麥克(ke)(ke)斯(si)韋(wei)(wei)方程(cheng)組(zu),是(shi)英國物理學家詹(zhan)姆斯(si)·克(ke)(ke)拉克(ke)(ke)·麥克(ke)(ke)斯(si)韋(wei)(wei)在19世紀建立的一組(zu)描述(shu)(shu)(shu)電(dian)場、磁場與電(dian)荷密度、電(dian)流密度之間關系(xi)的偏(pian)微(wei)分方程(cheng)。它(ta)由四個方程(cheng)組(zu)成(cheng):描述(shu)(shu)(shu)電(dian)荷如何產生(sheng)電(dian)場的高斯(si)定律(lv)(lv)、論述(shu)(shu)(shu)磁單極子不存在的高斯(si)磁定律(lv)(lv)、描述(shu)(shu)(shu)電(dian)流和時變(bian)電(dian)場怎樣產生(sheng)磁場的麥克(ke)(ke)斯(si)韋(wei)(wei)-安培定律(lv)(lv)、描述(shu)(shu)(shu)時變(bian)磁場如何產生(sheng)電(dian)場的法(fa)拉第感應定律(lv)(lv)。
從麥克斯(si)韋方程(cheng)(cheng)組,可(ke)以推論出(chu)電(dian)磁波(bo)在(zai)真空中以光速(su)傳(chuan)播,并進而做出(chu)光是電(dian)磁波(bo)的(de)猜想。麥克斯(si)韋方程(cheng)(cheng)組和洛倫茲力方程(cheng)(cheng)是經典電(dian)磁學的(de)基(ji)礎方程(cheng)(cheng)。從這(zhe)些基(ji)礎方程(cheng)(cheng)的(de)相關理論,發展(zhan)出(chu)現代的(de)電(dian)力科技與電(dian)子科技。
麥克斯韋(wei)在(zai)1865年提出的最初形式(shi)的方程組(zu)由20個(ge)等式(shi)和(he)20個(ge)變量組(zu)成(cheng)。他在(zai)1873年嘗試(shi)用四元數來表達,但未(wei)成(cheng)功(gong)。現在(zai)所(suo)使用的數學形式(shi)是奧(ao)利(li)弗·赫維賽德和(he)約(yue)西亞·吉布斯于1884年以矢量分析的形式(shi)重新表達的。
麥克(ke)斯韋誕生(sheng)前的(de)半個多(duo)(duo)世紀(ji),人類對電(dian)(dian)磁現象的(de)認識取(qu)得了(le)(le)很大的(de)進展。1785年,法(fa)國(guo)物理學家(jia)C.A.庫(ku)侖(Charles A. Coulomb)在扭(niu)秤實(shi)驗結果的(de)基(ji)礎上,建立了(le)(le)說明(ming)兩(liang)個點電(dian)(dian)荷之(zhi)間(jian)相(xiang)互作用力的(de)庫(ku)侖定律。1820年,H.C.奧斯特(Hans Christian Oersted)發(fa)現電(dian)(dian)流(liu)能使磁針偏轉(zhuan),從而把電(dian)(dian)與磁聯系(xi)起來(lai)。其后,A.M.安(an)培(Andre Marie Ampère)研究了(le)(le)電(dian)(dian)流(liu)之(zhi)間(jian)的(de)相(xiang)互作用力,提出了(le)(le)許多(duo)(duo)重要概念(nian)和安(an)培環路定律。M.法(fa)拉(la)第(Michael Faraday)在很多(duo)(duo)方(fang)面有杰出貢獻,特別是1831年發(fa)表的(de)電(dian)(dian)磁感應定律,是電(dian)(dian)機、變壓器等設備的(de)重要理論基(ji)礎。
1845年(nian)(nian),關(guan)于電磁現象的(de)三個最基本的(de)實(shi)驗定律(lv)(lv)(lv):庫侖(lun)定律(lv)(lv)(lv)(1785年(nian)(nian))、畢奧(ao)-薩伐爾(er)定律(lv)(lv)(lv)(1820年(nian)(nian))、法拉(la)第(di)電磁感(gan)應(ying)定律(lv)(lv)(lv)(1831~1845年(nian)(nian))已被總結(jie)出來,法拉(la)第(di)的(de)“電力(li)(li)線”和(he)“磁力(li)(li)線”(現在(zai)也叫做“電場線”與“磁感(gan)線”)概(gai)念已發展成“電磁場概(gai)念”。1855年(nian)(nian)至1865年(nian)(nian),麥克斯韋(wei)在(zai)全面地審視了庫侖(lun)定律(lv)(lv)(lv)、畢奧(ao)—薩伐爾(er)定律(lv)(lv)(lv)和(he)法拉(la)第(di)定律(lv)(lv)(lv)的(de)基礎上,把數(shu)學分析方法帶進了電磁學的(de)研究領域,由此導致麥克斯韋(wei)電磁理論的(de)誕生。
在(zai)麥克斯韋之前,關于(yu)電(dian)磁現象的(de)(de)學說(shuo)都以(yi)超(chao)距作用(yong)(yong)觀念為基(ji)礎,認為帶電(dian)體、磁化體或載流導體之間(jian)(jian)的(de)(de)相互(hu)作用(yong)(yong),都是(shi)(shi)可(ke)以(yi)超(chao)越中(zhong)間(jian)(jian)媒(mei)質而直接進行并立即完成的(de)(de),即認為電(dian)磁擾(rao)動的(de)(de)傳(chuan)播速(su)度無限大。在(zai)那個(ge)時期,持(chi)不同(tong)意見的(de)(de)只有法拉第。他認為上(shang)述這些(xie)相互(hu)作用(yong)(yong)與(yu)中(zhong)間(jian)(jian)媒(mei)質有關,是(shi)(shi)通過中(zhong)間(jian)(jian)媒(mei)質的(de)(de)傳(chuan)遞(di)而進行的(de)(de),即主張間(jian)(jian)遞(di)學說(shuo)。
