對這組方(fang)程(cheng)進行(xing)了(le)分析，預見(jian)到電(dian)磁(ci)(ci)波(bo)的(de)(de)(de)(de)(de)存在(zai)，并(bing)斷定(ding)，電(dian)磁(ci)(ci)波(bo)的(de)(de)(de)(de)(de)傳播速度為(wei)有(you)限(xian)值(zhi)（與(yu)光(guang)速接近），且光(guang)也(ye)是某種頻率的(de)(de)(de)(de)(de)電(dian)磁(ci)(ci)波(bo)。上述這些(xie)，他都寫入題(ti)為(wei)《論(lun)電(dian)與(yu)磁(ci)(ci)》的(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)文中(zhong)。
1887年，海(hai)因(yin)里希(xi)·魯道(dao)夫(fu)·赫茲（Heinrich R. Hertz）用實驗(yan)方法產生和檢測到了(le)電磁波，證實了(le)麥克斯韋的(de)預見。1905～1915年間(jian)，A.愛(ai)因(yin)斯坦(tan)（Albert Einstein）的(de)相對論(lun)進一步論(lun)證了(le)時間(jian)、空間(jian)、質(zhi)量(liang)、能量(liang)和運(yun)動之間(jian)的(de)關系，說(shuo)明(ming)電磁場就是物質(zhi)的(de)一種形(xing)式，間(jian)遞(di)學說(shuo)得到了(le)公認。
麥克(ke)斯韋(wei)方程(cheng)組(zu)乃是由四個方程(cheng)共(gong)同組(zu)成的(de)：
高斯定律(lv)：該定律(lv)描(miao)述電(dian)場(chang)與(yu)空(kong)間中電(dian)荷分布的(de)(de)關系(xi)。電(dian)場(chang)線開始于正電(dian)荷，終止于負電(dian)荷（或無(wu)窮遠）。計算穿過某給定閉曲面的(de)(de)電(dian)場(chang)線數量(liang)，即其電(dian)通量(liang)，可以得知包含在這(zhe)閉曲面內的(de)(de)總電(dian)荷。更詳細地說，這(zhe)定律(lv)描(miao)述穿過任意閉曲面的(de)(de)電(dian)通量(liang)與(yu)這(zhe)閉曲面內的(de)(de)電(dian)荷之間的(de)(de)關系(xi)。
高斯磁(ci)定律(lv)：該(gai)定律(lv)表(biao)明(ming)，磁(ci)單極(ji)子(zi)實際(ji)上并不存在。所以(yi)，沒有(you)孤立磁(ci)荷，磁(ci)場(chang)線沒有(you)初始點(dian)，也沒有(you)終止點(dian)。磁(ci)場(chang)線會形成循(xun)環或延伸至(zhi)無(wu)窮遠。換句話說(shuo)，進(jin)入任(ren)何區域的磁(ci)場(chang)線，必(bi)需(xu)從(cong)那(nei)區域離(li)開。以(yi)術語來說(shuo)，通(tong)過任(ren)意閉曲(qu)面的磁(ci)通(tong)量等于零，或者，磁(ci)場(chang)是一個(ge)無(wu)源(yuan)場(chang)。
法(fa)拉第(di)感應(ying)定律：該定律描述時變(bian)磁(ci)場(chang)(chang)怎(zen)樣感應(ying)出電(dian)場(chang)(chang)。電(dian)磁(ci)感應(ying)是制造許多發電(dian)機的理(li)論(lun)基礎。例如，一塊(kuai)旋轉的條形磁(ci)鐵(tie)會(hui)產生(sheng)時變(bian)磁(ci)場(chang)(chang)，這又(you)接下來會(hui)生(sheng)成電(dian)場(chang)(chang)，使得鄰近(jin)的閉合電(dian)路(lu)因而感應(ying)出電(dian)流。
麥克(ke)斯韋-安培(pei)定(ding)律(lv)：該定(ding)律(lv)闡明，磁場(chang)可以用兩種方法(fa)生成：一種是(shi)靠傳導電(dian)流(liu)（原本的安培(pei)定(ding)律(lv)），另(ling)一種是(shi)靠時變電(dian)場(chang)，或稱位移(yi)電(dian)流(liu)（麥克(ke)斯韋修正項）。
在(zai)電磁(ci)學里(li)，麥克斯韋修正項意(yi)味(wei)著時(shi)變(bian)電場(chang)可(ke)以生成磁(ci)場(chang)，而由于(yu)法拉第感(gan)應定律，時(shi)變(bian)磁(ci)場(chang)又可(ke)以生成電場(chang)。這樣(yang)，兩(liang)個方程在(zai)理論(lun)上(shang)允許自我(wo)維持的電磁(ci)波傳播于(yu)空間。
麥克斯韋電磁(ci)場理(li)論的要點(dian)可以歸(gui)結為(wei)：
①幾分立(li)的(de)(de)帶電體(ti)或電流，它們之(zhi)間的(de)(de)一切電的(de)(de)及磁的(de)(de)作(zuo)用都是通過它們之(zhi)間的(de)(de)中間區域傳遞的(de)(de)，不(bu)論中間區域是真空還是實體(ti)物質。
②電能或磁(ci)能不僅(jin)存在于(yu)帶電體、磁(ci)化(hua)體或帶電流(liu)物體中，其大部分分布在周圍的電磁(ci)場(chang)中。
