“湊整”先算
1.計算:(1)24+44+56 (2)53+36+47
解:(1)24+44+56=24+(44+56)
=24+100=124
這樣想:因為44+56=100是個(ge)整百的數,所以先把它(ta)們的和(he)算(suan)出(chu)來.
(2)53+36+47=53+47+36
=(53+47)+36=100+36=136
這樣(yang)想:因為53+47=100是個整百的(de)數,所以先把+47帶著符(fu)號搬(ban)家,搬(ban)到+36前面;然后再把53+47的(de)和(he)算出來.
2.計算:(1)96+15 (2)52+69
解(jie):(1)96+15=96+(4+11)
=(96+4)+11=100+11=111
這樣(yang)想:把15分拆(chai)成15=4+11,這是因(yin)為96+4=100,可湊(cou)整先算.
(2)52+69=(21+31)+69
=21+(31+69)=21+100=121
這樣想(xiang):因為69+31=100,所以把52分拆(chai)成21與(yu)31之(zhi)和,再把31+69=100湊(cou)整先算.
3.計算:(1)63+18+19 (2)28+28+28
解:(1)63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+(2+18)+(1+19)
=60+20+20=100
這樣想:將63分拆(chai)成63=60+2+1就(jiu)是因為2+18和1+19可以湊整先算.
(2)28+28+28
=(28+2)+(28+2)+(28+2)-6
=30+30+30-6=90-6=84
這樣想:因為28+2=30可湊整(zheng),但最后要把多加的三個(ge)2減去.
改變運算順序:在只有“+”、“-”號的混合算式中,運算順序可改變
計算:(1)45-18+19 (2)45+18-19
解:(1)45-18+19=45+19-18
=45+(19-18)=45+1=46
這(zhe)樣想:把(ba)+19帶著符號搬家,搬到-18的前(qian)面(mian).然后先算(suan)19-18=1.
(2)45+18-19=45+(18-19)
=45-1=44
這樣想:加18減19的結果(guo)就等于減1.
計算等差連續數的和
相(xiang)鄰的兩個數(shu)(shu)的差(cha)(cha)都相(xiang)等的一(yi)串數(shu)(shu)就叫等差(cha)(cha)連續數(shu)(shu),又(you)叫等差(cha)(cha)數(shu)(shu)列,如(ru):
1,2,3,4,5,6,7,8,9
1,3,5,7,9
2,4,6,8,10
3,6,9,12,15
4,8,12,16,20等等都是(shi)等差連續數.
1. 等(deng)差連續數(shu)的個(ge)數(shu)是奇數(shu)時(shi),它們的和等(deng)于中間數(shu)乘以(yi)個(ge)數(shu),簡(jian)記成:
(1)計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×9 中間數(shu)是5
=45 共9個數
(2)計算:1+3+5+7+9
=5×5 中(zhong)間數(shu)是5
=25 共有5個數
(3)計算(suan):2+4+6+8+10
=6×5 中間數是6
=30 共有5個數
(4)計算:3+6+9+12+15
=9×5 中間(jian)數是(shi)9
=45 共有5個數
(5)計算:4+8+12+16+20
=12×5 中間數是12
=60 共有5個數
2. 等(deng)差(cha)連續(xu)數(shu)的個數(shu)是(shi)偶數(shu)時,它們的和(he)等(deng)于首數(shu)與末數(shu)之和(he)乘以(yi)個數(shu)的一半,簡(jian)記成:
(1)計算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)×5=11×5=55
共(gong)10個數(shu),個數(shu)的一半是5,首數(shu)是1,末數(shu)是10.
(2)計算:3+5+7+9+11+13+15+17
=(3+17)×4=20×4=80
共8個(ge)數,個(ge)數的一半(ban)是(shi)4,首數是(shi)3,末數是(shi)17.
(3)計算:2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
=(2+20)×5=110
共10個(ge)數(shu),個(ge)數(shu)的一半是(shi)5,首數(shu)是(shi)2,末數(shu)是(shi)20.
基準數法
(1)計算:23+20+19+22+18+21
解(jie):仔(zi)細觀察,各(ge)個加(jia)數的大小都接近20,所(suo)以(yi)可以(yi)把(ba)每(mei)個加(jia)數先按(an)20相加(jia),然后(hou)再把(ba)少算(suan)(suan)的加(jia)上,把(ba)多算(suan)(suan)的減去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6個加(jia)數都按(an)(an)20相加(jia),其和=20×6=120.23按(an)(an)20計(ji)算(suan)就少加(jia)了“3”,所(suo)以再(zai)加(jia)上(shang)“3”;19按(an)(an)20計(ji)算(suan)多加(jia)了“1”,所(suo)以再(zai)減去“1”,以此類推.