麥克斯韋(wei)繼承了法拉第的(de)(de)觀點,參照流體力學(xue)的(de)(de)模型,應(ying)用嚴謹的(de)(de)數(shu)學(xue)形(xing)式(shi)總(zong)結(jie)了前人的(de)(de)工(gong)作,提出了位移電(dian)(dian)(dian)流的(de)(de)假說,推廣了電(dian)(dian)(dian)流的(de)(de)涵義,將電(dian)(dian)(dian)磁(ci)場(chang)基本定律歸結(jie)為四個微分(fen)(fen)方程,這(zhe)就是(shi)著名的(de)(de)麥克斯韋(wei)方程組(zu)。他對(dui)這(zhe)組(zu)方程進行了分(fen)(fen)析,預見到電(dian)(dian)(dian)磁(ci)波的(de)(de)存在(zai),并斷定,電(dian)(dian)(dian)磁(ci)波的(de)(de)傳播速度為有限值(與光速接近),且光也(ye)是(shi)某種頻率(lv)的(de)(de)電(dian)(dian)(dian)磁(ci)波。上述這(zhe)些,他都寫(xie)入題為《論電(dian)(dian)(dian)與磁(ci)》的(de)(de)論文中。
1887年(nian),海因里(li)希·魯道夫·赫茲(Heinrich R. Hertz)用實(shi)驗方法(fa)產(chan)生和(he)檢測到了電(dian)磁(ci)波(bo),證(zheng)實(shi)了麥克斯(si)韋的(de)(de)預見。1905~1915年(nian)間,A.愛因斯(si)坦(Albert Einstein)的(de)(de)相對論(lun)進一步論(lun)證(zheng)了時間、空間、質量(liang)、能量(liang)和(he)運動之間的(de)(de)關系,說明電(dian)磁(ci)場(chang)就是物(wu)質的(de)(de)一種形(xing)式(shi),間遞學說得到了公認(ren)。
麥克(ke)斯韋方程(cheng)組乃是由四個方程(cheng)共(gong)同組成的:
高斯定(ding)律(lv)(lv):該定(ding)律(lv)(lv)描述電(dian)場(chang)與空間中電(dian)荷(he)分布的(de)(de)關(guan)系(xi)。電(dian)場(chang)線開始于(yu)正電(dian)荷(he),終止于(yu)負電(dian)荷(he)(或無窮遠)。計算穿過(guo)某給定(ding)閉(bi)(bi)曲(qu)面的(de)(de)電(dian)場(chang)線數量,即其電(dian)通(tong)量,可(ke)以得(de)知包含在這閉(bi)(bi)曲(qu)面內的(de)(de)總電(dian)荷(he)。更(geng)詳細地說,這定(ding)律(lv)(lv)描述穿過(guo)任意閉(bi)(bi)曲(qu)面的(de)(de)電(dian)通(tong)量與這閉(bi)(bi)曲(qu)面內的(de)(de)電(dian)荷(he)之(zhi)間的(de)(de)關(guan)系(xi)。
高斯磁(ci)定律:該定律表明,磁(ci)單極子(zi)實際上并不(bu)存在。所以(yi),沒有孤立磁(ci)荷,磁(ci)場(chang)(chang)線(xian)(xian)沒有初始點(dian),也沒有終止點(dian)。磁(ci)場(chang)(chang)線(xian)(xian)會形成循環或延伸至(zhi)無(wu)(wu)窮(qiong)遠。換句(ju)話說,進入(ru)任何(he)區域的(de)磁(ci)場(chang)(chang)線(xian)(xian),必需從那區域離(li)開(kai)。以(yi)術語來說,通過任意閉曲面的(de)磁(ci)通量等(deng)于零,或者,磁(ci)場(chang)(chang)是一(yi)個無(wu)(wu)源場(chang)(chang)。
法拉第感(gan)(gan)應(ying)(ying)定(ding)律:該(gai)定(ding)律描(miao)述時變磁(ci)(ci)場(chang)怎樣感(gan)(gan)應(ying)(ying)出電(dian)場(chang)。電(dian)磁(ci)(ci)感(gan)(gan)應(ying)(ying)是制造許多發電(dian)機(ji)的理論基礎。例(li)如(ru),一(yi)塊旋轉(zhuan)的條形磁(ci)(ci)鐵會產生(sheng)時變磁(ci)(ci)場(chang),這(zhe)又接下來會生(sheng)成電(dian)場(chang),使得鄰近(jin)的閉合電(dian)路因而感(gan)(gan)應(ying)(ying)出電(dian)流(liu)。
麥克斯韋-安培定律(lv):該定律(lv)闡明,磁場(chang)可以用兩種(zhong)方法(fa)生成(cheng):一種(zhong)是靠傳導電(dian)流(原本的安培定律(lv)),另一種(zhong)是靠時變電(dian)場(chang),或稱位移(yi)電(dian)流(麥克斯韋修正項(xiang))。
在(zai)(zai)電磁學里,麥克斯韋修正項意味(wei)著時變電場可以生成(cheng)磁場,而由于(yu)法拉第(di)感(gan)應定律,時變磁場又可以生成(cheng)電場。這樣,兩(liang)個方(fang)程在(zai)(zai)理(li)論上允許自(zi)我維(wei)持(chi)的(de)電磁波傳播(bo)于(yu)空間(jian)。
麥克(ke)斯韋電磁場理(li)論的(de)要(yao)點(dian)可以歸結(jie)為:
①幾(ji)分(fen)立(li)的帶電(dian)(dian)體(ti)或(huo)電(dian)(dian)流,它(ta)們之(zhi)間(jian)的一切電(dian)(dian)的及磁的作用都是通過它(ta)們之(zhi)間(jian)的中(zhong)間(jian)區域傳遞的,不(bu)論(lun)中(zhong)間(jian)區域是真空(kong)還是實體(ti)物質。
②電(dian)能(neng)或磁(ci)能(neng)不僅存在于(yu)帶電(dian)體(ti)、磁(ci)化體(ti)或帶電(dian)流(liu)物體(ti)中(zhong),其大部分分布在周圍的電(dian)磁(ci)場(chang)中(zhong)。