③導(dao)(dao)體(ti)構(gou)成(cheng)的(de)電(dian)路若有中斷處，電(dian)路中的(de)傳導(dao)(dao)電(dian)流(liu)(liu)將由(you)電(dian)介質中的(de)位(wei)移(yi)(yi)電(dian)流(liu)(liu)補(bu)償(chang)貫通，即全電(dian)流(liu)(liu)連續(xu)。且位(wei)移(yi)(yi)電(dian)流(liu)(liu)與其所產生的(de)磁場的(de)關(guan)系與傳導(dao)(dao)電(dian)流(liu)(liu)的(de)相同(tong)。
④磁(ci)通量(liang)既無始點又無終(zhong)點，即(ji)不存(cun)在磁(ci)荷(he)。
⑤光波(bo)也是電(dian)磁(ci)波(bo)。
麥克斯韋方程(cheng)組有兩種(zhong)表達方式。
1.積(ji)分形式的麥克斯韋方程組是描述(shu)電(dian)磁(ci)場在某一體(ti)積(ji)或某一面積(ji)內的數學模型。表達式為：
式①是(shi)(shi)(shi)(shi)由安培環路(lu)定(ding)(ding)律(lv)推廣而得的(de)(de)(de)全電(dian)(dian)流定(ding)(ding)律(lv)，其含義是(shi)(shi)(shi)(shi)：磁(ci)(ci)場(chang)強度H沿任意(yi)(yi)(yi)(yi)閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)線(xian)(xian)的(de)(de)(de)線(xian)(xian)積(ji)分，等于穿過此曲(qu)線(xian)(xian)限(xian)定(ding)(ding)面(mian)(mian)積(ji)的(de)(de)(de)全電(dian)(dian)流。等號右(you)邊第(di)(di)一(yi)(yi)項是(shi)(shi)(shi)(shi)傳(chuan)導電(dian)(dian)流．第(di)(di)二項是(shi)(shi)(shi)(shi)位移電(dian)(dian)流。式②是(shi)(shi)(shi)(shi)法拉第(di)(di)電(dian)(dian)磁(ci)(ci)感(gan)應定(ding)(ding)律(lv)的(de)(de)(de)表達(da)式，它(ta)(ta)說明電(dian)(dian)場(chang)強度E沿任意(yi)(yi)(yi)(yi)閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)線(xian)(xian)的(de)(de)(de)線(xian)(xian)積(ji)分等于穿過由該曲(qu)線(xian)(xian)所限(xian)定(ding)(ding)面(mian)(mian)積(ji)的(de)(de)(de)磁(ci)(ci)通(tong)對(dui)時(shi)間的(de)(de)(de)變化率的(de)(de)(de)負(fu)值(zhi)。這(zhe)里提到的(de)(de)(de)閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)線(xian)(xian)，并不一(yi)(yi)定(ding)(ding)要由導體構成，它(ta)(ta)可以是(shi)(shi)(shi)(shi)介(jie)質回路(lu)，甚至只(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)任意(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)個(ge)閉(bi)(bi)(bi)合輪廓。式③表示(shi)磁(ci)(ci)通(tong)連(lian)續性(xing)原理，說明對(dui)于任意(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)個(ge)閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)面(mian)(mian)，有(you)多(duo)少(shao)磁(ci)(ci)通(tong)進入曲(qu)面(mian)(mian)就有(you)同樣數量的(de)(de)(de)磁(ci)(ci)通(tong)離開。即B線(xian)(xian)是(shi)(shi)(shi)(shi)既無始端又無終端的(de)(de)(de)；同時(shi)也說明并不存(cun)在(zai)與電(dian)(dian)荷(he)相對(dui)應的(de)(de)(de)磁(ci)(ci)荷(he)。式④是(shi)(shi)(shi)(shi)高斯(si)定(ding)(ding)律(lv)的(de)(de)(de)表達(da)式，說明在(zai)時(shi)變的(de)(de)(de)條件(jian)下，從任意(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)個(ge)閉(bi)(bi)(bi)合曲(qu)面(mian)(mian)出來(lai)的(de)(de)(de)D的(de)(de)(de)凈通(tong)量，應等于該閉(bi)(bi)(bi)曲(qu)面(mian)(mian)所包圍的(de)(de)(de)體積(ji)內全部自由電(dian)(dian)荷(he)之總和。
2.微分(fen)形式的麥克斯(si)韋(wei)方程組。微分(fen)形式的麥克斯(si)韋(wei)方程是對場中每一點而言的。應用del算(suan)子，可以把它們寫成