(2)計算:102+100+99+101+98
解:方法1:仔細觀察,可知各個加數都接近(jin)100,所(suo)以選100為基(ji)準(zhun)數,采用(yong)基(ji)準(zhun)數法進行巧算(suan).
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2:仔細觀察(cha),可將(jiang)5個數(shu)重新排列如下:(實際(ji)上(shang)就是(shi)把有的加數(shu)帶有符號搬家(jia))
102+100+99+101+98
=98+99+100+101+102
=100×5=500
可發現這(zhe)是一個(ge)等差連續數(shu)(shu)(shu)的求和問題,中(zhong)間數(shu)(shu)(shu)是100,個(ge)數(shu)(shu)(shu)是5.
1、加法中的巧算
1.什么叫(jiao)“補(bu)數”?
兩個數相加,若能(neng)恰好湊(cou)成整十、整百、整千、整萬…,就把其(qi)中的一個數叫做另一個數的“補數”。
如(ru):1+9=10,3+7=10,
2+8=10,4+6=10,
5+5=10。
又如:11+89=100,33+67=100,
22+78=100,44+56=100,
55+45=100,
在(zai)上(shang)面算式(shi)中,1叫(jiao)9的“補數(shu)”;89叫(jiao)11的“補數(shu)”,11也(ye)叫(jiao)89的“補數(shu)”.也(ye)就是(shi)說兩個數(shu)互為“補數(shu)”。
對于一個較大(da)的數(shu)(shu),如何能很快地(di)算出(chu)它的“補數(shu)(shu)”來呢?一般來說(shuo),可以這樣“湊(cou)”數(shu)(shu):從最高(gao)位湊(cou)起,使各位數(shu)(shu)字相加得(de)9,到最后(hou)個位數(shu)(shu)字相加得(de)10。
如: 87655→12345, 46802→53198,
87362→12638,…
下面講利用“補數”巧算加法,通(tong)常稱為“湊(cou)整法”。
2.互補數先加。
例1:巧算(suan)下(xia)面各(ge)題:
①36+87+64 ②99+136+101 ③ 1361+972+639+28
解:①式=(36+64)+87
=100+87=187
②式=(99+101)+136
=200+136=336
③式(shi)=(1361+639)+(972+28)
=2000+1000=3000
3.拆出補數來先加。
例2:①188+873 ②548+996 ③9898+203
解:①式(shi)=(188+12)+(873-12)(熟練(lian)之(zhi)后,此步(bu)可(ke)略)
=200+861=1061
②式(shi)=(548-4)+(996+4)
=544+1000=1544
③式=(9898+102)+(203-102)
=10000+101=10101
4.豎式(shi)運算中互補數先(xian)加。
2、減法中的巧算
1.把(ba)幾個互(hu)為“補數(shu)(shu)”的減數(shu)(shu)先(xian)加起來(lai),再(zai)從被(bei)減數(shu)(shu)中(zhong)減去。
例3:① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10
解:①式= 300-(73+ 27)
=300-100=200
②式=1000-(90+80+20+10)
=1000-200=800
2.先減(jian)去那些與被減(jian)數(shu)有相同尾數(shu)的減(jian)數(shu)。
例4:① 4723-(723+189)
② 2356-159-256
解(jie):①式=4723-723-189
=4000-189=3811
②式=2356-256-159
=2100-159
=1941
3.利用“補數(shu)(shu)”把接近整(zheng)(zheng)十、整(zheng)(zheng)百、整(zheng)(zheng)千…的(de)數(shu)(shu)先變整(zheng)(zheng),再(zai)(zai)運算(注意把多加的(de)數(shu)(shu)再(zai)(zai)減去,把多減的(de)數(shu)(shu)再(zai)(zai)加上)。
例5: ①506-397 ②323-189 ③467+997 ④987-178-222-390
解:①式(shi)=500+6-400+3(把多減的 3再加(jia)上)
=109
②式=323-200+11(把(ba)多(duo)減的11再加(jia)上(shang))
=123+11=134
③式=467+1000-3(把多(duo)加的(de)3再減(jian)去)
=1464
④式=987-(178+222)-390
=987-400-400+10=197
3、加減混合式的巧算
1.去(qu)括號(hao)(hao)和添括號(hao)(hao)的法則