③導體構(gou)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)電(dian)路(lu)若(ruo)有(you)中(zhong)斷處,電(dian)路(lu)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)傳導電(dian)流(liu)將由電(dian)介質中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)位移(yi)電(dian)流(liu)補償貫通,即(ji)全電(dian)流(liu)連續。且位移(yi)電(dian)流(liu)與其所產生(sheng)的(de)(de)(de)(de)(de)磁場(chang)的(de)(de)(de)(de)(de)關系與傳導電(dian)流(liu)的(de)(de)(de)(de)(de)相同(tong)。
④磁(ci)(ci)通(tong)量既(ji)無(wu)始點又(you)無(wu)終點,即(ji)不存(cun)在(zai)磁(ci)(ci)荷。
⑤光波也是電(dian)磁波。
麥克斯韋(wei)方(fang)(fang)程(cheng)組有兩種表達方(fang)(fang)式。
1.積分形式(shi)的麥克斯韋方程組是描述電磁場在某(mou)一體積或某(mou)一面積內的數學模型。表達式(shi)為:
式(shi)(shi)①是由(you)(you)安培環路定(ding)律(lv)推廣而得(de)的(de)(de)全電(dian)(dian)流(liu)定(ding)律(lv),其(qi)含義是:磁(ci)(ci)場強(qiang)度H沿(yan)任(ren)意閉(bi)合曲線(xian)(xian)的(de)(de)線(xian)(xian)積分,等(deng)(deng)(deng)于(yu)穿(chuan)過此曲線(xian)(xian)限(xian)定(ding)面積的(de)(de)全電(dian)(dian)流(liu)。等(deng)(deng)(deng)號右邊第一(yi)項(xiang)是傳導電(dian)(dian)流(liu).第二項(xiang)是位移電(dian)(dian)流(liu)。式(shi)(shi)②是法拉第電(dian)(dian)磁(ci)(ci)感應(ying)定(ding)律(lv)的(de)(de)表(biao)達式(shi)(shi),它說(shuo)(shuo)明(ming)電(dian)(dian)場強(qiang)度E沿(yan)任(ren)意閉(bi)合曲線(xian)(xian)的(de)(de)線(xian)(xian)積分等(deng)(deng)(deng)于(yu)穿(chuan)過由(you)(you)該曲線(xian)(xian)所限(xian)定(ding)面積的(de)(de)磁(ci)(ci)通(tong)(tong)對時(shi)間的(de)(de)變(bian)化(hua)率的(de)(de)負值。這里提到的(de)(de)閉(bi)合曲線(xian)(xian),并不一(yi)定(ding)要由(you)(you)導體(ti)構成,它可以是介(jie)質回路,甚至只是任(ren)意一(yi)個(ge)閉(bi)合輪(lun)廓。式(shi)(shi)③表(biao)示磁(ci)(ci)通(tong)(tong)連(lian)續性原理,說(shuo)(shuo)明(ming)對于(yu)任(ren)意一(yi)個(ge)閉(bi)合曲面,有(you)多少磁(ci)(ci)通(tong)(tong)進入曲面就有(you)同樣數量(liang)的(de)(de)磁(ci)(ci)通(tong)(tong)離開。即(ji)B線(xian)(xian)是既無始端又無終(zhong)端的(de)(de);同時(shi)也說(shuo)(shuo)明(ming)并不存(cun)在(zai)與(yu)電(dian)(dian)荷(he)相(xiang)對應(ying)的(de)(de)磁(ci)(ci)荷(he)。式(shi)(shi)④是高斯定(ding)律(lv)的(de)(de)表(biao)達式(shi)(shi),說(shuo)(shuo)明(ming)在(zai)時(shi)變(bian)的(de)(de)條件下,從任(ren)意一(yi)個(ge)閉(bi)合曲面出來的(de)(de)D的(de)(de)凈(jing)通(tong)(tong)量(liang),應(ying)等(deng)(deng)(deng)于(yu)該閉(bi)曲面所包圍的(de)(de)體(ti)積內全部自(zi)由(you)(you)電(dian)(dian)荷(he)之總(zong)和(he)。
2.微(wei)分形(xing)式的麥(mai)克斯韋方程組。微(wei)分形(xing)式的麥(mai)克斯韋方程是對(dui)場中每一點而言的。應(ying)用(yong)del算子,可以把它們寫成
式⑤是(shi)(shi)(shi)全電流定律的(de)(de)(de)微(wei)(wei)分(fen)形式,它(ta)說明磁(ci)場(chang)強(qiang)(qiang)度(du)(du)(du)H的(de)(de)(de)旋度(du)(du)(du)等(deng)于該點(dian)的(de)(de)(de)全電流密(mi)度(du)(du)(du)(傳導電流密(mi)度(du)(du)(du)J與位移電流密(mi)度(du)(du)(du)之和),即(ji)(ji)磁(ci)場(chang)的(de)(de)(de)漩渦(wo)源(yuan)是(shi)(shi)(shi)全電流密(mi)度(du)(du)(du),位移電流與傳導電流一(yi)樣都(dou)能產生磁(ci)場(chang)。式⑥是(shi)(shi)(shi)法拉第電磁(ci)感應定律的(de)(de)(de)微(wei)(wei)分(fen)形式,說明電場(chang)強(qiang)(qiang)度(du)(du)(du)E的(de)(de)(de)旋度(du)(du)(du)等(deng)于該點(dian)磁(ci)通(tong)密(mi)度(du)(du)(du)B的(de)(de)(de)時間變化率的(de)(de)(de)負值(zhi),即(ji)(ji)電場(chang)的(de)(de)(de)渦(wo)旋源(yuan)是(shi)(shi)(shi)磁(ci)通(tong)密(mi)度(du)(du)(du)的(de)(de)(de)時間變化率。式⑦是(shi)(shi)(shi)磁(ci)通(tong)連續性原理的(de)(de)(de)微(wei)(wei)分(fen)形式,說明磁(ci)通(tong)密(mi)度(du)(du)(du)B的(de)(de)(de)散度(du)(du)(du)恒等(deng)于零,即(ji)(ji)B線是(shi)(shi)(shi)無始無終的(de)(de)(de)。也就是(shi)(shi)(shi)說不存在與電荷(he)對應的(de)(de)(de)磁(ci)荷(he)。式⑧是(shi)(shi)(shi)靜電場(chang)高斯定律的(de)(de)(de)推廣,即(ji)(ji)在時變條(tiao)件下,電位移D的(de)(de)(de)散度(du)(du)(du)仍等(deng)于該點(dian)的(de)(de)(de)自(zi)由電荷(he)體(ti)密(mi)度(du)(du)(du)。