式(shi)⑤是(shi)(shi)全(quan)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)定(ding)律的(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)分形式(shi)，它說明(ming)(ming)磁(ci)(ci)場強(qiang)度(du)(du)(du)(du)(du)H的(de)(de)(de)(de)(de)旋(xuan)度(du)(du)(du)(du)(du)等(deng)于該(gai)(gai)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)全(quan)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)密(mi)(mi)(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)（傳(chuan)導(dao)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)密(mi)(mi)(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)J與位移電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)密(mi)(mi)(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)之和），即磁(ci)(ci)場的(de)(de)(de)(de)(de)漩渦源是(shi)(shi)全(quan)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)密(mi)(mi)(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)，位移電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)與傳(chuan)導(dao)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)(liu)(liu)一(yi)樣都能(neng)產(chan)生磁(ci)(ci)場。式(shi)⑥是(shi)(shi)法拉第電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)感應(ying)定(ding)律的(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)分形式(shi)，說明(ming)(ming)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)場強(qiang)度(du)(du)(du)(du)(du)E的(de)(de)(de)(de)(de)旋(xuan)度(du)(du)(du)(du)(du)等(deng)于該(gai)(gai)點(dian)磁(ci)(ci)通(tong)密(mi)(mi)(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)B的(de)(de)(de)(de)(de)時間(jian)變化(hua)率(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)負值，即電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)場的(de)(de)(de)(de)(de)渦旋(xuan)源是(shi)(shi)磁(ci)(ci)通(tong)密(mi)(mi)(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)的(de)(de)(de)(de)(de)時間(jian)變化(hua)率(lv)。式(shi)⑦是(shi)(shi)磁(ci)(ci)通(tong)連續性原(yuan)理的(de)(de)(de)(de)(de)微(wei)(wei)分形式(shi)，說明(ming)(ming)磁(ci)(ci)通(tong)密(mi)(mi)(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)B的(de)(de)(de)(de)(de)散度(du)(du)(du)(du)(du)恒(heng)等(deng)于零，即B線是(shi)(shi)無始(shi)無終的(de)(de)(de)(de)(de)。也就是(shi)(shi)說不(bu)存在與電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)荷(he)(he)對(dui)應(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)磁(ci)(ci)荷(he)(he)。式(shi)⑧是(shi)(shi)靜電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)場高斯定(ding)律的(de)(de)(de)(de)(de)推廣(guang)，即在時變條(tiao)件下，電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)位移D的(de)(de)(de)(de)(de)散度(du)(du)(du)(du)(du)仍等(deng)于該(gai)(gai)點(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)自(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)(dian)(dian)荷(he)(he)體密(mi)(mi)(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)。
除了上述四個方(fang)程外，還需要(yao)有媒(mei)質的(de)本構(gou)關系式