在只有加減(jian)運(yun)算(suan)(suan)的算(suan)(suan)式里(li)(li),如果(guo)括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)前(qian)面是(shi)“+”號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao),則(ze)不論(lun)去掉括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)或(huo)添(tian)上(shang)(shang)括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao),括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)里(li)(li)面的運(yun)算(suan)(suan)符(fu)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)都不變(bian)(bian);如果(guo)括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)前(qian)面是(shi)“-”號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao),則(ze)不論(lun)去掉括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)或(huo)添(tian)上(shang)(shang)括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao),括(kuo)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)里(li)(li)面的運(yun)算(suan)(suan)符(fu)號(hao)(hao)(hao)(hao)(hao)都要(yao)改變(bian)(bian),“+”變(bian)(bian)“-”,“-”變(bian)(bian)“+”,即:
a+(b+c+d)=a+b+c+d
a-(b+a+d)=a-b-c-d
a-(b-c)=a-b+c
例6:①100+(10+20+30)
② 100-(10+20+3O)
③ 100-(30-10)
解:①式=100+10+20+30=160
②式=100-10-20-30=40
③式=100-30+10=80
例7:計算(suan)下面(mian)各題:
① 100+10+20+30 ② 100-10-20-30 ③ 100-30+10
解:①式=100+(10+20+30)=100+60=160
②式=100-(10+20+30)=100-60=40
③式=100-(30-10)=100-20=80
2.帶符號“搬家”
例(li)8:計(ji)算 325+46-125+54
解(jie):原式=325-125+46+54
=(325-125)+(46+54)
=200+100=300
注(zhu)意(yi):每(mei)個數前面(mian)的運算符(fu)號(hao)(hao)是這(zhe)個數的符(fu)號(hao)(hao).如+46,-125,+54.而325前面(mian)雖然(ran)沒有符(fu)號(hao)(hao),應看作(zuo)是+325。
3.兩個數(shu)相同而(er)符號相反(fan)的(de)數(shu)可以直接“抵消”掉
例9:計算9+2-9+3
解:原式=9-9+2+3=5
4.找“基準數”法
幾個比較接近于某(mou)一整數的數相加時,選這(zhe)個整數為“基準(zhun)數”。
例(li)10:計(ji)算 78+76+83+82+77+80+79+85
=640
1.兩(liang)數的乘積是整(zheng)十、整(zheng)百、整(zheng)千的,要(yao)先乘.為此,要(yao)牢記下面這三個特殊的等式:
5×2=10
25×4=100
125×8=1000
例1:計算①123×4×25
② 125×2×8×25×5×4
解:①式=123×(4×25)=123×100=12300
②式=(125×8)×(25×4)×(5×2)=1000×100×10=1000000
2.分(fen)解因數,湊整先乘(cheng)。
例(li)2:計算① 24×25
② 56×125
③ 125×5×32×5
解:①式=6×(4×25)=6×100=600
②式=7×8×125=7×(8×125)=7×1000=7000
③式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4)=1000×100=100000
3.應用乘法分配律。
例3:計算① 175×34+175×66 ②67×12+67×35+67×52+6
解:①式=175×(34+66)=175×100=17500
②式=67×(12+35+52+1)= 67×100=6700
(原式中最后一項67可看成 67×1)
例(li)4:計算① 123×101 ② 123×99
解:①式=123×(100+1)=123×100+123=12300+123=12423
②式=123×(100-1)=12300-123=12177
4.幾種特殊因數的巧算。
例5:一個數×10,數后添0;一個數×100,數后添00;一個數(shu)×1000,數(shu)后(hou)添(tian)000;以(yi)此類推。
如:15×10=150
15×100=1500
15×1000=15000
例6:一個數×9,數后添0,再減此數; 一個數×99,數后(hou)添00,再減此數;一個數×999,數后添000,再減此數 ……以此類推。
如:12×9=120-12=108
12×99=1200-12=1188
12×999=12000-12=11988
例7:一個偶(ou)數(shu)乘以5,可以除(chu)以2添上0。
如:6×5=30
16×5=80
116×5=580。
例8:一個數乘以11,“兩頭(tou)一拉,中間相加”。
如(ru) :2222×11=24442
2456×11=27016
例9:一個偶數乘以(yi)15,“加半添0”.