除了(le)上述(shu)四個方程(cheng)外,還需要有媒質的(de)本構關系(xi)式
才能最終解決場量的求解問題。式(shi)中ε是媒質(zhi)的介電常(chang)數,μ是媒質(zhi)的磁導(dao)率(lv),σ是媒質(zhi)的電導(dao)率(lv)。
麥克斯韋(wei)方程組的積(ji)分形(xing)式如下:
這是1873年前后,麥克(ke)斯韋提出(chu)的表述電(dian)磁場普(pu)遍規律的四個方(fang)程。其(qi)中:
(1)描述了電場的(de)性質。在一(yi)般情況下,電場可(ke)以是自由電荷(he)的(de)電場也可(ke)以是變(bian)化磁場激發的(de)感應電場,而感應電場是渦旋(xuan)場,它的(de)電位移線(xian)是閉(bi)(bi)合的(de),對封(feng)閉(bi)(bi)曲面的(de)通量(liang)無貢獻。
(2)描述了磁(ci)場的性質。磁(ci)場可以由(you)傳(chuan)導電(dian)流激發,也可以由(you)變化電(dian)場的位移電(dian)流所激發,它們的磁(ci)場都是(shi)渦旋場,磁(ci)感(gan)應(ying)線都是(shi)閉(bi)(bi)合線,對封(feng)閉(bi)(bi)曲(qu)面的通量無貢獻。
(3)描述了變化(hua)的磁場激發電場的規律。
(4)描(miao)述了傳(chuan)導電流和變化的(de)電場(chang)激發磁場(chang)的(de)規律。
穩恒場中的形式
當
時(shi),方程組就還原為靜電(dian)場和穩恒磁場的方程:
無場源自由空間(jian)中的(de)形式
當,方程(cheng)組(zu)就成為如(ru)下形式(shi):
麥(mai)克(ke)斯韋方程組的積分形式反(fan)映了空(kong)間某區(qu)域(yu)的電磁(ci)場量(D、E、B、H)和場源(yuan)(電荷q、電流I)之間的關系(xi)。
在電磁場的實際應用中,經(jing)常要知(zhi)道空間逐點的電磁場量和電荷、電流之(zhi)間的關系(xi)。從數學形(xing)(xing)式上,就是將麥克斯韋方程(cheng)組的積分(fen)形(xing)(xing)式化(hua)為(wei)微分(fen)形(xing)(xing)式。倒三(san)角形(xing)(xing)為(wei)哈密頓算子。
注意:
(1)在(zai)不同的慣性參照系中,麥克斯韋方(fang)程組(zu)有同樣的形式。
(2)應用麥克斯韋方程組(zu)解決實(shi)際問題,還要考慮(lv)介質(zhi)對(dui)電磁場的(de)影響。例如在均勻各向同性介質(zhi)中(zhong),電磁場量與介質(zhi)特(te)性量有下(xia)列關系:
在非均勻介質(zhi)中,還要考(kao)慮電(dian)磁場(chang)(chang)量在界面上的(de)邊(bian)值關系。在利用t=0時場(chang)(chang)量的(de)初值條件(jian),原(yuan)則上可以(yi)求出任(ren)一時刻空間任(ren)一點的(de)電(dian)磁場(chang)(chang),即E(x,y,z,t)和(he)B(x,y,z,t)。
下面是高斯單位(wei)制下的麥(mai)克斯韋(wei)方程組
當有介(jie)(jie)(jie)質(zhi)存在時,由于電場(chang)和磁場(chang)與介(jie)(jie)(jie)質(zhi)的(de)相互影響(xiang),使電磁場(chang)量與介(jie)(jie)(jie)質(zhi)的(de)特性有關(guan),因此上(shang)述麥克(ke)斯韋(wei)方(fang)程(cheng)組在這時還不是(shi)完備(bei)的(de),還需要再(zai)補(bu)充描述介(jie)(jie)(jie)質(zhi)(各(ge)向同性介(jie)(jie)(jie)質(zhi))性質(zhi)的(de)物性方(fang)程(cheng),分別為
式中(zhong),ε、μ和σ分別是介(jie)質的(de)絕對(dui)介(jie)電常數、絕對(dui)磁(ci)導(dao)率(lv)(lv)和導(dao)體的(de)電導(dao)率(lv)(lv)。
進一步的(de)(de)理論證明(ming)麥克(ke)斯韋方(fang)程組(zu)式(shi)與物性方(fang)程式(shi)一起對于決(jue)定電(dian)(dian)磁(ci)場的(de)(de)變(bian)化來說是一組(zu)完(wan)備的(de)(de)方(fang)程式(shi)。這就是說,當電(dian)(dian)荷、電(dian)(dian)流(liu)給定時(shi),從上(shang)述方(fang)程根據初始(shi)條(tiao)件(jian)(以(yi)及必要(yao)的(de)(de)邊界條(tiao)件(jian))就可以(yi)完(wan)全決(jue)定電(dian)(dian)磁(ci)場的(de)(de)變(bian)化。當然,如果要(yao)討論電(dian)(dian)磁(ci)場對帶(dai)電(dian)(dian)粒(li)子的(de)(de)作(zuo)用以(yi)及帶(dai)電(dian)(dian)粒(li)子在電(dian)(dian)磁(ci)場中的(de)(de)運動(dong),還需要(yao)洛倫茲力公式(shi)。
對于正弦時(shi)變(bian)場,可以使(shi)用復矢量將電磁場定(ding)律(lv)表示為復數形(xing)式。