才能最終解決場量(liang)的(de)求(qiu)解問題。式中ε是媒(mei)質(zhi)的(de)介電(dian)常(chang)數(shu)，μ是媒(mei)質(zhi)的(de)磁導率，σ是媒(mei)質(zhi)的(de)電(dian)導率。
麥(mai)克斯韋方程組的(de)積分形式如(ru)下：
這是(shi)1873年前(qian)后，麥(mai)克斯韋(wei)提出的表述電磁場普(pu)遍規(gui)律的四個方(fang)程(cheng)。其中：
（1）描述(shu)了(le)電(dian)場(chang)的(de)性質。在一般情況(kuang)下，電(dian)場(chang)可(ke)以(yi)是自(zi)由電(dian)荷的(de)電(dian)場(chang)也可(ke)以(yi)是變化磁(ci)場(chang)激發的(de)感(gan)應(ying)電(dian)場(chang)，而感(gan)應(ying)電(dian)場(chang)是渦旋(xuan)場(chang)，它的(de)電(dian)位(wei)移(yi)線是閉合的(de)，對(dui)封閉曲面的(de)通量無貢獻。
（2）描述了磁場(chang)(chang)的(de)性質。磁場(chang)(chang)可(ke)以由傳導電(dian)流激發，也(ye)可(ke)以由變(bian)化電(dian)場(chang)(chang)的(de)位移電(dian)流所激發，它們的(de)磁場(chang)(chang)都是渦旋場(chang)(chang)，磁感應(ying)線(xian)都是閉合線(xian)，對封閉曲面(mian)的(de)通量無貢獻。
（3）描述了(le)變(bian)化的(de)(de)磁場(chang)激(ji)發電場(chang)的(de)(de)規律。
（4）描(miao)述了傳導電流(liu)和變(bian)化(hua)的(de)電場激發(fa)磁場的(de)規律。
穩恒場中的形式
當
時(shi)，方程組就還原為靜電場(chang)和穩恒(heng)磁(ci)場(chang)的方程：
無場源(yuan)自(zi)由(you)空間中的形式
當，方(fang)程組就成為如下(xia)形式：
麥克斯韋(wei)方程組的積分形式反映了空間某(mou)區域的電磁場量（D、E、B、H）和場源（電荷q、電流I）之間的關系。
在電(dian)(dian)(dian)磁(ci)場(chang)的(de)實際應用(yong)中(zhong)，經(jing)常要(yao)知道空間逐點的(de)電(dian)(dian)(dian)磁(ci)場(chang)量和電(dian)(dian)(dian)荷、電(dian)(dian)(dian)流之間的(de)關系(xi)。從數學形(xing)(xing)式(shi)(shi)上(shang)，就是將(jiang)麥克斯韋方程組的(de)積分形(xing)(xing)式(shi)(shi)化為(wei)微分形(xing)(xing)式(shi)(shi)。倒三角形(xing)(xing)為(wei)哈(ha)密頓算子(zi)。
注意：
(1)在不同的(de)慣性參照系中(zhong)，麥克斯韋方程組(zu)有同樣的(de)形式。
(2)應用麥克斯韋方程組解決實際問題(ti)，還要考慮介(jie)質(zhi)(zhi)對電(dian)磁(ci)(ci)場(chang)的影(ying)響。例如(ru)在均勻各向同性介(jie)質(zhi)(zhi)中，電(dian)磁(ci)(ci)場(chang)量與介(jie)質(zhi)(zhi)特性量有下列關系：
在非(fei)均(jun)勻介(jie)質(zhi)中，還要考慮電磁場量(liang)在界面上的(de)邊(bian)值關(guan)系(xi)。在利用t=0時場量(liang)的(de)初(chu)值條件，原則(ze)上可以求出任一時刻空間任一點的(de)電磁場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。
下(xia)面是高斯單位制下(xia)的(de)麥克斯韋方程(cheng)組(zu)
當有介(jie)質(zhi)存在時，由于電場和磁場與(yu)介(jie)質(zhi)的相互(hu)影響(xiang)，使(shi)電磁場量(liang)與(yu)介(jie)質(zhi)的特性有關，因此(ci)上述麥克斯韋方(fang)程組在這時還不是完備(bei)的，還需要再補充描(miao)述介(jie)質(zhi)（各向同性介(jie)質(zhi)）性質(zhi)的物性方(fang)程，分別為
式(shi)中，ε、μ和σ分別是介(jie)質(zhi)的絕(jue)對介(jie)電(dian)常數、絕(jue)對磁導(dao)(dao)率和導(dao)(dao)體的電(dian)導(dao)(dao)率。
進一(yi)步的(de)理論證明麥克(ke)斯韋方(fang)(fang)(fang)程組式(shi)與物性(xing)方(fang)(fang)(fang)程式(shi)一(yi)起對于決定電(dian)磁場的(de)變(bian)化來說(shuo)(shuo)是(shi)一(yi)組完備的(de)方(fang)(fang)(fang)程式(shi)。這就是(shi)說(shuo)(shuo)，當電(dian)荷、電(dian)流給定時，從(cong)上述(shu)方(fang)(fang)(fang)程根據初始條件（以及必(bi)要(yao)的(de)邊界條件）就可以完全決定電(dian)磁場的(de)變(bian)化。當然，如果要(yao)討論電(dian)磁場對帶(dai)電(dian)粒子的(de)作用以及帶(dai)電(dian)粒子在電(dian)磁場中的(de)運動，還需要(yao)洛倫茲力公式(shi)。
對于(yu)正弦時變場(chang)，可以使(shi)用(yong)復(fu)矢量將(jiang)電磁場(chang)定律表示為復(fu)數(shu)形(xing)式。