24×15
=(24+12)×10
=360
因為:24×15
= 24×(10+5)
=24×(10+10÷2)
=24×10+24×10÷2(乘法分配律(lv))
=24×10+24÷2×10(帶符(fu)號搬家)
=(24+24÷2)×10(乘法分配律)
例10:個位(wei)(wei)(wei)為(wei)5的兩(liang)位(wei)(wei)(wei)數的自乘:十(shi)(shi)位(wei)(wei)(wei)數字(zi)×(十(shi)(shi)位(wei)(wei)(wei)數字(zi)加(jia)1)×100+25
如:15×15=1×(1+1)×100+25=225
25×25=2×(2+1)×100+25=625
35×35=3×(3+1)×100+25=1225
45×45=4×(4+1)×100+25=2025
55×55=5×(5+1)×100+25=3025
65×65=6×(6+1)×100+25=4225
75×75=7×(7+1)×100+25=5625
85×85=8×(8+1)×100+25=7225
95×95=9×(9+1)×100+25=9025
4、除法及乘除混合運算中的巧算
1.在(zai)除法中,利用(yong)商不(bu)變的性質巧算
商(shang)不(bu)變的(de)性(xing)質(zhi)(zhi)是:被除(chu)(chu)數(shu)和除(chu)(chu)數(shu)同(tong)時乘以或除(chu)(chu)以相同(tong)的(de)數(shu)(零除(chu)(chu)外),商(shang)不(bu)變.利用這個性(xing)質(zhi)(zhi)巧算,使(shi)除(chu)(chu)數(shu)變為整十、整百、整千的(de)數(shu),再(zai)除(chu)(chu)。
例11:計算①110÷5②3300÷25③ 44000÷125
解:①110÷5=(110×2)÷(5×2)
=220÷10=22
②3300÷25=(3300×4)÷(25×4)
=13200÷100=132
③ 44000÷125=(44000×8)÷(125×8)
=352000÷1000=352
2.在乘(cheng)除混合(he)運算中,乘(cheng)數和除數都(dou)可(ke)以(yi)帶符號(hao)“搬家(jia)”。
例12:864×27÷54
=864÷54×27
=16×27
=432
3.當n個(ge)數都(dou)除以同一個(ge)數后(hou)再(zai)(zai)加減時,可以將它們先加減之后(hou)再(zai)(zai)除以這(zhe)個(ge)數。
例13:① 13÷9+5÷9 ②21÷5-6÷5 ③2090÷24-482÷24 ④187÷12-63÷12-52÷12
解:①13÷9+5÷9=(13+5)÷9=18÷9=2
②21÷5-6÷5=(21-6)÷5=15÷5=3
③2090÷24-482÷24=(2090-482)÷24=1608÷24=67
④187÷12-63÷12-52÷12=(187-63-52)÷12=72÷12=6
4.在乘(cheng)除混合(he)運算中“去(qu)括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)”或添“括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)”的方(fang)法(fa):如(ru)果(guo)“括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)”前面是乘(cheng)號(hao)(hao),去(qu)掉“括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)”后,原(yuan)“括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)”內的符號(hao)(hao)不變;如(ru)果(guo)“括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)”前面是除號(hao)(hao),去(qu)掉“括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)”后,原(yuan)“括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)”內的乘(cheng)號(hao)(hao)變成(cheng)除號(hao)(hao),原(yuan)除號(hao)(hao)就要變成(cheng)乘(cheng)號(hao)(hao),添括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)的方(fang)法(fa)與去(qu)括(kuo)(kuo)(kuo)號(hao)(hao)類似。
即a×(b÷c)=a×b÷c 從左往右看是去括(kuo)號(hao),
a÷(b×c)=a÷b÷c 從右往(wang)左看(kan)是添括號。
a÷(b÷c)=a÷b×c
例14:①1320×500÷250
②4000÷125÷8
③5600÷(28÷6)
④372÷162×54
⑤2997×729÷(81×81)
解:① 1320×500÷250=1320×(500÷250)=1320×2=2640
②4000÷125÷8=4000÷(125×8)=4000÷1000=4
③5600÷(28÷6)=5600÷28×6=200×6=1200
④372÷162×54=372÷(162÷54)=372÷3=124
⑤2997×729÷(81×81)=2997×729÷81÷81=(2997÷81)×(729÷81)=37×9=333
例1:計(ji)算(suan)9+99+999+9999+99999
解:在涉(she)及所(suo)有數字都是9的計(ji)算中,常使用湊整(zheng)法.例如將999化成1000—1去(qu)計(ji)算.這是小學數學中常用的一種技巧.
9+99+999+9999+99999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)
=10+100+1000+10000+100000-5
=111110-5
=111105.