在復數形(xing)式的(de)(de)電(dian)磁場(chang)(chang)(chang)定(ding)律(lv)中,由(you)于復數場(chang)(chang)(chang)量(liang)和源量(liang)都只(zhi)是空(kong)間位置的(de)(de)函數,在求(qiu)解時(shi),不必再(zai)考慮它們與時(shi)間的(de)(de)依(yi)賴關系。因(yin)此,對討論正弦時(shi)變場(chang)(chang)(chang)來說面采用復數形(xing)式的(de)(de)電(dian)磁場(chang)(chang)(chang)定(ding)律(lv)是較(jiao)為方便(bian)的(de)(de)。
采用不(bu)同(tong)的單位制,麥克斯韋方(fang)程組的形式會稍微有所改(gai)變,大致形式仍舊(jiu)相同(tong),只是不(bu)同(tong)的常數會出現在方(fang)程內部(bu)不(bu)同(tong)位置。
國(guo)際單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)最常使(shi)用(yong)(yong)(yong)的(de)(de)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi),整個工(gong)程(cheng)學(xue)(xue)領域都(dou)(dou)采(cai)用(yong)(yong)(yong)這種(zhong)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi),大多數(shu)化學(xue)(xue)家也都(dou)(dou)使(shi)用(yong)(yong)(yong)這種(zhong)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi),大學(xue)(xue)物(wu)理(li)(li)教科書(shu)幾(ji)乎都(dou)(dou)采(cai)用(yong)(yong)(yong)這種(zhong)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)。其(qi)它常用(yong)(yong)(yong)的(de)(de)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)有(you)高(gao)斯單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)、洛倫(lun)茲-赫(he)維(wei)賽德單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(Lorentz-Heaviside units)和普(pu)朗克(ke)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)。由厘米-克(ke)-秒(miao)制(zhi)(zhi)(zhi)衍(yan)生的(de)(de)高(gao)斯單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi),比較(jiao)適合于(yu)(yu)教學(xue)(xue)用(yong)(yong)(yong)途,能(neng)(neng)夠使(shi)得方程(cheng)看起來更簡單(dan)(dan)、更易懂。洛倫(lun)茲-赫(he)維(wei)賽德單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)也是(shi)(shi)衍(yan)生于(yu)(yu)厘米-克(ke)-秒(miao)制(zhi)(zhi)(zhi),主要用(yong)(yong)(yong)于(yu)(yu)粒子物(wu)理(li)(li)學(xue)(xue);普(pu)朗克(ke)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)一種(zhong)自(zi)然單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi),其(qi)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)都(dou)(dou)是(shi)(shi)根據自(zi)然的(de)(de)性質(zhi)定(ding)義,不(bu)是(shi)(shi)由人為(wei)設定(ding)。普(pu)朗克(ke)單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)研究理(li)(li)論(lun)物(wu)理(li)(li)學(xue)(xue)非常有(you)用(yong)(yong)(yong)的(de)(de)工(gong)具,能(neng)(neng)夠給出很大的(de)(de)啟示。在(zai)本頁里(li),除非特別(bie)說(shuo)明(ming),所(suo)有(you)方程(cheng)都(dou)(dou)采(cai)用(yong)(yong)(yong)國(guo)際單(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)。
這里(li)展示出(chu)麥克斯韋方程組的兩種等(deng)價表述(shu)。第一(yi)種表述(shu)如(ru)下:
這種(zhong)表(biao)述將(jiang)自由電(dian)(dian)荷(he)和束(shu)縛電(dian)(dian)荷(he)總和為(wei)高斯定(ding)律所需(xu)要(yao)的(de)(de)總電(dian)(dian)荷(he),又將(jiang)自由電(dian)(dian)流(liu)、束(shu)縛電(dian)(dian)流(liu)和電(dian)(dian)極化電(dian)(dian)流(liu)總合為(wei)麥克(ke)斯韋-安培(pei)定(ding)律內的(de)(de)總電(dian)(dian)流(liu)。這種(zhong)表(biao)述采用比較基礎、微觀的(de)(de)觀點(dian)。這種(zhong)表(biao)述可以應(ying)用于計算在(zai)真(zhen)空里有限源(yuan)電(dian)(dian)荷(he)與源(yuan)電(dian)(dian)流(liu)所產生的(de)(de)電(dian)(dian)場與磁場。但是,對于物質內部超多的(de)(de)電(dian)(dian)子(zi)與原子(zi)核(he),實(shi)際而言,無法一一納入(ru)計算。事實(shi)上,經典電(dian)(dian)磁學也不(bu)需(xu)要(yao)這么精確的(de)(de)答案。