在復(fu)(fu)數形(xing)式(shi)的(de)電(dian)磁場(chang)定(ding)律(lv)中，由(you)于復(fu)(fu)數場(chang)量和(he)源量都只是(shi)空間位置的(de)函數，在求解時，不(bu)必再考慮(lv)它們與時間的(de)依賴關(guan)系。因此(ci)，對討(tao)論正(zheng)弦時變場(chang)來說面(mian)采(cai)用復(fu)(fu)數形(xing)式(shi)的(de)電(dian)磁場(chang)定(ding)律(lv)是(shi)較為方便(bian)的(de)。
采(cai)用不同的單位制(zhi)，麥克斯韋(wei)方程(cheng)組的形(xing)式會稍微(wei)有所改(gai)變，大致形(xing)式仍舊相同，只是不同的常數會出現在方程(cheng)內部不同位置。
國(guo)際(ji)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)是最常使(shi)用的單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)，整個工程(cheng)學(xue)領域都(dou)(dou)采用這種單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)，大多數化學(xue)家(jia)也都(dou)(dou)使(shi)用這種單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)，大學(xue)物(wu)理教科書幾乎都(dou)(dou)采用這種單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)。其(qi)(qi)它常用的單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)有(you)(you)高斯單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)、洛倫茲(zi)-赫(he)(he)維(wei)賽(sai)德(de)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)（Lorentz-Heaviside units）和普朗(lang)克(ke)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)。由(you)厘米(mi)-克(ke)-秒(miao)(miao)制(zhi)(zhi)衍(yan)生的高斯單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)，比較適合于教學(xue)用途，能(neng)夠使(shi)得方程(cheng)看起來(lai)更簡單(dan)(dan)(dan)(dan)、更易懂(dong)。洛倫茲(zi)-赫(he)(he)維(wei)賽(sai)德(de)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)也是衍(yan)生于厘米(mi)-克(ke)-秒(miao)(miao)制(zhi)(zhi)，主要(yao)用于粒子物(wu)理學(xue)；普朗(lang)克(ke)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)是一(yi)種自然單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)，其(qi)(qi)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)都(dou)(dou)是根據(ju)自然的性質定(ding)義，不是由(you)人為設(she)定(ding)。普朗(lang)克(ke)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)是研究理論物(wu)理學(xue)非(fei)常有(you)(you)用的工具，能(neng)夠給出很大的啟示(shi)。在本頁里(li)，除非(fei)特別說(shuo)明，所(suo)有(you)(you)方程(cheng)都(dou)(dou)采用國(guo)際(ji)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)制(zhi)(zhi)。
這里展示出麥(mai)克(ke)斯(si)韋(wei)方(fang)程(cheng)組的兩種(zhong)等價表述。第(di)一種(zhong)表述如下：
這(zhe)種(zhong)(zhong)(zhong)表述(shu)將自由電(dian)(dian)(dian)荷(he)和束(shu)縛電(dian)(dian)(dian)荷(he)總(zong)和為高斯(si)定律(lv)所(suo)需(xu)要的(de)總(zong)電(dian)(dian)(dian)荷(he)，又將自由電(dian)(dian)(dian)流、束(shu)縛電(dian)(dian)(dian)流和電(dian)(dian)(dian)極化電(dian)(dian)(dian)流總(zong)合為麥克斯(si)韋-安培定律(lv)內(nei)的(de)總(zong)電(dian)(dian)(dian)流。這(zhe)種(zhong)(zhong)(zhong)表述(shu)采用比較基礎(chu)、微(wei)觀的(de)觀點。這(zhe)種(zhong)(zhong)(zhong)表述(shu)可(ke)以應用于計(ji)算在(zai)真空(kong)里有限源電(dian)(dian)(dian)荷(he)與源電(dian)(dian)(dian)流所(suo)產(chan)生的(de)電(dian)(dian)(dian)場與磁(ci)場。但(dan)是，對于物質內(nei)部超(chao)多的(de)電(dian)(dian)(dian)子與原子核(he)，實際(ji)而言(yan)，無法(fa)一一納入計(ji)算。事(shi)實上，經典電(dian)(dian)(dian)磁(ci)學也不需(xu)要這(zhe)么精(jing)確的(de)答案。