例(li)2:計(ji)算199999+19999+1999+199+19
解:此題各數字中,除最高位是(shi)1外,其余(yu)都是(shi)9,仍使用湊整法(fa).不過這里是(shi)加1湊整.(如 199+1=200)
199999+19999+1999+199+19
=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)
+(19+1)-5
=200000+20000+2000+200+20-5
=222220-5
=22225.
例3:計算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
解法2:先(xian)把(ba)兩個括(kuo)號(hao)內(nei)的數(shu)分別(bie)相加,再相減.第一個括(kuo)號(hao)內(nei)的數(shu)相加的結(jie)果是(shi):
從1到1989共(gong)有995個奇數,湊(cou)成497個1990,還(huan)剩下995,第(di)二個括號內的數相(xiang)加的結果是:
從(cong)2到1988共有(you)994個(ge)偶數,湊成497個(ge)1990.
1990×497+995—1990×497=995.
例4:計算(suan) 389+387+383+385+384+386+388
解法1:認真觀察每個加數,發現它們都和整(zheng)數390接近(jin),所以選390為基準(zhun)數.
389+387+383+385+384+386+388
=390×7—1—3—7—5—6—4—
=2730—28
=2702.
解法2:也可以選380為基準數,則(ze)有
389+387+383+385+384+386+388
=380×7+9+7+3+5+4+6+8
=2660+42
=2702.
例(li)5:計算(suan)(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
解:認真觀察可知此題(ti)關鍵(jian)是求括號中6個相接(jie)近的數之和,故(gu)可選4940為(wei)基準數.
(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
=(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6
=(4940×6+6)÷6(這里沒(mei)有把4940×6先算出來,而是運
=4940×6÷6+6÷6運(yun)用了除法中(zhong)的巧算方法)
=4940+1
=4941.
例(li)6:計算(suan)54+99×99+45
解(jie):此題表面上看(kan)沒有巧妙的(de)算(suan)法,但如(ru)果把45和54先結合(he)可得99,就可以運(yun)用(yong)乘法分配(pei)律進行簡算(suan)了.
54+99×99+45
=(54+45)+99×99
=99+99×99
=99×(1+99)
=99×100
=9900.
例7:計算 9999×2222+3333×3334
解:此題如果直接乘(cheng),數字較大(da),容易(yi)出錯.如果將9999變(bian)為(wei)3333×3,規律就(jiu)出現了(le).
9999×2222+3333×3334
=3333×3×2222+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
=3333×(6666+3334)
=3333×10000
=33330000.
例8:1999+999×999
解(jie)法(fa)1:1999+999×999
=1000+999+999×999
=1000+999×(1+999)
=1000+999×1000
=1000×(999+1)
=1000×1000
=1000000.
解法2:1999+999×999
=1999+999×(1000-1)
=1999+999000-999
=(1999-999)+999000
=1000+999000
=1000000.
(1)238+1759-97-998
=238+1759-100+3-1000+2
=238+2-100+(1759+3-1000)
=140+762
(2)998+3+99+998+3+9
=(998+2)+(1+99)+(998+2)+(1+9)
=1000+100+1000+10
=2110
(3)19+199+1999+19999+199999
=20-1+200-1+2000-1+20000-1+200000-1
=20+200+2000+20000+200000-1-1-1-1-1
=222220-5
=222215
(4)37+56+63+44
=37+63+(56+44)
=100+100
=200
(5)516-56-44-16
=516-16-56-44
=516-16-(56+44)
=500-100
=400
(6)947+(372-447)
=947+372-44
=947-447+372
=500+372
=872
(7)5498-1928-387-1072-16137
=5498-1928-1072-387-1613
=5498-(1928+1072)-(387+1613)
=5498-3000-2000
=2498-2000
=498
(8)123+234+345-456+567-678+789-890
=123+234+345+(567-456)+(7*78)-890
=123+234+345+111+111-890
=234+(123+567)-890
=234+690-890
=34+890-890
=34
(9)569+384+147-328-167-529
=(569-529)+147-(147+20)+388-4-328
=40-20+56
=76
(10)6472-(4476-2480)+5319-(3323-1327)+9354-(7358-5362)+6839-(4843-2847)
=(6480-8)+(5320-1)+(9360-6)+(6840-1)-(4476-2476-4)-(3323-1323-4)-(7358-5358-4)-(4843-2843-4)
=(6480+5320)+(9360+6840)-8-1-6-1-2000+4-2000+4-2000+4-2000+4
=11800+16200-8000-16+16
=28000-8000
=20000
(11)236×37×27
=236×(37×3×9)
=236×(111×9)
=236×999
=236×(1000-1)
=236000-236
=235764
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