第(di)二種(zhong)表(biao)述(shu)見前所述(shu)“積分形式”中的“一般形式”。它以自(zi)(zi)(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和(he)自(zi)(zi)(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)為(wei)源頭,而不直(zhi)接計(ji)算出現于電(dian)(dian)(dian)介(jie)質(zhi)(zhi)的束(shu)縛(fu)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和(he)出現于磁化(hua)(hua)(hua)物(wu)質(zhi)(zhi)的束(shu)縛(fu)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)和(he)電(dian)(dian)(dian)極化(hua)(hua)(hua)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)所給出的貢獻(xian)。由(you)于在一般實際狀況,能夠直(zhi)接控制的參數是自(zi)(zi)(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和(he)自(zi)(zi)(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu),而束(shu)縛(fu)電(dian)(dian)(dian)荷(he)、束(shu)縛(fu)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)和(he)電(dian)(dian)(dian)極化(hua)(hua)(hua)電(dian)(dian)(dian)流(liu)(liu)是物(wu)質(zhi)(zhi)經過極化(hua)(hua)(hua)后產生的現象,采用(yong)這種(zhong)表(biao)述(shu)會使得(de)在介(jie)電(dian)(dian)(dian)質(zhi)(zhi)或磁化(hua)(hua)(hua)物(wu)質(zhi)(zhi)內(nei)各種(zhong)物(wu)理計(ji)算更加(jia)簡易。
表面上看,麥克斯(si)(si)(si)韋方程(cheng)(cheng)(cheng)組似乎是超(chao)定(ding)(ding)的(overdetermined)方程(cheng)(cheng)(cheng)組,它只有(you)六個(ge)未知(zhi)量(liang)(矢量(liang)電場、磁場各擁有(you)三個(ge)未知(zhi)量(liang),電流與(yu)電荷(he)不是未知(zhi)量(liang),而(er)是自(zi)由設定(ding)(ding)并符(fu)合電荷(he)守恒的物理(li)(li)量(liang)),但卻(que)有(you)八個(ge)方程(cheng)(cheng)(cheng)(兩個(ge)高(gao)斯(si)(si)(si)定(ding)(ding)律(lv)共有(you)兩個(ge)方程(cheng)(cheng)(cheng),法拉(la)第(di)定(ding)(ding)律(lv)與(yu)安培定(ding)(ding)律(lv)是矢量(liang)式,各含有(you)三個(ge)方程(cheng)(cheng)(cheng))。這(zhe)狀況與(yu)麥克斯(si)(si)(si)韋方程(cheng)(cheng)(cheng)組的某種有(you)限重復性有(you)關。從理(li)(li)論可以推(tui)導(dao)出(chu),任(ren)何滿(man)(man)足(zu)(zu)法拉(la)第(di)定(ding)(ding)律(lv)與(yu)安培定(ding)(ding)律(lv)的系(xi)統必(bi)定(ding)(ding)滿(man)(man)足(zu)(zu)兩個(ge)高(gao)斯(si)(si)(si)定(ding)(ding)律(lv)。
另(ling)一方(fang)面,麥(mai)克(ke)斯韋方(fang)程(cheng)組又(you)是不(bu)封閉的(de)。只有給定了電磁介質的(de)特(te)性,此方(fang)程(cheng)組才(cai)能得到定解。
麥克斯韋方程組通常(chang)應用于(yu)各種場(chang)的(de)(de)“宏觀(guan)平(ping)(ping)均場(chang)”。當(dang)尺度縮小至(zhi)微觀(guan)(microscopic scale),以(yi)至(zhi)于(yu)接近單(dan)獨原子大小的(de)(de)時侯(hou),這些(xie)場(chang)的(de)(de)局部波動差異將變(bian)得無(wu)法忽略,量(liang)子現(xian)象也會開(kai)始出現(xian)。只有在(zai)宏觀(guan)平(ping)(ping)均的(de)(de)前提(ti)下(xia),一些(xie)物(wu)(wu)理量(liang)如物(wu)(wu)質的(de)(de)電容率和磁導率才會得到有意義的(de)(de)定義值(zhi)。