第(di)二種表述見前所述“積(ji)分形式”中的“一般形式”。它以自由(you)(you)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和(he)自由(you)(you)電(dian)(dian)(dian)流為源頭，而(er)不直接計算出現(xian)于電(dian)(dian)(dian)介質(zhi)(zhi)的束縛(fu)(fu)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和(he)出現(xian)于磁化(hua)物(wu)質(zhi)(zhi)的束縛(fu)(fu)電(dian)(dian)(dian)流和(he)電(dian)(dian)(dian)極化(hua)電(dian)(dian)(dian)流所給(gei)出的貢獻。由(you)(you)于在(zai)一般實際狀況，能(neng)夠(gou)直接控制的參數是(shi)自由(you)(you)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和(he)自由(you)(you)電(dian)(dian)(dian)流，而(er)束縛(fu)(fu)電(dian)(dian)(dian)荷(he)、束縛(fu)(fu)電(dian)(dian)(dian)流和(he)電(dian)(dian)(dian)極化(hua)電(dian)(dian)(dian)流是(shi)物(wu)質(zhi)(zhi)經過極化(hua)后產生的現(xian)象，采用(yong)這種表述會使得在(zai)介電(dian)(dian)(dian)質(zhi)(zhi)或磁化(hua)物(wu)質(zhi)(zhi)內(nei)各種物(wu)理計算更加簡易。
表面上看(kan)，麥克(ke)斯韋方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)似乎是(shi)超定(ding)(ding)的(de)(de)(de)（overdetermined）方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)，它只有(you)(you)六個未(wei)(wei)知(zhi)量(liang)(liang)（矢量(liang)(liang)電(dian)(dian)場(chang)、磁場(chang)各(ge)擁有(you)(you)三個未(wei)(wei)知(zhi)量(liang)(liang)，電(dian)(dian)流(liu)與電(dian)(dian)荷不是(shi)未(wei)(wei)知(zhi)量(liang)(liang)，而(er)是(shi)自(zi)由設定(ding)(ding)并(bing)符合電(dian)(dian)荷守恒的(de)(de)(de)物理(li)量(liang)(liang)），但卻有(you)(you)八(ba)個方(fang)(fang)程(cheng)（兩(liang)個高斯定(ding)(ding)律(lv)(lv)共有(you)(you)兩(liang)個方(fang)(fang)程(cheng)，法拉第定(ding)(ding)律(lv)(lv)與安(an)培定(ding)(ding)律(lv)(lv)是(shi)矢量(liang)(liang)式，各(ge)含(han)有(you)(you)三個方(fang)(fang)程(cheng)）。這狀(zhuang)況與麥克(ke)斯韋方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)的(de)(de)(de)某種有(you)(you)限重復性有(you)(you)關。從(cong)理(li)論可(ke)以推導出，任何滿足法拉第定(ding)(ding)律(lv)(lv)與安(an)培定(ding)(ding)律(lv)(lv)的(de)(de)(de)系統必定(ding)(ding)滿足兩(liang)個高斯定(ding)(ding)律(lv)(lv)。
另(ling)一(yi)方面，麥克斯韋方程組又是(shi)不封閉的。只有給定了(le)電磁介質(zhi)的特性，此方程組才能得到定解。
麥(mai)克斯韋(wei)方(fang)程組通(tong)常應(ying)用于各(ge)種場的(de)“宏(hong)觀平均場”。當尺(chi)度縮小至微觀（microscopic scale），以至于接近單獨原子大(da)小的(de)時(shi)侯(hou)，這些(xie)場的(de)局部波動差異將變得(de)無法(fa)忽略，量(liang)子現象也(ye)會開(kai)始出現。只有在宏(hong)觀平均的(de)前提(ti)下，一(yi)些(xie)物理(li)量(liang)如物質(zhi)的(de)電容率(lv)和磁(ci)導率(lv)才會得(de)到有意義(yi)的(de)定義(yi)值。
最重的(de)(de)(de)(de)原子(zi)(zi)核(he)的(de)(de)(de)(de)半徑大(da)(da)約為(wei)(wei)7飛(fei)米（1fm=10-15m）。所(suo)以，在(zai)(zai)(zai)經(jing)(jing)典(dian)(dian)電(dian)磁學里，微(wei)觀(guan)尺度指的(de)(de)(de)(de)是尺寸的(de)(de)(de)(de)數(shu)量(liang)級(ji)(ji)大(da)(da)于10-14m 。滿足微(wei)觀(guan)尺度，電(dian)子(zi)(zi)和原子(zi)(zi)核(he)可以視為(wei)(wei)點(dian)電(dian)荷，微(wei)觀(guan)麥克斯(si)韋(wei)方(fang)程(cheng)組成立(li)；否則，必需(xu)將原子(zi)(zi)核(he)內部(bu)的(de)(de)(de)(de)電(dian)荷分(fen)布(bu)納入考量(liang)。在(zai)(zai)(zai)微(wei)觀(guan)尺度計算(suan)出來的(de)(de)(de)(de)電(dian)場(chang)與磁場(chang)仍舊變(bian)化(hua)相當劇烈，空間變(bian)化(hua)的(de)(de)(de)(de)距離數(shu)量(liang)級(ji)(ji)小(xiao)于10-10m，時間變(bian)化(hua)的(de)(de)(de)(de)周期數(shu)量(liang)級(ji)(ji)在(zai)(zai)(zai)10-17至(zhi)10-13秒之間。因此，從微(wei)觀(guan)麥克斯(si)韋(wei)方(fang)程(cheng)組，必需(xu)經(jing)(jing)過經(jing)(jing)典(dian)(dian)平(ping)均運(yun)算(suan)，才(cai)能(neng)得到平(ping)滑、連續(xu)、緩慢變(bian)化(hua)的(de)(de)(de)(de)宏觀(guan)電(dian)場(chang)與宏觀(guan)磁場(chang)。宏觀(guan)尺度的(de)(de)(de)(de)最低極限為(wei)(wei)10-8米。這意味著(zhu)電(dian)磁波(bo)的(de)(de)(de)(de)反(fan)射與折射行為(wei)(wei)可以用宏觀(guan)麥克斯(si)韋(wei)方(fang)程(cheng)組來描述。以這最低極限為(wei)(wei)邊長(chang)，體積為(wei)(wei)10-24立(li)方(fang)米的(de)(de)(de)(de)立(li)方(fang)體大(da)(da)約含(han)有(you)106個原子(zi)(zi)核(he)和電(dian)子(zi)(zi)。這么多原子(zi)(zi)核(he)和電(dian)子(zi)(zi)的(de)(de)(de)(de)物理行為(wei)(wei)，經(jing)(jing)過經(jing)(jing)典(dian)(dian)平(ping)均運(yun)算(suan)，足以平(ping)緩任何(he)劇烈的(de)(de)(de)(de)漲(zhang)落(luo)。根(gen)據可靠文獻記載，經(jing)(jing)典(dian)(dian)平(ping)均運(yun)算(suan)只需(xu)要在(zai)(zai)(zai)空間作(zuo)平(ping)均運(yun)算(suan)，不需(xu)要在(zai)(zai)(zai)時間作(zuo)平(ping)均運(yun)算(suan)，也不需(xu)要考慮到原子(zi)(zi)的(de)(de)(de)(de)量(liang)子(zi)(zi)效應。
場概(gai)念的產生，也有麥(mai)克斯韋(wei)的一份(fen)功勞，這是當時(shi)(shi)物(wu)理學中一個偉大的創舉，因(yin)為正(zheng)是場概(gai)念的出(chu)現(xian)，使(shi)當時(shi)(shi)許多(duo)物(wu)理學家得(de)以從(cong)牛頓“超(chao)距觀(guan)念”的束縛中擺脫(tuo)出(chu)來(lai)，普(pu)遍地(di)接受了電磁(ci)作用(yong)和引力作用(yong)都(dou)是“近(jin)距作用(yong)”的思想。
麥(mai)克斯韋方(fang)程組在(zai)電(dian)(dian)磁(ci)學與經典(dian)電(dian)(dian)動力(li)學中的(de)地(di)位，如同牛頓運動定律(lv)在(zai)牛頓力(li)學中的(de)地(di)位一(yi)樣。以麥(mai)克斯韋方(fang)程組為核心的(de)電(dian)(dian)磁(ci)理(li)論(lun)，是(shi)經典(dian)物理(li)學最(zui)引以自豪(hao)的(de)成(cheng)就之一(yi)。它所揭示出的(de)電(dian)(dian)磁(ci)相互作(zuo)(zuo)用的(de)完美統一(yi)，為物理(li)學家樹立了這(zhe)樣一(yi)種信念：物質(zhi)的(de)各種相互作(zuo)(zuo)用在(zai)更高(gao)層(ceng)次上應該是(shi)統一(yi)的(de)。這(zhe)個理(li)論(lun)被廣泛(fan)地(di)應用到技術領域。
(一)經(jing)典(dian)(dian)場論是(shi)(shi)19世紀(ji)后期麥克斯韋在(zai)(zai)總結(jie)電(dian)磁(ci)(ci)學三大實驗定律并把它(ta)與力(li)學模(mo)型進(jin)行類(lei)比的(de)(de)(de)基(ji)(ji)礎上創立起(qi)來(lai)的(de)(de)(de)。但(dan)麥克斯韋的(de)(de)(de)主(zhu)要(yao)功績恰恰使(shi)他能夠跳出經(jing)典(dian)(dian)力(li)學框架的(de)(de)(de)束縛：在(zai)(zai)物理(li)(li)上以“場”而不是(shi)(shi)以“力(li)”作(zuo)為基(ji)(ji)本的(de)(de)(de)研究對象(xiang)，在(zai)(zai)數(shu)學上引(yin)入(ru)了有別于經(jing)典(dian)(dian)數(shu)學的(de)(de)(de)矢量偏微分運算符。這(zhe)兩(liang)條是(shi)(shi)發(fa)現電(dian)磁(ci)(ci)波方程的(de)(de)(de)基(ji)(ji)礎。這(zhe)就是(shi)(shi)說，實際上麥克斯韋的(de)(de)(de)工作(zuo)已經(jing)沖破(po)經(jing)典(dian)(dian)物理(li)(li)學和(he)當(dang)時(shi)數(shu)學的(de)(de)(de)框架，只是(shi)(shi)由于當(dang)時(shi)的(de)(de)(de)歷(li)史條件(jian)，人們仍(reng)然只能從牛頓的(de)(de)(de)微積分和(he)經(jing)典(dian)(dian)力(li)學的(de)(de)(de)框架去(qu)理(li)(li)解(jie)電(dian)磁(ci)(ci)場理(li)(li)論。