最重(zhong)的(de)(de)原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核(he)的(de)(de)半徑大(da)約為(wei)7飛米(mi)(1fm=10-15m)。所(suo)以(yi),在經典(dian)電(dian)(dian)磁(ci)學里,微觀(guan)(guan)尺(chi)(chi)度(du)指(zhi)的(de)(de)是尺(chi)(chi)寸的(de)(de)數(shu)(shu)量級(ji)大(da)于10-14m 。滿足(zu)微觀(guan)(guan)尺(chi)(chi)度(du),電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)和原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核(he)可以(yi)視為(wei)點電(dian)(dian)荷,微觀(guan)(guan)麥(mai)克(ke)斯韋(wei)(wei)(wei)方(fang)(fang)(fang)程組成立(li);否(fou)則,必(bi)需(xu)將原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核(he)內(nei)部的(de)(de)電(dian)(dian)荷分布納入考量。在微觀(guan)(guan)尺(chi)(chi)度(du)計算(suan)出來的(de)(de)電(dian)(dian)場(chang)與(yu)磁(ci)場(chang)仍舊變化(hua)相當劇烈(lie),空間(jian)(jian)(jian)變化(hua)的(de)(de)距離(li)數(shu)(shu)量級(ji)小于10-10m,時(shi)間(jian)(jian)(jian)變化(hua)的(de)(de)周(zhou)期數(shu)(shu)量級(ji)在10-17至10-13秒之間(jian)(jian)(jian)。因此,從(cong)微觀(guan)(guan)麥(mai)克(ke)斯韋(wei)(wei)(wei)方(fang)(fang)(fang)程組,必(bi)需(xu)經過經典(dian)平(ping)(ping)均(jun)(jun)運算(suan),才能得到(dao)(dao)平(ping)(ping)滑、連續、緩(huan)慢變化(hua)的(de)(de)宏觀(guan)(guan)電(dian)(dian)場(chang)與(yu)宏觀(guan)(guan)磁(ci)場(chang)。宏觀(guan)(guan)尺(chi)(chi)度(du)的(de)(de)最低極限(xian)為(wei)10-8米(mi)。這(zhe)意味著電(dian)(dian)磁(ci)波的(de)(de)反射與(yu)折射行(xing)為(wei)可以(yi)用宏觀(guan)(guan)麥(mai)克(ke)斯韋(wei)(wei)(wei)方(fang)(fang)(fang)程組來描(miao)述。以(yi)這(zhe)最低極限(xian)為(wei)邊長,體(ti)積為(wei)10-24立(li)方(fang)(fang)(fang)米(mi)的(de)(de)立(li)方(fang)(fang)(fang)體(ti)大(da)約含有106個原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核(he)和電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)。這(zhe)么多(duo)原(yuan)子(zi)(zi)(zi)核(he)和電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)的(de)(de)物理行(xing)為(wei),經過經典(dian)平(ping)(ping)均(jun)(jun)運算(suan),足(zu)以(yi)平(ping)(ping)緩(huan)任何劇烈(lie)的(de)(de)漲落。根據可靠文(wen)獻(xian)記載(zai),經典(dian)平(ping)(ping)均(jun)(jun)運算(suan)只需(xu)要(yao)在空間(jian)(jian)(jian)作平(ping)(ping)均(jun)(jun)運算(suan),不需(xu)要(yao)在時(shi)間(jian)(jian)(jian)作平(ping)(ping)均(jun)(jun)運算(suan),也不需(xu)要(yao)考慮到(dao)(dao)原(yuan)子(zi)(zi)(zi)的(de)(de)量子(zi)(zi)(zi)效(xiao)應。
場概念(nian)的(de)(de)產生,也(ye)有麥克斯韋的(de)(de)一份功勞,這是當(dang)時物理(li)學中一個偉大(da)的(de)(de)創舉(ju),因為正是場概念(nian)的(de)(de)出現,使當(dang)時許(xu)多物理(li)學家得以從牛(niu)頓“超(chao)距觀念(nian)”的(de)(de)束縛中擺脫(tuo)出來,普遍(bian)地接(jie)受了電磁作(zuo)用和(he)引(yin)力作(zuo)用都是“近距作(zuo)用”的(de)(de)思想。
麥克(ke)斯韋方(fang)(fang)程組在電磁(ci)(ci)學(xue)(xue)(xue)與經典(dian)電動(dong)(dong)力(li)學(xue)(xue)(xue)中的(de)地位(wei),如同牛(niu)頓(dun)運(yun)動(dong)(dong)定律在牛(niu)頓(dun)力(li)學(xue)(xue)(xue)中的(de)地位(wei)一(yi)樣(yang)。以麥克(ke)斯韋方(fang)(fang)程組為(wei)核心的(de)電磁(ci)(ci)理論,是(shi)經典(dian)物理學(xue)(xue)(xue)最引(yin)以自豪的(de)成就之一(yi)。它所揭示出的(de)電磁(ci)(ci)相互作用(yong)的(de)完美統一(yi),為(wei)物理學(xue)(xue)(xue)家(jia)樹立了(le)這(zhe)樣(yang)一(yi)種信(xin)念(nian):物質(zhi)的(de)各(ge)種相互作用(yong)在更(geng)高層次上應該是(shi)統一(yi)的(de)。這(zhe)個(ge)理論被廣(guang)泛地應用(yong)到技術領域(yu)。
(一(yi))經典(dian)(dian)場論是19世紀后(hou)期(qi)麥克(ke)斯(si)韋在(zai)總(zong)結電(dian)磁(ci)學(xue)(xue)(xue)三大實驗定律并把它與力(li)學(xue)(xue)(xue)模型進行類(lei)比的(de)(de)(de)基礎(chu)上創立起來(lai)的(de)(de)(de)。但麥克(ke)斯(si)韋的(de)(de)(de)主(zhu)要(yao)功績恰恰使他(ta)能(neng)夠跳出經典(dian)(dian)力(li)學(xue)(xue)(xue)框架(jia)的(de)(de)(de)束縛:在(zai)物理(li)上以“場”而不是以“力(li)”作(zuo)為基本的(de)(de)(de)研究對象,在(zai)數學(xue)(xue)(xue)上引(yin)入了(le)有(you)別于(yu)經典(dian)(dian)數學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)矢量(liang)偏(pian)微(wei)分(fen)運(yun)算符。這兩條(tiao)是發(fa)現電(dian)磁(ci)波方(fang)程的(de)(de)(de)基礎(chu)。這就是說,實際上麥克(ke)斯(si)韋的(de)(de)(de)工作(zuo)已經沖破經典(dian)(dian)物理(li)學(xue)(xue)(xue)和當時數學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)框架(jia),只是由于(yu)當時的(de)(de)(de)歷史條(tiao)件,人們仍然(ran)只能(neng)從牛頓的(de)(de)(de)微(wei)積分(fen)和經典(dian)(dian)力(li)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)框架(jia)去理(li)解(jie)電(dian)磁(ci)場理(li)論。
現(xian)代(dai)數(shu)學(xue)(xue),Hilbert空(kong)間中的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)分析是在19世紀(ji)與20世紀(ji)之(zhi)交的(de)(de)時候(hou)才出現(xian)的(de)(de)。而量(liang)子力學(xue)(xue)的(de)(de)物(wu)(wu)質波的(de)(de)概念則在更晚的(de)(de)時候(hou)才被(bei)(bei)發現(xian),特別是對于現(xian)代(dai)數(shu)學(xue)(xue)與量(liang)子物(wu)(wu)理學(xue)(xue)之(zhi)間的(de)(de)不可(ke)分割的(de)(de)數(shu)理邏輯(ji)聯系(xi)至今也還(huan)沒有完全被(bei)(bei)人(ren)們(men)所理解和接受。從麥克斯(si)韋建(jian)立(li)電磁場理論到如(ru)今,人(ren)們(men)一直以歐氏空(kong)間中的(de)(de)經(jing)典數(shu)學(xue)(xue)作為求解麥克斯(si)韋方(fang)程組的(de)(de)基(ji)本方(fang)法。
(二)我(wo)們(men)從麥克斯韋(wei)方(fang)程(cheng)組的(de)(de)(de)產生、形式(shi)、內容(rong)和它的(de)(de)(de)歷史過程(cheng)中(zhong)可以看到:第(di)一,物(wu)理(li)(li)(li)對象是在(zai)更深的(de)(de)(de)層次(ci)上發展成(cheng)為(wei)新的(de)(de)(de)公理(li)(li)(li)表達方(fang)式(shi)而被人類所掌握,所以科學(xue)的(de)(de)(de)進(jin)(jin)步(bu)不會是在(zai)既定的(de)(de)(de)前提下演進(jin)(jin)的(de)(de)(de),一種新的(de)(de)(de)具有認識(shi)意(yi)義的(de)(de)(de)公理(li)(li)(li)體系的(de)(de)(de)建立才(cai)是科學(xue)理(li)(li)(li)論進(jin)(jin)步(bu)的(de)(de)(de)標(biao)志。第(di)二,物(wu)理(li)(li)(li)對象與對它的(de)(de)(de)表達方(fang)式(shi)雖然是不同的(de)(de)(de)東西,但如果不依靠合適(shi)的(de)(de)(de)表達方(fang)法就(jiu)無法認識(shi)到這個對象的(de)(de)(de)“存在(zai)”。第(di)三,我(wo)們(men)正在(zai)建立的(de)(de)(de)理(li)(li)(li)論將決定到我(wo)們(men)在(zai)何種層次(ci)的(de)(de)(de)意(yi)義上使我(wo)們(men)的(de)(de)(de)對象成(cheng)為(wei)物(wu)理(li)(li)(li)事實,這正是現代最前沿的(de)(de)(de)物(wu)理(li)(li)(li)學(xue)所給我(wo)們(men)帶來的(de)(de)(de)困惑。
(三)麥克斯韋方(fang)(fang)程(cheng)組揭示了電場(chang)與磁場(chang)相互轉化中產生的(de)(de)(de)對稱(cheng)性(xing)優美,這(zhe)種(zhong)優美以(yi)現代(dai)數(shu)學形(xing)式得到充分(fen)的(de)(de)(de)表達。但是(shi)(shi),我們一(yi)方(fang)(fang)面(mian)應當(dang)承認(ren),恰當(dang)的(de)(de)(de)數(shu)學形(xing)式才能充分(fen)展示經(jing)驗方(fang)(fang)法(fa)中看不(bu)到的(de)(de)(de)整體性(xing)(電磁對稱(cheng)性(xing));另(ling)一(yi)方(fang)(fang)面(mian),我們也不(bu)應當(dang)忘記,這(zhe)種(zhong)對稱(cheng)性(xing)的(de)(de)(de)優美是(shi)(shi)以(yi)數(shu)學形(xing)式反映出來(lai)的(de)(de)(de)電磁場(chang)的(de)(de)(de)統一(yi)本(ben)質。因此,我們應當(dang)認(ren)識(shi)到應在數(shu)學的(de)(de)(de)表達方(fang)(fang)式中“發現”或“看出”了這(zhe)種(zhong)對稱(cheng)性(xing),而不(bu)是(shi)(shi)從(cong)物理數(shu)學公式中直接推(tui)演出這(zhe)種(zhong)本(ben)質。