現代數學，Hilbert空間(jian)中的(de)數學分析是在19世紀(ji)與20世紀(ji)之交的(de)時(shi)候才(cai)(cai)出現的(de)。而量(liang)子(zi)力學的(de)物質波的(de)概念則在更(geng)晚的(de)時(shi)候才(cai)(cai)被發現，特別是對于(yu)現代數學與量(liang)子(zi)物理(li)學之間(jian)的(de)不(bu)可分割(ge)的(de)數理(li)邏輯聯(lian)系至(zhi)今也還(huan)沒有完全(quan)被人們所(suo)理(li)解和接受。從麥克斯(si)韋建立電磁場理(li)論到如今，人們一直以(yi)歐氏(shi)空間(jian)中的(de)經典數學作為求解麥克斯(si)韋方程(cheng)組(zu)的(de)基本方法。
(二(er))我(wo)們(men)從麥(mai)克斯韋方程組的(de)(de)(de)(de)產生(sheng)、形式(shi)、內(nei)容和它(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)歷史過程中(zhong)可以看到(dao)：第(di)一(yi)，物(wu)(wu)(wu)理(li)對(dui)(dui)象是在更深(shen)的(de)(de)(de)(de)層次上發(fa)展成為(wei)新的(de)(de)(de)(de)公(gong)(gong)理(li)表(biao)達方式(shi)而被人類所掌(zhang)握，所以科學的(de)(de)(de)(de)進(jin)(jin)步(bu)不(bu)會是在既定的(de)(de)(de)(de)前(qian)提下演進(jin)(jin)的(de)(de)(de)(de)，一(yi)種新的(de)(de)(de)(de)具(ju)有(you)認識(shi)意(yi)義的(de)(de)(de)(de)公(gong)(gong)理(li)體(ti)系(xi)的(de)(de)(de)(de)建(jian)(jian)立才是科學理(li)論(lun)進(jin)(jin)步(bu)的(de)(de)(de)(de)標(biao)志。第(di)二(er)，物(wu)(wu)(wu)理(li)對(dui)(dui)象與對(dui)(dui)它(ta)(ta)的(de)(de)(de)(de)表(biao)達方式(shi)雖然是不(bu)同的(de)(de)(de)(de)東西，但如(ru)果不(bu)依靠(kao)合適的(de)(de)(de)(de)表(biao)達方法就無法認識(shi)到(dao)這個(ge)對(dui)(dui)象的(de)(de)(de)(de)“存在”。第(di)三(san)，我(wo)們(men)正(zheng)在建(jian)(jian)立的(de)(de)(de)(de)理(li)論(lun)將決(jue)定到(dao)我(wo)們(men)在何種層次的(de)(de)(de)(de)意(yi)義上使我(wo)們(men)的(de)(de)(de)(de)對(dui)(dui)象成為(wei)物(wu)(wu)(wu)理(li)事實，這正(zheng)是現代最前(qian)沿的(de)(de)(de)(de)物(wu)(wu)(wu)理(li)學所給我(wo)們(men)帶來的(de)(de)(de)(de)困惑。
(三)麥克斯韋方程組(zu)揭(jie)示了電場(chang)與磁(ci)場(chang)相互轉化(hua)中(zhong)(zhong)產生的對(dui)(dui)稱(cheng)(cheng)性(xing)優(you)美(mei)，這(zhe)種(zhong)優(you)美(mei)以現代數(shu)學形(xing)式得到充分的表達。但是，我們一方面應(ying)當承認(ren)(ren)，恰當的數(shu)學形(xing)式才能(neng)充分展示經驗(yan)方法中(zhong)(zhong)看(kan)(kan)不(bu)到的整(zheng)體(ti)性(xing)（電磁(ci)對(dui)(dui)稱(cheng)(cheng)性(xing)）；另(ling)一方面，我們也不(bu)應(ying)當忘記，這(zhe)種(zhong)對(dui)(dui)稱(cheng)(cheng)性(xing)的優(you)美(mei)是以數(shu)學形(xing)式反映出(chu)來的電磁(ci)場(chang)的統一本質。因此，我們應(ying)當認(ren)(ren)識到應(ying)在數(shu)學的表達方式中(zhong)(zhong)“發現”或(huo)“看(kan)(kan)出(chu)”了這(zhe)種(zhong)對(dui)(dui)稱(cheng)(cheng)性(xing)，而不(bu)是從物理數(shu)學公式中(zhong)(zhong)直接推(tui)演出(chu)這(zhe)種(zhong)本質。
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